Chuyên đề hệ trục tọa độ bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 10

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 10 Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I – LÝ THUYẾT Trục độ dài đại số trục a)Định nghĩa • Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi  điểm gốc vectơ đơn vị e • Điểm O gọi gốc tọa độ • Hướng vecto đơn vị hướng trục  • Ta kí hiệu trục ( O;e ) O  e M    b) Cho M điểm tùy ý trục ( O;e ) Khi có số k cho OM = k e Ta gọi số k tọa độ điểm M trục cho    c) Cho hai điểm A B trục ( O;e ) Khi có số a cho AB = a e Ta gọi số a độ dài  đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a = AB Nhận xét      Nếu AB hướng với e AB = AB, cịn AB ngược hướng với e AB = − AB   Nếu hai điểm A B trục ( O;e ) có tọa độ a b AB= b − a Hệ trục tọa độ     a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) gồm hai trục ( O;i ) ( O; j ) vng góc với Điểm gốc   O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục ( O;i ) gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục ( O; j )     gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy i= = j   Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) cịn kí hiệu Oxy y  j O  i O x Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt mặt phẳng Oxy b) Tọa độ vectơ    Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA = u gọi A1 , A2 hình chiếu    = OA1 + OA2 cặp số ( x; y ) để vng góc A lên Ox Oy Ta có OA        = OA1 x= i , OA2 y j Như u  x i  y j   Cặp số  x ; y  gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ Oxy viết u = ( x; y )   u ( x; y ) Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ u Như  u=  ( x; y ) ⇔ u =   xi + y j Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ    x = x′   Nếu u = ( x; y ) u ′ = ( x′; y′ ) u= u ′ ⇔   y = y′ Như vậy, vectơ hoàn toàn xác định biết tọa độ c) Tọa độ điểm  u A A2  j O  u  i A1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục  Như vậy, cặp số ( x; y ) tọa độ điểm M OM = ( x; y ) Khi ta viết M ( x; y ) M ( x; y ) Số x gọi hồnh độ, cịn số y gọi tung độ điểm M Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM , tung độ điểm M cịn kí hiệu yM    M =( x; y ) ⇔ OM =x i + y j M x; y M2  j O  i M1 = OM Chú ý rằng, MM ⊥ Ox, MM ⊥ Oy= x OM 1, y d) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A ( x A ; y A ) B  x B ; y B  Ta có  AB   x B  x A ; y B  y A       Tọa độ vectơ u + v , u − v , k u Ta có cơng thức sau:   = u1 ;u2 ) , v ( v1 ;v2 ) Cho u (= Khi đó:   • u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 ) ;   • u − v = ( u1 − u2 ;v1 − v2 ) ;  = • k u ( k u1 ;k u2 ) , k ∈      Nhận xét Hai vectơ u  u1 ; u2 , v  v1 ; v2  với v  phương có số k cho u1  k v1 u2  k v2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A , B  x B ; yB  Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I  x I ; y I  đoạn thẳng AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com = xI b) Cho tam giác tam giác ABC ABC x A + xB y A + yB = , yI 2 có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Khi tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) tính theo công thức = xG x A + xB + xC y A + yB + yC = , yG 3 II – DẠNG TOÁN  Dạng 1: Tìm tọa độ điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số vectơ chứng minh hệ  thức liên quan trục O;i ( )  Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau:    • Trên trục O,i , điểm M có tọa độ a ⇔ OM = a.i     • Trên trục O,i , vecto u có tọa độ a ⇔ OM = a.i    • Vectơ AB có độ dài đại số m = AB ⇔ AB = mi • Nếu a,b tọa độ A,B AB= b − a x +x • Tọa độ trung điểm I đoạn AB là: xI = A B • Các tính chất: +  AB = − BA   + AB = CD ⇔ AB = CD  + ∀A; B;C ∈ ( O ; i ) : AB + BC = AC A VÍ DỤ MINH HỌA   Ví dụ 1: Trên trục tọa độ O;i cho điểm A,B có tọa độ −2;1 Tọa