Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) x 2x : x x 1 x x 1 Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 7 3x ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x y b) Tính giá trị biểu thức P = x y Biết x – y = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0) Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + và 3n + (n N) là các số chính phương thì n chia hết cho 40 Bài 4:(6,0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ABD ACE b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b Bài 5: (3.0điểm) a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) ab b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ Chứng minh rằng: a2 + b2 + a b ≥ ……………………………………HẾT………………………………… Họ và tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:……………………… Giám thị 2:……………………… (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP Nội dung a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± Bài (3,0điểm) Bài 1 x 2x x 2x : x2 x 1 A= 2 x 1 = x 1 2x 2x b) (1,0 điểm) A > – 2x > x < Đối chiếu ĐKXĐ, ta - ≠ x < 7 3x 4 a) (2,0 điểm) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 77 = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 2 2 (4,0điểm) b) (2,0 điểm) x – 2y = xy x – xy – 2y = (x + y)(x – 2y) = Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y 2y y y Khi đó A = y y y a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – = (x3 + 1)(x3 – 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – )2 + > và x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = x {- 1; 2} b) (2,0 điểm) Do 2n + là số chính phương lẻ nên 2n + chia cho Bài dư 1, suy n là số chẵn Vì 3n + là số chính phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy (4,0điểm) 3n n (1) Do 2n + và 3n + là số chính phương lẻ nên có tận cùng 1; 5; đó chia cho thì có dư là 1; 0; Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , đó 2n + và 3n + chia cho dư Suy 2n và 3n n (2) Từ (1) và (2) n BCNN(5; 8) hay n 40 Điểm 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,5 đ 0,5đ 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ (3) a) (2,0điểm) Chứng minh A 2,0đ D ABD ACE E H B C Bài b) (2,0điểm) Chứng minh BHE CHD (6,0điểm) Suy BH.HD = CH.HE c) (2,0điểm) Khi AB = AC = b thì ABC cân A Suy DE // BC 1,0đ 1,0đ 0,25đ DE AD BC AC 0,25đ AD.BC DE = AC Gọi giao điểm AH và BC là F AF BC, a FB = FC = a2 DC BC BC.FC DC AC = 2b DBC FAC FC AC AD.BC ( AC DC ).BC AC DE = AC = a (b ).a a (2b a ) 2b b 2b = = 0,25đ 0,5đ Bài (3,0điểm) a) (1,5điểm) Nhận thấy x = - không phải là nghiệm phương trình 0,5đ 0,25đ 8x 4x x x 1 x 2x 1 Với x ≠ - PT đã cho tương đương với x2 x 1 x x 3( x x 1) ( x x 1) 2 4( x x 1) Ta có x x 4( x x 1) ( x 1) = 4( x 1) Đẳng thức xảy và x – = x = 1(1) x x 4( x x 1) 3 ( x 1)2 4 4 Đẳng thức xảy Lại có: và x – = x = (2) Từ (1) và (2) suy phương trình có nghiệm x = b) (1,5điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (4) ab Ta có a2 + b2 + a b ≥ (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ (5)