BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN

2- Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức:VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.. b Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta cần

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN

THI VÀO CHUYÊN

_

§ 1 - BẤT ĐẲNG THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I) Bất đẳng thức Cauchy

1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Cauchy:

- Nội dung: Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn

chúng Nghĩa là: a + a + a +…+ a > n với a > 0, a > 0,…,a > 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a =…= a

* Chú ý: Chính vì nội dung của bất đẳng thức Cauchy mà khi chứng minh bất đẳng thức có xuất hiện tổng hoặc tích thì ta nên nghĩ ngay tới bất đẳng thức Cauchy

2- Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức:

VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương:

(a+b-c) + (c+a-b) > 2 ⇒ 2a > 2

⇒ a > (a+b-c)(c+a-b) Làm tương tự như vậy ta sẽ có:

b > (a+b-c)(b+c-a) , c > (c+a-b)(a+b-c)

Vậy (abc) > ⇒ (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều

* Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách làm sau đây:

(a+b-c)(c+a-b) = = a - (b-c) < a

Tương tự (a+b-c)(b+c-a) < b , (c+a-b)(b+c-a) < c

Từ đó ta có đccm

b) Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta cần liên tưởng đến một

hệ quả rất hữu dụng của bất đẳng thức Cauchy: +

1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Bunyakovsky:

- Nội dung: Cho 2 bộ n số thực (a, a,…, a) và (b, b, , b) Ta có:

(a + a +…+ a)(b + b +…+ b) > (ab + ab +…+ ab)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k

Bất đẳng thức Bunyakovsky còn có một biến dạng khác là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Schwarz hay bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k

2- Một số ví dụ về vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky trong việc chứng minh bất đẳng thức:

VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x:

+ > 4 (*)

Giải:

Ta thấy vế trái của (*) gồm có một căn thức và một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Mối liên hệ này làm ta nhớ đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Ta giải bài này như sau:

VÍ DỤ 3: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh: + + >

Cơ sở của phương pháp này chính là A > B ⇔ A - B > 0

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số a+b

có tổng là một số dương Chứng minh rằng: a + b > ab(a+b)

Giải:

Xét hiệu - ab = a - ab - ab + b = a(a - b) - b(a - b)

= (a - b)(a - b) = (a-b)(a+b) > 0 (vì (a-b) > 0 ∀a, b và a+b > 0)Dấu “=” xảy ra ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b

* Chú ý: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp biến đổi tương đương hoặc sử dụng tính chất của bất đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy

VÍ DỤ 2:

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a + b + c - 3abc

b) Cho các số không âm a, b, c Chứng minh: >

(Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho ba số không âm)

Mà x, y, z > 0 nên x+y+z > 0 (1)

Và theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy thì: x + y + z > xy + xz + yz

⇒ x + y + z - xy - xz - yz > 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có: x + y + z - 3 xyz > 0 hay x + y + z > 3xyz

Đặt x = , y = , z = thì bất đẳng thức trên tương đương với >

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

* Chú ý: Bài toán trên cho ta một cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho ba số bằng phương pháp đặt ẩn phụ để bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức “hữu tỉ” rồi sau đó sử dụng phương pháp xét hiệu Ngoài ra ta còn có thể chứng minh bằng cách khác như sau:

Ta nhận thấy với mọi số không âm a, b ta có: >

2- Phương pháp biến đổi tương đương:

Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng một bất đẳng thức khác tương đương với nó Nếu bất đẳng thức đó đúng thì bất đẳng thức ta cần chứng minh cũng đúng Trong suốt quá trình biến đổi ta bắt buộc phải sử dụng kí hiệu ⇔

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: + y + z >

VÍ DỤ 2: Cho các số a, b thỏa mãn a+b > 1 Chứng minh: a + b >

Vậy (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) > ⇒ 2(a + b) > ⇒ a + b >

4- Phương pháp xét phần tử đại diện:

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 ta có:

