Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 76 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC Dạng Tính số đo góc tứ giác Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng CHỦ ĐỀ 2: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN 11 Dạng Bài tập hình thang 11 Dạng Bài tập hình thang cân 13 CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 20 Dạng Bài tập đường trung bình tam giác 20 Dạng Bài tập đường trung bình hình thang .26 CHỦ ĐỀ 3: HÌNH BÌNH HÀNH .29 Dạng Bài tập vận dụng tính chất hình bình hành 29 Dạng Nhận biết hình bình hành 33 Dạng Dựng hình bình hành 34 CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT 35 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 35 Dạng Tính chất đường trung tuyến tam giác vng .39 Dạng Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 41 CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THOI VÀ HÌNH VNG 43 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi 43 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng 45 CHỦ ĐỀ 7: ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM 50 Dạng Bài tập vận dụng đối xứng trục 50 Dạng Bài tập vận dụng đối xứng tâm 53 Chủ đề 8.HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC .55 A Kiến thức cần nhớ 55 B Bài tập vận dụng 56 CHỦ ĐỀ 8: TỐN QUỸ TÍCH 65 A Kiến thức cần nhớ 65 B Bài tập áp dụng 65 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC Dạng Tính số đo góc tứ giác Phương pháp: Vân dụng định lý tổng góc tứ giác, tính chất góc ngồi tam giác, hai góc bù nhau, phụ Bài tập vận dụng: B 40 Các tia phân giác góc C góc D cắt O Bài 1.1 Cho tứ giác ABCD, A 110 Chứng minh AB BC Cho biết COD Tìm cách giải B 90 Muốn chứng minh AB BC ta chứng minh B B nên cần tính tổng A B A Đã biết hiệu A Lời giải: 180 C D 180 C D Xét COD có COD 2 (vì C C ; D D ) D 360 A B , Xét tứ giác ABCD có: C 180 COD B 360 A O 1 2 D C 180180 A B 2 110 nên A B 220 A B Theo đề COD Vậy COD B 40 nên B 220 40 : 90 Do AB BC Mặt khác, A B 220 Các tia phân giác đỉnh C D cắt Bài 1.2 Cho tứ giác ABCD có A K Tính số đo góc CKD Lời giải: B 3600 C D Xét tứ giác ABCD có: A B DCy 1800 D 1800 C 3600 C D CDx DCy 220 Suy ra: CDx A B CDy CDx C 110 110 Do D 2 180 D C 180 110 70 Xét CKD có: CKD 2 A D C 2 x y M C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song Bài 1.3 Tứ giác ABCD có A song với trùng Lời giải: A N Xét tứ giác ABCD có: B D 360 A C 360 2C B B , D D nên B D 180 C B D C 180 Vì B 1 1 2 (1) M C 180 (2) Xét BCM có B 1 Biên soạn: Trần Đình Hồng D 1 M 0814000158 C Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn M Do DN // BM Từ (1) (2) suy D 1 Bài 1.4 Tứ giác ABCD có AB = BC hai cạnh AD, DC không Đường chéo DB đường phân giác góc D Chứng minh góc đối tứ giác bù Tìm cách giải Để chứng minh hai góc A C bù ta tạo góc thứ ba làm trung gian, góc góc A chẳng hạn Khi cịn phải chứng minh góc bù với góc C Lời giải: A B D C E - Xét trường hợp AD < DC Trên cạnh DC lấy điểm E cho DE = DA E Ta có: ADB EDB (c.g.c) AB EB A A Mặt khác, AB BC nên BE BC E Vậy BEC cân C E E 180 A C 180 Ta có: E D 360180 180 Do đó: B - Xét trường hợp AD > DC D 180 180 ; B CMTT trên, ta được: AC B D C 1100 , B 1000 Các tia phân giác góc C D cắt E Bài 1.5 Tứ giác ABCD có A CFD Các đường phân giác góc ngồi đỉnh C D cắt F Tính CED, Lời giải: D 3600 A B 3600 1100 1000 1500 Tứ giác ABCD có C 1 D C D 150 750 nên C 2 1800 C 1 D 1800 750 1050 CED có CED B A E D 2 C Vì DE DF tia phân giác hai góc kề bù nên DE DF Tương tự, CE CF Xét tứ giác CEDF: F 0 0 0 Có: F 360 E ECF EDF 360 105 90 90 75 Bài 1.6 Cho tứ giác ABCD Chứng minh tổng hai góc ngồi hai đỉnh A C tổng hai góc hai đỉnh B D Lời giải: A C cịn góc Gọi góc đỉnh A C A B đỉnh A C A C 1 A 1800 (hai góc kề bù) Ta có: A 1 C 1800 (hai góc kề bù) C D 0 C Suy ra: A 180 A1 C2 180 C1 2 C 360 A 1 C 1 (1) A 1 B C 1 D 360 (tổng góc tứ giác) Ta lại có: A D 3600 A 1 C 1 D A 2 C 2 (2) Từ (1) (2) B B Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài 1.7 Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh cịn lại Lời giải: B Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề A , D số đo hai góc trong; D , D số đo hai góc Gọi C 1 2 hai đỉnh kề C D Ta có: D 180 C 180 D 360 C D (1) C 1 C 2 1 1 D 360 C D (2) Xét tứ giác ABCD có: A B 1 2 D A B Từ (1) (2) suy ra: C 2 Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (xem VD4) 130 ; D 110 Tính số đo góc A, góc B Bài 1.8 Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C (Olympic