Chuyên đề một số phương trình lượng giác thường gặp

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 BÀI ĐT:0946798489 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU HƠN MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Giải biện luận Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng 1.1 Không cần biết đổi Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm Dạng Giải biện luận Phương trình bậc sin cos Dạng 2.1 Không cần biến đổi Dạng 2.2 Cần biến đổi Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max 11 Dạng Giải biện luận Phương trình đẳng cấp 11 Dạng 3.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 11 Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm 13 Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm 14 Dạng Giải biện luận Phương trình đối xứng 14 Dạng 4.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 14 Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm 15 Dạng Biến đổi đưa phương trình tích 16 Dạng 5.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 16 Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm 17 Dạng Giải biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu 18 Dạng Giải biện luận Một số toán phương trình lượng giác khác 20 Dạng Giải biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số 20 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 23 Dạng Giải biện luận Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 23 Dạng 1.1 Không cần biết đổi 23 Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai 24 Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm 25 Dạng Giải biện luận Phương trình bậc sin cos 29 Dạng 2.1 Không cần biến đổi 29 Dạng 2.2 Cần biến đổi 29 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm 31 Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm 31 Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm 34 Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max 36 Dạng Giải biện luận Phương trình đẳng cấp 37 Dạng 3.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 37 Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm 40 Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm 42 Dạng Giải biện luận Phương trình đối xứng 42 Dạng 4.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 42 Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm 44 Dạng Biến đổi đưa phương trình tích 47 Dạng 5.1 Khơng có điều kiện của nghiệm 47 Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm 48 Dạng Giải biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu 53 Dạng Giải biện luận Một số tốn phương trình lượng giác khác 57 Dạng Giải biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số 60 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Giải biện luận Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng 1.1 Khơng cần biết đổi  Câu  (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương  trình  cos x  cos x    trên đường tròn lượng giác là?  A.    B.    C.    D.    Câu Phương trình  cos 2 x  cos x  A.  x   Câu   k   có nghiệm là: B.  x     k 2 C.  x   2  k D.  x     k Nghiệm của phương trình  sin x – sin x –   là:   5 A.  x   k ; x    k 2 B.  x   k 2 ; x   k 2 4  7  5 C.  x    k 2 ; x  D.  x   k 2 ; x   k 2  k 2 6 Nghiêm của phương trình  sin x  – sin x  là: Câu Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A.  x  k B.  x  ĐT:0946798489   k 2 C.  x    k D.  x    k 2 Nghiệm của phương trình  cos x  3cos x    là: Câu A.  x  k 2 ; x   C.  x  Câu    k 2 ; x   k 2  B.  x    k 2 ; x    k 2 D.  x  k 2 ; x    2  k 2  k 2 Nghiệm của phương trình  cos x  – cos x –  là: A.  x    k 2 B.  x  k 2 C.  x     k 2 D.  x  k Câu  [Sở  GD  và  ĐT  Cần  Thơ  -  mã  301  -  2017-2018-BTN]  Nghiệm  của  phương  trình  sin x  sin x    là  A.  x  k 2 , k   B.  x    k 2 , k    C.  x    k 2 , k   D.  x   k 2 , k   Câu Nghiệm của phương trình lượng giác  sin x  2sin x   có nghiệm là:   A.  x  k 2 B.  x  k C.  x   k D.  x   k 2   2 Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai  Câu  (THPT  CHUYÊN  BẮC  NINH  LẦN  01  NĂM  2018-2019)  Nghiệm  của  phương  trình      sin x  cos x  cos  x    sin  3x      là  4 4   A.  x  C.  x     k , k     B.  x   k 2 , k     D.  x     k 2 , k      k , k     Câu 10  (LỚP  11  THPT  NGÔ  QUYỀN  HẢI  PHỊNG  NĂM  2018-2019)  Cho  phương  trình  cos x  cos x    Khi đặt  t  cos x , ta được phương trình nào dưới đây?  