CHUYÊN ĐỀ 4 Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo gó[r]
(1)Trường THCS Nghĩa Đồng Chuyên đề 1: MỘT SỐ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG TỨ GIÁC VÀ HD GIẢI A :C A :D A 1: : : Tính các góc tứ giác ? Bài : Cho tứ giác ABCD biết: AA : B HD : + Loại bài không phải vẽ hình A :C A :D A 1: : : cần hiểu là các góc A, B, C và D theo thứ tự + Từ AA : B AA B A C A D A Tỉ lệ thuận với các số 1, , và Từ đó viết thành + Dựa vào t/c dãy tỉ số và tổng các góc tứ giác để biến đổi sau : AA B A C A D A A +C A ) : ( + + + ) = 3600 : 10 = 360 A + D = ( AA + B + Tính số đo góc tứ giác ABCD Bài : Trong hình vẽ sau có AM = MB, AN = NC, KB=KM và IC = IN Hãy tính x ? A HD : + Nêu các yếu tố để khẳng định MN Là đường TB tam giác ABC, từ M đó tính dộ dài MN = 6cm + Nêu đủ các yếu tố để khẳng định N tứ K x Giác BMNC là hình thang và KI là đường trung bình hình thang I này Từ đó tính KI = 9cm B 12cm C Bài : Trong hình vẽ đây, ABCD là hình thang cân, cạnh bên AB = 2cm, đáy AD = 12cm ; AA = 450 Hãy tính độ dài x ? A I D x M N B C A ( đồng vị ) Vì D A = AA = 450 nên AAIB = AA = 450 Kẻ BI // CD với I CD ta có AAIB = D ABI có AAIB = AA = 450 nên vuông cân B Dùng định lý Pitago ta tính độ dài AI Biết độ dài AI và AD ta tính độ dài ID Nêu các yếu tố để khẳng định tứ giác BIDC là hình bình hành để có ID = BC Nêu các yếu tố để khẳng định MN là đường TB hình thang ABCD từ đó tính độ dài Đoạn MN hay độ dài x A B Bài : Tính x và y hình vẽ sau 55 x 2y HD : + + + + + 850 Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (2) Trường THCS Nghĩa Đồng C y D HD : + Dựa vào t/c cặp góc kề bù để tính x + Dựa vào định lý tổng các góc tứ giác để tính y ĐS : x = 1250 và y = 500 Bài : Cho ABC cân A, gọi M là điểm thuộc cạnh đáy BC Từ M vẽ ME // AB ( E AC ) và vẽ MD // AC ( D AB ) Chứng minh : a) Tứ giác ADME là hình bình hành b) MEC cân c) MD + ME = AC d) Xác định vị trí điểm M trên BC để tứ giác ADME là hình thoi HD : + Hình vẽ A E D B M C a) Tứ giác ADME có các cạnh đối song song nên là hình bình hành A ( đồng vị ) mà B A=C A A ( gt ) nên EMC A A Vậy EMC cân E b) ME // AB nên EMC = B = C c) Có AE = DM ( cạnh đối hình bình hành ) và ME = EC (EMC cân E ) nên DM + ME = AE + EC d) Để hình bình hành ADME là hình thoi thì cần có thêm MD = ME Nếu M là trung điểm BC thì AC AB MD = ME = Vậy M là trung điểm BC thì ADME là hình thoi 2 Bài : Cho tam giác ABC Gọi P và Q là trung điểm DE và DF a Tứ giác PQCB là hình gì? Chứng minh? b Trên tia đối tia QP lấy điểm K cho PQ = QK Hỏi tứ giác CKAP là hình gì ? Chứng minh? c Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác CKAP là hình chữ nhật ? Là hình thoi ? Là hình vuông? HD : + Hình vẽ : A Q P K B C a) Nêu các yếu tố để khẳng định PQ là đường TB tam giác ABC từ đó có PQ // BC Vậy PQCB là hình thang Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (3) Trường THCS Nghĩa Đồng b) Tứ giác CKAP có hai đường chéo AC và PK cắt trung điểm Q đường nên là hình bình hành c) + Hình bình hành CKAP là hình chữ nhật có thêm AC = PK Cần chứng tỏ PK = BC, từ đó có AC = BC hay tam giác ABC cân C thì CKAP là hình chữ nhật + Hình bình hành CKAP là hình thoi có thêm AC PK mà PK // BC nên AC BC Vậy tam giác ABC vuông C thì CKAP là hình thoi d) Tam giác ABC vuông cân C thì hình bình hành CKAP là hình vuông Hãy tự c/m ! Chuyên đề 2: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN /I/ Lý thuyết: A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ o ): Ta nói a chia hết cho b kí hiệu a b và tồn số k ( k Z )sao cho a =bk a b a = bk Ta còn nói a là bội b hay b là ước a B/Tính chất quan hệ chia hêt : 1/phản xạ: a N và a o thì a a 2/ Phản xứng : a N và a O thì a a 3/ Bắt cầu : Nếu a b và b a thì a =b C/ Một số định lý 1/ a m ka m 2/ a m và b m ( a b ) m 3/ (a b) m và a m b m 4/ a m và b n ab m n 5/ a m a n m n n N , n o 6/ a n m n a m 7/ a n m ; m là số nguyên tố a m ( n N ; n o) 8/ a m a n m ; n N , n o 9/ ab m và (a, m)=1 b m 10/ ab m và m P a m b m 11/ a m và a n và ( m,n ) =1 a m.n 12/ a m , a n , a r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 a m.n.r 13/ Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích 2.3 n D/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh : a/ n - n 12 n N b/ n (n + ).