Tốn Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) Lời giải A E chúng cắt D Vẽ đường phân giác góc C E 180 110 130 60 Xét ECD có CED 60 ADE CDE (c.g.c) AED CED DEC 60 BCE DCE (c.g.c) BEC Suy AEB 180 ba điểm A, E, B thẳng hàng B 2 D C Vậy Do ABC 360 65 110 130 55 Bài 1.9 Cho tứ giác ABCD , E giao điểm đường thẳng AB CD, F giao điểm đường thẳng BC AD Các tia phân giác góc E F cắt I Chứng minh : 1300 , BCD 500 IE vng góc với IF a) Nếu BAD b) Góc EIF nửa tổng hai cặp góc đối tứ giác ABCD F Lời giải a) Xem cách giải tống quát câu b b) Giả sử E F có vị trí hình bên, tia phân giác góc E F cắt I Trước hết ta chứng minh C 2EIF BAD Thây vậy, gọi H K giao điểm FI với AB CD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: H , C K 1 BAD C H 1 K (EIF ) (EIF ) 2EIF nên BAD (BAD C) :2 Do EIF α α B H A I E β β D K C Bài tập tự giải 1000 , D 800 CB CD Bài Cho tứ giác ABCD có B C 400 , tính góc chưa biết tứ giác a) Nếu A DAC b) Chứng minh BAC 1300 , B 800 , C 700 , AB cm CD cm Bài Nêu cách vẽ tứ giác ABCD biết A Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán B 500 Các tia phân giác góc C D cắt I Bài Tứ giác ABCD có A 1150 Tính góc A B CID 1200 , D 600 A Tính góc cịn lại Bài Cho tứ giác ABCD có B C Bài Tính góc tứ giác PQRS, biết: số đo góc ngồi đỉnh R số đo góc S 600 P 800 , Q Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng Lý thuyết: Định lý tứ giác lồi: Nếu tứ giác ABCD tứ giác lồi hai đường chéo AC BD cắt Bài tập Bài 2.1 Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo a Gọi M điểm Tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD ta phải chứng minh MA MB MC MD k ( k số) B M A Ghép tổng thành hai nhóm MA MC MB MD O Ta thấy dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng D Trình bày lời giải C Xét ba điểm M, A, C có MA MC AC (dấu “=” xảy M AC ) Xét ba điểm M, B, D có MB MD BD (dấu ‘=’ xảy M BD ) Do đó: MA MB MC MD AC BD a Vậy MA MB MC MD a M trùng với giao điểm O đường chéo AC BD Bài 2.2 Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AB 6, OA , OB 4, OD Tính độ dài AD Lời giải: Kẻ AH BD Đặt BH = x, AH = y Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ABH AOH, ta có: x y 36 2 x y 64 A 135 Giải hệ ta tìm được: x ; y 2 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ADH, ta có: 135 166 AD 166 AD HD2 AH 11,52 H y x B C O D Bài 2.3 Cho tứ giác MNPQ Chứng minh MN NQ PQ MP Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo MP NQ M Ta có : MN < MO + ON PQ PO OQ (Bđt tam giác) suy MN PQ MP NQ ; mà MN MP (gt) nên PQ NQ N O P O Bài 2.4 Có hay không tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? Lời giải: Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC AB BC Xét ADC có: CD AD AC Do CD AD AB BC D Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 A B C Bài 2.5 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB 3; BC 6,6; CD Tính độ dài AD Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vuông O, ta có: AB CD OA2 OB OC OD Chứng minh tương tự, ta được: BC AD OB OC OD OA 2 2 2 B O A ? Do đó: AB CD BC AD 2 6,6 C D Suy ra: 32 62 6,62 AD AD 36 43,56 1, 44 AD 1, Bài 2.6 Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA OB a; OC OD c Do OA OC OB OD a c A a d B O D b c C hay AC BD a c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b (2) Cộng vế (1) (2), ta được: AC BD a b c d AC BD abcd Xét ABC ADC ta có: AC a b; AC c d AC a b c d (3) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tương tự có: BD a b c d (4) Cộng vế (3) (4) được: AC BD a b c d AC BD a b c d Từ kết ta điều phải chứng minh Bài 2.7 Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Trước hết ta chứng minh toán phụ: H 900 Chứng minh: BC2 AB2 AC Cho ABC, A A Giải 900 nên H nằm tia đối tia Vẽ BH AC Vì A AC Xét HBC HBA vng H, ta có: BC HB HC AB HA2 HA AC C B AB HA2 HA2 AC HA AC AB AC HA AC Vì HA AC nên BC AB AC ( dấu “=” xảy H A tức ABC vuông) Vận dụng kết để giải toán cho A A B B C Hình b D Hình a C D Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.a) C D 360 Ta có: A B 900 Suy bốn góc phải có góc lớn 90 , giả sử A Xét ABD ta có BD AB AD 102 10 200 suy BD 200 , BD 14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.b) 360 Nối CA, Ta có: ACD ACB BCD Suy ba góc phải có góc lớn 120 Giả sử ACB 120 , ACB góc tù 2 Xét ACB có AB AC BC 102 10 200 Suy AB 200 AC 14 Vậy tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Bài 2.8 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Lời