A.  2t  t     B.  t     C.  4t  t     D.  4t  t     Câu 11  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương  trình  cos x  5sin x    có nghiệm là    A.   k 2   B.   k    C.  k   D.    k 2   2 Câu 12  (THPT LÊ QUY ĐƠN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương trình  cos x  sin x  3 ?    A.  x   k , k   B.  x    k , k   2   C.  x   k 2, k   D.  x    k 2, k   2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 13  (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình  cos x  sin x    Khi đặt  t  sin x , ta được phương trình nào dưới đây.  A.  2t  t     B.  t     C.  2t  t     D.  2t  t   Câu 14  (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình  3sin x  cos x     A.  x    k , k     B.  x  k , k     C.  x  k 2 , k     D.  x    k 2 , k     Câu 15  (PHAN  ĐĂNG  LƯU  -  HUẾ  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  tan x  cot x     là:       x   k  x    k A.   , k     B.   , k      x    k  x    k        x   k 2  x   k C.   , k     D.   , k      x    k 2  x    k   6 Câu 16  (THPT  LÊ  HỒN  -  THANH  HĨA  -  LẦN  1  -  2018)  Cho  phương  trình        cos  x    cos   x    Khi đặt  t  cos   x  , phương trình đã cho trở thành phương  3  6  6  trình nào dưới đây?  A.  4t  8t     B.  4t  8t     C.  4t  8t     D.  4t  8t     Câu 17  (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình:  cos x  sin x     *  Bằng  cách đặt  t  sin x    1  t  1  thì phương trình  *  trở thành phương trình nào sau đây?  A.  2t  t    B.  t  t     C.  2t  t     D.  t  t    Câu 18  (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình  cos2 x  5sin x        A.  x   k  B.  x    k  C.  x  k 2 D.  x   k 2 2 Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm  Câu 19 Nghiệm của phương trình  sin x – sin x    thỏa điều kiện:   x  A.  x    B.  x   C.  x    D.  x   Câu 20  (THPT  Chuyên  Bắc  Ninh  -  Lần  2  -  2017  -  2018)  Tìm  nghiệm  của  phương  trình  lượng  giác  cos x  cos x   thỏa mãn điều kiện   x     A.  x   B.  x  C.  x  D.  x  Câu 21 Nghiệm dương bé nhất của phương trình:  2sin x  5sin x    là:   3 A.  x  B.  x  C.  x  2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D.  x  5 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 22  (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn  0;10   của phương trình  sin 2 x  3sin x   A.  105 B.  105 C.  297 D.  299 Câu 23  (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình  cos x  4sin x    có  bao nhiêu nghiệm trên khoảng   0;10  ?  A.  B.  D.  C.  Câu 24  (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình  cos 2x  2cos x   có bao nhiêu  nghiệm trong khoảng   0; 2019  ?  A.  320   B.  1009   C.  1010   D.  321.  Câu 25  (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Phương trình  cos x  4sin x     có bao nhiêu nghiệm trên khoảng   0;10   ?  B.    A.    C.    D.    Câu 26  (TOÁN  HỌC  VÀ  TUỔI  TRẺ  SỐ  1  -  2018)  Tính  tổng  S   các  nghiệm  của  phương  trình   cos x  5  sin x  cos4 x     trong khoảng  0; 2    A.  S  11   B.  S  4   C.  S  5   Câu 27  (CHUYÊN  ĐHSPHN  -  2018)  Số  nghiệm  thuộc  khoảng  cos x  cos x 1   là  A.    B.    D.  S  7   0;3   của  phương  trình  C.  1.  D.    Câu 28  (CHUYÊN  BẮC  NINH  -  LẦN  2  -  2018)  Tìm  nghiệm  của  phương  trình  lượng  giác  cos x  cos x   thỏa mãn điều kiện   x     A.  x     B.  x    C.  x     D.  x     Câu 29  (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình  cos x  cos x   có  bao nhiêu nghiệm thuộc  khoảng    ;   ?  A.    B.    C.    D.    Câu 30  (THPT  CAN  LỘC  -  HÀ  TĨNH  -  LẦN  1  -  2018)  Số  nghiệm  của  phương  trình  9  15    sin  x    3cos  x     2sin x  với  x   0;2  là:      A.    B.    C.    D.    Câu 31  (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình  tan x  tan x    có  m  nghiệm trong   2017 2017  ; khoảng     ?  2   A.  m  2017   B.  4032   C.  m  4034   D.  m  2018   Câu 32  (THPT  CHU  VĂN  AN  -  HKI  -  2018)  Trong  khoảng   0;  2  ,  cos x  3cos x    có tất cả  m  nghiệm. Tìm  m   A.  m    B.  m    C.  m    D.  m    Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong phương  trình  CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 33  (QUẢNG XƯƠNG - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn   0;10   của phương trình  sin 2 x  3sin x     A.  105   B.  105   C.  297   D.  299   Câu 34  (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả  T các nghiệm thuộc đoạn   0; 200   của phương  trình  cos x  3sin x     A.  