CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG mẫu mực

81.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 101.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương... Lí do chọn đề tàiHệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thituyể

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÔNG MẪU MỰC

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

PHÚC YÊN - 2014

Mở đầu 3

1.1 Một số hệ phương trình thường gặp 61.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 61.1.2 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 61.1.3 Hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một

phương trình khác 71.1.4 Hệ đối xứng loại 1 71.1.5 Hệ đối xứng loại 2 81.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai đối với hai biến x & y 81.2 Một số kiến thức cần nắm vững khi giải hệ phương trình

không mẫu mực 81.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 101.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 101.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 161.3.3 Phương pháp thế 21

2.1 Bài tập tự luyện 26Kết luận 33

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thituyển sinh vào các trường THPT chuyên, lớp chọn và đề thi học sinhgiỏi các cấp, đặc biệt là thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bàitoán khó, đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy logic, kiến thức phảichắc chắn về hệ phương trình

Chính vì vậy giải hệ phương trình luôn gây được sự hấp dẫn đốivới người dạy lẫn người học Có nhiều phương pháp để giải hệ phươngtrình, tuy nhiên không có phương pháp nào vạn năng để giải được mọibài toán

Trong quá trình giảng dạy học sinh ôn thi vào lớp 10 và bồi dưỡnghọc sinh giỏi toán 9,tôi thấy học sinh gặp phải khó khăn và lúng túngkhi giải hệ phương trình đặc biệt là các hệ phương trình không mẫumực Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá đưa việc giải các

hệ phương trình không mẫu mực về giải hệ phương trình quen thuộc, cơbản là vấn đề trăn trở, suy nghĩ của bản thân tôi cũng như nhiều đồngnghiệp Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp các em học sinh lớp 9

có thêm một vài phương pháp giải hệ phương trình nên tôi viết chuyên

đề với tên đề tài:

"Một số phương phápgiải hệ phương trình không mẫu mực"

Với một số phương pháp giải hệ này tôi hi vọng sẽ có tác dụng trongviệc rèn luyện tư duy toán học cho các em học sinh và là nguồn tài liệunhỏ giúp các em luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho các kì thi

học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thông qua tìm tòi, tổng hợp để đưa ra được các dạng bài tập vàphương pháp giải cho từng dạng bài toán giúp học sinh có kiến thứcchắc về nội dung hết sức quan trọng của chương trình

4 Đối tượng nghiên cứu

Hệ phương trình trong chương trình đại số 9

Phân loại các dạng toán và phương pháp giải mỗi dạng

5 Phạm vi nghiên cứu và giới hạn nghiên cứu

Chuyên đề được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chươngtrình toán đại số 9

Hệ phương trình không mẫu mực

6 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo sách, báo, tài liệu

Thực tiễn giảng dạy

Tham khảo các đề thi HSG các tỉnh, đề thi các trường chuyên

Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng:

• Phương pháp thế

1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Định nghĩa 1.4 Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của hai

ẩn cho nhau trong mỗi phương trình thì từng phương trình đó khôngthay đổi

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi tương đương làm xuất hiện x + y và x.y

Bước 2: Đặt S = x + y và P = x.y (với S2 ≥ 4P )

Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn mới là S, P Tìm được S, P

Bước 4: Tìm nghiệm x; y của hệ phương trình đã cho

1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Định nghĩa 1.5 Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò củahai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thànhphương trình kia và ngược lại

Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng của các phương trình để biến đổi

về phương trình tích có nhân tử là x − y, rồi thế ẩn này theo ẩn kia đểgiải hệ phương trình

1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y

Định nghĩa 1.6 Là hệ phương trình có dạng

(

ax2 + bxy + cy2 = d

a0x2 + b0xy + c0y2 = d0Cách giải:

Nếu x 6= 0 thì ta đặt y = kx rồi nhận xét và chia vế cho vế ta đượcphương trình ẩn k, tìm được k từ đó tìm được x, y

Nếu x = 0 thì viết lại hệ phương trình đã cho và giải hệ phương trìnhđó

HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

• Các hằng đẳng thức

• Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

• Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

• Tính ∆ và ∆0

• Cách giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn,

• Các phép biến đổi tương đương

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÔNG MẪU MỰC

Không có phương pháp chung để giải mọi hệ phương trình không mẫumực Tùy theo đặc trưng các phương trình của hệ mà ta lựa chọn nhữngphương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương phápđặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, để dưa hệ đã cho thành các hệ đơngiản hơn hoặc các hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ đó ta tìm ra tập nghiệmcủa hệ phương trình

1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặcbiệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một phương trình của hệ về dạngđơn giản hơn

DẠNG 1 Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích

của các phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình:

(

xy + x + y = x2 − 2y2 (1)

x√2y − y√

x − 1 = 2x − 2y (2)

Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) của hệ có thể đưa về phươngtrình tích, từ đó ta tìm được x theo y, thay vào phương trình (2), từ đótìm được giá trị y, giá trị x Lời giải

• Thay x = 2y + 1 vào phương trình (2) và biến đổi:

(y + 1)

p2y − 2



= 0 ⇔ y = 2, (do y ≥ 0) ⇒ x = 5

• Do x = 5, y = 2 thỏa mãn điều kiện (*)

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là

(x; y) = (5; 2)

Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình:

(6x2 − 3xy + x = 1 − y (1)

x2 + y2 = 1 (2)Lời giải

y = −2

√23

• Thay y = 2x + 1 vào phương trình (2) và biến đổi :

• Với x = 0 thì y = 1

• Với x = −4

5 thì y = −

35Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) = 1

3;

2√23

!, (x; y) = 1

3; −

2√23

!,(x; y) = (0; 1) , (x; y) =



−4

5; −

35



DẠNG 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình rồi biến

đổi về phương trình tích

Ví dụ 1.3 Giải hệ phương trình:

(

x3 + y3 = 1 + y − x + xy (1)7xy + y − x = 7 (2)Lời giải Cộng vế với vế của phương trình (1) và phương trình (2) tađược:

x3 + y3 + 6xy = 8 ⇔

h(x + y)3 − 23i− 3x2y − 3xy2 + 6xy = 0

⇔

"

y = 2 − x

x = y = −2

Với y = 2 − x, thay vào phương trình (2), ta được:

y = 97Với x = y = −2, không thỏa mãn phương trình (2) của hệ loại

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) =  5

7;

97

Với y = −x2, thay vào phương trình (2) ta được:

x3 = 5

4 ⇔ x = 3

r5

4 khi đó y = −

3

r 2516Với x2 + y = xy + 1 thay vào phương trình (4) ta được:

(x; y) = 3

r5

4; −

3

r2516

!

; (x; y) =

1; −32

Nhận xét: Viết phương trình (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y, x là tham số thì phương trình này có ∆0 là bình phương của một biểuthức, ta tìm được giá trị y, từ đó tìm được x

Lời giải

Biến đổi phương trình (2) về dạng:

y2 − (4x + 8) y + 16 + 16x − 5x2
= 0 (3) là phương trình bậc hai ẩn

y, x là tham số

Có ∆0 = 9x2, phương trình (3) có hai nghiệm là y = 4−x hoặc y = 5x+4

Với y = 4 − x thay vào phương trình (1) ta được:

Ví dụ 1.6 Giải hệ phương trình:

(

x2 + 2 = 3x + y − xy (1)

x2 + y2 = 2 (2)

Nhận xét: Viết phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai ẩn x

, y là tham số thì phương trình này có ∆ là bình phương của một biểu

thức, ta tìm được giá trị x, từ đó tìm được y

Lời giải Biến đổi phương trình (1) về dạng: x2 + (y − 3) x + (2 − y) =

0 (3) là phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số

Ta có: ∆ = (y − 1)2, khi đó phương trình (3) có hai nghiệm là

x = 1, x = 2 − y

Với x = 1, thay vào phương trình (2) ta có y = ±1

Với x = 2 − y, thay vào phương trình (2) ta có (2 − y)2+ y2 = 2 ⇔ y = 1khi đó x = 1

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (1; −1)

1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

• Phương pháp này có thể đặt một hoặc hai ẩn để đưa hệ đã chothành hệ đơn giản hơn với các ẩn phụ mới Giải hệ đối với ẩn phụmới, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình ban đầu

• Có thể từ hệ phương trình đã cho nhìn thấy ngay ẩn phụ mới, cũng

có khi phải thông qua một vài phép biến đổi mới có thể nhìn thấyviệc đặt ẩn phụ

Hệ phương trình đã cho trở thành:

(2a − b = 1

Nhận xét: Chưa nhìn thấy ngay để dùng phương pháp đặt ẩn phụ, tabiến đổi phương trình (1) và phương trình (2) để xuất hiện biểu thứcchung x(y + 1) và x + (y + 1) Lời giải

• Nếu x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

• Nếu x 6= 0 chia cả hai vế của phương trình (1) và phương trình (2)cho x2 6= 0 để 2 phương trình xuất hiện biểu thức chung1

x + y và

yx

Lời giải

Với x = 0, không thỏa mãn hệ phương trình

Với x 6= 0 chia cả hai vế (1) và (2) cho x2 6= 0 ta được:

y = 1Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm:

Nhưng nếu thông qua một vài bước biến đổi, sau đó mới sử dụng phươngpháp đặt ẩn phụ thì được hệ phương trình đơn giản hơn

Lời giải Điều kiện x 6= 0, y 6= 0



y + 1y

(

a = 5 − b(b + 2) (b − 7) = 0

(x; y) = 7 +

√45

2 ; −1

!