( 25n + 1) 24 n N GIẢI a/ n - n = ( n – 1).n.n(n+1) Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1 -Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho ( n- 1).n n(n+ 1) (1) n4 - n2 Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số là bội ( n – 1).n.(n + 1) (2 ) Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (4) Trường THCS Nghĩa Đồng Từ (1) và (2) suy n - n 12 n N b/ n.(n+2).[(n -1)+ 24n ] = n.(n+2).(n -1) +24n n.(n+2) Ta có 24n n.(n+2) 24 n N Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n -1) 24 n N A= (n-1).n.(n+1).(n+2) Ta có A n N -Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số là bội ,một số là bội -Vậy tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho -Mà (3,8)= nên A 24 -Do đó n.(n+2).(25n -1) 24 n N -Nhận xét : Gọi A n là biểu thức phụ thuộc vào n ( n N n Z ) _ Để chứng minh biểu thức A n chia hết cho số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức A n thành nhân tử đó có thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi nguyên tố cùng chứng minh A n chia hết cho tất các số đó Nên lưu ý định lý k số nguyên liên tiếp tồn bội sốcủa k -Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh : 1/ n - 13n 2/ n (n - 7) - 36 5040 n N* 3/n -4n - 4n + 16n 384 với n chẳn và n 4/ n +3n + 2n 5/ ( n +n -1 ) -1 6/ n +6n +8n 48 với n chẳn 7/ n -10n + 384 với n lẻ 8/ n + n - 2n 72 n Z 9/ n +6n +11n +6n 24 n N Ví dụ 2: Chứng minh a - a a Z Cách 1: A = a - a = a.(a -1).(a +1) - Nếu a= 5k ( k Z) thì a - a - Nếu a = 5k thì a - - Nếu a = 5k thì a +1 Trong trường hợp nào có thừa số chia hết cho Nhận xét : Khi chứng minh A(n) m ta có thể xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Cách 2: a -a =a(a -1).(a +1) =a.(a -1).(a -4+5) =a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a -1) Vậy A chia hết cho Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh : 1/ a -a 2/ Cho n và (n,6) =1 chứng minh n -1 24 3/ Cho n lẻ và ( n ,3) =1 chứnh minh : n -1 48 4/ Cho n lẻ và ( n ,5) =1 chứnh minh : n -1 80 5/ Cho a,b là số tự nhiên a b chớng minh a/ A= a.b ( a - b ) 30 b/ A= a b ( a - b ) 60 6/Cho n chẳn chứng tỏ số n - 4n và n + 4n chia hết cho 16 7/ Chứng tỏ : n - n 30 n N và : n - n 240 n lẻ Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (5) Trường THCS Nghĩa Đồng 8/ Chứng minh : a/ n - n 240 n N b/ n - n +4n 120 n N Chuyên đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung , dùng đẳng thức , nhóm các hạng tử 2/Tách các hạng tử 3/ Thêm bớt hạng tử 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến 6/ Phương pháp xét giá trị riêng !/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức sau t a/ x + x + 2x + x +1 Giải / x + x + 2x + x +1 = (/ x + x + ) + (x + x ) 2 = ( x +1) + x ( x +1) = ( x +1) ( x +x +1) b/ x + 2x y + xy - 9x = x( x + 2x y + y - ) = x( x+ y -3)( x+ y +3) c/ a + b +c - 3abc = (a+b ) - 3a b – 3ab + c - 3abc = [ (a+b ) + c ] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[( a+b) - c(a+b) + c - 3ab] d/ (a+b+c) - a - b -c = [ (a+b)+c] - a - b -c = (a+b) + c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c =a + b + 3ab(a+b)+ c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c = 3(a+b)(ab+ac+bc+c ) = 3(a+b)(b+c)(c+a) 2 e/ x (y-z)+y (z-x)+z (x-y) = x (y-z)+y z-xy +xz - yz =x (y-z)+yz(y-z)-x(y - z ) =(y-z)(x +yz-xy-xz) =(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z) II/Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên) Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng đẳng thức,cũng không nhóm hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử để nhóm các hạng tử Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (6) Trường THCS Nghĩa Đồng Ví dụ : 3x -8x+4 = 3x -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2) Hay tách 4x -8x+4 - x = (2x-2) - x = Chú ý: Trong cách ta tách hạng tử -8x thành hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ và thứ gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất nhân tử chung x-2 Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b x +b x cho b b =a.c Trong thực hành ta thực sau: 1/ Tìm tích a.c 2/phân tích a’c thừa số nguyên cách 3/ Chọn hai thừa số có tổng b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x -4x-3 Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự Ví dụ : Phân tích đa thức : x - x -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm đa thức đó đa thức có chứa nhân tử x – ta tách đa thức trên thành : x - x -4 = x -2 x + x -4 = x (x-2) +(x-2)(x+2) = Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên đa thức ta chú ý định lí sau : 1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số thì là nghiệm đa thức đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 Ví dụ : Phân tích đa thức x - 5x +8x -4 ta thấy -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – ta tách sau: x - x - x +8x -4 = x (x-1) – 4(x-1) 2` 2 2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm đa thức đó đa thức chứa nhân tử x +1 Ví dụ: Phân tích đa thức x - 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm đa thức đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích sau : x - 5x +3x +9 = x + x - 6x +3x +9 = x + x - 6x -6+3x +3 =x (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng p minh rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ có phải có dạng đó p là ước q hệ số tự và q là ước dương hệ số cao Ví dụ : Phân tích đa thức 3x - 7x +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm đa thức ,xét các số ± , ± ta có là nghiệm đa 3 thức đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử sau : 3x - 7x +17x -5 = 3x - x -6 x +2x + 15x-5 =x (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)= 3/ Phương pháp thêm bớt hạng tử: a/Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x +81 ta thêm bớt 36x ta có 4x +81 = 4x +36x +81 -36x = (2x +9) – (6x) = Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử b/ Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức x 5` +x -1 ta thêm bớt x ,x ,x sau: x 5` +x -1 = x 5` +x +x +x -x -x -x +x -1 = (x 5` -x +x )+(x -x +x ) –(x -x +1 ) = Chú ý : Các đa thức có dạng x 3m 1 + x 3n +1 chứa nhân tử x +x +1 Ví duj: x + x 5` +1; : x +x +1 ; x+ x 5` +1; x+ x +1 Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (7) Trường THCS Nghĩa Đồng III/ Phương pháp hệ số bất định Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức x -6x +12x -14x +3 Nếu đa thức nàyphan tích thành nhâ tử thì có dạng (x +ax +b )(x + cx +d ) phép nhân này cho ta kết x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd đồng đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện a+c = -6 ac+b+d = 12 ad+bc = -14 bd =3 Xét bd =3 với bd Z b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành a +c = -6 ac = a+ 3c = -14 2c = -14 – (-6) c = -4 a= -2 đa thức trên phân tích thành (x -2x +3 )(x -4x + ) I V/ Phương pháp đổi biến Ta đặt đa thức biến khác để làm gọn đa thức dễ giải Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x +10x)(x +10x + 24 ) đặt x +10x + 12 =y (y-12)(y+12) +128 = y -16 = (y-4)(y+4) = V/ Phương pháp giá trị riêng Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến đa thức gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) Giả sử ta thay x =y P= y (y-z)+ y (z-x) = Tương tự ta thay y z ; zbởi x thì P không đổi ( P = ) P chia hết cho x-y chia hết cho y-z và chia hết cho z – x P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x) Ta thấy k là số vì đẳng thức P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta 4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) k = -1 P = -(x –y)(y-z)(z-x) Chú ý : Khi chọn giá trị riêng x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi khác cho( x –y)(y-z)(zx) VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2.1/ a/ x -2x -4y -4y b/ a(a +c + bc )+b(c +a + ac ) +c(a +b + ab ) c/ 6x -11x +3 d/ 2x +3x -27 e/x +5x +8x +4 f/ x -7x +6 g/2x -x +5x +3 h/ x -7x -3 2.2/ a/ (x +x )- 2(x +x ) -15 b/ / x +2xy+y -x-y -12 c/ (x +x +1)(x +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a f/ (x + y + z )(x+y+z) +(xy+yz+xz) 2.3 / Dùng phương pháp hê sô bất định: Subject: a/ 4x +4x +5x +2x +1 b/x -7x +14x -7x +1 c/ (x+1) +(x +x +1) e/x x -x +63 2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c) +b(c+a-c) +c(b+c-a) + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a) Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (8) Trường THCS Nghĩa Đồng : BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ Các bài toán cực tri có dạng chung sau:Trong các hình có chung tính chất, tìm hình cho đại lượng nào đó (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo góc )có giá trị lớn ,giá trị nhỏ I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: 1/Quan hệ đường vuông góc và đường xiên: Quan hệ này dùng dạng: - Trong tam giác vuông (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AB AH xảy dấu khi B trùng H - Trong các đoạn thẳng nối từ điểm đến các điểm thuộc đoạn thẳng đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ 2/ Quan hệ đường xiên và hình chiếu: - Trong hai đương xiên kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng dến đường thẳng đó đường xiên nào có hình chiếu lớn thì lớn 3/Bất đẳng thức tam giác: Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (9) Trường THCS Nghĩa Đồng Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB AB; AC+CB =AB C thuốc đoạn thẳng AB Để xử dụng bất đẳng thức tam giác đôi phải thay đổi phía đoạn thẳng đường thẳng 4/ Các bất đẳng thức đại số : Các bất đẳng thức xử dụng là: - Bất đẳng thức luỹ thừa bậc chẳn: X2 X2 - Bất đẳng thức CÔSI (x+y)2 4xy hay x+y xy với x,y không âm , xãy dấu = x=y Chú ý từ bất đẳng thức CÔSI ta còn suy hai số không âm x,y: -Nếu x+y là số thì xy lớn khivà x=y - Nếu xy là số thì x+y nhỏ và x=y Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta thường đặt độ dài thay đổi x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị biểu thức x tìm điều kiện để biểu thức có cực trị Ta kí hiệu minA là giá trị nhỏ A ;maxA là giá trị lớn A Ví dụ: 1.1 Cho hình vuông ABCD Hãy nội tiếp hình vuông đó hình có diện tích nhỏ Giảỉ Gọi ÈGH là hìmh vuông nội tiếp hình A E K B vuông ABCD Tâm hình vuông này phải trùng với EG.FH ta suy SEFGH == = 20E2 F S nhỏ suy 0E nhỏ Gọi K là trung điểm AB ooooooo O ta có OE OK ( số) OE = OK E trùng K o Vậy diện tích ÈGH nhỏ các đỉnh E,F,G,H là trung H điểm các cạnh hình vuông ABCD 1.2 Tính diện tích lớn HBH có độ dài cạnh D G C kề a,b A B Giải : Ta có: SABCD == DC.AH DC.AD = ab b maxS = ab và AH = AD lúc này ABCD làHCN D H a C 1.3 Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? vì sao? Giải : Xét hình thoi ABCD và hình vuônh MNPQ A B có cùng chu vi cạnh chúng Gọi canh chúng là a ta có: SMNPQ = a2 (1) Ta chớng minh SABCD a2 D H C Kẻ AH CD ta có AH AD =a Vậy SABCD CD.AD =a.a = a2 (2) Từ (1) và (2) suy SABCD SMNPQ Vậy diện tích hình vuông lớn diện tích hình thoi (nếu hình thoi đó không là hình vuông) 2.1 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC tam giác ABC cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ A Giải : Ta có SABD + SCAD =SABC 1 2S B’ AD.BB’ + AD.CC’=S BB’ + CC’= 2 AD 2S Do đó BB’ +CC’ nhỏ nhỏ AD lớn B D C AD C’ Giả sử AC AB thì hai đường xiên AD và AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ đó AD AC (hằng số) ; AD =AC D trùng C Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB, AC 2.2Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB cho DHE = 90o Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I là trung điểm DE ta có DE = IA +IH AH ( trung tuyến nửa cạnh huyền) E I D Vậy minDE = AH thuộc đoạn thẳng AH đó: Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (10) Trường THCS Nghĩa Đồng AH AC và HE AB B H C 3.1 Cho tam giac ABC cân A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC > Hãy dựng đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên E và F cho DE + DF có giá trị nhỏ Giải : Về phía ngoài tam giác vẽ tia Ax cho xAC = DAE trên Ax lấy điểm D’ cho AD’ = AD ta có AED = AFD’ ( c-g-c) A Suy DE = FD’ Ta có DF +DE = DF + FD’ DD’( AD cố định nên AD’ cố định) E F D’ Vậy DD’ là số Do đó DF +DE nhỏ DF + D’F nhỏ F là giao điểm B D C x DD’ và AC 3.2 Trên mp bờ d lấy hai điểm A,B Tìm vị trí điểm D trên d để AD + DB nhỏ Giải : Lấy điểm A’ đối xứng A qua d ta có B AD = A’D (d