giải Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có hai cạnh tứ giác Ta giả sử a b c d Ta có: a b c BD c d Do a b c d 2d Ta đặt a b c d S S 2d (*) B b A c a D C d Ta có: S a S ma m N (1) S b S nb n N (2) S c S pc p N (3) S d S qd q N (4) Từ (4) (*) qd 2d q Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m n p q Do q 3; p 4; n 5; m Từ (1), (2), (3), (4) suy a b c d ; ; ; m S n S p S q S 1 1 1 1 abcd 1 m n p q S 19 Từ đó: , vơ lí 20 Ta có: Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác Bài 2.9 Cho tứ giác MNPQ Biết chu vi tam giác MNP không lớn chu vi tam giác NPQ, chứng minh MN NQ Lời giải: Ta có: Chu vi MNP : MN NP MP Chu vi NPQ : NP PQ NQ N M Theo giai thiết, ta có MN NP MP NP PQ NQ Suy MN + MP PQ + NQ (1) Theo 8, ta có: MN PQ MP NQ (2) Cộng bất đẳng thức (1) (2) theo vế, ta có 2MN PQ MP 2NQ MP PQ Suy MN NQ Q P Bài 2.10 So sánh độ dài cạnh AB đường chéo AC tứ giác ABCD biết chu vi tam giác ABD nhỏ chu vi tam giác ACD Lời giải: Ta có: Chu vi ABD AB BD AD Chu vi ACD AC CD AD Theo giả thiết: AB BD AD AC CD AD AB BD AC CD (1) Mặt khác ta có: AB CD AC BD (2) (kết 8) Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: 2AB < 2AC AB < AC Biên soạn: Trần Đình Hồng B A D 0814000158 C Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài 2.11 Lấy tứ giác MNPQ điểm O Gọi CV chu vi tứ giác Chứng minh CV 3.CV OM ON OP OQ 2 Lời giải: Ta có MN OM ON MQ PQ NP N NP ON OP MN MQ PQ M PQ OP OQ MQ MN NP O MQ OM OQ MN NP PQ Cộng bất đẳng thức theo vế, ta có CV 2(0M ON OP 0Q) 3.CV Vậy: Q P CV 3CV OM ON OP OQ 2 Bài 2.12 Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác lồi chi hai đường chéo AC BD cắt Lời giải: a) Cho tứ giác ABCD lồi Cần chứng minh hai đường chéo AC BD cắt Do tứ giác ABCD lồi nên B C nằm mặt phẳng bờ chứa AD DAC , tia AB nằm hai tia AD Giả sử DAB AC nên AB cắt cạnh DC (Vô lý) DAC Do tia AC nằm hai tia AB AD Vậy DAB tức AC cắt đoạn thằng BD Chưng minh tương tự, ta có tia BD cắt đoạn thẳng AC Vậy hai đường chéo AC BD cắt B C A D b) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt Cần chứng minh tứ giác ABCD tứ giác lồi Khi AC BD cắt AC tia nằm góc DAB Do AB AC nửa mặt phẳng bờ chứa AD; AD AC nằm nửa mặt phẳng bờ chứa AB Chứng minh tương tự, ta có CA CD nằm nửa mặt phẳng bờ chứa BC, CA CB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa CD Vậy A, B, C, D nằm nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng tứ giác nên tứ giác ABCD tứ giác lồi Bài tốn giải phương trình tơ màu Bài 2.13 Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đơi quen Lời giải Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tơ màu đỏ Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (hình.a) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán B B C C A A D Hình a D Hình b E E Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (hình.b) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tô đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh 9.3 N Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây tốn phương pháp tơ màu) chẳng hạn BCD (h.1.20) B C C B D D A A E Hình c G F E Hình d G F Trong BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tô đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 10 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Xét ∆MBE vng M có MN đường trung tuyến nên MN BE BE 2MN BD 2CM CBD 90o Gọi E F hình chiếu C D Bài 4.5 Cho tứ giác ABCD, CAD đường thẳng AB Chứng minh AF = BE Lời giải Ta có: CE / / DF (cùng vng góc với AB) Tứ giác FECD hình thang Gọi M, N trung điểm EF CD, MN đường trung bình hình thang CEFD Do MN / / CE MN EF Ta có: AN BN CD (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) NAB cân A E B M F D C N Mặt khác, NM đường cao nên đường trung tuyến MA MB dẫn tới AF BE Bài 4.6 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M D cho AM AD Từ A M vẽ đường thẳng vng góc với BD chúng cắt BC E F Chứng minh rằng: AE BD MF Lời giải Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho: AN AM B ABD mà ACN ABD (c.g c) CN BD ACN ) ABD (cùng phụ với BAE CAE AE / / CN nên ACN CAE Do MF / /CN (vì song song với AE) Xét hình thang MFCN có AE / /CN AM AN nên EF EC MF CN MF BD Suy AE 2 F M E A D C N Bài 4.7 Cho tứ giác ABCD Gọi A', B', C', D' trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AA', BB', CC', DD' qua điểm; b) Điểm chia AA', BB', CC', DD' theo tỉ số Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 62 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Lời giải A a) Gọi M, N, P, Q, E, F trung điểm AB, BC, CD, DA, AC BD Theo định lý Giécgơn (bài 4.8) ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng quy điểm O trung điểm đoạn thẳng Gọi giao điểm AO với DN G Vẽ QH / / AG Q M C' B' O D D' B H Xét ∆NQH ta NG GH Xét ∆ADG ta GH HD A' P N Vậy NG GH HD HG DN 1 C Vì A' trọng tâm ABCD nên A ' DN NA ' DN (2) Từ (1) (2) suy G A ' AA' qua O Chứng minh tương tự, đường thẳng BB', CC', DD' qua O Suy AA', BB', CC', DD' đồng quy O 1 OA ' AA ' nên OA ' AA ' Suy ra: OA ' OA hay OA OB ' OC ' OD ' Chứng minh tương tự, ta OB OC OD b) Ta có: OA ' QH mà QH Bài 4.8 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác cho ABO ACO Vẽ OH AB, OK AC Chứng minh đường trung trực HK qua điểm cố định Lời giải Gọi E, F, M trung điểm OB, OC, BC Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có: A N 1 EH EB EO OB; F K FC FO OC 2 G H Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có tứ O OFM 1 giác OFME hình bình hành OEM F E 2 2 Mặt khác, HEO ABO; KFO ACO B KFO (2) mà ABO ACO nên HEO D C MFK Từ (1) (2) suy ra: HEM MFK (chứng minh trên); EM FK OC ∆HEM ∆MFK có: HE MF OB ; HEM Do HEM MFK (c.g c) MH MK (3) Gọi N trung điểm OA, ta có: NH NK OA (4) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 63 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Từ (3) (4) suy MN đường trung trực HK Vậy đường trung trực HK qua điểm cố định M trung điểm BC IV Vẽ thêm hình đối xứng Bài 4.1 Cho hai điểm A B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm d điểm M cho hai tia MA, MB tạo với đường thẳng d hai góc nhọn Tìm cách giải B 1 M 2 Giả sử tìm điểm M d cho M A 1 M suy Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d M 2 M (cùng M ) Do ba điểm A', M, B M thẳng hàng Trình bày lời giải - Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d; - Vẽ đoạn thẳng A'B cắt đường thẳng d M; d M 1 M 2 - Vẽ đoạn thẳng MA ta M 1 M 3 Thật vậy, A' đối xứng với A qua d nên M A' 2 M (đối đỉnh) nên M 1 M 2 Mặt khác, M Bài 4.2 Cho góc xOy có số đo 60O điểm A góc cho A cách Ox 2cm cách Oy lcm a) Tìm điểm B Ox điểm C Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất; b) Tính độ dài nhỏ chu vi tam giác ABC Lời giải a) Vẽ điểm M đối xứng A qua Ox Vẽ điểm N đối xứng A qua Oy Hai điểm M N hai điểm cố định Đoạn thẳng MN cắt Ox B, cắt Oy C Khi chu vi ∆ABC nhỏ Thật vậy, M đối xứng với A qua Ox nên AB = MB Vì N đối xứng với A qua Oy nên CN = CA Chu vi ABC AB BC CA MB BC CN MN Do chu vi ∆AMN nhỏ MN O 60o (hai góc có cạnh b) Vẽ MH AN , ta có: MAH tương ứng vng góc) AMH 30o x H M B A 60° O y C N 1 Xét ∆AMH vuông H, AMH 30o nên AH AM cm 2 Xét ∆HMN vng H, ta có: MN MH HN MH HA AN MH HA2 AN HA AN MH HA2 AN HA AN AM AN HA AN 42 22 2.2.2 28 MN 28 5,3 Vậy độ dài nhỏ chu vi ∆ABC 5,3 cm Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 64 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHỦ ĐỀ 8: TỐN QUỸ TÍCH A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Quỹ tích điểm có tính chất T tập hợp tất điểm có tính chất T Các quỹ tích - Quỹ tích điểm cách hai đầu đoạn thẳng cố định đường trung trực đoạn thẳng (1) - Quỹ tích điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc (2) - Quỹ tích điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h (3) - Quỹ tích điểm cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi đường trịn tâm O, bán kính R (4) Cách giải tốn tìm quỹ tích điểm có chung tính chất T a) Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T điểm M thuộc hình H b) Phần đảo: Chứng minh điểm M thuộc hình H điểm M có tính chất T c) Kết luận: Quỹ tích điểm M hình H d) Một số lưu ý giải tốn tìm quỹ tích a) Tìm hiểu đề - Cần xét xem: - Yếu tố cố định ( quỹ tích có nói đến yếu tố cố định điểm, đoạn thẳng, góc,….) - Yếu tố khơng đổi ( thường khoảng cách khơng đổi, góc có số đo khơng đổi,…); - Quan hệ khơng đổi ( ví dụ điểm cách hai đầu đoạn thẳng, cách hai cạnh góc,…); - Yếu tố chuyển động ( điểm có vị trí thay đổi, liên quan đến điểm phải tìm quỹ tích nào?) b) Dự đốn quỹ tích - Vẽ nháp vài vị trí điểm cần tìm quỹ tích ( thường vẽ ba vị trí) - Nếu ba điểm thẳng hàng ta dự đốn quỹ tích đường thẳng ( đường thẳng song song, đường trung trực, tia phân giác,…) - Nếu ba điểm khơng thẳng hàng quỹ tích đường trịn c) Giới hạn quỹ tích Có nhiều tốn quỹ tích cần tìm phần hình H, phần cịn lại khơng thỏa mãn điều kiện toán, ta phải loại trừ phần Làm gọi tìm giới hạn quỹ tích.Việc tìm giới hạn quỹ tích thường làm sau phần thuận, trước phần đảo B Bài tập áp dụng I Quỹ tích đường thẳng song song Bài 2.1 Cho tam giác ABC D điểm di động cạnh BC Vẽ DE//AB, DF//AC E AC , F AB Gọi M trung điểm EF Tìm quỹ tích điểm M Lời giải a) Phần thuận Tứ giác AEDF có DE//AF, DF//AE nên hình bình hành Suy AD EF cắt trung điểm đường Vậy trung điểm M EF Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 65 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung điểm AD Vẽ MK BC , AH BC Do AH cố định nên AH có độ dài khơng đổi A Xét AHD có MK đường trung bình, MK AH (không đổi) Điểm M cách đường thẳng BC cố định F M x khoảng AH không đổi nên điểm M nằm đường thẳng xy / / BC cách BC khoảng AH E H B y Q P K D C (xy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A) Giới hạn: Khi điểm D di động tới điểm B điểm M di động tới trung điểm P AB Khi điểm D di động tới điểm C điểm M di động tới trung điểm Q AC Vậy M nằm đường trung bình PQ tam giác ABC b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng PQ Vẽ tia AM cắt BC D Vẽ DE // AB, DF // AC E AC , F AB Ta phải chứng minh M trung điểm EF Thật vậy, xét tam giác ABC có PQ // BC PA = PB nên MA = MD Tứ giác AEDF hình bình hành nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Do M trung điểm AD nên M trung điểm EF c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đường trung bình PQ tam giác ABC Nhận xét: Điểm M trung điểm EF Đây tính chất ban đầu điểm M, chưa phải tính chất theo quỹ tích (1), (2), (3), (4) Dó chưa thể vận dụng để trả lời điểm M nằm hình Ta giải vấn đề cách biến đổi tính chất ban đầu điểm M sau M trung điểm EF ( tính chất ban đầu) M trung điểm AD ( tính chất T’) M cách đường thẳng BC cố định khoảng không đổi AH ( tính chất điểm M) M nằm đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH Như ta phải chuyển tính chất ban đầu điểm M qua tính chất trung gian đến tính chất điểm M theo quỹ tích trả lời điểm M nằm hình Bài 2.2 Cho góc vng xOy điểm A cố định tia Ox cho OA = a Điểm B di động tia Oy Vẽ vào góc vng tam giác ABC vng cân A Tìm quỹ tích điểm C Lời giải a) Phần thuận A (cùng phụ với A ) Vẽ CH Ox ta C 1 HAC OBA ( cạnh huyền, góc nhọn ) CH OA a Điểm C cách đường thẳng Ox khoảng a nên C nằm đường thẳng d / /Ox cách Ox khoảng a cho trước Giới hạn: Nếu B trùng với O C trùng với C1 ( C1 d C1 A OA ) Nếu B xa vơ điểm C xa vơ Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 66 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Vậy điểm C nằm tia C1t đường thẳng d y b) Phần đảo Lấy điểm C tai C1t Vẽ đoạn thẳng AC Từ A vẽ AB AC ( B Oy ) Ta phải chứng minh tam B giác ABC vuông cân A Thật vậy, vẽ CH Ox HAC OBA có : C1 d O 90; HC OA a; C A (cùng phụ với A ) H 1 O C A H t x Dó HAC OBA (g.c.g) AC AB Vậy ABC vuông A c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm C tia C1t / /Ox cách Ox khoảng a Bài 2.3 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác DAC EBC vuông cân D E Gọi M trung điểm DE Tìm quỹ tích điểm M điểm C di động A B Lời giải a) Phần thuận Gọi O giao điểm hai tia AD BE Như O điểm cố định B 45 nên AOB 90 Xét AOB có A Tứ giác OECD có ba góc vng nên hình chữ nhật Hai đường chéo DE OC cắt trung điểm đường nên trung điểm M DE trung điểm OC O D x P Q M y E A H K C B Vẽ OH AB, MK AB MK đường trung bình OHC , suy MK OH Điểm M cách đường thẳng AB cho trước khoảng thẳng xy / / AB cách AB OH nên điểm M nằm đường OH Giới hạn: Khi điểm C di động dần tới A điểm M dần tới trung điểm P OA Khi điểm C di động dần tới B điểm M dần tới trung điểm Q OB Vậy điểm M di động đường trung bình PQ OAB (trừ hai điểm P Q) b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng PQ (M không trùng với P, Q) Vẽ tia OM cắt AB C Vẽ CD OA, CE OB Ta phải chứng minh DAC , EBC vuông cân M trung điểm DE Thật vậy, xét OAB có OP PA, PQ / / AB nên MO MC 45 nên tam giác vuông cân D Xét DAC vuông D có A Tương tự, EBC vng cân E Tứ giác OECD có ba góc vng nên hình chữ nhật Do hai đường chéo cắt trung điểm đường Mặt khác, M trung điểm OC nên M trung điểm DE Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 67 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đường trung bình PQ tam giác OAB trừ hai điểm P Q Bài 2.4 Cho tam giác ABC cân A Một điểm D di động đáy BC Đường thẳng vng góc với BC vẽ từ D cắt đường thẳng AB AC E F Gọi M trung điểm EF Tìm quỹ tích điểm M Lời giải a) Phần thuận F1 E1 A (tính chất Vẽ AH BC AH / / DE A F tam giác cân) A (cặp góc so le trong); F A (cặp góc Ta có: E 1 đồng vị) A x A nên E F Suy AEF cân Vì A 1 M1 1 y M2 E Ta có: ME MF AM EF Tứ giác AHDM có ba góc vng nên hình chữ nhật MD AH (khơng đổi) B C D H Điểm M cách đường thẳng BC cho trước khoảng bẳng AH nên điểm M nằm đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH Giới hạn: Khi điểm D trùng với B E trùng với B điểm F trùng với F1 ( F1 nằm tia CA AF1 AC ) Khi điểm M trùng với M1 ( M1 giao điểm xy với B F1 ) Tương tự, điểm D trùng với C điểm M trùng với M Vậy M nằm đoạn thẳng M1 M đường thẳng xy b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M Qua M vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt BC, AB, AC D, E, F Ta phải chứng minh M trung điểm EF Thật vậy, tứ giác AHDM có hai cặp cạnh đối song song nên hình bình hành Hình bình 90 nên hình chữ nhật, suy M 90 hành có H A , F A mà A A nên E F Do AEF cân Ta có: E 1 2 1 Vì AM đường cao nên đường trung tuyến ME MF c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH II Quỹ tích đường trung trực đường thẳng vng góc Bài 3.1 Cho góc vng xOy, điểm A cố định tia Ox, điểm B di động tia Oy Vẽ hình chữ nhật AOBC Gọi M giao điểm hai đường chéo AB OC Tìm quỹ tích điểm M Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 68 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Lời giải a) Phần thuận M giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật nên MO = MA Điểm M cách hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên M nằm đường trung trực OA Giới hạn: Khi điểm B tiến dần tới điểm O điểm C tiến dần đến điểm A Khi điểm M tiến dần đến M1 trung điểm OA Khi điểm B xa vơ tận điểm M xa vô tận Vậy M nằm tia M1t thuộc đường trung trực t y C B M O M1 A x OA, tia nằm góc xOy, trừ điểm M1 b) Phần đảo Lấy điểm M tia M1t Vẽ tia AM cắt tia Oy B Vẽ hình chữ nhật AOBC Ta phải chứng minh M giao điểm hai đường chéo Thật vậy, xét AOB có M1t / /OB ( vng góc với OA) Mặt khác, M1O M1A nên MA= MB Vậy M trung điểm AB M trung điểm OC (vì AOBC hình chữ nhật) c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M tia M1t thuộc đường trung trực OA, tia nằm góc xOy, trừ điểm M1 Bài 3.2 Cho góc vng xOy điểm A góc Một góc vuông đỉnh A quay quanh A, cạnh cắt Ox B, cạnh cắt Oy C Gọi M trung điểm BC Tìm quỹ tích điểm M Lời giải y a) Phần thuận B1 Vẽ đoạn thẳng MO, MA ta được: MO MA BC Điểm M cách hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên điểm M nằm đường trung trực OA Giới hạn: Khi điểm C di động tới điểm O điểm B di động tới B1 ( AB1 AO ), điểm M di động tới M1 trung điểm OB1 B M1 M A O C M2 C1 x Khi B di động dần tới O điểm C di động tới C1 ( AC1 AO ), điểm M di động tới M trung điểm OC1 Vậy điểm M di động đoạn thẳng M1 M b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M Trên tia Ox lấy điểm B ( B O ) cho MB MA Tia BM cắt Oy điểm C Ta phải chứng minh ABC vuông A M trung điểm BC Thật vậy, ta có: MB MA mà MO MA (vì M nằm đường trung trực OA) nên O MB MO (1) MOB cân B 1 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 69 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán BCO 90 O BCO 90 Xét OBC vng O có B 1 MCO (vì phụ với O ) MOC cân MO MC (2) MOC Từ (1) (2) suy MB MC Vậy M trung điểm BC Xét ABC có MA MB MC nên MA BC ABC vuông A c) Kết luận: Quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M thuộc đường trung trực OA Bài 3.3 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm hình chữ nhật cạnh 1) Chứng minh MA MC2 MB2 MD2 ; 2) Tìm quỹ tích điểm M MA MC MB MD Lời giải E A 1) Chứng minh MA2 MC MB2 MD (1) Qua M vẽ đường thẳng vng góc với hai cặp cạnh đối hình chữ nhật dùng định lý Py-ta-go để chứng minh 2) Tìm quỹ tích điểm M a) Phần thuận Ta có: MA MC MB MD (2) B M G D A H C F E B Suy MA MC MB MD 2 MA2 MC MA.MC MB MD MB.MD MA.MC MB.MD (3) M G H Từ (1) (3) ta có: MA2 MC MA.MC MB2 MD MB.MD MA MC MB MD D F C Suy MA MC MB MD (4) MA MC MD MB (5) MA MC MB MD Từ (2) (4) ta có: MA MC MB MD Do đó: MA MB MA MB Vậy điểm M nằm đường trung trực AB MA MC MB MD Từ (2) (5) ta có; MA MC MD MB Do đó: MA MD MA MD Vậy điểm M nằm đường trung trực AD Giới hạn: Vì M nằm hình chữ nhật cạnh nên M nằm hai đoạn thẳng EF GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện hình chữ nhật b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng GH Khi MA MD; MB MC Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 70 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Vậy MA MC MB MD Nếu M EF ta có kết c) Kết luận: Quỹ tích điểm M hai đoạn thẳng EF GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện hình chữ nhật Bài 3.4 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx BC lấy điểm D Vẽ tam giác CDM (M B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ CD) Tìm quỹ tích điểm M D di động tia Bx Lời giải x a) Phần thuận y M C (vì cộng MAC DBC có: MC DC ; C với ACD cho 60 ); CA CB Vậy MAC DBC (c.g.c) A D DBC 90 Suy MA AC A MAC Do điểm M nằm đường thẳng qua A vng góc với AC Giới hạn: Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với C B A Khi điểm D xa vơ điểm M xa vơ Vậy điểm M nằm tia Ay b) Phần đảo Lấy điểm M tia Ay Vẽ đoạn thẳng MC Trên tia Bx lấy điểm D cho CD = CM Ta phải chứng minh MCD B 90; CM CD; CA CB Thật vậy, MAC DBC có: A Do MAC DBC (cạnh huyền, cạnh góc vng) C MCD BCA 60 Suy C 60 nên tam giác MCD cân có MCD c) Kết luận Quỹ tích điểm M tia Ay AC (tia Ay nằm nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B) III Quỹ tích tia phân giác Bài 3.1 Cho góc vng xOy Điểm A cố định tia Ox cho OA = 2cm Điểm B di động tia Oy Vẽ tam giác ABM vuông cân M M O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB Tìm quỹ tích điểm M Lời giải a) Phần thuận 90 Vẽ MH Ox , MK Oy ta HMK 90 nên HMK KMB (hai góc có Mặt khác, AMB cạnh tương ứng vng góc nhọn) HMA KMB ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MH MK Điểm M nằm góc xOy cách hai cạnh góc nên điểm M nằm tia phân giác Ot góc xOy Biên soạn: Trần Đình Hồng y M D t A O M1 K B 0814000158 y 71 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Giới hạn: Khi điểm B trùng với điểm O điểm M trùng với điểm M1 ( M1 nằm tia Ot OM1 cm) Khi điểm B xa vơ điểm M xa vô Vậy M nằm tia M1t b) Phần đảo Lấy điểm M tia M1t Từ M vẽ đường thẳng vng góc với MA cắt tia Oy B Ta phải chứng minh ABM vuông cân M 90 Thật vậy, vẽ MH Ox , MK Oy ta có MH MK HMK KMB (hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn) HMA Do HMA KMB (g.c.g) MA MB ABM vng M có MA MB nên tam giác vuông cân c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M tia M1t nằm tia phân giác góc xOy Bài 3.2 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm E di động Trên tia đối tia BS lấy điểm F di động cho DE = BF Vẽ hình bình hành ECFM Hỏi điểm M di động đường nào? Lời giải C Ta có: DCE BCF (c.g.c) CE CF C BCE 90 C BCE 90 Ta có: C 90 nên Hình bình hành ECFM có CE CF ECF ECFM hình vuông ME MF 90 Vẽ MH AB, MK AD ta MHK 90 nên HMF KME (hai góc có Mặt khác, EMF x M K E B A H F cạnh tương ứng vng góc nhọn) Suy HMF KME (cạnh huyền, góc nhọn) D C MH MK Điểm M nằm góc vng EAB cách hai cạnh góc nên M nằm tia phân giác Ax góc EAB Lưu ý: Bài tốn khơng hỏi quỹ tích điểm M, mà hỏi điểm M nằm đường lời giải trình bày nội dung phần thuận Bài 3.3 Cho ta giác ABC vuông A Dọi D E điểm di động hai cạnh AB BC cho BD = BE Từ E vẽ đường thẳng vng góc với DE cắt AC F Gọi M trung điểm DF Tìm quỹ tích điểm M Lời giải a) Phần thuận Xét EDF vng E có EM đường trung tuyến nên EM DF DM B BDM BEM (c.g.c) B Vậy điểm M nằm tia phân giác Bx góc B Giới hạn: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 72 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Khi điểm D trùng với A điểm M trùng với điểm M1 ( M1 giao điểm tia Bx với AC) Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với điểm M2 ( M2 trung điểm BM1 ) b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M2 B Lấy điểm D cạnh AB cho MD = MA (1) Lấy điểm E cạnh BC cho BE = BD Tia DM cắt cạnh AC F Ta phải chứng minh M trung điểm DF D E M2 EF DE M Thật vậy, BMD BME (c.g.c) MD ME (2) A MAD cân D 1 A M1 C F F 90; A A 90 mà D A nên F A MF MA (3) Ta có: D 1 1 Từ (1), (2), (3) suy ra: MD ME MF Vậy M trung điểm DF DEF vuông E EF DE c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M2 tia phân giác góc B 60 , đỉnh B di Bài 3.4 Cho góc xOy có số đo 60 Một hình thoi ABCD có cạnh a, B động tia Ox, đỉnh D di động tia Oy, hai điểm A O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BD Tìm quỹ tích điểm A Lời giải a) Phần thuận Vẽ AH Ox, AK Oy Khi x t H 180 60 120 HAK 180 60 120 Mặt khác, BAD A B BAD A A Nên HAK HAB KAD (cạnh huyền, góc nhọn) AH AK Điểm A nằm góc xOy cách hai cạnh góc xOy nên A nằm tia phân giác Ot góc xOy A2 A1 y K O D C Giới hạn: Khi điểm B trùng với O D trùng với O điểm A trùng với A1 ( A1 Ot cách O khoảng OA1 a ) Khi AB Ox AD Oy , điểm A trùng với A2 ( A2 Ot cách O khoảng OA2 2a ) b) Phần đảo Lấy điểm A đoạn thẳng A1 A2 Vẽ AH Ox, AK Oy AH AK (tính chất tia phân giác) Trên đoạn thẳng HO lấy điểm B, tia Ky lấy điểm D cho AD = AB = a Vẽ hình bình 60 hành ABCD, ta phải chứng minh ABCD hình thoi cạnh a, B Thật vậy, hình bình hành ABCD có AB = AD = a nên hình thoi cạnh a A HAB KAD (cạnh huyền, cạnh góc vng) A Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 73 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 180120 60 BAD HAK 180 60 120 Do B c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm A đoạn thẳng A1 A2 thuộc tia phân giác Ot góc xOy IV Quỹ tích đường trịn Bài 4.1 Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, BC = 2cm Tìm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo Lời giải a) Phần thuận Gọi M trung điểm AB Do AB cố định nên M điểm cố định O giao điểm hai đường chéo hình bình hành OA OC Vậy OM đường trung bình ABC OM BC cm M A B O D C Điểm O cách điểm M cố định khoảng cm nên điểm O nằm đường tròn tâm M, bánh kính cm Giới hạn: Vì ba điểm O, A, B không thẳng hàng nên điểm O nằm đường trịn tâm M, bán kính 1cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng AB b) Phần đảo Lấy điểm O đường trịn tâm M, bán kính 1cm OM = 1cm Vẽ điểm C đối xứng với A qua O, xẽ điểm D đối xứng với B qua O Ta phải chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành BC = 2cm Thật vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành OM đường trung bình tam giác ABC nên OM BC BC 2.1 2cm c) Kết luận Quỹ tích điểm O đường trịn tâm M bán kính 1cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng AB Bài 4.2 Cho hình vng ABCD cạnh 4cm Tia Dx nằm hai tia DA DC Vẽ tia phân giác góc ADx cắt AB E, tia phân giác góc CDx cắt BC F Tia Dx cắt EF M Hỏi tia Dx quay quanh D từ vị trí DA đến vị trí DC điểm M di động đường nào? Lời giải D , Ta có: D D D N A E B D D D 90 : 45 D Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN CF ADN CDF (c.g.c) D DN DF D M D D D 45 Do D Suy NDE FDE 45 F D C FED NDE FDE (c.g.c) NED Do DAE DME (c.g.c) DM DA 4cm Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 74 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Điểm M cách điểm D cho trước khoảng không đổi 4cm nên điểm M nằm đường tròn tâm D, bán kính 4cm Bài 4.3 Cho góc vng xOy Một đoạn thẳng AB = 2a khơng đổi, có A Ox b Oy Tìm quỹ tích trung điểm M AB Lởi giải a) Phần thuận x Vẽ đoạn thẳng OM ta có: OM AB a (tính chất A1 trung tuyến tam giác vuông) Điểm M cách điểm O cho trước khoảng a cho trước nên M nằm đường tròn tâm O, bán kính a Giới hạn: Khi điểm B di động tới O A tới điểm A1 Ox A M1 M 2 H OA1 2a Khi điểm M di động tới M1 trung điểm M2 B B1 y OA1 Khi điểm A di động tới O B tới điểm B1 Oy OB1 2a Khi điểm M di động tới M trung điểm OB1 Vậy M nằm cung M1 M2 đường tròn tâm O, bán kính a b) Phần đảo Lấy điểm M cung M1 M2 Trên tia Ox lấy điểm A cho MA = MO (1) Tia AM cắt tia Oy B Ta phải chứng minh M trung điểm AB AB = 2a O Thật vậy, MA = MO nên MOA nên A 1 B 90 O B 90 Xét AOB vuông O có A 2 B (cùng phụ với O ) O 2 Do MOB cân MB MO (2) Từ (1), (2) suy ra: MA MB MO a Do đó: AB 2a c) Kết luận: Quỹ tích điểm M cung M1 M2 đường trịn tâm O, bán kính a Bài 4.4 Cho hình bình hành ABCD cạnh CD cố định, AC = 2cm Tìm quỹ tích đỉnh B Lời giải a) Phần thuận A Gọi O điểm đối xứng với D qua C O điểm cố định B D C O Tứ giác ABOC có AB // OC; AB = OC (vì CD) nên ABOC hình bình hành OB AC 2cm Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 75 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Điểm B cách điểm O cố định khoảng 2cm nên điểm B nằm đường tròn tâm O bán kính 2cm Giới hạn: Vì B, C, D khơng thẳng hàng nên B nằm đường tròn tâm O, bán kính cm trừ giao điểm đường trịn với đường thẳng CD b) Phần đảo Lấy điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm (trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng CD) Suy OB = 2cm Vẽ hình bình hành ABCD Ta phải chứng minh hình bình hành có AC = 2cm Thật vậy, AB / / CD AB CD AB / / CO AB CO Do tứ giác ABOC hình bình hành, suy AC = OB = 2cm c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 76 ... nên AM DE Gọi O giao điểm AM DE , ta có: Biên soạn: Trần Đình Hồng 081 40001 58 39 Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán OA OM OD OE Xét AHM vuông H , ta có: HO A AM DE Xét HDE có HO... Chứng minh tứ giác DEMF hình vng Lời giải A B E ADE CDF (c.g.c) DE DF ADE CDF 900 Ta có ADE CDF CDE 900 hay EDF 900 CDF C D Tứ giác DEMF có hai đường chéo... đầu đoạn thẳng AE ) b) Cách dựng: m 450 E - Dựng ADE cho DE 8cm; D - Dựng AB DE ( B DE ) - Dựng đường trung trực AE cắt DE C - Nối AC ta ABC phải dựng c) Chứng minh : 450