Đang tải... (xem toàn văn)
................................................................................................................................................................................................................................................................................
Phòng gd - đt Huyện tĩnh gia P N đề thi hC SINH GII CP HUYN năm học 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 Câu I (2,5 điểm): Tìm điều kiện xác định x để phân thức: Điều kiện: 8x + 12x + 6x + ≠ (2x + 1)(4x2 + 4x + 1) ≠ (2x + 1)2 ≠ 2x + ≠ 2x xác định x + 12 x + x + Giải: x≠ −1 1 2x 4x3 8x + + + + Rút gọn biểu thức: x − y x + y x + y x + y x8 + y8 2x 2x 4x3 8x + + + = x − y x2 + y x + y x8 + y8 4x 4x 8x + + = 4 x −y x + y x8 + y8 8x 8x + = 8 x −y x8 + y8 16 x 15 = 16 x − y 16 Câu II (2.5 điểm): 1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = a Tìm giá trị m để nghiệm phương trình b Giải phương trình ứng với giá trị m vừa tìm 2- Từ phần tường bao quanh trường, lớp học sinh dùng sợi dây dài 40m căng ba phía để thành vườn trồng hình chữ nhật Em giúp bạn căng dây để có diện tích vườn lớn nhất? Giải: Phương trình: x – (m – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = (1) a Phương trình (1) có nghiệm x = – m2 + m – – 3m2 + 3m + = -4m2 + 4m = -4m(m - 1) = m = m = Vậy với m = m = phương trình nhận x = nghiệm phương trình b Với m = (1) x3 – 7x + = (x - 1).(x - 2).(x + 3) = x − = x = x − = ⇔ x = x + = x = −3 A bờ tường B a D C b Với m = (1) x3 – 7x + = (Giống trường hợp trên) Gọi a (m) chiều rộng b (m) chiều dài ( < a ≤ b < 40 ) Theo ta có: 2a + b = 40 => b = 40 – 2a Diện tích vườn trồng cây: SABCD = a.b = a.(40 – 2a) = 2(20 – a2) = 200 – 2(a2 – 20a + 100) SABCD = 200 – 2(a - 10)2 ≤ 200 Do đó: Max S = 200 dấu “=” xảy a = 10 Câu III (5, điểm): Chứng minh rằng: 10n – 9n – chia hết cho 27 (n ∈ N) Chứng minh: ABCD 99 - 9n = 9( 11 1− n ) Ta có: 10n – 9n – = (10n - 1) – 9n = 999 n n Ta có: Tổng n số n 11 : dư m • Gọi số 11 n • n:3 dư m − n ) chia hết cho =>9( 11 − n ) chia hết cho 27 đó: Nên (11 n n 10n – 9n – chia hết cho 27 (đfcm) Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc cạnh hình vng a Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC ( MN + NP + PQ + QM ) b Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ Giải: a Ta có: 2 a>0; b>0 thì: a + b ≥ a+b (1) Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1) a + b + 2ab a +b ≥ 2 ⇔ ( a − b) ≥ 2 Dấu “=” xảy a = b Áp dụng định lý Pitago BĐT (1) ta có: MB + NB 2 MN = MB + NB ≥ NC + PC 2 NP = NC + PC ≥ + dấu “=” xay PQ = PD + QP ≥ PD + QP QM = AQ + AM ≥ AQ + AM MN + NP + PQ + QM ≥ MN + NP + PQ + QM ≥ MB + MA + NB + NC + PC + PD + AQ + QD AB + BC + CD + AD AC ( MN + NP + PQ + QM ) ≥ AB AC = AB (2) AC ( MN + NP + PQ + QM ) ≤ A B M Mặt khác: AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 => AC = AB Thay vào BĐT (2) ta được: AB AB MB = NB NC = PC PD = QP AQ = AM Q N D C P AC ( MN + NP + PQ + QM ) AC ≤ ( MN + NP + PQ + QM ) AB ≤ S ABCD b Theo câu a MN, NP, PQ, QM nhỏ MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM = AB Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, AD (Lời giải mang tính chất tham khảo)