Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương giúp các em học sinh tự kiểm tra lại kiến thức môn Toán lớp 9 của mình, luyện đề chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển HSG môn Toán sắp tới. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc 2) Cho x, y thỏa mãn x  y- y2 +1+ y+ y2 +1 Tính giá trị biểu thức A  x +x3 y+3x +xy- 2y2 +1 Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21)  35     x+ x +2012 y+ y +2012  2012  2) Giải hệ phương trình  2   x + z - 4(y+z)+8  Câu III (2,0 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên n (n2 + n + 1) không chia hết cho 2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình (1) có nghiệm ngun Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC ngoại tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE 1) Tính BIF 2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp 3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O), P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu V (1,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu  1  +   a+1 b+1 c+1  thức B  (a+b+c+3)  + Hết -Họ tên thí sinh…………………………Số báo danh……………… ……………… Chữ kí giám thị 1: ……………………… Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (chuyên) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b2 (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a  b2 )  ac(a  0,25 b)  (a  b)[2c  2ac  ab  bc]  (a  b)[2c(c  a)  b(a  c)]  (a  b)(a  c)(b  2c) 0,25 0,25 0,25 0,25 2) 1,0 điểm Có x = y- y2 +  y+ y2 +  x = 2y +3 y - y + y+ y +  y- y +1  y+ y +1     x + 3x -2y = 0,25 A = x + x3 y + 3x - 2xy + 3xy - 2y2 + = (x +3x -2xy) +(x3 y+3xy - 2y2 )  10,25  x(x3 +3x-2y) +y(x +3x - 2y)   Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm 0,25 phương trình cho tương đương với ( x  2)2  7 ( x2  4)2  5  35 0,25 (1) 2)1,0 điểm ( x  2)2   7x   2 Do   ( x  2)   ( x  4)  5  35x ( x  4)   5x    ( x  2)   (1)   2  ( x  4)   0,25 x=2 2  (x+ x +2012)(y+ y +2012)  2012 (1)  2 (2)   x + z - 4(y+z)+8=0 0,25 0,25  (1)  x  x  2012 (Do  y  y  2012  y  0y ) y  2012   y  2012  y  2012 0,25  y  2012  y     x  x  2012 2012  2012   y  2012  y  x  x  2012   x  y  y  2012  x  2012   x y  y  2012  x  2012  y  2012  x  2012 y  2012  y  y  2012  x  2012 2 y  x2  x y  y  2012  x  2012  ( x  y) y  2012  y  x  2012  x y  2012  x  2012 Do 0 0,25 y  2012 | y | yy   2   y  2012  y  x  2012  x   y   x x  2012 | x |  xx   Thay y=-x vào(2)  x2  z  x  z    ( x  2)2  ( z  2)2  ( x  2)   x  2     y   x  Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(2 ( z  2)  z   0,25 0,25 2;2;2) Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm 2)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + (k  ) * n = 3k => A không chia hết cho (vì A khơng chia hết cho 3) * n = 3k + => A = 9k2 + 9k + không chia hết cho * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho Vậy với số nguyên n A = n2 + n + không chia hết cho Giả sử tồn m * để phơng tr×nh cã nghiƯm x1, x2  x1  x2  m2 Theo vi-et:  Với m  * * 0,25 0,25 0,25 0,25  (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m +  x1 x2  2m  Ta cã x1x2  x1 + x2 m x1hoặc x2 nguyên vµ x1  x2  m2  0,25  x1 , x2  * 0,25  ( x1  1)( x2  1)   m2  2m    (m  1)(m  3)   m   m {1;2;3} Víi m = 1; m = thay vào ta thấy phơng trình đà cho vô nghiệm Với m = thay vào phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình đà cho x =1; x = thoả mÃn Vậy m= Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình theo yêu cầu chung đề 0,25 0,25 0,25 B F K H D O I A E C M Gọi K giao điểm BO với DF => ΔIKF vng K Có DFE= DOE=450 0,25 0,25 0,25  BIF  450 2) 1,0 điểm Khi AM = AB ΔABM vng cân A => DBH=450 Có 0,25 DFH=450 => Tứ giác BDHF nội tiếp => điểm B, D, O, H, F thuộc đường tròn => BFO=BHO  900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H thẳng hàng BAH=BIH  450 => Tứ giác ABHI nội tiếp 3) 1,0 điểm B 0,25 0,25 0,25 0,25 F P D O N A E M C Q Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEF ΔNQP đồng dạng => PQ NQ =   PQ  EF EF NE Dấu “=” xẩy P  F; Q  E => DN đường kính 0,25 0,25 Câu V (1,0đ) (O) => PQ lớn EF Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN (O), BN cắt AC M PQ lớn Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a  a  b  c  = >1  z  y  x  x Khi A= (x+y+z)(  0,25 0,25 x x y y z z 1  )=3+       y z x z x y y z  x  y  x y x y x y x     1 1  1        y z y.z y z z  y  z   z  y  z y z y z y z     1 1  1        y x y.x y x x  y  x  x y z y x z x x y y z z x z               2    y z y x z x y z x z x y z x x Đặt = t =>  t  z x z t  2t  5t  (2t  1)(t  2)  t      z x t t 2t 2t (2t  1)(t  2) x z 0    Do  t   2t z x  A     10 0,25 Ta thấy a=b=0 c=1 A=10 nên giá trị lớn A 10 0,25 0,25 ...    x  x  2012 2012  2012   y  2012  y  x  x  2012   x  y  y  2012  x  2012   x y  y  2012  x  2012  y  2012  x  2012 y  2012  y  y  2012  x  2012 2 y  x2... 2  (x+ x +2012) (y+ y +2012)  2012 (1)  2 (2)   x + z - 4(y+z)+8=0 0,25 0,25  (1)  x  x  2012 (Do  y  y  2012  y  0y ) y  2012   y  2012  y  2012 0,25  y  2012  y  ... x2  x y  y  2012  x  2012  ( x  y) y  2012  y  x  2012  x y  2012  x  2012 Do 0 0,25 y  2012 | y | yy   2   y  2012  y  x  2012  x   y   x x  2012 | x | 