T  10150   B.  T  10050   C.  T  10403   D.  T  20301   Câu 35  (THPT  LÊ  HỒN  -  THANH  HĨA  -  LẦN  1  -  2018)  Số  nghiệm  của  phương  trình     cos x  cos x    trong đoạn    ;   là:   2 A.    B.    C.    D.    Câu 36  (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng  S các nghiệm của  x x phương trình  (2 cos x  5)(sin  cos )   trong khoảng   0; 2    2 11 5 7 A.  S    B.  S    C.  S  2   D.  S    12 12 Dạng Giải biện luận Phương trình bậc sin cos Dạng 2.1 Không cần biến đổi    Câu 37  (PEN  I  -  THẦY  LÊ  ANH  TUẤN  -  ĐỀ  3  -  NĂM  2019)  Tập  xác  định  của  hàm  số  sau  tan 2x y   sin 2x  cos 2x           A.  D   \   k ;  k ; k      B.  D   \   k ;  k ; k      12 2 4  6           C.  D   \   k ; k ; k      D.  D   \   k ;  k ; k      2 12 4  3  Câu 38  (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình  sin x  cos x   có tập nghiệm là    k   2  A.  S    B.  S   | k       k 2 | k      3       5  C.  S    k | k     D.  S    k | k      3   12  Câu 39  (XUÂN  TRƯỜNG  -  NAM  ĐỊNH  -  LẦN  1  -  2018)  Tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  sin x  cos x   là:   x    k 2   A.  x   k 2 ,  k    B.   ,  k       x   k 2  5 5  k ,  k     D.  x   k 2 ,  k     C.  x  6 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 40  (CHUN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình  sin x  cos x    là   x  k 2 A.   ,  k     B.  x  k 2 ,  k      x    k 2     x   k 2  C.  x   k 2 ,  k     D.   ,  k       x    k 2  Câu 41  (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình  sin x  cos x   có tập nghiệm là:          A.    k ;   k  , với  k     B.    k 2 ;  k 2  , với  k     2           7  C.    k 2 ;   k 2  , với  k     D.    k 2 ;  k 2  , với  k     2     Câu 42  (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình  sin x  cos x       A.  x   k , k     B.  x   k , k      2  2 C.  x   k , k     D.  x   k , k     12 Dạng 2.2 Cần biến đổi    Câu 43  (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình  2sin x  sin x      2 5  k    k   A.  x    k   B.  x   k   C.  x  D.  x  3 3     Câu 44 Giải phương trình  cos  x    sin  x    2sin x 2 2    2 5    x  18  k  x   k 2 A.   ,  k   B.   ,  k    x     k 2  x    k 2   18 18 7 5    x   k 2  x   k 2 C.   ,  k   D.   ,  k    x     k 2  x  7  k 2   18 Nghiệm của phương trình  sin x  sin x cos x   là: Câu 45 5  k 2 6  5 C.  x    k 2 ; x    k 2 6 A.  x    k 2 ; x  B.  x  D.  x     k 2 ; x   k ; x     k 2  k Câu 46 Phương trình  sin x  cos x  sin 5x  có nghiệm là: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP    x   k A.   x    k   ĐT:0946798489     x  12  k B.   x    k   24     x  16  k C.   x    k   Câu 47 Phương trình:  3sin 3x  sin x   4sin 3x  có các nghiệm là:    2  2     x   54  k x    k  x   12  k A.   B.   C.         x   k x  x  k k    18 9 12     x  18  k D.   x    k    2  x    k D.     x  k  Câu 48  (THPT  Yên  Định  -  Thanh  Hóa  -  Lần  1  -  2017  -  2018  -  BTN)  Nghiệm  của  phương  trình  sin x  cos x  2sin 3x  là    2 A.  x   k ,  k  B.  x   k 2  hoặc  x   k 2 ,  k  3  4   2 C.  x    k 2  hoặc  x  ,  k     k 2 ,  k  D.  x   k  hoặc  x   k 3 6 Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm  Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm  Câu 49  (THPT  Đức  Thọ  -  Hà  Tĩnh  -  Lần  1  -  2017  -  2018  -  BTN)  Số  nghiệm  của  phương  trình    cos x  sin x   cos   x   trên khoảng   0;3   là 2  A.  B.  C.  D.  Câu 50  (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm  thuộc khoảng   0;    của phương trình:  cos3x  sin x  cos x A.  3 B.  3 C.   D.   Câu 51 Tính tổng  T  các nghiệm của phương trình  cos x  sin x   sin x  trên khoảng   0; 2  A.  T  3 B.  T  7 C.  T  21 D.  T  11 Câu 52 Biến đổi phương trình  cos 3x  sin x   cos x  sin 3x   về dạng  sin  ax  b   sin  cx  d   với  b    ,  d  thuộc khoảng    ;   Tính  b  d  2   A.  b  d  B.  b  d   C.  b  d   D.  b  d   12   Câu 53 Số nghiệm của phương trình  sin x  cos5 x  2sin x  trên khoảng   0;   là?  2 A.  B.  C.  D.  Câu 54  (TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình  cos x  sin x  2  có bao nhiêu nghiệm trên  đoạn   0; 4035  ?  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A.  2016   ĐT:0946798489 B.  2017   C.  2011   D.  2018        Câu 55  (THPT  CHUYÊN  QUANG  TRUNG  -  BP  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  góc     ; ; ;    để  6 2 phương trình  cos x  sin x  cos x   tương đương với phương trình  cos  x     cos x   A.       