S = + + + +…+ không phải là số tự nhiên

3(a + b) > 3ab(a+b) ⇔ 4(a + b) > a + b + 3ab(a+b) = (a+b)

⇒ 4.2 > (a+b) ⇒ (a+b) < 8 ⇒ a+b < 2

6- Phương pháp qui nạp toán học:

Các bước chứng minh mệnh đề đúng trên tập hợp số tự nhiên N bằng phương pháp qui nạp toán học:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 (giả thiết qui nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1

- Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n

VÍ DỤ: Chứng minh rằng với ∀n ∈ N, n > 3 thì: 2 > 2n+1 (1)

Giải:

a) Với n = 3 thì 2 = 8, 2n+1 = 2.3+1 = 7 ⇒ 2 > 2n+1

Do đó mệnh đề đúng với n = 3

Vậy (2) đúng với mọi k > 3

c) Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số tự nhiên n, n > 3

B) LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng với ∀a, b thỏa mãn ab > 1 ta có: + > Bài 2: Cho các số dương a, b thỏa mãn a+b < 2 Chứng minh a+b < 2

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

A = cot B + cot C

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có: 4x-5 + > 3

Bài 5: Cho các số dương a, b, c Chứng minh:

a) a(1-a) >

b) abc(1-a)(1-b)(1-c) >

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I) Kĩ thuật “cộng thêm” để chứng minh bất đẳng thức

Ta có thể cộng thêm số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy một cách phù hợp Tuy nhiên cộng như thế nào cho hợp lí và dẫn ta đến kết quả của bài toán là một vấn đề không hề đơn giản

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

* Chú ý: Ở đây ta đặt ra một câu hỏi tại sao ta không “cộng thêm” vào số dương b+c mà lại cộng với ? Ta thử lật ngược lại vấn đề: Nếu ta cộng vào số b+c thì: + b+c > 2 = 2a Làm tương tự như vậy đối với và rồi cộng từng vế các bất đẳng thức vừa chứng minh ta sẽ có:

+ + + (b+c+c+a+a+b) > 2a + 2b + 2c

⇒ + + > 0, điều này không nói ai cũng biết !!!

Từ đây chúng ta phải có sự định hướng đúng đắn với phương pháp này

II) Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu

Ta có một thắc mắc khi nghe cái tên kì cục này Đó là “Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu là gì?” Thật ra ai cũng biết tới bất đẳng thức Cauchy - bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:

Với n số không âm a, a,…, a ta có: >

Những bất đẳng thức cần áp dụng kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu thì thường vế trái là các phân thức có mẫu là một tổng có chứa 1.

Phương hướng giải thường là ta đem nhân mẫu của một phân thức cho tử rồi bớt đi những biểu thức để nó bằng với phân thức đã cho

Ta quay trở lại với VÍ DỤ 2

Vì a, b là các số chính phương nên , là các số tự nhiên

⇒ + là số tự nhiên Vậy A là số chính phương

Bài 4: Cho (x + )(y + ) = 2007 Tính S = x + y

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) N =

b) P = +

c) Q = (vô hạn dấu căn)

§ 3 - KĨ NĂNG VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN HÌNH HỌC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Có rất nhiều phương pháp vẽ thêm hình (gọi giao điểm, nối hai điểm có sẵn trong hình, kẻ đường vuông góc hoặc song song, kẻ đường kính của đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn, vẽ một góc bằng góc cho trước, phân giác của một góc, đặt một đoạn bằng đoạn cho trước, lấy điểm đối xứng, vẽ thêm một tam giác bằng tam giác đã cho, vẽ tam giác vuông cân hoặc hình vuông, tam giác đều, đường tròn,…)

- Trong số các phương pháp trên không có phương pháp nào là ứng dụng được trong mọi trường hợp Tùy từng bài toán mà ta có những cách vẽ hình phụ khác nhau mang tính sáng tạo của riêng mình sao cho lời giải bài toán thật ngắn gọn, dễ hiểu, có sức thuyết phục

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

VÍ DỤ 1: Cho hình thang vuông ABCD ( = = 90) có BC = 2AB =

2AD Lấy điểm M trên cạnh AD Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MB cắt CD tại N Chứng minh tam giác BMN vuông cân

Kẻ trung tuyến MH của tam giác BMN.