trung trực AA’) A Vậy AD + DB = A’D + DB A’B Do đó (AD + DB) D nằm trên giao điểm A’B và d D A’ 4.1 Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm.Tam giác DEF vuông cân D nội tiêp tam giác ABC ( D AB, F AC, E BC) Xác định vị trí điểm D để diện tích yam giác DEF nhỏ Giải : Gọi AD = x kẻ EH AB thì AD = EH =BH = x DH =10 – 2x ta có: B 1 SDEF = DE.DF = DE2 = ( EH2 +DH2 ) H E 2 2 = [ x + ( 10 -2x)2] = ( 5x2 – 40x +100) = ( x2 -8x + 20) D 2 = (x – 4)2 + 10 10 A F C minSDEF = 10(cm2) x = đó AD = 4cm Tổng quát: minSDEF = SABC 5` 4.2 Các đường chéo tứ giác ABCD cắt Tính diện tích nhỏ A B tứ giác ,biết SAOB =4cm2, SCOD = 9cm S4 S1 OA Giải Ta có = = O S1.S2 = S3.S4 S2 S3 OB Theo bất đẳng thức COSI : D S3 + S4 S1.S = 4.9 =12 C S= S + S2 + S3 + S4 + + 12 = 25 D maxS =25 (cm2)khi và : S3 = S4 SADC = SBCD AB║ CD Tổng quát thay và a và b ta có maxS = ( a + b )2 II/ Chú ý giải bài toán cực trị: 1/ Khi giải bài toán cực trị , nhiều ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị đại lượng này thành điều kiện cực trị cuả đại lượng khác Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC ,M là điểm bất kì nằm trên cạnh BC.Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu M trên AB và AC Tìm vị trí M để EF có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I là trung điểm AM ta có: IA = IE = IM = IF Như EF là cạnh đáy tam giác cân IEF I Ta có góc EIF = góc EAF mà góc EAF không đổỉ nên góc EIF không đổi Tam giác cân EIF có số đo góc đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ E F Và cạnh bên nhỏ Do đó EF nhỏ IE nhỏ AM Nhó Khi đó M là chân đường cao kẻ tờ A đến BC B M C Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (11) Trường THCS Nghĩa Đồng 2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến tập hợp điểm Trong tập hợp các hình có chung tính chất ,khi ta cố định yếu tố không đổi hình ,các điểm còn lại có thể chuyển động trên đường định việc theo dõi vị trí nó giúp ta tìm cực trị bài toán Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và đường chéo không đổi ,hình nào có chu vi nhỏ Giải : Xét các hình bình hành có BD cố định Diện tích hình bình Hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi đó A B’ chuyển đông trên đường thẳng d song song với BD D A Cần xác định vị trí A trên d để BA + AD nhỏ Lấy điểm B’ đối xứng qua d đó B’ cố định B BA + AD = B’A +AD B’D ( số) BA + AD nhỏ B’A + AD nhỏ A là C Giao điểm d và đoạn B’D đó AB = AD D Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ là hình thoi 3/ Khi giải bài toán cực trị , có ta phải tìm giá trị lớn ( nhỏ ) trường hợp so sánh các giá trị đó với để tìm giá trị lớn ( nhỏ nhất) bài toán Ê Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thăng qua A cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn Giải : Gọi BB’ , CC’ là khoảng cách từ B và C đến d Xét hai trường hợp : A a/ Đường thẳng d cắt BC D ta có: BB’ + CC’ BD + CD = BC B’ Chú ý : Nếu B C lớn 90o tì dấu = không đạt điều đó không ảnh hưởng đến bài toán B C C’ b/Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng B qua A tương tự trừng hợp a ta có BB’ + CC’ CE E Bây ta so sánh BC và CE d E 1/ Trường hợp BAC 90o H Nếu kê CH BE thì BE thuộc tia đối AB nên HB HE A d Do đó BC CE ta có: A Max( BB’ + CC’) = BC d BC B C o 2/Trường hợp BAC 90 Nếu kẻ CH BE thì H tia đối AE nên HE HB Do đó CE BC ta có : d1 E B C Max( BB’ + CC’) = CE d CE d2 M 3/ Trường hợp BAC = 90o A Ta có BC = CE đó Max (BB’ + CC’) = BC = CE BC d CE B d M III/ Bài tập áp dụng: 1/ Tính diện tích lớn hất tứ giác ABCD biết AB = AD = a ,BC = CD = b 2/Trong các hình chữ nhật có đường chéo d không đổi hình nào có diện tích lớn nhắt Tính diện tích lớn đó 3/ Cho tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a Một đường thẳng d bất kì qua A không cắt cạnh BC Goi I và K theo thứ tự là các hình chiếu B và C trên d, gọi H là trung điểm BC.Tính diện tích lớn tam giác HIK 4/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC = b ( b a 3a) Trên các cạnh AB,BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí các điểm E,F,G.H để tứ giác EFGH có diện tích lớn 5/Chứng minh các tam giác có cung cạnh đáy và