B.       C.     D.         Câu 56  (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình  sin x  cos x   có hai họ nghiệm có  dạng  x  a  k 2  và  x  b  k 2     a, b     Khi đó  a  b  bằng bao nhiêu?  A.  a  b  2   B.  a  b  3   C.  a  b     D.  a  b     Câu 57  (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình  sin x  cos x   có  bao nhiêu nghiệm thuộc   2 ; 2    A.    B.    C.    D.    Câu 58  (LIÊN  TRƯỜNG  -  NGHỆ  AN  -  LẦN  2  -  2018)  Tổng  các  nghiệm  của  phương  trình   5  cos x  sin x   trên   0;   là:    7 7 7 A.    B.    C.    D.  2   Câu 59  (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng  T  các nghiệm của phương trình    cos x  sin x   cos   x   trên khoảng   0; 2    2  7 21 11 3 A.  T    B.  T    C.  T    D.  T    8 4 Câu 60 Gọi  x0  là nghiệm âm lớn nhất của  sin x  cos x  sin x  cos9 x  Mệnh đề nào sau đây là  đúng?             A.  x0   ;   B.  x0    ;0  C.  x0    ;   D.  x0   ;      3  12   12   6 Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm  Câu 61  (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của  a, b,  c  để  phương trình  a sinx bcosx  c  có nghiệm?  A.  a  b  c   B.  a  b  c   C.  a  b  c   D.  a  b  c   Câu 62  (THPT  THIỆU  HÓA  –  THANH  HĨA  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Tìm  m   để  phương  trình  3sin x  4cos x  2m  có nghiệm?  5 5 5 A.    m    B.  m     C.  m    D.    m    2 2 2 Câu 63  (THPT  CHUYÊN VĨNH  PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có  bao nhiêu giá trị nguyên của  tham số  m  thuộc đoạn  2018; 2018  để phương trình m 1sin x  sin x  cos x   có nghiệm? A.  4036   B.  2020   C.  4037   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D.  2019   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 64  (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị ngun của  m  để phương trình  m cos x   m   sin x  2m    có nghiệm.  A.    B.    C. vơ số  D.    Câu 65  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT N PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để phương  trình  m sin x  cos2x   có nghiệm thì  m  thỏa mãn: m  m  A.  m  B.   C.     D.  m   m    m   Câu 66  (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của  m   để phương trình  sin x  m  4 cos x  2m    có nghiệm là:  B.    A.    C.  10   D.    Câu 67  (THPT  CHUYÊN VĨNH  PHÚC LẦN 02  NĂM 2018-2019)  Có  bao nhiêu giá trị nguyên của  tham  số  m   thuộc  đoạn   2018; 2018   để  phương  trình   m  1 sin x  sin x  cos x  có    nghiệm? A.  4036   B.  2020   C.  4037   D.  2019   Câu 68  (THPT CHUN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số các giá trị  ngun m để phương trình  4m  4.sinx cosx  m  2.cos x  3m   có nghiệm là  A. 7  B. 6  C. 5  D. 4  Câu 69  Tìm điều kiện của  m  để phương trình   2m  1 cos x  2m sin x cos x  m   vô nghiệm?  A.  m   C.   m    1  B.  m   ; 0   ;     2  D.   m    Câu 70  (THPT  CHUYÊN  LƯƠNG  VĂN  CHÁNH  -  PHÚ  YÊN  -  2018)  Cho  phương  trình  m sin x cos x  cos x  m  , với  m  là một phần tử của tập hợp  E  3;  2; 1;0;1; 2  Có bao  nhiêu giá trị của  m  để phương trình đã cho có nghiệm?  A.  B.  C.  D.  Câu 71  (THPT  TRIỆU  THỊ  TRINH  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  m   để  phương  trình  sau  có  nghiệm  cos x  2sin x  m :  cos x  sin x  A.  2  m    B.  2  m  1   C.   m    D.   m    11 Câu 72  (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các giá trị nguyên của  m  để phương  trình  sin x   m   cos x  2m    có nghiệm là:  A.    B.    C.  10   D.    Câu 73  (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tìm giá trị nguyên lớn  nhất của  a  để phương trình  a sin x  2sin x  3a cos x   có nghiệm A.  a    B.  a    C.  a    D.  a  1   Câu 74  (CHUYÊN  LONG  AN  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  tất  cả  giá  trị  nguyên  của  m   để  phương  trình  8sin x   m  1 sin x  2m    có nghiệm.  