độ vecto AB là: ( ) ( ) ( ) A −3 B C Lời giải D −1 Chọn B   Ta có: AB =1 + =3 ⇒ AB =3i  Ví dụ 2: Trên trục tọa độ O;i cho điểm A,B có tọa độ −5 Tọa độ trung điểm I ( ) AB : B −4 A C Lời giải D −1 Chọn D Tọa độ điểm I là: xI = + ( −5 ) = −1  Ví dụ 3: Trên trục O;i cho điểm A,B,C có tọa độ a;b;c Tìm điểm I cho     IA  IB  IC  ( ) A a+b+c B a+b+c C a −b+c D a −b−c Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Chọn D Gọi điểm I có tọa độ x   IA = a − x ⇒ IA = ( a − x )i;   IB = b − x ⇒ IB = ( b − x )i;   IC = c − x ⇒ IC = ( c − x )i;       IA + IB + IC = ⇔ ( a + b + c − x )i = a+b+c ⇒ a + b + c − 3x = ⇒ x =  Ví dụ 4: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C có tọa độ −5; 2; Tìm tọa độ điểm M thỏa     mãn MA + MB + 3MC = 10 10 10 A B − C D 10 Lời giải Chọn C Gọi điểm M có tọa độ x   MA =−5 − x ⇒ MA =( −5 − x )i;   MB = − x ⇒ MB = ( − x )i;   MC = − x ⇒ MC = ( − x )i;         MA + MB + 3MC = ⇔ ( −10 − x ) i + ( − x ) i + (12 − x ) i = ( ) ⇒ 10 − x = ⇒ x = Câu 1: Câu 2: 10 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Trên trục O;i , cho ba điểm A,B có tọa độ 2;− Tìm tọa độ điểm I cho   IA = −3IB A B −4 C D −10   Trên trục O;i , cho ba điểm M ,N có tọa độ −2; Độ dài đại số MN là: ( ) ( ) A B −5 C D −1  DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy  Phương pháp giải  • Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau   Dựng vectơ OM = a Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên Ox, Oy Khi  = , a2 OK với a1 OH a ( a1 ;a2 ) =  • Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA  • Nếu biết tọa độ hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) suy tọa độ AB xác định theo công  thức AB = ( xB − x A ; y B − y A ) Chú ý: OH = OH H nằm tia Ox (hoặc Oy ) OH  OH H nằm tia đối tia Ox (hoặc Oy ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com A VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M ( x; y ) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục hoành? A M ( x; − y ) C M ( − x; − y ) B M ( − x; y ) D M ( x; y ) Lời giải Chọn A M đối xứng với M qua trục hoành suy M ( x; − y )  Ví dụ 2:Vectơ a = ( −4; ) phân tích theo hai vectơ đơn vị nào?         A a =−4i + j B a =−i + j C a = −4 j Chọn D      Ta có: a =− ( 4; ) ⇒ a =−4i + j =−4i   D a = −4i Lời giải Ví dụ 3:Mệnh đề sau đúng?   A Hai vectơ u = ( 2; −1) v = ( −1; ) đối   B Hai vectơ u =( 2; −1) v =( −2; −1) đối   C Hai vectơ u = ( 2; −1) v = ( −2;1) đối   D Hai vectơ u =− ( 2; 1) v = ( 2;1) đối Lời giải Chọn C     Ta có: u =( 2; −1) =− ( −2;1) =−v ⇒ u v đối Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục    Ox BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AC ? A ( −3; 3) B ( 3; 3) C ( 3;− 3) D ( 3; ) Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ Oxy hình vẽ bên AB 3= , OB Vì điểm A( 1; ) suy ra= y A Do B (1; ) , C ( 4; ) , D ( 4; 3)  Vậy AC = ( 3; −3) D O O B Cx cạnh a Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD  = 600 Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox x ≥ 0, y ≥ Tìm tọa độ đỉnh BAD B B C ABCD hình thoi B a a a a ;  , C a ; ; −  , C a ; A B  B B  2   2 ( ) a a  a ;  , C  a ;  C B  2  2  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( ) a a  a ; −  , C  a ; −  D B  2  2  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn A y Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ B Oxy a  a= C Gọi I tâm hình thoi ta= có BI AB = sin BAI sin 300 I A x a a AI = AB − BI = a − = D a a a a ;  , C a ; , D  ; −  Suy A ( 0; ) , B  2  2  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M ( 2;−3) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục tung? A M ( −3; ) B M ( −2; 3) C M ( −2; −3) D M ( 2; 3)   Câu 4: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i    hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC  a   a   a  A 0; , B  ; , C  ;          Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i    hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải  a 3 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm G  0;       AC 8= , BD Biết OC i Câu 6: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có=   hướng, OB j hướng Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải A 4;  , C  4;  , B  0;  , D  0; 3   G  0;   = 600 Chọn Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có AD = chiều cao ứng với cạnh AD = , BAD    hệ trục tọa độ A;i, j cho i AD hướng, yB > Tìm tọa độ vecto     AB, BC , CD AC   Câu 8: Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ O,i, j , O tâm lục giác , i    hướng với OD , j hướng EC Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác Lời giải A  ; , D ; , B  ; 3 , ĐS:       ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) C  3; 3  , F  3; 3  , E  3; 3  C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com       DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u + v, u − v, k u  Phương pháp      • Dùng cơng thức tính tọa độ vectơ u + v, u − v, k u      • Với u = ( x; y ) ; u' = ( x'; y') số thực k , u ± v = ( x ± x'; y ± y') k.u = ( kx;ky ) A VÍ DỤ MINH HỌA    Ví dụ 1:Trong hệ trục O; i; j , tọa độ vec tơ i + j là: ( A ( −1;1) ) B (1;0 ) C ( 0;1) D (1;1) Lời giải Chọn D   Ta có: i + = j (1; ) + ( 0;1= ) (1;1)   Ví dụ 2: Cho u = ( 3; −2 ) , v = (1; ) Khẳng định sau đúng?      A u  v a = ( −4; ) ngược hướng B u, v phương       C u − v = D 2u + v, v phương b ( 6; −24 ) hướng Lời giải Chọn C     Ta có u + v = ( 4; ) u − v = ( 2; −8)    4 Xét tỉ số ≠  → u + v a = ( −4; ) không phương Loại A −4   −2 Xét tỉ số ≠  → u, v không phương Loại B    −8 Xét tỉ số= = >  → u − v = b ( 6; −24 ) hướng −24    Ví dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) Tọa độ điểm M thỏa AM + AB = A M ( 4;0 ) B M ( 5;3) Chọn C C M ( 0; ) D M ( 0; −4 ) Lời giải    3 ( xM − 1) + ( − 1) =  xM = Ta có: AM + AB = 0⇔ ⇔ ⇒ M ( 0; )  yM = 3 ( yM − 3) + ( − 3) = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A ( −3;3) , B (1; ) , C ( 2; −5 ) Tọa độ điểm M thỏa mãn    MA − BC = 4CM là: 5 1 1 5  5 1 5 A M  ;  B M  − ; −  C M  ; −  D M  ; −  6 6 6 6  6 6 6 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com      xM = 1) ( xM − ) 2 ( −3 − xM ) − ( −= 1 5 Ta có: MA − BC= 4CM ⇔  ⇔ ⇒ M  ;−  ) ( yM + ) 6 6 y = − 2 ( − yM ) − ( −5 −= M  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN       Câu 9: Cho a = c 2a + 3b nếu: ( x; ) , b = ( −5;1) , c = ( x; ) Vec tơ = A x = B x = −15 C x = 15        Câu 10: Cho a = (0,1) , b = (−1; 2) , c =(−3; −2) Tọa độ u = 3a + 2b − 4c : D x = A (10; −15 ) B (15;10 ) C (10;15 )       Câu 11: Cho a= 3i − j b = i − j Tìm phát biểu sai:     A a = B b = C a − b = ( 2; −3) D ( −10;15 )  D b =    Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) Tọa độ điểm M thỏa AM + AB = A M ( 4;0 ) B M ( 5;3) C M ( 0; ) D M ( 0; −4 )    Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; ) , B ( −2; 3) Tìm tọa độ đỉểm I cho IA + IB = 8  2  A I (1; ) B I 1;  C I  −1;  D I ( 2; −2 ) 3  5    Câu 14: Cho hai điểm A (1;0 ) B ( 0; −2 ) Tọa độ điểm D cho AD = −3 AB là: A ( 4; −6 ) B ( 2;0 ) C ( 0; ) D ( 4;6 )     Câu 15: Cho a = ( −5; ) , b = ( 4; x ) Haivec tơ a b phương số x là: A −5 C −1 B D  DẠNG 4: Xác định tọa độ điểm hình  Phương pháp Dựa vào tính chất hình sử dụng cơng thức x A + xB y A + yB + M trung điểm đoạn thẳng AB = suy xM = , yM 2 x + xB + xC y + yB + yC + G trọng tâm tam giác ABC suy xG = A , yG = A    x = x' u ( x; y ) u' ( x'; y' ) ⇔  +=  y = y' A VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ :Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3; ) , B (1; ) , C ( 5; ) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ? A G ( −3; −3) Chọn D 9 9 B G  ;  2 2 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C G ( 9; ) D G ( 3; 3) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com +1+  =  xG = Ta có   → G ( 3; 3) 5+ 2+  = = y  G Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( −2; ) , B ( 3; ) trọng tâm gốc tọa độ O ( 0; ) Tìm tọa độ đỉnh C ? A C ( −1; −7 ) B C ( 2; −2 ) C C ( −3; −5 ) D C (1; ) Lời giải Chọn A Gọi C  x ; y   −2 + + x =0  x = −1  Vì O trọng tâm tam giác ABC nên  ⇔  y =−7 2 + + y =  Ví dụ 3: Cho M ( 2;0 ) , N ( 2; ) , P ( −1;3) trung điểm cạnh BC , CA, AB ∆ABC Tọa độ B là: A (1;1) C ( −1;1) B ( −1; −1) D (1; −1) Lời giải Chọn C A N P B M C  x + xN = xP + xM  x + =2 + (−1)  x =−1 Ta có: BPNM hình bình hành nên  B ⇔ B ⇔ B + = + + = + = y y y y y y   B N P M B B  Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M (1; −1) , N ( 5; −3) P thuộc trục Oy , trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P A ( 0; ) B ( 2;0 ) C ( 2; ) D ( 0; ) Lời giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trục Ox ⇒ G ( x;0 ) 1+ +   x = x = G trọng tâm tam giác MNP nên ta có:  ⇔  y =4 0 = (−1) + (−3) + y  Vậy P ( 0; ) Ví dụ 5:Cho tam giác ABC với AB = AC = Tính toạ độ điểm D chân đường phân giác Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 10 góc A , biết B( 7; − ),C( 1; )  11  A  − ;   2 B ( 2;3) C ( 2;0 )  11  D  ;   2 Lời giải Chọn B A B D C   DB AB Theo tính chất đường phân giác: = = −5 DC ⇒ DB = DC ⇒ DB = DC AC   Gọi D ( x; y ) ⇒ DB = ( − x; − − y ) ; DC = (1 − x; − y ) 7 − x =−5 (1 − x ) x = Suy ra:  ⇔ y = −2 − y =−5 ( − y ) Vậy D( 2; ) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; −1) , B ( −1; ) I (1;−1) Xác định tọa độ điểm C , D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD 5 7 5    5  A O  3; −  B O  2; −  C O  −2; −  D O  2;  2 2 2    2  Lời giải Chọn B Vì I trọng tâm tam giác ABC nên x + xB + xC xI = A ⇒ xC = xI − x A − xB = y + yB + yC yI − y A − yB = yI =A ⇒ yC = −4 Suy C (1;−4 ) Tứ giác ABCD hình bình hành suy   −1 − = − xD  xD = AB =DC ⇔  ⇔ ⇒ D( 5; −7 ) 2 + =−4 − yD  yD =−7 Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC x +x y + yC 5  , yO = A xO = A C = = − ⇒ O  2; −  2 2  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 16: Cho hai điểm A (1;0 ) B ( 0; −2 ) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là: 1  A  ; −1 2  1  B  −1;  2  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 1  C  ; −2  2  D (1; −1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 11 Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm gốc tọa độ O , hai đỉnh A B có tọa độ A ( −2; ) ; B ( 3;5 ) Tọa độ đỉnh C là: A (1;7 ) B ( −1; −7 ) C ( −3; −5 ) D ( 2; −2 ) Câu 18: Tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; ) , trung điểm cạnh BC M ( 2;0 ) Tọa độ A B là: A A ( 4;12 ) , B ( 4;6 ) B A ( −4; −12 ) , B ( 6; ) C A ( −4;12 ) , B ( 6; ) D A ( 4; −12 ) , B ( −6; ) Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; ) trung điểm cạnh BC M ( 2; ) Tổng hoành độ điểm A B A 2 B C D Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B ( 5; −4 ) , C ( 3;7 ) Tọa độ điểm E đối xứng với C qua B A E (1;18 ) B E ( 7;15 ) C E ( 7; −1) D E ( 7; −15 ) Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; ) , B ( −1; ) , C ( −5;1) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành là: A D ( −8;1) B D ( 6;7 ) D D ( 8;1) C D ( −2;1) Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' B ''' điểm đối xứng B ( −2;7 ) qua trục Ox , Oy qua gốc tọa độ O Tọa độ điểm B ', B '' B ''' là: A B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) B"' ( 2; −7 ) B B ' ( −7; ) , B" ( 2;7 ) B"' ( 2; −7 ) C B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) B"' ( −7; −2 ) D B ' ( −2; −7 ) , B" ( 7; ) B"' ( 2; −7 ) Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A ( 0; 3) , D ( 2;1) I ( −1; ) tâm hình chữ nhật Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC A (1; ) B ( −2; −3) C ( −3; −2 ) D ( −4; −1)  DẠNG 5: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương  Phương pháp       • Cho u = ( x; y ) ; u' = ( x'; y') Vectơ u' phương với vectơ u u ≠ có số k ( )  x' = kx cho   y' = ky   x' y' Chú ý: Nếu xy ≠ ta có u' phương u ⇔ = x y    • Để phân tích c ( c1 ;c2 ) qua hai= vectơ a (= a1 ;a2 ) , b ( b1 ;b2 ) không phương, ta giả sử    c1 a1 x + b1 y = = c xa + yb Khi ta quy giải hệ phương trình  c2 a2 x + b2 y = A VÍ DỤ MINH HỌA Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 12 Ví dụ 1: Cho A (1; ) , B ( −2;6 ) Điểm M trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọa độ điểm M là: A ( 0;10 ) B ( 0; −10 ) C (10;0 ) D ( −10;0 ) Lời giải Chọn A Ta có: M trục Oy ⇒ M ( 0; y )   Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phương với AM    Ta có AB = ( −3; ) , AM = ( −1; y − ) Do đó, AB phương với  −1 y − AM ⇔ = y 10 Vậy M ( 0;10 ) ⇒= −3       Ví dụ 2: Cho vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c , ta được:  1 1 A b = − a− c  1 1 B.= b a− c Chọn A  1  C b = − a − 4c Lời giải  1 1 D b = − a+ c  m= −      −1= 4m + 2n 1 1  Giả sử b = ma + nc ⇔  Vậy b = ⇔ − a− c −1 =−2m + 5n n = −  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; − 2m ) , C ( m + 3;3) Tìm giá trị m để A, B, C ba điểm thẳng hàng? A m = B m = Chọn B   Ta có: AB =( − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; ) C m = Lời giải D m =   Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phương với AC − m − 2m = ⇔= m 4 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B( −3; ), C( 1; −2 ) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng  2  2 A E ( 5;− 10 ) B E  − ;  C E  − ; −  D E ( 5;10 )  3  3 Lời giải Chọn B   Vì E thuộc đoạn BC BE  2EC suy BE  2EC   Gọi E ( x; y ) BE ( x + 3; y − ) , EC (1 − x; −2 − y ) ⇔ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 13  x= −   x + 3= (1 − x )  Do  ⇔  y − = ( −2 − y )  y=2   2 Vậy E  − ;   3 Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ( 0;1) , B (1; 3) , C ( 2; ) D  0;  Tìm giao điểm đường thẳng AC BD 2  A  ;  3  2  C  3; −  3  2  B  ; −  3   2 D  3;   3 Lời giải Chọn A     Gọi I ( x; y ) giao điểm AC BD suy AI ; AC phương BI ; BD phương Mặt khác   x y −1 −2 (1) AI =( x ; y − ), AC =( ; ) suy = ⇔ x − y =   BI = ( x − 1; y − ), BD = ( −1; ) suy y = vào (1) ta có x = 2  Vậy I  ;  điểm cần tìm 3  B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 24: Khẳng định khẳng định sau đúng?   A Hai vec tơ u = ( 4; ) v = ( 8;3) phương   B Hai vec tơ a = ( −5; ) b = ( −4; ) hướng   C Hai vec tơ a = ( 6;3) b = ( 2;1) ngượchướng   D Vec tơ c = ( 7;3) vec tơ đối d = ( −7;3) Câu 25: Cho điểm A (1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; ) , D ( −1;8 ) Ba điểm điểm cho thẳng hàng? A A, B, C B B, C , D C A, B, D D A, C , D Lời giải Chọn C     Ta có: AD ( −2;10 ) , AB ( −1;5 ) ⇒ AD = AB ⇒ điểm A, B, D thẳng hàng Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B( −3; ), C( 1; −2 ) Xác định điểm E cạnh BC cho BE = EC  2  1  1  2 A E  − ;  B E  − ; −  C E  ; −  D E  − ;   3  3  3  3  2 Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B  − ;  , C( 1; −2 ), D( 15; ) Xác định  3 giao điểm I hai đường thẳng BD AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 14 7 1 7 1 7 1 7 1 A I  ;  B I  ;  C I  ;  D I  ;  2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 28: Cho ba điểm A( −1; −1 ), B( 0;1 ), C( 3; ) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC BD = DC  15   15   15   15  A  ;  B  − ;  C  ;  D  ; −  7 7  7  7 7  Câu 29: Cho tam giác ABC