; (x; y) = 7 −

√45

2 ; −1

!

(x; y) = −1;7 +

√452

!

; (x; y) = −1;7 −

√452

!

1.3.3 PHƯƠNG PHÁP THẾ

Rút ra một ẩn hoặc 1 biểu thức hoặc một số từ phương trình này thếvào phương trình kia để được 1 phương trình đơn giản hơn, nhờ đó ta

có hệ phương trình đơn giản hơn

Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy 1 phươngtrình của hệ mà một ẩn chỉ có bậc nhất hoặc ở cả hai phương trình của

phương trình (1) ta được:

x2. x2 − x − 1





x + x

2 − x − 1x

Với x = −1 + √41

4 thì y =

−27 + 3√4120Với x = −1 −√41

4 thì y =

−27 − 3√4120Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là

(x; y) = (1; −1)

(x; y) = −1 +√41

−27 + 3√4120

!

Ví dụ 1.12 Giải hệ phương trình:

( √7x + y +√

2x + y = 5 (1)

√2x + y + x − y = 2 (2)Nhận xét: Cả hai phương trình của hệ đều có biểu thức √

• Từ phương trình (2) suy ra √2x + y = 2 + y − x (x − y ≤ 2), thếvào phương trình (1) ta được: √

(x; y) = 10 −√

77; 11 −

√772

!

x = 2

y = −1Giải hệ (II):

(x; y) =

r3

2;

r32

!, (x; y) = −

r3

2; −

r32

!

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 2.1 Giải hệ phương trình sau:

, (x; y) = (2; −2)

Bài tập 2.2 Giải hệ phương trình sau:

x2 + 3y2 = 4

Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1; −1) ,(x; y) =

√3; √13

Đáp số: (x; y) = (2; 1)

Bài tập 2.4 Giải hệ phương trình sau:

1; 13



Bài tập 2.5 Giải hệ phương trình sau:

(

x2 − xy + x − y = 43x2 − 3xy − 5x + 5y = 4

Gợi ý: Thế 4 = (x + 1) (x − y) vào phương trình (2) rồi biến đổi thànhphương trình tích

Gợi ý: Trừ theo từng vế của phương trình (2) và phương trình (1) rồibiến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (0; −1) ,(x; y) = (−1; −1) , (x; y) =

, (x; y) =

1

√

5; −

1

√5

,

Bài tập 2.8 Giải hệ phương trình sau

!, (x; y) = −1 − 3√69

10 ;

7 − 3√

6910

!

Bài tập 2.9 Giải hệ phương trình sau:

7 ;

√77

!,

(x; y) = 5

√7

7 ;

−√77

!, (x; y) = (−1; 1) , (x; y) = (1; −1) ,

Bài tập 2.11 Giải hệ phương trình sau:

!, (x; y) = −5 +√21

−1 +√212

!,

Bài tập 2.12 Giải hệ phương trình sau:



3 +√

10; 3

, (x; y) =



3 −√

10; 3

,

Bài tập 2.13 Giải hệ phương trình sau:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) = 2 + 2

√7

1 +√

72

!

(x; y) = 2 − 2

√7

3 ;

1 −√

72

Bài tập 2.15 Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý: Trừ theo từng vế phương trình (1) và phương trình (2), rồi đặt

2; −√

2

(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2)

Bài tập 2.18 Giải hệ phương trình sau:

(

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9

x2 + 2xy = 6x + 6Gợi ý: Thế xy = 6x + 6 − x

2

2 vào phương trình (1)Đáp số: (x; y) =



−4; 174

x + y = 13x + 2y = 4

x + y = 3

Gợi ý: Đặt ẩn phụ

Đáp số: (x; y) = (1; 0)

Kiến thức được trình bày trong chuyên đề đã được giảng dạy cho các

em học sinh giỏi lớp 9 và các lớp luyện thi vào lớp 10

Kết quả thu được khả quan, các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòicái mới, cái hay, các em có niềm tin trong học tập, không ngại khó, yêuthích môn Toán

Với loại hệ phương trình này người thầy phải biết phân loại bài, biết vậndụng sáng tạo phương pháp và định hướng cách giải cho học sinh

Mặc dù rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề nhưng không tránh khỏinhững thiếu xót, hạn chế nhất định Vì vậy tôi mong muốn được đồngnghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn Để hoànthành được chuyên đề này tôi xin được chân thành cảm ơn Ban giámhiệu, các đồng chí trong tổ Toán - Lý - Tin đã đóng góp ý kiến, giúp đỡtôi trong suốt quá trình làm chuyên đề

Phúc Yên, ngày 07 tháng 03 năm 2014

Người viết

Nguyễn Thị Thanh Huyền