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tương tự, trong mỗi nửa khoảng   k 2 ; k 2  2   phương trình  cos x   cos x    có 2 nghiệm. Do đó  6  có 4 nghiệm trong   0; 4    Trong các họ nghiệm của,, khơng có hai họ nào có phần tử chung nên chọn đáp án  sin x  cos x  sin x   D.   3sin x  sin x   sin x  sin x    sin x  sin x  sin x   Câu 139  Ta có:      x   k  sin x       sin x     x    k     sin x  1  x     k 2        5  7  Do  x      ;   nên phương trình có các nghiệm là:  x   ; x   ; x  6   Dạng Giải biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu Câu 140 Cách 1: Điều kiện xác định:  cos x   x    l  với  l     Khi đó phương trình trở thành  sin x  (1)   cos x  3sin x      2sin x  3sin x       sin x  (2)  2    x   k 2 Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình  (1)  Giải phương trình  (2)  được    x  5  k 2  với  k     5    k 2 , k      Câu 141  TXĐ:  D   \   k 2 , 6  Phương trình trở thành:     sin x  cos x     2sin  x       x   k 2  k      6  7  k 2  k      Vậy nghiệm của phương trình là  x  Câu 142  Điều kiện xác định:  tan x     Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Phương trình tương đương:  sin x cos x  cos x  sin x     cos x  1 sin x  1       x   k 2   cos x          x    k 2  Do  tan x    nên  x    k 2  loại.   3  sin x  1  x     k 2  x   k 2  biểu diễn trên đường tròn lượng giác có   điểm.    k 2  biểu diễn trên đường tròn lượng giác có   điểm.  Vậy có   vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.  Câu 143  Điều kiện xác định  sin x     cos x   Phương trình tương đương   cos x  1 cos x  2sin x  1   cos x     sin x     x     Vì  x   0;   và  sin x   nên    Do đó  T     2 x    Câu 144 Chọn A  Điều kiện xác định:  cos x    cos x   x    l 2  l        cos x  sin x  5sin x  cos x Với  x    l 2  l     phương trình   0  cos x    cos x  sin x  5sin x  cos x     2sin x  2sin x cos x  5sin x  cos x     (2sin x cos x  cos x)  2sin x  5sin x    cos x (2sin x  1)  (2sin x  sin x )  (4sin x  2)   (2sin x  1)(cos x  sin x  2)     2sin x    (vì  cos x  sin x   sin  x       )  4     x   k 2  sin x    k     5 x   k 2  5  k 2  k      Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm  x  5 595  k 2  100    k  Mà  x   0;100      12 12 k    k  0;1; 2;3; ; 49   x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  5  7475 Vậy tổng các nghiệm thuộc   0;100   của phương trình bằng     k 2      k 0  49   k , k    Phương trình tương đương:  cos x  cos x  2sin x     2cos2 x   cos x   cos x     cos2 x  cos x     x  k cos x      x    k  cos x     x  k Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là      x    k  Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các  cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật  ACA’C’  như hình vẽ, trong đó   AOC    Câu 145  Điều kiện:  sin x  cos x   x   Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là  S ACA'C'  4SOAC     .OA.OC.sin  2       Câu 146  Điều kiện  sin x  cos x   sin  x     x   k  x    k ,  k      4 4  Ta có:  sin x sin x  2sin x cos x  sin x  cos x  cos x   sin x  cos x  sin x  sin x  cos x   sin x  cos x  cos x   sin x  cos x   sin x  1 sin x  cos x   sin x  cos x cos x        sin x  cos x  1  sin  x    sin      3   6 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489       x     k 2  x  12  k    k       x        k 2  x  3  k   Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là:  x  Trên    ;    phương trình đã cho có các nghiệm là:   12  12 ;  k  k      11   12 Câu 147  Chọn C ĐK:  cos x    Khi đó, phương trình  cos x   cos x   cos x  cos x  cos3 x         cos x  cos x  cos x   2cos x  cos x    (vì  cos x  )    x    k1 2 cos x  1      x   k2 2   cos x       x    k3 2  Vì  x  [1;70]  nên   k1 ; k2  10;1  k3  11   Áp dụng cơng thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ta có  11 11      11       S    10.2       10.2      2      11.2   363   2 3       sin x  cosx   Câu 148  * ĐKXĐ:    1  cos2x  sin x   * Ta có:  a2 sin x  a  2   a2 cos2 x  sin x  a2   a sin x  sin x   sin x     tan x cos x  a2 Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là:   1  a   0;1    a  1  a   0;1 1  a               2 1  a   a  1  a  1 1  a 2   1  a 2   sin x  Câu 150  Điều kiện     sin x  cos x  Ta có  1  cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  1    1  cos x  sin x  cos x   1  cos x   sin x  1   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  1     cos x  1  1  cos x  1  sin x        sin x  1 Chỉ có  sin x  1  là thỏa điều kiện ban đầu.  Vậy các nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi   điểm trên đường tròn lượng giác.  