cùng chu vi tam giác cân có diện tích lớn Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (12) Trường THCS Nghĩa Đồng 6/Trong hình chữ nhật có cùng chu vi ,hình nào có diện tích lớn 7/Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích hình nào có chu vi nhỏ 8/Trong các hình thoi có cùng chu vi ,tìm hình có diện tích lớn 9/ Trong các hình thoi có cùng diện tích , hìmh nào có chu vi nhỏ 10/ Tứ giác ABCD có C + D = 90o ,AD = BC, AB = b, CD = a ( a b) Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm AB,AC,DC,DB.Tính diện tích nhỏ tứ giác EFGH 11/ Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ 12/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn các hình thang có bốn đỉnh thuộ bốn cạnh hình vuông và hai cạnh đáy song song với hai đường chéo hình vuông 13/ Cho hình vuông ABCD có ạnh 6cm Điểm E thuộc cạnh AB cho AE = 2cm, điểm F thuộc cạnh BC cho BF = 3cm.Dựng các điểm G,Htheo thứ tự thuộc cạnh CD, AD cho EFGH là hình thang a/Có đáy EH , FG và có diện tích nhỏ b/Có đáy EF, GH và có diện tích lớn 14/Cho tam giác ABC Xác định vị trí các điểm D,E trên các cạnh AB ,AC cho BD + CE = BC và DE có độ dài nhỏ 15/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D,E theo thứ tự chuyển động trên cạnh AB,AC.Gọi H,K theo thứ tự là hình chiếu D và E trên BC Tính diện tích lớn tứ giác DEKH 16/Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E và F theo thứ tự là hình chiêu M trên AB ,AC.Chứng minh M chuyển động trên BC thì a/ Chu vi tứ giác MEAF không đổi b/Đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn qua điểm K cố định c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ M là trung điểm BC CHUYÊN ĐỀ5 CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (13) Trường THCS Nghĩa Đồng 1/ Cho biểu thức ( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau đây thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau đây thoả mãn : Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý :Nếu có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì cực trị biểu thức chẳng hạn ,xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A chưa thể kết luận minA = vì không tồn giá trị nào x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + A = x -2 = x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a Tìm GTLN P a b2 b b x ) + c = a( x + ) +c4a a 2a b b Đặt P = c =k Do ( x + ) nên : 4a 2a b - Nếu a thì a( x + ) , đó P k 2a b minP = k và x = 2a b -Nếu a thì a( x + ) ` đó P ` k 2a b maxP = k và x = 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta có thể đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = x2 – 7x + = x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức là phân thức : a/ Phân thức có tử là số ,mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = 6x 9x2 2 2 Giải : A = = = 2 (3 x 1) 6x 9x 9x 6x 1 Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) +4 đó theo tính chất a b thì (3 x 1) 4 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (14) Trường THCS Nghĩa Đồng 2 1 2 với a, b cùng dấu) Do đó A (3 x 1) a b 1 minA = 3x – = x = b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương nhị thức 3x x Ví dụ : Tìm GTNN A = x2 2x Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm (2 x x 2) ( x x 4) ( x 2) A = = + x2 2x ( x 1) minA = và chi x = Cách 2: Đặt x – = y thì x = y + ta có : 1 3( y 1) 8( y 1) A = =3+ =( -1)2 + 2 y y y y minA = y = x – = x = c/ Các phân thức dạng khác: 4x Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN A = x 1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2 4x x2 ( x 2) A = = - -1 x2 x2 minA = -1 và x = 4x2 4x2 4x (2 x 1) Tìm GTLN A = = x2 x2 III/ TÌM GTNN., GTLN CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN x3 + y3 + xy biết x + y = Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = x2 + 2xy + y2 = (1) Mà (x – y) x2 - 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) x2 + y2 1 minA = và x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A 1 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 2 1 minA = và x = y = 2 Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa biến 1 Đặt x = + a thì y = - a Biểu thị