có A( 3; ), B( 2;1 ), C( −1; −2 ) Tìm điểm M đường thẳng BC cho S ABC = 3S ABM A M ( 0;1) , M ( 3; ) B M (1; ) , M ( 3; ) C M (1; ) , M ( 2; 3) D M ( 0;1) , M ( 2; 3) Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A 2;  tâm I  1;  Biết điểm K  1;  nằm đường thẳng AB điểm D có hồnh độ gấp đơi tung độ Tìm đỉnh B,D hình bình hành A B ( 2;1) , D ( 0;1) B B ( 0;1) ; D( 4; −1 ) C B ( 0;1) ; D ( 2;1) , D B ( 2;1) , D ( 4;−1) C HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN   Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC BE suy EC BE EC    Gọi E ( x; y ) BE ( x + 3; y − ) , EC (1 − x; −2 − y )   x = −  x + 3= (1 − x ) Do  ⇔  y − = ( −2 − y )  y=2   2 Vậy E  − ;   3 Câu 27: Gọi I ( x; y ) giao điểm BD AC    46  Do DI ( x − 15; y ) ,DB  − ;  phương suy  3 ( x − 15 ) y = ⇒ x + 23 y − 15 = (1) −46   x −6 y −3 = ⇒ x − y −= (2) AI ( x − 6; y − 3) , AC ( −5; −5 ) phương suy −5 −5 Từ (1) (2) suy x = y = 2 7 1 Vậy giao điểm hai đường thẳng BD AC I  ;  2 2     Câu 28:= Ta có BD DC , BD ( xD ; yD − 1) ,DC ( − xD ; − yD ) 15  xD =  xD ( − xD )  =   15  Do  ⇔ ⇒ D ;   7 2 ( yD − 1) = ( − yD ) y =2 D  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 15   3S ABM ⇔ BC = 3BM ⇒ BC = ±3BM Câu 29: Ta có S ABC =   Gọi M ( x; y ) ⇒ BM ( x − 2; y − 1) ; BC ( −3; −3) −3 =−3 ( x − )  x = −3= ( x − )  x = ⇔ ⇔ Suy    −3 =−3 ( y − 1) y = y =  −3= ( y − 1) Vậy có hai điểm thỏa mãn M (1; ) , M ( 3; ) Câu 30: I trung điểm AC nên C ( 4;−1) Gọi D ( 2a;a ) ⇒ B ( − 2a; − a )   AK (1; −1) , AB ( − 2a; −1 − a )   − 2a −1 − a Vì AK , AB phương nên = ⇒ a =1 ⇒ D ( 2;1) , B ( 0;1) −1 III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là:  x − x y − yB  A I  A B ; A     x + x y + yB  C I  A B ; A     x + x y + yB  B I  A B ; A     x + y A xB + y B  ; D I  A    Lời giải Chọn B x +x  xI = A B     x − x A = xB − xI  Ta có: I trung điểm đoạn thẳng AB ⇒ AI = IB ⇔  I ⇒  yI − y A = yB − yI  y = y A + yB  I Câu 2:  x + x y + yB  Vậy I  A B ; A      Cho các= vectơ u (= u1 ; u2 ) , v u = u2 A  v1 = v2 ( v1; v2 ) Điều kiện để vectơ u = −v1 B  u2 = −v2 Chọn C Câu 3:   u = v u = v C  1 u2 = v2 Lời giải u = v D  u2 = v1  Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) Tọa độ vectơ AB   B AB = A AB = ( y A − x A ; y B − xB ) ( x A + xB ; y A + y B )   C AB = D AB = ( x A − xB ; y A − y B ) ( xB − x A ; y B − y A ) Chọn D Lời giải  Theo công thức tọa độ vectơ AB = ( xB − x A ; y B − y A ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 16 Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) C ( xC ; yC ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:  x − x + x y + yB + yC  A G  A B C ; A  3    x + x + x y + yB + yC  C G  A B C ; A  3    x + x + x y + yB + yC  B G  A B C ; A     x + x + x y + yB + yC  D G  A B C ; A    Lời giải Chọn C Câu 5:     Ta có: G trọng tâm tam giác ABC ⇒ OA + OB + OC = 3OG với O điểm Chọn O gốc tọa độ O Khi đó, ta có: x A + xB + xC   xG =     xG  x A + xB + xC = ⇒ OA + OB + OC = 3OG ⇔  y A + yB + yC yG =  y = y A + yB + yC  G  x + x + x y + yB + yC  ⇒ G A B C ; A  3    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 5; ) , B (10;8 ) Tọa độ vec tơ AB là: A ( 2; ) B ( 5;6 ) C (15;10 ) Lời giải Chọn B  Ta có: AB = (10 − 5;8 − ) = ( 5; ) Câu 6:   Cho hai điểm A (1;0 ) B ( 0; −2 ) Tọa độ điểm D cho AD = −3 AB là: A ( 4; −6 ) B ( 2;0 ) C ( 0; )    xD − x A =−3 ( xB − x A )  xD − =−3 ( − 1) x = Ta có: AD = −3 AB ⇔  ⇔ ⇔ D  yD =  yD − y A =−3 ( yB − y A )  yD − =−3 ( −2 − )     Cho a = ( 5; −7 ) Tọa độ vec tơ a − b là: ( −1; ) , b = A ( 6; −9 ) B ( 4; −5 ) C ( −6;9 ) Chọn C   Ta có: a − b = ( −1 − 5; + ) = ( −6;9 ) Câu 8: D ( −5; −14 ) Lời giải  AB 3,= BC Độ dài vec tơ AC là: Cho hình chữ nhật ABCD có= A Chọn B  Ta có: AC = AC = Câu 9: D ( 4;6 ) Lời giải Chọn D Câu 7: D ( 50;6 ) B AB + BC = C Lời giải D 32 + 42 =  Cho hai điểm A (1;0 ) B ( 0; −2 ) Vec tơ đối vectơ AB có tọa độ là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 17 A ( −1; ) B ( −1; −2 ) C (1; ) D (1; −2 ) Lời giải Chọn B   Ta có vectơ đối AB BA = ( − 1; −2 − ) = ( −1; −2 )     Câu 10: Cho a =− ( 3; ) , b = ( −1; ) Tọa độ vec tơ a + b là: B ( 4; −6 ) A ( 2; −2 ) Chọn A   Ta có: a + b = C ( −3; −8 ) D ( −4;6 ) Lời giải ( + (−1); (−4) + ) = ( 2; −2 )     Câu 11: Cho A ( 0;3) , B ( 4; ) Điểm D thỏa OD + DA − DB = , tọa độ D là: A ( −3;3) B ( 8; −2 ) C ( −8; )  5 D  2;   2 Lời giải Chọn B      xD − + ( − xD ) − ( − xD ) =  xD = Ta có: OD + DA − DB = 0⇔ ⇔  yD = −2  yD − + ( − yD ) − ( − yD ) = Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A ( 3; −2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( −8; −5 ) Khẳng định sau đúng?   A AB, CD đối   C AB, CD phương hướng   B AB, CD phương ngược hướng D A, B, C, D thẳng hàng Lời giải Chọn B     Ta có: AB =( 4;3) , CD =− ( 8; −6 ) ⇒ CD =−2 AB Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) , C ( 2; −5 ) Tọa độ điểm M thỏa mãn     MA + MB − 3MC = A M (1;18 ) B M ( −1;18 ) C M ( −18;1) D M (1; −18 ) Lời giải Chọn D     (1 − xM ) + ( − xM ) − ( − xM ) = x = Ta có: MA + MB − 3MC =⇔ ⇔ M   yM = −18 ( − yM ) + ( − yM ) − ( −5 − yM ) = Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( −2;0 ) , B ( 5; −4 ) , C ( −5;1) Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD hình bình hành là: A D ( −8; −5 ) B D ( 8;5 ) Chọn D C D ( −8;5 ) D D ( 8; −5 ) Lời giải   −5 − =−2 − xD  xD =8 Ta có: tứ giác BCAD hình bình hành BC = DA ⇔  ⇔ + = − y y = −  D  D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 18 Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; ) , B ( −1; ) , C ( −5;1) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành là: A D ( −8;1) B D ( 6;7 ) C D ( −2;1) D D ( 8;1) Lời giải Chọn C   −1 − =−5 − xD  xD =−2 Ta có: tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC ⇔  ⇔ 4 − =1 − yD  yD =1 Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A ( 0; ) , B (1; ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn   AM = −2 AB là: A M ( −2; −2 ) B M (1; −4 ) C M ( 3;5 ) D M ( 0; −2 ) Lời giải Chọn A    xM − =−2 (1 − )  x = −2 Ta có: AM =−2 AB ⇔  ⇔ M ⇒ M ( −2; −2 )  yM = −2  yM − =−2 ( − )      Câu 17: Cho a = ( −4, 1) b =( −3, − ) Tọa độ c= a − 2b là:     A = B c = ( 2;5 ) C c =( −7; −1) D c =− c (1; − 3) ( 10; −3) Lời giải Chọn B    Ta có: c =a − 2b =− ( − 2.(−3);1 − 2.(−2) ) =( 2;5)     Câu 18: Cho a (2016 = = 2015;0), b (4; x) Hai vectơ a, b phương A x = 504 B x = C x = −504 Lời giải D x = 2017 Chọn B     Ta có: a, b phương ⇔ a = k b ⇒ x =   7  Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A  ; −3  ; B(−2;5) Khi a = −4 AB = ? 2    −11     ;8  A.= B a = ( 22;32 ) C a = ( −22;32 ) D a =  a ( 22; −32 )   Lời giải Chọn A     Ta có: a =−4 AB =−4  −2 − ;5 +  =( 22; −32 )       Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho a =(m − 2; 2n + 1), b =( 3; −2 ) Nếu a = b A m = 5, n = −3 B m = 5, n = − Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C m = 5, n = −2 m 5,= n D = Lời giải TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 19 m =   m − =  b⇔ ⇔ Ta có: a = 2n + =−2 n = − Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; −1) Điểm B điểm đối xứng A qua trục hoành Tọa độ điểm B là: A B (2;1) B B(−2; −1) C B (1; 2) D B (1; −2) Lời giải Chọn A Ta có: B điểm đối xứng A qua trục hoành ⇒ B ( 2;1)       Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy= cho a (2;1), c m.a + n.b Khi = b (3; = 4), c (7; 2) Cho biết= 22 −3 A m = − ;n = 5 B.= m −3 = ;n 5 C = m 22 −3 = ;n 5 D = m 22 = ;n 5 Lời giải Chọn C 22  m=     2m + 3n =  Ta có: c = m.a + n.b ⇔  ⇔ = + m n  n = −        Câu 23: Cho vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c , ta được:  1 1 A b = − a− c  1 1 B.= b a− c Chọn A  1  C b = − a − 4c Lời giải  1 1 D b = − a+ c  m= −      −1= 4m + 2n 1 1  Giả sử b = ma + nc ⇔  Vậy b = ⇔ − a− c −1 =−2m + 5n n = −        1  ( x; 2), b = − 5; , c = x ;7 Câu 24: Cho a = Vectơ = c 4a − 3b ( )   3  A x = 15 B x = C x = −15 D x = −5 Lời giải Chọn D  x = x − 3.(−5)     Ta có: c = 4a − 3b ⇔  −5 ⇔x= 4.2 = −  Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; − 2m ) , C ( m + 3;3) Tìm giá trị m để A, B, C ba điểm thẳng hàng? A m = B m = Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C m = Lời giải D m = TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 20   Ta có: AB =( − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; )   Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phương với AC ⇔ − m − 2m m = ⇔= 4 Câu 26: Cho hai điểm M ( 8; −1) , N ( 3; ) Nếu P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N P có tọa độ là: A ( −2;5 ) B (13; −3) C (11; −1)  11  D  ;   2 Lời giải Chọn A Ta có: P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N trung điểm đoạn thẳng PM  + xP 3=  xP = −2  Do đó, ta có:  ⇔ ⇒ P ( −2;5 )  yP = 2 = (−1) + yP  Câu 27: Cho tam giác ABC với A ( 3; −1) , B ( −4; ) , C ( 4;3) Tìm D để ABDC hình bình hành? A D ( 3;6 ) B D ( −3;6 ) C D ( 3; −6 ) D D ( −3; −6 ) Lời giải Chọn B   −4 − =xD −  x =−3 Ta có: ABDC hình bình hành ⇔ AB = CD ⇔  ⇔ D ⇒ D ( −3;6 ) 2 + 1= yD −  yD = Câu 28: Cho K (1; −3) Điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy cho A trung điểm KB Tọa độ điểm B là: A ( 0;3) 1  B  ;0  3  C ( 0; ) D ( 4; ) Lời giải Chọn A Ta có: A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( x;0 ) , B ( 0; y ) 1+    x = x = ⇔ A trung điểm KB ⇒  Vậy B ( 0;3) 0 = −3 + y  y =  Câu 29: Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( 4; ) , C ( 4; −3) Tìm D để ABCD hình bình hành? A D ( −3; ) B D ( −3; −4 ) Chọn B C D ( 3; −4 ) D D ( 3; ) Lời giải   4 − =4 − xD  xD =−3 Ta có: ABCD hình bình hành ⇔ AB= DC ⇔  ⇔ ⇒ D ( −3; −4 ) 2 − =−3 − yD  yD =−4 Câu 30: Các điểm M ( 2;3) , N ( 0; −4 ) , P ( −1;6 ) trung điểm cạnh BC , CA , AB tam giác ABC Tọa độ đỉnh A tam giác là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 21 A (1; −10 ) B (1;5 ) C ( −3; −1) D ( −2; −7 ) Lời giải Chọn C A N P B M C  x + x = xP + x N  x A + =0 + (−1)  x A =−3 Ta có: APMN hình bình hành nên  A M ⇔ ⇔ ( 4) +  y A + =−  y A =−1  y A + yM =yP + y N Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M (1; −1) , N ( 5; −3) P thuộc trục Oy ,trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P A ( 0; ) B ( 2;0 ) C ( 2; ) D ( 0; ) Lời giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trục Ox ⇒ G ( x;0 ) 1+ +   x = x = G trọng tâm tam giác MNP nên ta có:  ⇔  y =4 0 = (−1) + (−3) + y  Vậy P ( 0; )    Câu 32: Cho điểm A ( −2;1) , B ( 4;0 ) , C ( 2;3) Tìm điểm M biết CM + AC = AB A M ( 2; −5 ) B M ( 5; −2 ) C M ( −5; ) D M ( 2;5 ) Lời giải Chọn A     xM =  xM − + ( + )= ( + ) Ta có: CM + AC = AB ⇔  ⇔ ⇒ M ( 2; −5 ) ) ( − 1)  yM = −5  yM − + ( − 1= - Hết Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... biết tọa độ c) Tọa độ điểm  u A A2  j O  u  i A1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục  Như vậy, cặp số ( x; y ) tọa độ. .. Hệ trục tọa độ     a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) gồm hai trục ( O;i ) ( O; j ) vng góc với Điểm gốc   O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục ( O;i ) gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục. .. BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I – LÝ THUYẾT Trục độ dài đại số trục a)Định nghĩa • Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi  điểm gốc vectơ đơn vị e • Điểm O gọi gốc tọa độ • Hướng