Copy of DE VA DAP AN HSG MON TOAN 9 HUYEN HOANG HOA NAM HOC 20142015

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P = x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q = x , chứng tỏ < Q < P Bài 2: (4,5 điểm) a Không dùng máy tính so sánh : 2014 2015 + 2015 2014 2014 + 2015 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ c Giải phương trình: Bài 3: (4,0 điểm) a ( Với x = 5+2 ) + = x+3 x+4 17 − 38 + 14 − Tính giá trị biểu thức: B = ( x + x − ) 2015 b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x+1) My đồng thời (3y + 1) Mx Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S = cos A ABC b Chứng minh : S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + d Chứng minh rằng: 2 HA HB HC + + ≥ BC AC AB Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 36 x − y Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm II Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm x > 0; x ≠ a.(2,0đ) Đk : 0,25 ( = x ) − x(2 x x x −1 P= ( x + x +1 ) ( ) + 2( )( x +1 x ) ( x −1 − x +1 + x +1 ) x −1 x −1 ) x +1 0,5 = x − x +1 Vậy P = x − x + , với x > 0; x ≠ 1 3  b (1,0đ) P = x − x + =  x − ÷ + ≥ 2 4  dấu xảy x = ¼, thỏa mãn đk Vậy GTNN P x= c (1,0đ).Với x > 0; x ≠ Q = ( ) x −1 x > (1) x − x +1 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 2 x = ≥0 x − x +1 x − x +1 0,25 Dấu không xảy điều kiện x ≠ suy Q < 2.(2) Từ (1) (2) suy < Q < 0,25 Xét − 2 0,5 2014 2015 2015 − 2014 + + = + 2015 2014 2015 2014 1 = 2015 + 2014 + − > 2015 + 2014 2014 2015 2014 2015 + Vậy > 2014 + 2015 2015 2014 b Phân tích thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 ≤ (1) Vì (2x - y)2 ≥ ; (y – z + 1)2 ≥ ; ( z - 3)2 ≥ với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y = 2; z = c Đk: x > - Khi phương trình cho tương đương với 0,25 0,5 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25     +  −  − ÷ ÷= ÷ x+3   x+4 ÷   4− 4− x + 11 x + 11 x+3 + x+4 =0⇔ + =0     2+ 2+ ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3 x+4 x+3  x+4    Vì x > - nên +     ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3  x+4    11 Do 4x + 11 = ⇔ x = − thỏa mãn điều kiện  11  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −   4 a Ta có x = ( −2 )( 5+2 + (3 − 5) ) =( −2 )( 5+2 +3− 0,5 0,25 >0 0,25 0,25 ) = 1,25 0,75 Do B = - b Dễ thấy x ≠ y Không tính tổng quát, giả sử x > y * Từ (3y + 1) Mx ⇒ y + = p.x ( p ∈ N ) Vì x > y nên 3x > 3y + = p.x ⇒ p < Vậy p ∈ { 1; 2} • Với p = 1: ⇒ x = 3y + ⇒ 3x + = 9y + My ⇒ 4My Mà y > nên y ∈ { 2; 4} + Với y = x = + Với y = x = 13 • Với p = 2: ⇒ 2x = 3y + ⇒ 6x = 9y + ⇒ 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + My nên 9y + My suy 5My , mà y > nên y = 5, suy x = Tương tự với y > x ta giá trị tương ứng Vậy cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); A a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E F H C B D Tam giác ABE vuông E nên cosA = AE AB 0,25 0,25 Tam giác ACF vuông F nên cosA = AF AC 0,25 AE AF ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c) Suy = AB AC S AEF  AE  = * Từ ∆AEF : ∆ABC suy ÷ = cos A S ABC  AB  SCDE S BDF 2 b Tương tự câu a, S = cos B, S = cos C ABC ABC 0,75 0,5 Từ suy 0,75 SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = − cos A − cos B − cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC 0,25 AD AD AD ,tanC = Suy tanB.tanC = BD CD BD.CD 2 Vì AH = k.HD ⇒ AD = AH + HD = ( k + 1) HD nên AD = ( k + 1) HD c Ta có: tanB = (1) Do tanB.tanC = HD ( k + 1) BD.CD 0,25 0,25 Lại có ∆DHB : ∆DCA( g.g ) nên (2) 0,25 DB HD = ⇒ DB.DC = HD AD (3) AD DC 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra: HD ( k + 1) HD ( k + 1) HD ( k + 1) = = = k + tanB.tanC = AD.HD AD HD ( k + 1) 2 HC CE HC.HB CE.HB S HBC d Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ AC = CF ⇒ AC AB = CF AB = S ABC HB.HA S HA.HC 0,5 0,25 S HAC HAB Tương tự: AC.BC = S ; AB.BC = S Do đó: ABC ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB =1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC • Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: 0,25 0,25 0,25  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA  0,25 + + + +  ÷ ≥  ÷ = 3.1 =  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB AC  HA HB HC 0,25 + + ≥ Suy BC AC AB Với x, y ∈ N * 36x có chữ số tận 6, y có chữ số tận 0,25 nên : A có chữ số tận ( 36x > 5y) ( 36x < 5y) TH1: A = 36x - 5y =1 ⇔ 36x - = 5y Điều không xảy (36x – 1) M35 nên (36x – 1) M7, 5y không chia hết cho TH2: A = Khi y - 36x = ⇔ 5y = + 36x điều không xảy (9 + 36x) M9 còn 5y không chia hết cho TH3: A = 11 Khi 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy GTNN A 11, x = 1, y = 0,25 Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: Người duyệt: ... − cos C ) S ABC 0,25 AD AD AD ,tanC = Suy tanB.tanC = BD CD BD.CD 2 Vì AH = k.HD ⇒ AD = AH + HD = ( k + 1) HD nên AD = ( k + 1) HD c Ta có: tanB = (1) Do tanB.tanC = HD ( k + 1) BD.CD 0,25 0,25... S ABC  AB  SCDE S BDF 2 b Tương tự câu a, S = cos B, S = cos C ABC ABC 0,75 0,5 Từ suy 0,75 SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = − cos A − cos B − cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF = ( − cos A... p = 1: ⇒ x = 3y + ⇒ 3x + = 9y + My ⇒ 4My Mà y > nên y ∈ { 2; 4} + Với y = x = + Với y = x = 13 • Với p = 2: ⇒ 2x = 3y + ⇒ 6x = 9y + ⇒ 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + My nên 9y + My suy 5My , mà y > nên