Dạng Giải biện luận Một số toán phương trình lượng giác khác Câu 151   sin 2018 x  cos 2018 x   sin 2020 x  cos 2020 x   sin 2018 x 1  2sin x   cos 2018 x 1  cos x     cos x     sin 2018 x.cos x  cos 2018 x cos x    2018 x  cos 2018 x sin   k +  cos x   x   k  x    k      1   +  sin 2018 x  cos 2018 x  tan 2018 x   ( x   x    k  không là nghiệm)   tan x  1    k  k         Từ  1  và     ta có  x   k  k    là nghiệm của pt.  k  2018   k  1284, k     Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng   0; 2018   bằng  Do  x   0; 2018          1284.1285  1285  1285  1    1284   1285        4   Câu 152  Chọn D.  cos x    sin x   x  k , k     Điều kiện   sin x  x x sin x sin  cos x cos x  2 sin x  cot x    1  tan x tan  sin x  cot x   x   cos x cos x cos sin x  cot x   tan x  cot x   tan x  tan x      x cos x cos 5   tan x   x  k   12     tan x       x   l 2   12 Với hai họ nghiệm trên dễ thấy nghiệm dương nhỏ nhất là  cho  k  l  1  được nghiệm âm   12 ; để được nghiệm âm lớn nhất ta đều  7 11 7 ;  khi đó nghiệm âm lớn nhất là    12 12 12 7     12 12 Câu 153  Cách 1: Ta có  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π Đk:  2019  x  2019   Nhận xét  x   là nghiệm của phương trình.  Nếu  x  x0  là nghiệm của phương trình thì  x   x0  cũng là nghiệm của phương trình  Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn   0;2019  Vẽ đồ thị của hàm số  y  sin x và  y  x 2019  Ta thấy:  Trên đoạn   0; 2   phương trình có hai nghiệm phân biệt  Trên nửa khoảng   2 ; 4   phương trình có hai nghiệm phân biệt  Trên nửa khoảng   4 ;6   phương trình có hai nghiệm phân biệt  …  Trên nửa khoảng   640 ;642   phương trình có hai nghiệm phân biệt  Trên nửa khoảng   642 ; 2019  phương trình có hai nghiệm phân biệt.  Như vậy trên đoạn   0;2019  phương trình có một nghiệm  x   và  321 x 2 +1 = 643  nghiệm  dương phân biệt. Mà do  x  x0  là nghiệm của phương trình thì  x   x0  cũng là nghiệm của  phương trình nên trên nửa khoảng   2019;0   phương trình cũng có  643  nghiệm âm phân biệt.  Do đó trên đoạn   2019; 2019  phương trình có số nghiệm thực là  643 x 2 +1 = 1287  nghiệm  Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là  1287 nghiệm.  Cách 2: Đk:  2019  x  2019   x Xét hàm số  f ( x)  sin x  ,ta có  f ( x)  là hàm số lẻ, liên tục trên R và  f ( x )  cosx  ,  2019 2019 1    và     0;   Chia   0; 2019   f ( x )   cosx    x    k 2  với  cos  2019 2019  2 thành hợp các nửa khoảng   k 2 ; 2  k 2  ( với k  0;320 ) và   642 ; 2019   (vì  2019  642, 67 )  Xét trên mỗi nửa khoảng   k 2 ; 2  k 2  ( với k  1;320 ), ta có  f ( x)   có hainghiệm là  x1    k 2  và  x2    2  k 2   k 2 Ta có  f ( k 2 )   0  2019   k 2 2020.2018    k 2       0;   và  k 2  642   f ( x1 )  sin    2019 2019  2   2  k 2 f ( x2 )   sin   0  2019 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  k 2  2 0  2019 Bảng biến thiên  f (2  k 2 )  x x2 x1 k2π f'(x) + - 2π+k2π + f(x1) y = 0 f(x) f(2π+k2π) f(x2) f(k2π)     Trên  k 2 ; 2  k 2   phương trình  f ( x)   có đúng hai nghiệm phân biệt (với  k  1;320 )  Tương  tự  xét  trên  nửa  khoảng  0; 2  phương  trình  có  một  nghiệm  và  trên  nửa  khoảng   642 ; 2019    phương trình có hai nghiệm.  Từ đó số nghiệm của phương trình đã cho là  2.320.2   2   1287   Nhận xét: đề hồn tồn khơng phù hợp trong đề thi  Câu 154   cos x.sin x     sin x  sin x   1  sin 3x  sin x  2    2    x  k x    k 2  sin x  1   14       k, l        sin 3x  1 3 x    l 2 x    l   2k 2l       14  3  12k  7  28l   4  28l 1  7l   k  12   2    Vì  x    ;    nên      l   , giải ra ta được  l  0,1       l   k    (loại)  12   l 1 k  2      Vậy phương trình có một nghiệm  x     ;       2015 2016 2017 Câu 155  Ta có:  sin x  cos x   sin x  cos 2018 x   cos x   2015 2016  sin x 1  2sin x   cos x  cos x  1  cos x   cos x     sin 2015 x.cos x  cos 2016 x.cos x  cos x   2015 x  cos 2016 x  sin Với  cos x   x   k  ,k    Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   20 60  k   6  k  18     Với  sin 2015 x  cos 2016 x   Ta có  sin 2015 x  sin x; cos 2016 x  cos x   sin x  0, cos x  1 Do đó   sin 2015 x  cos 2016 x  sin x  cos x   suy ra     sin x  1, cos x  Nếu  sin x   x  k , k    10 30    3  k    Vì  x   10;30  10  k  30  Vì  x   10;30  10  k  30    Nếu  sin x   x     k 2 , k      15  k    1  k      Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là:  13   25  44   Vì  x   10;30  10   k 2  30    Dạng Giải biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số m m Câu 156  Ta có  sin x  cos x  3sin x cos x        3sin x cos x  3sin x cos x      4 Đặt  t  sin x ,  1  t    PT trở thành  3t  6t  12  m   Xét hàm số  f  t   3t  6t  12 ,  1  