Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 (có lời giải)

NGUYỄN VĂN XÁ MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC NINH – 2013 Việc học vấn cần ghi ba lẽ Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên Con chăm, cha thực, thầy nghiêm Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành. (Trích “Minh ñạo gia huấn”) Nguyễn Văn Xá ðề 01 ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000) Bài 1 (5 ñiểm) 1) Chứng minh rằng phương trình 3 2 6 1 1 0 2 x x x x− − − + + = không thể có nghiệm âm. 2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có 2 2 1 1 ( ) (1 3sin )( ) 3sin 0x a x a x x + + + + + > . Bài 2 (4 ñiểm) 1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a 2 x + b 2 y + c 2 z) = abc. Chứng minh tồn tại các số , α β thỏa mãn 0 ,0 2 2 π π α β < < < < , sao cho a = 2 sinyz α , b = 2 sinzx β , và c = 2 os( + )xyc α β . 2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết 2 2 2 x + y + z = a + b + c 4xyz (a x+b y+c z) = abc   −  . Bài 3 (5 ñiểm) 1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 2 . 2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của P = sin sin sin log sin log sin log sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A A B B C C A + + + + + . Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gọi , , α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , osa c b c c c α β γ có thể dựng ñược một tam giác hay không ? Nguyễn Văn Xá ðề 02 THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình 1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos 2 x = 2. 2. (2 ñiểm) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 20 4 5 15 3 4 12 3 x x x x x x x x x − + + − + = + + . Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (u n ) thỏa mãn u 1 = - 2, 1 , 1 n n n u u n u + = ∈ − N*. 1. Chứng minh u n < 0, ∀n∈N*. 2. Với mỗi n∈N* ñặt v n = 1 n n u u + . Chứng minh (v n ) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của v n và u n . Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 4 1 1 5 4 27 6 1 log log 6 27 4 1 x x y x y x  + =    − ≥   − ≤    . Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích bằng 1cm 3 . Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc. Nguyễn Văn Xá ðề 03 ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) Bài 1 (2 ñiểm) 1/ Tìm giới hạn a. 3 sin3 lim 1 2cos x x x π → − . b. 2 0 ln(cosx) lim x x→ . 2/ Cho 3 3 2 os( n. n 3 1) n a c n n π = + + + , n∈ N*. Tìm lim n n a → ∞ . Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: a) S n = sinx + sin2x + … + sinnx. b) C n = cosx + 2cos2x + … + ncosnx. Bài 3 (2 ñiểm) 1) Giải phương trình )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ . 2) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 9 27 27 9 27 27 9 27 27 x z z y x x z y y  − + =  − + =   − + =  . Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {a n }. Chứng minh rằng nếu 2 1 2 , n n n a a a n + + + ≥ ∀ ∈ N*, thì 1 3 2 1 2 4 2 , 1 n n a a a a a a n n n + + + + + + + ≥ ∀ ∈ + N*. Bài 5 (3 ñiểm) 1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn 4 3 . 2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt quá 1 8 . Hãy chỉ ra một tứ diện như thế. Nguyễn Văn Xá ðề 04 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình      =++ +=+=+ 1 ) 1 (5) 1 (4) 1 (3 zxyzxy z z y y x x . Bài 2 (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = C B A CBA coscoscos sinsinsin ++ ++ . Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức (1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N; (2) f(2 n ) = 3 + 2 n + 1 với mọi n ∈ N* . Tính f(1789). Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại ñược một hình vuông mới. Nguyễn Văn Xá ðề 05 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng 3 3 5 2 7 5 2 7 2+ − − = . Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {a n } gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn 1 1 1 1 2 n n n n n a a a a a − + − + = + , n∈ N*, n > 1. Chứng minh rằng 1 2 n a a a = = = . Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) sin sin sin 2sin sin sin 4sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C ≤ + + ≤ . Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y)) 2 ≤ |x – y| 3 , ∀x, y ∈ ℝ, và f không phải là hằng số? Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm. Nguyễn Văn Xá ðề 06 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003) Bài 1 (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau: 1) 2 tanx lim (sinx) x π → ; 2) 1 1 lim (sin os ) x x x c x → ∞ + . Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x 3 – 3x – 1. 1. Gọi 1 2 3 , , x x x là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá trị của biểu thức 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 4A x x x x x x x x x= + + + . 2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. Bài 3 (1.5 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 ( )( 2) 2 y x y x xy x y  − = − +  + =  . 2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin 2 A + sin 2 B > ksin 2 C. Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC. 1. Gọi , , α β γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với ñáy (ABC). Tính giá trị của biểu thức os2 +cos2 +cos2T c α β γ = . 2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ số m r . Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| < 2 π . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = f(sin 3 2x).f(cos 3 2x). Nguyễn Văn Xá ðề 07 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) Ngày thi 12 – 04 - 2005 Câu 1 (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 1) A = a 1 sinx lim ( ) sina x x a → − ; 2) B = 0 os( osx) 2 lim sin(tanx) x c c π → . Câu 2 (2 ñiểm) 1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = x x ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số ϕ (x) = x x (1 + lnx). 2. Tính tích phân J = 0 n -1 sin x.cos(n+1)x.dx π ∫ , trong ñó n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2. Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x c x a c y a y b a z b z c  − + − =   − + − =   − + − =   . Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p. 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p 2 + r 2 + 4Rr. 2. Tính tổng 1 1 1 a b c + + qua p, R, r. 3. Chứng minh rằng p 2 + r 2 ≥ 14Rr. Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E) 2 2 ( 19) ( 98) 1998 19 98 x y − − + = . Gọi R 1 , R 2 , R 3 , R 4 lần lượt là diện tích các phần của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị T = R 1 - R 2 + R 3 - R 4 . Nguyễn Văn Xá ðề 08 THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005) Bài 1 (2,5 ñiểm) Tính giá trị của: cos5 0 - cos31 0 - cos41 0 + cos67 0 + cos77 0 . Bài 2 (2,0 ñiểm) Cho dãy số {a n } thỏa a 1 = 1, a n+1 = n n a a 1 2 + với n =1, 2, 3, … Chứng minh biểu thức 2 2 2 − n a là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1. Bài 3 (2,5 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, ñường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm BD và S ABD = S BCD = 2 1 S ABC . Giả sử tồn tại ñiểm O trong tứ diện sao cho tổng khoảng cách từ O ñến B và D bằng tổng khoảng cách từ O ñến bốn mặt tứ diện. Chứng minh: 1) ðường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm AC. 2) AC ⊥ BD. Bài 4 (2,0 ñiểm) Gọi r, R là bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, và r 1 là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác có các ñỉnh là tiếp ñiểm của ñường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng r ≤ 1 Rr . Bài 5 (1, 0 ñiểm) Giải phương trình x 3 - 3x = 2+x . [...]... vuụng gúc v i PQ luụn ủi qua m t ủi m c ủ nh khi M di ủ ng trờn d Nguy n Vn Xỏ 21 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh UBND TỉNH BắC NINH Sở giáo dục Và Đào tạo Năm học: 2009-2010 môn thi: toán - lớp 12 - thpt Đề chính thức Câu 1 (3,0 điểm) 1/ Giải phơng trình: Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi 14 tháng 4 năm 2010 sin x sin 2x + sin 3x = 3 cos x cos 2x + cos 3x 2/ Cho... cú th ủ n m t lỳc no ủú trờn bn ch cũn cỏc bi cựng mu hay khụng ? Nguy n Vn Xỏ 17 UBND tỉnh Bắc Ninh đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục và đào tạo Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 7 tháng 4 năm 2009 ============== ========== Đề chính thức Bài 1 (6 điểm) 1/ So sánh hai số: 20092010 và 20102009 2/Tính giới hạn sau: 1 1 lim ... con ngoan ngoón bộ nh t c a A ch a 2002 v 2005 Nguy n Vn Xỏ 15 UBND tỉnh Bắc Ninh Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục và đào tạo Năm học 2007 2008 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2008 ============== ========== Đề chính thức Câu1(5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của a để tập xác định của hàm số : f(x) = 2a + x 1 chứa tập giá trịcủa hàm... 2 Cp nht mt s thi HSG nm hc 2013-2014 Mụn Toỏn Tuyn tp thi hc sinh gii Toỏn nm hc 2013 - 2014 Cp nht ngy 03 thỏng 10 nm 2013 Ngun: http://www.vnmath.com/2013/10/tuyen-tap-e -thi- hoc -sinh- gioi-toan-nam.html Nguyn Vn Xỏ 1 Mụn Toỏn Cp nht mt s thi HSG nm hc 2013-2014 1 thi hc sinh gii thnh ph H Ni nm hc 2013 - 2014 Nguyn Vn Xỏ 2 Cp nht mt s thi HSG nm hc 2013-2014 Mụn Toỏn 2 thi hc sinh gii tnh Bc... 8a + 1 + 1 8b + 1 + 1 8c + 1 1 H t -( thi g m cú 01 trang) 27 Nguy n Vn Xỏ S GIAO DUC VA AO TAO THANH PHễ Hễ CHI MINH KY THI CHON ễI TUYấN HOC SINH GIOI LP 12 THPT NM HOC 2 012- 2013 MễN THI: TOAN Ngay thi: 18 - 10 - 2 012 Thi gian lam bai: 180 phut ấ CHINH THC Bi 1 (4 im) xy x y 1 Gii h phng trỡnh 3 2 3 4 x 12 x 9 x y 6 y 7 Bi 2 (4 im) 1 u1 2 Cho dóy s (un )... của phơng trình : x2y2 x2 8y2 = 2xy Câu 6(2 điểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) khả vi trên khoảng ( -1; 1) sao cho x+y f(x) + f(y) = f 1 + xy =========Hết========== Đề này có 01 trang Chú ý : học sinhBổ túcTHPT không phải làm câu 5 , 6 Họ và tên thí sinh: Số báo danh:  16 Nguy n Vn Xỏ CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG 12 TON QU C (2007 2008) Bi 1 Tỡm m ủ 2 x + 3x + 4 x 3 + mx,... CAD = 120 0 G i E l chõn ủ ng phõn giỏc trong gúc A c a tam giỏc ABD Ch ng minh r ng tam giỏc ACE vuụng Cõu 5:(2 ủi m) Cho hai s th c x, y th a món: x 2 + y 2 Ch ng minh r ng: cos x + cos y 1 + cos ( xy ) H T ( thi g m cú 01 trang) Nguy n Vn Xỏ 23 Nguy n Vn Xỏ 24 Nguy n Vn Xỏ 25 26 Nguy n Vn Xỏ S UBND T NH B C NINH GIO D C V O T O THI CH N H C SINH GI I C P T NH NM H C 2 012 2013 MễN THI: ... = xyz + 7 Bài 5(2 điểm) 1/ Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đờng kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó 2/ Cho y=a 0 x+a1x 3 +a 2 x 5 + +a n x 2n+1 + với x (1;1) thỏa mãn: (1- x 2 ) y - xy = 1 với x (1;1) Tìm các hệ số: a 0 ,a1 ,a 2 , ,a n -Hết (Đề gồm 01 trang) 18 Nguy n Vn Xỏ THI CH N I TUY N H C SINH GI I T NH 2008 2009 Bi 1: (8 ủi m) a Gi i phng trỡnh x+4... khối tứ diện BDBC Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng DC và AC 2/ Khi a thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của góc tạo bởi đờng thẳng BD và mặt phẳng (BDC) Câu 5 (3,5 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi x R ta đều có: 3 2 2/ Tìm ( lim cos 2 x + n cos + sin 2 n sin ) n sin x +2 cos x 2 2+ 2 2 với (0; ) 2 -Hết - (Đề thi gồm 01 trang) Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị... ký của giám thị 1: Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2: 22 Nguy n Vn Xỏ UBND T NH B C NINH S GIO D C V O T O CHNH TH C THI CH N H C SINH GI I C P T NH NM H C 2010 2011 MễN THI: TON L P 12 THPT Th i gian lm bi: 180 phỳt (Khụng k th i gian giao ủ ) Ngy thi 22 thỏng 3 nm 2011 ================ Cõu 1:(5 ủi m) 1/ Cho hm s y = x 3 3x + 2 cú ủ th l (T) Gi s A, B, C l ba ủi m th ng hng trờn . dục và đào tạo ========== Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2007 2008 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2008 ==============. chỉ còn các bi cùng màu hay không ? Nguyn Vn Xỏ 17 UBND tỉnh Bắc Ninh Sở giáo dục và đào tạo ========== đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán THPT. xy = với ( 1;1) x . Tìm các hệ số: 0 1 2 n a ,a ,a , ,a . Hết (Đề gồm 01 trang) Đề chính thức Nguyễn Văn Xá ðề 18 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 2008 – 2009 Bài