VÍ DỤ 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau

tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (B ∈ (O); C

∈ (O’)) Tính BC

Giải:

B

M C

Vẽ tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M

Khi đó MB = MA, MC = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó MA = MB = MC Vậy tam giác ABC vuông tại A

Mặt khác MO là phân giác , MO’ là phân giác

⇒ MO ⊥ MO’ Tam giác MOO’ vuông tại M cho ta MA = AO.AO’

⇒ MA =

Lại có MA = BC ⇒ BC = 2

VÍ DỤ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định thuộc miền trong

của góc Một đường thẳng thay đổi vị trí nhưng luôn đi qua M cắt

Ox và Oy thứ tự ở A, B Gọi S, S là diện tích các tam giác MOA

và MOB Chứng minh rằng tổng + có giá trị không đổi.

O A

O’

A x

N M

VÍ DỤ 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng

song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

Giải:

A

D

N N’ E

O

DE // BC ⇒ = = ⇒ DN’ = EN’ ⇒ N’ là trung điểm của DE

Do đó N ≡ N’ ⇒ (AM) ≡ (OM) hay A, O, M thẳng hàng

VÍ DỤ 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên

tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài Chứng minh rằng đường cao

hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4

Giải:

A

n n+2

H n+1

B C

Xét tam giác ABC có AB = n, BC = n+1, AC = n+2 (n ∈ N*) , đường cao AH

Ta cần chứng minh CH - BH = 4 (vì AC > AB nên CH > BH)Theo định lí Pythagore ta có:

Bài 1: Cho D, E, F theo thứ tự là ba điểm nằm trên ba cạnh BC, AC,

AB của ΔABC hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh đó Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm D, E, F thẳng hàng là = 1

Bài 2: Cho AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc

CE và CF Chứng minh:

a) AB.AE + AD.AF = AC

b) Có nhận xét gì khi hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật?

§ 4 - CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ

NGUYÊN A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Yêu cầu:

- Nhớ lại các tính chất chia hết trên tập số nguyên

- Nhớ lại các kiến thức về đồng dư

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

VÍ DỤ 1: Cho a là số nguyên lẻ, b là số nguyên Chứng minh rằng

các số a và ab+4 không thể có ước số chung khác ± 1

minh tổng a + b + c cũng chia hết cho 6

Vì tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! nên P + 16.4! = 384

VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên

Bài 3: Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z + 6 Chứng minh biểu thức

M = (x+y)(y+z)(z+x) - 2xyz chia hết cho 6

Bài 4: Giải bài toán sau:

“Trăm trâu trăm cỏ

Trâu đứng ăn năm

I) Các loại phương trình thường gặp

- Phương trình bậc nhất một ẩn 5x + 6 = 0

- Phương trình tích (x + 1)(2x - 7) = 0

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu + = 6

- Phương trình có chứa tham số mx - 3 = 4x - m - 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 2

- Hệ phương trình không mẫu mực

- Hệ phương trình chứa tham số

………

III) Một số kiến thức về phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Ta có biệt thức Δ = b - 4ac

- Δ > 0 ⇔ phương trình có hai nghiệm x = và x =

- Δ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm

Hệ thức Viet và ứng dụng

- Hệ thứcViet: Cho phương trình ax + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Nếu phương trình có nghiệm x, x thì x + x = ; xx =

- Ứng dụng của hệ thức Viet:

1/ Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nếu a+b+c = 0 thì x = 1, x =

Nếu a-b+c = 0 thì x = -1, x = -

2/ Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y Biết rằng x + y

= S, xy = P thì x, y là nghiệm của phương trình X - SX + P = 0 3/ Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x, x thì ax + bx + c = a(x - x)(x - x) 4/ Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a

≠ 0) Giả sử phương trình có nghiệm x, x.