t      m Phương trình  sin x  cos x  3sin x cos x     có nghiệm thực khi   m  15   Vậy có  13  giá trị nguyên của tham số  m   Câu 157 Ta xét phương trình  cos2 x  m sin x  m   2sin x  m sin x   m  0  (1)   Đặt  sin x  t       t  1  khi đó  6 (1)  2t  mt   m  0    Để phương trình  cos2 x  m sin x  m   có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa   t  2t  2t  mt   m  0   m(t  1)  2t   m  * (Vì  t  khơng phải là nghiệm của  t 1 phương trình)   x  1 x2 1 y'    Xét hàm số  y   trên   0;1  Ta có  y '     ;  x 1 x    x 1  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong   60 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2  Để phương trình (*) có nghiệm   m   Do m nguyên dương nên  m    Câu 158  Ta có  cos x   2m  1 cos x  m    cos x   2m  1 cos x  m    cos x  m  cos x  cos x  1  m  cos x  1    cos x  1 cos x  m       cos x     3    3  Do  x   ;   nên  cosx   1;0  nên phương trình  cos x   khơng có nghiệm  x   ;    2  2    3  Vậy nên để phương trình  cos x   2m  1 cos x  m    có nghiệm  x   ;   khi phương  2    3  trình  cos x  m  có nghiệm  x   ;   nghĩa là  1  m    2  Câu 159  Phương trình đã cho tương đương với:   sin x  cos2 x   3sin x.cos2 x  sin x  cos2 x   3sin x cos x  m4     3 m   sin 2 x  sin x      4 15 m    sin x  1     4 m  15  Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi    ;   m  3;15   4  Vậy có  13  giá trị ngun của  m  để phương trình đã cho có nghiệm thực.  Câu 160  Chọn A Ta có  2sin x   m  1 cos x  m cos x  2sin x   cos x  cos x  2sin x Đặt  f  x     cos x  m   để phương trình có nghiệm x  0;   khi và chỉ khi  f  x   m  max f  x         2 0;  0;   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong    61 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 đặt  t  tan x 2t 1 t  sin x  ,cos x    2 1 t 1 t2 1 t2 2t  2 cos x  2sin x t  4t  1  t  t khi đó hàm số  f  x    trở thành  g  t    với  t   0;1    1 t2 cos x  1 1 t2 g '  t   t  2; g '  t    t  2   0;1   g    ; g 1  2   Suy ra  f  x   2;    0;   2 max f  x      0;   2    Các giá trị nguyên của  m  thỏa yêu cầu bài toán là  2; 1; 0   Câu 161  Ta có:  cos3 x  cos x   m  3 cos x    cos3 x  cos x   m  3 cos x    Vậy  2  m  cos x     1  cos x  cos x  m         cos x   x   k , k    khơng có nghiệm thuộc khoảng    ;     2     Đặt  t  cos x , vì  x    ;   nên  t   0;1    2 Khi đó phương trình  1  4t  2t  m       Ycbt    phương trình     có 2 nghiệm phân biệt  t1 , t2  thỏa mãn   t1 , t2  1.  Cách 1: Đặt  f  t   4t  2t  m  , với  t   0;1   Khi đó, phương trình     có 2 nghiệm phân biệt  t1 , t2  thỏa mãn   t1 , t2  1  13     m     f    13 m    f 1      m   Vì  m  ngun nên khơng có giá trị nào.   m   b 0   0    2a   Cách 2:    m  4t  2t   g  t    Ta có bảng biến thiên của  g  t   trên  t   0;1   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   Từ  bảng  biến  thiên  trên  phương  trình      có  2  nghiệm  phân  biệt  t1 , t2 thỏa  mãn   t1, t2  1  thì   m  13  Vì  m ngun nên khơng có giá trị nào.  Câu 162 Ta có:  cos3 x  cos 2 x  m sin x  cos 2 x  cos x  1  m sin x  sin x  cos 2 x  m    cos2 x  m     cos x   m       2  Có  x   0;   x   0;     cos x     6   1   Để phương trình có nghiệm  x   0;   thì    m      2  m     2  6 Do  m    nên  m  1   Câu 163  Ta có:  1  cos x  cos x  m cos x   m sin x  1  cos x  cos x  m cos x   m 1  cos x      cos x  1  1  cos x  cos x  m cos x  m 1  cos x         cos x  m  Xét phương trình  cos x  1  x    k 2    k       2  Phương trình  cos x  1  khơng có nghiệm trong đoạn  0;       2   8   Xét  cos 4x  m  Ta có  x   0;   x   0;        Với  x   0; 2  \    và  m   1;1  phương trình  cos 4x  m  có   nghiệm.  8     Với  x   2 ;   và  m    ;1  phương trình  cos 4x  m  có   nghiệm.       2    Vậy phương trình có   nghiệm phân biệt thuộc   0;   khi  m    ;1       Câu 164 cos x  cos x  m cos x      cos3 x  3cos x  cos x   m cos x       cos3 x  cos x   m   cos x    Đặt  cos x  t  với  t   1;1  Ta có  t      4t  2t   m  3  * Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     thuộc    ;2    2      Với mỗi giá trị  t   0;  1  thì phương trình  cos x  t  có 3 nghiệm của thuộc    ;2      Với  t   thì  cos x   x    k , có 2 nghiệm là   3 ;    Với mỗi giá trị  t   1;0   thì phương trình  cos x  t  có 2 nghiệm của thuộc    ;2         Với  t  1  thì phương trình  cos x  t  có 1 nghiệm của thuộc    ;2      Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm  t1 ; t2  