x2 + y2 ta : 2 1 1 x2 + y = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 2 1 minA = a = x=y= 2 Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (15) Trường THCS Nghĩa Đồng IV Các chú ý tìm bài toán cực trị : 1- Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +2 minA = y = x = 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn A nhỏ lớn B nhỏ với B > B x4 Ví dụ : Tìm GTLN A ( x 1) Chú ý A>0 nên A lớn nhỏ và ngược lại A ( x 1) x x 2x2 1 = Vậy 1 4 A A x 1 x 1 x i = x = Do đó maxA =1 x = A 3/ Khi tìm GTLN , GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất đẳng thức đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > thì a.c > b.d b) a > b và c >0 thì a.c > b.c c) a > b và c<0 thì a.c < b.c d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + +b2) ( x2 + y2) (ax + by)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = và b = ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 { 3x = 2y 2x +3y 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = thì y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy max A 26 x =4 , y = 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau -Nếu số có tổng không đổi thì tích chúng lớn số đó - Nếu số dương có tích không đổi thì tổng chúng nhỏ số đó bang Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn x – y nhỏ ; xy nhó x – y lớn giả sử x > y ( không thể xãy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 Thay y = Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (16) Trường THCS Nghĩa Đồng max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do đó max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = Chuyên đề : RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC I/ Rút gọn các biếu thức: a- A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 b- B = a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) + (a – b)(b – c)(c –a) c- C = a3(b – c) + b3( c –a) + c3( a – b) + (a +b +c) (a – b)(b – c)(c –a) Giải: a/ A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 = (1979 – 1)(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1979 + 1) +1 Nhân vào ta kết A = 197910 b- Ta phân tích a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) thành nhân tử Để phân tích ta thây có các tích ( a – b) ,(b – c) ,( c –a) ta khai triển tích giữ lại tích a2b – a2c + b2c – b2a + c2( a – b) = (a2b - b2a) – (a2c - b2c ) + c2( a – b) = ab( a – b) - c( a2 – b2) + c2( a – b) = (a – b) ( ab – c(a + b) + c2) = (a – b) ( ab – ca - cb + c2) = (a – b) ( b – c )( a – c) Vậy B = c- Tương tự câu b Bài b và c ta có thể biến đổi thành bài rút gọn sau: a2 b2 c2 M= Qui đồng mẫu MC ( a –b)( b-c)( c-a) (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) d- D = 4a 4b 4c (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) ab ab a b2 )( a) : e- E = (a ab ab a b2 bc ca ab f- F = (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) bc ca ab g- G = 2 2 2 2 2 a (a c )(a c ) b(b c )(b a ) c(c a )(c b ) ax a y az h- H = x( x y )( x z ) y ( y z )( y x) z ( z x)( z y ) II- Rút gọn phân thức: a b3 c 3abc a- A = a b c ab bc ca (a b)3 (b c)3 (c a )3 b- B = (a b)(b c)(c a ) Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (17) Trường THCS Nghĩa Đồng 2y 5y 2 y y 12 y Hướng dẫn giải Câu D Ta tách thành 4a 4b 4c 1 + (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) 1 Mà =0 nên ta có D = (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) c- C = Câu E Ta qui đồng thực phép nhân ta có E = a a b2 Câu F Qui đồng ta có F=0 MC là (a-b)(b-c)(c-a) Câu G Qui đồng phân tích tử thành nhân tử (a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) Vậy G = { MC là abc(a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) } abc Câu H Ta tách sau : a a a 1 + x( x y )( x z ) y ( y z )( y x) z ( z x)( z y ) ( x y )( x z ) ( y z )( y x) ( z x)( z y ) 1 0 Ta có ( x y )( x z ) ( y z )( y x) ( z x)( z y ) 1 a a( )= x( x y )( x z ) y ( y z )( y x) z ( z x)( z y ) xyz Qui đồng bài tập G III- Bài tập áp dụng: Rút gon.: a 3ab 2a 5ab 3b 1/ A = a 9b 6ab a 9b 2/ B = (10 1)(102 1)(104 1) .