chuyên đề hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

chuyên đề hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 3

I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN 3

1 Cơ sở lí luận 3

2 Cơ sở thực tiễn 3

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .4

1 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 4

2 Đối tượng nghiên cứu 5

3 Phương pháp nghiên cứu 5

B NỘI DUNG 5

I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ 5

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 5

2 Hệ phương trình đối xứng loại một 7

3 Hệ phương trình đối xứng loại hai 8

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 9

1 Phương pháp biến đổi tương đương 9

DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y .9

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích 14

2 Phương pháp đặt ẩn phụ 19

3 Phương pháp đánh giá 25

C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 29

I GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM 29

II KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM 35

1 Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm 35

2 Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm 36

3 So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm 36

D KẾT LUẬN 37

I NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 37

II BÀI HỌC KINH NGHIỆM 38

III KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 39

IV KẾT LUẬN CHUNG 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số” Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu căn Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại

số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải

hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này

là hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình không mẫu

mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ

2 Cơ sở thực tiễn

Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các

phương pháp giải Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp

lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên,

đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh Không những vậy, trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng 2 luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ không mẫu mực

Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến chuyên đề này Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực

Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng

kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu

mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9”

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG

PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở

Nhiệm vụ cần đạt:

- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn

- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho tứng phương pháp

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này

3 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:

- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử

- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê

- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế

(1) ' ' ' (2)

Nghiệm của hệ là cặp số x y;  thoả mãn đồng thời hai phương trình (1)

và (2) của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ

Cách giải:

Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp:

- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế;

- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số

Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau:

Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt

đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp sử dụng định thức cấp 2 Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệ phương trình trên như sau:

x

y

D x D D y D

2 Hệ phương trình đối xứng loại một

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau)

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của

* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

* Nếu S  10 thì P 21, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 2; 3 ; 3; 2 ;     3;  7 ;   7; 3  

3 Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được

Ví dụ Giải hệ phương trình sau:

3 3

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,… Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi Ta có thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực trong các tình huống sau

DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2 1 0

Vậy hệ có hai nghiệm:  1; 0 ; 1; 1   

Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên

ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương Trong hệ mới nhận được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất hiện mẫu số

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

1 1

1 1

1

2

2 1

x

x y

x

x x

y

x

x x

y x

y x

Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên

ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ Tuy nhiên việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét 0; y

không là nghiệm của hệ để từ đó với x 0 ta có thể tính

nhận được tương đương với hệ đã cho

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

2

10 0

17 2

y x

x

y

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:  1; 17 ;    2;  24 

Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào

là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình

là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau  

*) Dễ thấy xy 0 là nghiệm của hệ

*) Các cặp số x y víi ;  x0; y0 hay x0; y0đều không là nghiệm

*) Với xy0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho xy0 ta được:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:

Nhận xét: Để giải hệ trên ta có thể biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc

cộng đại số như sau:

x y xy x y xy y

x y xy x y xy

x y xy x y xy Đến đây việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải 3 hệ phương trình đơn giản hơn Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu, đặc biệt là học sinh lớp 9

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 1;  2 ; 2; 1    

Nhận xét: Rõ ràng với ví dụ 5 này việc tìm ra được cách biến đổi để giải

được hệ phương trình trên như trên là khá khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 9 Với ví dụ này, đòi hỏi học sinh phải nhận xét hết sức tinh tế

các hệ số của từng hạng tử trong mỗi phương trình và học sinh đã được tiếp cận với cách biến đổi tương tự như trên

1 0 1

4) 5) 6)

9 7)

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:            

Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là

phương trình đẳng cấp bậc hai, tuy nhiên đối với học sinh lớp 9 không nên giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải này học sinh rất khó hiểu tại sao lại nghĩ ra cách đặt đó Chính vì vậy, khi dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích và biến đổi tiếp như cách giải trên

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

x y

x y

Vậy hệ đó cho cú hai nghiệm: 1; 1 ; 4; 13

Khi đó ta được nghiệm của hệ l

Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là ; 4; 13

Vớ dụ 3 Giải hệ phương trỡnh sau

- Với hệ có chứa dấu căn, khi dạy giáo viên cần rèn cho học sinh thói

quen phải đặt điều kiện để các căn thức cùng có nghĩa, trong thực tế học sinh thường quên điều này

- Để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng tích, ta cũng có thể

biến đổi như sau:

Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay về

dạng tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa được về dạng tích

3 ( 1) ( 3) 4 8)

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau:

* Nhận thấy mọi cặp số x y;  với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ

* Khi y0, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ:

 

2

2 2

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 1; 2 ;  2; 5 

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

0964

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

0

u v

2 3

x y

- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt

ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ

- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo

x từ phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất Tuy nhiên theo cách này sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau:

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình sau:

5 4 5 (1 2 )

Giải hệ phương trình mới nhận được ta có:

Qua ví dụ này cho thấy với kiến thức lớp 9, học sinh hoàn toàn có thể tiếp

cận được đến việc giải các hệ không mẫu mực ngay cả trong đề thi vào các

trường Đại học Rõ ràng với phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta giải được

nhiều hệ tương đối phức tạp bằng cách đưa về việc giải các hệ đơn giản hơn

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau:

 2

3 2

Do đó hệ đã cho trở thành

2 1

3 2

- Trong ví dụ trên việc đặt ẩn phụ lại không tiến hành theo lối thông

thường, là biến đổi hệ để xuất hiện biểu thức đặt ẩn phụ mà việc đặt ẩn phụ chỉ tiến hành ở phương trình thứ nhất của hệ nhằm đưa phương trình thứ nhất về dạng đơn giản, nhờ đó mà ta giải được hệ phương trình

- Như vậy có thể nói, việc đặt ẩn phụ đòi hỏi người giải toán phải hết sức

linh hoạt trong việc chọn giải pháp biến đổi hệ đã cho nhằm xuất hiện

bộ phận cần đặt ẩn phụ Cũng có khi việc đặt ẩn phụ chỉ nhằm mục đích biến đổi một phương trình của hệ thành phương trình mới tương đương với với phương trình ban đầu nhưng ở dạng đơn giản hơn, chính

vì vậy giúp ta có thể giải được hệ phương trình đề toán đặt ra

3

2.

1 5)

x y

xy xy

7

x x

y x

4 22

( 1)( 1)( 2) 6 15)

Tuy nhiên với phương pháp này, đòi hỏi người làm toán cần nắm rất vững kiến thức về bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dưới đây là một số ví dụ có tính chất minh hoạ cho phương pháp này

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau  2

1

4 1

Do vậy ta suy ra z  3 và 2x  8 x 4