thỏa mãn điều kiện:  1  t1   t2    *  m  4t  2t      Từ bảng biến thiên trên ta có  m  1;3   Vậy  m  2   sin x  Câu 165  Ta có phương trình tương đương      cos x   2m  1 cos x  m  sin x   sin x  1    cos x      cos x  1 cos x  m    cos x  m  Với  x   0; 2   Ta có:    sin x   x   vì  x   0; 2   nên  x    (thỏa mãn)     x x    3   cos x   cos x  cos   vì  x   0; 2   nên    (thỏa mãn)  x     2  5  x  5   3  Với  1  m  , đặt  m  cos  ,     0;   Nhận xét: Với  x   0; 2   thì phương trình  x   cos x  m  cos x  cos    *    x    2 Do đó, phương trình có   nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình  *  có  đúng một nghiệm hoặc có   nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong    64 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Trường hợp 1:      2      (thỏa vì khác  Trường hợp 3:        2    ,  5 ). Suy ra  m  cos   1   3 ,  3   (thỏa). Suy ra  m  cos    2 Vậy  m  0; 1  nên có   giá trị  m Câu 166  Ta có  cos x  m  cos x  m  6cos x     cos3 x  3cos x   m  cos x  m  cos x  8cos3 x  cos x  m  6cos x  m  6cos x   Đặt  t  m  6cos x , u  cos x , phương trình viết lại  u  u  t  t   u  t   u  ut  t  1   u  t  hay  m  cos x  cos x  m  8cos3 x  6cos x  m  cos 3x   Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì  2  m  , có   giá trị nguyên của  m  thỏa mãn.  x    Câu 167  Đặt  t  tan , do  x    ;   suy ra  t   1;1    2 4t 1 t2 Phương trình trở thành tìm  m  để phương trình   m   m  có nghiệm thuộc đoạn  1;1 1 t2 1 t2   1 4t 1 t2 Ta có   m   m  m  t  2t   f  t    2 2 1 t 1 t Hồnh độ đỉnh là  t0   loại. Ta có  f  1   và  f 1  1   Suy ra  1  f  t    Vậy ta chọn đáp án A.  Câu 168  Chọn D  Ta có   cos x  3sin x  5    5  cos x  3sin x   m  m   x  m   Để phương trình đã cho vơ nghiệm khi và chỉ khi     m  m   x  m   5  1     Giải  1  ta có  m  4m   x  m     m3  4m  3 x  m   x   m   m  4m        m    13 2 m     m    VN Giải   2  ta có  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP m ĐT:0946798489  m   x  m   5   m3  4m  3 x  m   x    m   L     m3  4m   m       m    m      m  1 13  L 13 t / m    13 Vậy có duy nhất một giá trị của tham số  m     để phương trình đã cho vơ nghiệm.  2 Câu 169 Chọn C cos x  cos x  m cos x 1   cos3 x  3cos x  cos x 1  m cos x 1  cos x  (1)  cos x(4 cos2 x  cos x  m  3)     cos x  cos x  m   (2)    x         Giải  (1)  x   k   Do  x   ; 2   nên      3  x        3  Bài tốn quy về tìm  m  để phương trình có   nghiệm thuộc   ; 2  \  ;        2   Phương trình  (2)  đặt  t  cos x ( t  1)  phương trình trở thành  4t  2t   m   (3)  Từ đường       3  tròn lượng lượng giác để phương trình  (2) có   nghiệm thuộc   ; 2  \  ;   thì phương    2     trình  (3)  có   nghiệm phân biệt thỏa mãn  1  t1   t2    0   m     m   Do  m  Z  m    3  m  Câu 170   cos x   2m  3 cos x  m    cos x   2m  3 cos x  m       3    cos x  1 cos x   m      cos x   m  , vì  x   ;    2   cos x  m    Ycbt   1  m       m    Câu 171   cos x  5sin x  m   2sin x  5sin x   m   1     Đặt  t  sin x ,  x    ;   t   1;1   2  1  2t  5t   m   *   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     Phương trình  1  có đúng   nghiệm  x    ;   t  1   0;1   2  Xét hàm số:  f  t   2t  5t  ,  t  1   0;1    33  Đồ thị của hàm số  f  là parabol có đỉnh  I   ;      BBT:  t 1 f(t)   m   m  4 Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán       6   m   1  m  Câu 172  Ta có  cos x   2m  1 cos x  m    2cos x   2m  1 cos x  m     cos x      2cos x  1 cos x  m       cos x  m   Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x    ;   khi và chỉ khi   cos x   nên loại   2  cos x       Vậy phương trình đã cho có đúng  nghiệm x    ;  khi và chỉ khi   m     2          Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67 ... biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu 53 Dạng Giải biện luận Một số tốn phương trình lượng giác khác 57 Dạng Giải biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số ... A. Nếu chia hai vế của phương trình cho  cos x  thì ta được phương trình tan x  tan x   B. Nếu chia 2 vế của phương trình cho  sin x  thì ta được phương trình cot x  cot x   C. Phương trình đã cho tương đương với ... B. Nếu chia hai vế của phương trình cho  sin x  thì ta được phương trình cot x  cot x   C. Phương trình đã cho tương đương với  cos x  sin x  7 D.  x   là một nghiệm của phương trình Câu 90  (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Giải phương trình