(102 n 1) ( nhân vvế với (10-1) a b b c c a (a b)(b c)(c a ) 3/ C = a b b c c a (a b)(b c)(c a ) a ( x b)( x c) b( x c)( x a ) c( x a )( x b) 4/ D = (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) 3 5/ E = (a b c) (a b c) (b c a )3 (c a b)3 Ta đặt ẩn phụ để dễ giải : x = a+b –c ; y = b+c-a ; z = c+a-b ;suy x+y+z = a+b+c 1 2a 4a 8a 6/ G = a b a b a b a b a b8 1 1 7/ F = a a a 3a a 5a a a 12 a 9a 20 1 2x x3 8/ H = x x x x x x x8 x a a a a a 9/ K = 2 2 x 4a x a.x x 3a.x 2a x 5a.x 6a x a.x 12a 2 ( x 2) x x 6x (1 ) 10/ L = x x2 x Chú ý : Khi rút gọn biểu thức ta cần làm sau: - Quy đồng mẫu thức để thực các phép tính Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (18) Trường THCS Nghĩa Đồng Khi nhân đa thức chú ý đến đẳng thức đáng nhớ Viết phân thức dạng tổng , hiệu hai phân thức Ta có thể cộng đa thức để xuất đẳng thức Ta có thể đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản - CHUÊN ĐỀ 6: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP VỀ QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG Các công thức diện tích cho ta quan hệ độ dài các đoạn thẳng , chúng có ích để giải nhiều bài toán Ví dụ 1: Cho tam giác ABC a/ Chứng minh điểm M thuộc miền tam giác ABC thì tổng khoảng cách từ M đến cạnh chiều cao tam giác b/ Quan hệ thay đổi nào M thuộc miền ngoài tam giác GIẢI Gọi a và h là cạnh và chiều cao tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ là khoảng cách từ M đến BC,AC,AB A A C' B' B M A' C' B C H A' a/Nếu M thuộc miền tam giác thì : SMBC + SMAC + SMAB = SABC 1 1 BC.MA ' AC , MB ' AB.MC ' BC AH 2 2 a a ( MA ' MB ' MC ') h MA ' MB ' MC ' h 2 b/ Nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền gócA(2) SMBC + SMAC - SMAB = SABC MA ' MB ' MC ' h C o B' M Tương tự cho các miền còn lại Ví dụ 2: Các điểm E,F nằm trên các cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I là giao điểm AF, CE Chứng minh ID là tia phân giác góc AIC Giải: Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (19) Trường THCS Nghĩa Đồng E A H B I K D F C 1 S ABCD và S DEC S ABCD S AFD S DEC 2 Kẻ DH vuông góc ÍA và DK vuông góc với IC ta suy DH = DK , Suy IH = IK Vây, DI là tia phân giác góc AIC Ví dụ : Cho tam giác ABC có AA 90o ; D là diểm nằm A và C Chứng minh tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn đường cao kẻ từ A và nhỏ đường cao kẻ từ C tam giác ABC GIẢI: Ta có SAFD K F A D E B H C Gọi AH và CK là các đường cao tam giác ABC Kẻ AE và CF vuông góc với BD Đặt SABC = S SCBD 2S 2S AE CF Ta có AE = ABD , CF = BD BD BD 2S 2S ; CK Ta lại có AH BC BA Do AA 90o nên BA< BD<BC , đó AH < AE + CF < CK Bài tập áp dụng: 1/ Độ dài cạnh tam giác 6cm và 4cm Nữa tổng các chiều cao ứng với cạnh chiều cao ứng với cạnh thứ ba Tính độ dài cạnh thứ ba 2/ Chứng minh tam giác là tam giác vuông các chiều cao ha, hb, hc thoả mãn điều kiện h h ( a )2 ( a )2 hb hc HD: Sứ dụng diện tích để dưa định lý Pytago 3/ Tính các cạnh tam giác có ba đường cao 12cm , 15cm , 20cm 4/Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO , BO , CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’ , C’ Chứng minh : OA ' OB ' OC ' 1 a/ AA ' BB ' CC ' OA OB OC 2 b/ AA ' BB ' CC ' 5/ C là điểm thuộc tia phân giác góc xOy có số đo 600 M là điểm bất kì nằm trên đường vuông góc với OC C và thuộc miền ngoài góc xOy Gọi MA , MB theo thứ tự là khoảng cách từ M đến Õ, Oy Tinh độ dài OC theo MA, MB Nguyễn Hồng Tâm Lop8.net (20) Trường THCS Nghĩa Đồng Chuyên đề7: BẤT ĐẲNG THỨC I-Các tính chất bất đẳng thức: Ngoài các tính chất học SGK ta còn có tính chất sau: a/ a > b, c >d a+c > b+d b/ a > b , c < d a – c > b- d ( không trừ vế bất đẳng thức cùng chiều ) c/ a > b , c > d ac > bd d/ a > b >0 an > bn e/ a > b an > bn với n lẻ f/ a b an > bn với n chẳn g/ Nếu m> n >0 thì : a > am > an a = am = an < a < am < a n 1 h/ a > b , ab > a b II- Các bất đẳng thức ab ) ab ( bất đẳng thức Côsi) 1 c/ Với a,b > d/ (a b) ( x y ) (ax + by) e/ a a b ab a III- Các phương pháp chứng minh 1- Dùng định nghĩa : Ví dụ : a/chứng minh : ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4) -1 Giải : Xét hiệu ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4) +1 Nguyễn Hồng Tâm a/ a2 +b2 2ab b/ ( a +b )2 4ab hay ( Lop8.net (21)