Nếu xx = < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Nếu xx = > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó nếu x+x = < 0 thì phương trình có hai nghiệm dương Nếu x+x

= > 0 thì phương trình có hai nghiệm âm

IV) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Dù là giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình thì ta cũng phải làm theo các bước sau:

- Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

+) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng

đã biết

+) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

- Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương trình) nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ; z) = (4 ; 8 ; 12)

VÍ DỤ 2: Giải hệ phương trình (I)

Giải:

Ta không nên xét từng trường hợp của hệ phương trình vì điều này

sẽ đem lại cho ta nhiều rắc rối trong quá trình làm bài Mà thay vì

đó ta nên biến đổi hệ phương trình một cách thích hợp để làm mất dấu giá trị tuyệt đối

Ta có hệ (I) ⇔

Từ đó ta có: - 5y - 9 > 0 và 2x > 0 ⇒ x > 0, y < 0

Do đó hệ phương trình tương đương

Hệ phương trình trên có nghiệm x = 2, y = 3

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 3)

VÍ DỤ 3: Giải phương trình + = 4-2x-x

Nếu ta không nên bình phương hai vế để làm mất dấu căn vì khi bình phương lên như vậy, phương trình của chúng ta sẽ trở thành phương trình bậc cao và rất khó giải Chỉ cần để ý một chút thôi thì lời giải ngắn gọn của bài toán sẽ đến với ta

ĐKXĐ: x ∈ R

= = > = 2 (1)

= = > = 3 (2)

⇒ VT > 2+3 = 5 (3)

Mặt khác 4 - 2x - x = 5 - (x + 2x + 1) = 5 - (x+1) < 5 hay VP < 5 (4)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1, x = 2

VÍ DỤ 5: Nhân ngày 1 tháng 6 một phân đội thiếu niên được tặng

một số kẹo Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mỗi đội viên trong phân đội Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng

đã đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:

Bạn thứ nhất nhận một cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận hai kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại thì vừa hết.

Hỏi phân đội thiếu niên trên có bao nhiêu người và mỗi đội viên nhận bao nhiêu cái kẹo?

Giải:

Gọi số kẹo mà phân đội nhận được là x (x ∈ N*)

Theo cách chia thì bạn thứ nhất nhận được số kẹo là 1+ (cái)

Bạn thứ hai lấy đi hai chiếc kẹo thì số kẹo còn lại là: x - 2+1+ = (cái)

Phần kẹo bạn thứ hai nhận được là 2+ = (cái)

Vì số kẹo được chia đều nên ta có 1+ = (cái)

Giải phương trình trên ta được x = 100

Số đội viên trong phân đội đó là: 100 : 1+ = 10 (đội viên)

Vậy có 10 đội viên và 100 cái kẹo

C) LUYỆN TẬP

Bài 1: Một số tự nhiên có 5 chữ số Nếu viết thêm vào bên trái hay bên phải chữ số 1 ta đều được một số có 6 chữ số Biết rằng khi ta viết thêm vào bên phải số đó ta được một số lớn gấp ba lần ta viết thêm vào bên trái Hãy tìm số đó

Bài 2: Giải phương trình = 3 -

Bài 3: Giải phương trình + 3 + = 8

Bài 4: Giải hệ phương trình

Bài 5: Giải hệ phương trình

§ 5 - BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng , trong đó A

và B là các đa thức và B ≠ 0)

- Hai phân thức bằng nhau: = ⇔ AD = BC (B, D ≠ 0)

- Tính chất cơ bản của phân thức: = (M ⇔ 0)

= (N là nhân tử chung của A và B)

- Các phép toán trên phân thức: + = (M ≠ 0)

- = (M ≠ 0)

= (B, D ≠ 0)

: = (A, C, D ≠ 0)

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP