Chuyên đề tính GTLN và GTNN của biểu thức bồi dưỡng toáng 8

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN Bài 1: Tìm GTNN của: A = x ( x − 3)( x − 4)( x − ) Bài 2: Tìm GTNN của: B = ( x − 1)( x − 3) ( x − x + 5) Bài 3: Tìm của: A = x ( x + 2)( x + 4)( x + 6) + Bài 4: Tìm GTNN của: B = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) Bài 5: Tìm GTNN của: A = ( x2 + x − 6)( x + x + 2) Bài 6: Tìm GTNN : C = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Bài 7: Tìm GTNN của: D = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 1) Bài 8: Tìm của: C = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 2011 Bài 9: Tìm max của: E = + (1 − x )( x + 2)( x + 3)( x + 6) Bài 10: Tìm GTNN của: M = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Bài 11: Tìm của: D = ( x + 1) ( x − ) ( x + 5) + 2014 Bài 12: Tìm của: B = ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) + m với a+d = b+c Bài 13: Tìm GTNN của: C = x − x3 + 10 x − x + HD: C = ( x − 2.3x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − 3x ) + ( x − 3)  2 Bài 14: Tìm GTNN của: C = x − x3 + x − 20 x + 22 HD: C = ( x − x3 + x ) + ( x − x + ) + Bài 15: Tìm GTNN của: B = x − x + x + HD: B = ( x − x + 1) + ( x + x + 1) + Bài 16: Tìm GTNN của: D = ( x + 8) + ( x + 6) HD: 4 Đặt: x + = y = D = ( y + 1) + ( y − 1) = y + 12 y +  4 Bài 17: Tìm GTNN : A = 9x2 − 6x − 3x −1 + HD: Đặt: 3x −1 = t = t = 9x2 − 6x + = E = t − 4t + Bài 18: Tìm GTLN của: A = ( x + 1) − ( 3x − 2) + x − 11 Bài 19: Tìm của: A = ( x + ) + ( x − ) 4 Bài 20: Tìm của: A = x2 + y2 − 4x + 32 y + 2018 Bài 21: Tìm của: A = 3x2 + y2 + 4x − y Bài 22: Tìm của: B = 5x2 + y2 + 2xy −12x −18 Bài 24: Tìm max của: B = −3x2 −16 y2 − 8xy + 5x + Bài 25: Tìm của: A = 3x2 + y2 + 4xy + 2x − y + 26 Bài 26: Tìm của: 5x2 + y2 −12xy + 24x − 48 y + 82 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 27: Tìm max của: A = −x2 − y2 + xy + 2x + y Bài 28: Tìm của: A = ( x − 3) + ( x − 1) 2 Bài 29: Tìm của: B = ( x + 1) + ( x + ) − ( x + 3) 2 Bài 30: Tìm max của: F = − ( x + 1) − ( x − 5) 4 Bài 31: Tìm của: G = ( x + 3) + ( x − ) Bài 32: Tìm của: H = x − x + x + 25 Bài 33: Tìm của: I = x − x3 + 11x + 12 x + 20 Bài 34: Tìm của: K = x − x3 + 15x − 20 x − 15 Bài 35: Tìm của: M = x − x3 + x − 12 x − 18 Bài 36: Tìm max : N = −x2 − y2 + 6x − y + Bài 37: Tìm max của: P = −3x2 − y2 + 2x + y − 23 4 Bài 38: Tìm max cảu: Q = −x2 − y2 + 4xy +12 y + Bài 39: Tìm max cảu: Q = −x2 − y2 + 4xy +12 y + Bài 40: Tìm max của: R = −7x2 − y2 − 8xy +18x + Bài 41: Tìm max của: A = − 2x2 − y2 + 4xy − 8x −12 y Bài 42: Tìm max của: B = − 5x2 − y2 − 4xy + 2x Bài 43: Tìm của: C = a + ab + b2 − 3x − 3b + 1989 Bài 44: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: ( x + 1)( x + ) ( x + 3)  m Bài 45: Tìm GTNN của: A = x − 2xy + 2y2 − 4y + HD: Ta có: A = x − xy + y + y − y + + = ( x − y ) + ( y − ) + 2 Do: ( x − y )  0, ( y − )  , Nên A = ( x − y ) + ( y − ) +  2 2 Bài 46: Tìm của: B = 2x2 + y2 + 2xy − 8x + 2028 Bài 47: Tìm GTNN biểu thức: A = a − 2a3 − 4a + HD: A = a ( a + ) − 2a ( a + ) + ( a + ) + = ( a + )( a − 2a + 1) +  dấu a=1 Bài 48: Tìm GTNN biểu thức : A = x2 − 2xy + y2 + 2x −10 y +17 Bài 49: Tìm Min của: P = 5x2 − x −1 −1 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG 2: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm GTNN của: A = x2 − 2xy + y2 + 2x −10 y +17 Bài 2: Tìm của: B = x2 − xy + y2 − 2x − y Bài 3: Tìm của: C = x2 + xy + y2 − 3x − 3y Bài 4: Tìm của: D = x2 − 2xy + y2 −12x + y + 45 Bài 5: Tìm của: E = x2 − xy + 3y2 − 2x −10 y + 20 Bài 6: Tìm max của: F = −x2 + 2xy − y2 + 2x +10 y − Bài 7: Tìm của: G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − 8ay + x − y + 10 Bài 8: Tìm max của: H = −x2 + xy − y2 − 2x + y +11 Bài 9: Tìm của: I = x2 + 4xy + y2 − y +11 Bài 10: Tìm của: K = x2 + y2 − xy + 3x + 3y + 20 Bài 11: Tìm của: M = x2 − 2xy + y2 − y +1 Bài 12: Tìm của: N = x2 − 2xy + y2 − x Bài 13: Tìm của: x2 − 2xy + 3y2 − 2x +1997 Bài 14: Tìm của: Q = x2 + y2 − 2xy + 2x −10 y Bài 15: Tìm của: R = x2 + y2 + 2xy − y Bài 16: Tìm của: A = 4x2 + y2 − 4xy −16 y + 32 Bài 17: Tìm của: B = x2 + y2 + 5z − 4xy − yz − 4z +12 Bài 18: Tìm của: C = 5x2 −12xy + y2 − 4x + Bài 19: Tìm max của: D = −x2 − y2 + xy + 2x + y Bài 20: Tìm của: E = x2 + y2 − 4xy + y − Bài 21: Tìm GTNN A = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + HD: Ta có: P = a2 − 2ab + b2 + ( a2 + bh2 ) + + 2ab − 4a − 4b = ( a − b ) + ( a + b − )  2 Bài 22: Tìm của: G = x2 + xy + y − 3( x + y ) + Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z − 2x + y − 6z +15 = Bài 24: Tìm của: A = 2x2 + y2 − 2xy − 2x + Bài 24: Tìm của: B = x2 − 2xy + y2 + 2x −10 y +17 Bài 25: Tìm của: C = x2 + xy + y2 − 3x − 3y Bài 26: Tìm của: D = 2x2 + 2xy + y2 − 8x − 22 y Bài 27: Tìm của: E = 2x2 + y2 − 6xy − 6x −12 y + 2004 Bài 28: Tìm của: F = x2 − 2xy + y2 −12x +12 y + 45 Bài 29: Tìm GTNN biểu thức : a + ab + b2 − 3a − 3b + HD: P = a + ab + b2 − 3a − 3b + = 4P = ( a − b ) + ( a + b − )  2 Bài 30: Tìm của: A = x2 + y2 +14z − yz + 6zx − 4xy Bài 31: Tìm của: B = x2 + y2 + 3z − 2xy + 2xz − 2x − y − 8z + 2000 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 32: Tìm GTLN biểu thức: T = −2x − y2 − 4x + 12y + 4xy + 2002 Bài 33: Tìm GTNN biểu thức: P = 5x2 + 2y2 − 4xy − 2x − 4y + 2023 Bài 34: Tìm GTNN biểu thức: M = x2 + 2xy + 2y2 − 2y − GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG 3: PHÂN THỨC 6x − − x2 Bài 2: Tìm của: B = x − 4x + −3 Bài 3: Tìm max của: C = x − 5x + Bài 1: Tìm của: A = −x + 2x − K= x +8 M= x + x +1 3x − x + E= x − 2x +1 x2 − x + G= x2 x2 − x + F= ( x + 1) Bài 4: Tìm max của: D = Bài 5: Tìm max của: Bài 6: Tìm max của: Bài 7: Tìm max của: Bài 8: Tìm max của: Bài 9: Tìm max của: Bài 10: Tìm max của: H = Bài 11: Tìm max của: I = x ( x + 10 ) x ( x + 2016 ) x − x + 2000 x2 x − x + 2015 Bài 13: Tìm max của: E = 2015 x x Bài 14: Tìm max của: F = ( x + 2000 ) Bài 12: Tìm max của: D = Bài 15: Tìm max của: B = ( x2 − x + x2 + x + ) x2 + x + x2 x − x + 2012 Bài 17: Tìm max của: B = x2 − 4x Bài 18: Tìm max của: K = x +1 27 − 12 x Bài 19: Tìm max của: M = x +9 3x + x + Bài 20: Tìm max của: N = x2 + 8x + Bài 21: Tìm max của: P = 4x +1 ( x + x + 1) Bài 22: Tìm max của: C = x2 + Bài 16: Tìm max của: A = GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức x2 + x + x2 + 2x +1 D= x +2 2x +1 E= x 2x −1 F= x +2 6x − G= x +1 3x2 − x + 17 Q= x − 2x + x2 − 16 x + 41 R= x − 8x + 22 x6 + 27 A= x − 3x + x − x + x6 + 512 B= x +8 x4 + 16 x3 + 56 x2 + 80 x + 356 G= x2 + x + Bài 23: Tìm max của: N = Bài 24: Tìm max của: Bài 25: Tìm max của: Bài 26: Tìm max của: Bài 27: Tìm max của: Bài 28: Tìm max của: Bài 29: Tìm max của: Bài 30: Tìm max của: Bài 31: Tìm max của: Bài 32: Tìm max của: Bài 33: Tìm của: H = x2 −1 x2 + −8 3x + x2 Bài 35: Tìm max của: P = x − x + 2010 x2 − x + Bài 36: Tìm max của: Q = x − 2x +1 x2 + x + Bài 37: Tìm max của: A = x2 2x +1 Bài 38: Tìm max của: B = x +2 x2 + Bài 39: Tìm max của: C = x + x+2 x2 + x + Bài 40: Tìm max của: D = x − 2x + x2 y + x2 x2 − y + Bài 41: Tìm max của: G = 4 2 2x + x y + y + Bài 34: Tìm max của: I = ( Bài 42: Tìm max của: H = ) x4 + (x ) +1 3x + x2 + 3x − x + Bài 44: Tìm max của: C = x2 + Bài 43: Tìm max của: A = GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức 3x − x + 17 x − 3x + x − 16 x + 71 Bài 46: Tìm max của: I = x − 8x + 22 x2 − x + Bài 47: Tìm max của: K = x2 x2 + x + Bài 48: Tìm max của: N = x + 2x + x2 Bài 49: Tìm max của: P = x +1 x2 − x + 1999 x3 Bài 50: Tìm max của: Q = : x − 3x + x − 3x + x 3x − x + Bài 51: Tìm max của: A = x2 + 6x − Bài 52: Tìm max của: B = x +1 2x +1 Bài 53: Tìm max của: C = x +2 x2 + x + Bài 54: Tìm max của: D = x + 2x + 8x + Bài 55: Tìm max của: E = 4x +1 x2 − x + Bài 56: Tìm max của: F = x + 2x + x4 + Bài 57: Tìm max của: G = ( x2 + 1) Bài 45: Tìm max của: H = x − xy + y x + xy + y 4x + Bài 59: Tìm max của: I = x +1 ( x + 1) Bài 39: Tìm P = x +2 x2 + Bài 60: Tìm max của: J = x − x +1 x2 + Bài 61: Tìm max của: K = x + x+2 4x +1 Bài 62: Tìm max của: M = x +3 3x − x + 14 Bài 63: Tìm max của: N = x2 + 12 x + 13 Bài 64: Tìm max của: P = x + 2x + y − 3xy Bài 65: Tìm max của: Q = x − 3xy + y Bài 58: Tìm max của: H = GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức x2 − y 3x − xy + y x2 − x + 23 A= x − x + 10 y2 B= x − 12 xy + y 3x2 − 12 x + 10 C= x − 4x + y2 D= −25 x + 20 xy − y 4x2 − 6x + E= ( x − 2) Bài 66: Tìm max của: R = Bài 67: Tìm max của: Bài 68: Tìm max của: Bài 69: Tìm max của: Bài 70: Tìm max của: Bài 71: Tìm max của: x2 + x − 14 x2 − x + x2 − x + Bài 73: Tìm max của: G = 2 x − 3x + 3x − xy + y Bài 74: Tìm max của: H = x − xy + y x2 + 22 x + 19 Bài 75: Tìm max của: I = x + 4x + x + 30 x − Bài 76: Tìm max của: K = x2 + x + x − 5xy + y Bài 77: Tìm max của: M = 2 x − 10 xy + y 22 x − 58 xy + 73 y Bài 78: Tìm max của: N = x − xy + y x + xy Bài 79: Tìm max của: P = 2 x +y x − 3x + Bài 80: Tìm max của: Q = x − 2x +1 x + xy + y Bài 81: Tìm max của: R = x − xy + y x2 Bài 82: Tìm GTLN biểu thức: , GTLN đạt giá trị x x + x +1 Bài 72: Tìm max của: F = HD: x2 1 Ta có : P( x) = => = x2 + +  x + x +1 P( x ) x x + x +1 Bài 83: Tìm GTNN biểu thức: M = ( x  −1) x + 2x + HD: Ta có : M = x2 + x + − ( x + 1) + 1 = 1− + x + 2x + x + ( x + 1)2 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức  1 3 = t , ta có: M = t − t + =  t −  +  Đặt x +1  2 4 Bài 84 : Tìm giá trị lớn biểu thức: B = HD: Ta có: B = ( x + 1) x + x + x +1 = ( x + 1) ( x + 1) x3 + x2 + x + x ( x + 1) + x + = (x ( x + 1) ) + ( x + 1) = x +1  , Dấu x=0 x +1 x − x + 2012 Bài 85: Tìm GTNN biểu thức : P = , với x#0 x2 4x + Bài 86: Tìm giá trị lớn P = x +1 4x + Bài 87: Tìm giá trị lớn P = x +1 x − 3x + Bài 88: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x − 2x +1 x − x + 2011 Bài 89: Cho biểu thức M = , với x>0, Tìm x để M có GTNN x2 6x + Bài 90: Tìm GTNN GTLN của: A = 12 x + Do x +  = B = Bài 91: Cho x, y số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3x + xy x + xy + y x + x + 17 Bài 92: Cho x  , Tìm GTNN : Q = ( x + 1) Bài 93: Tìm GTNN : B = 2x2 + 6x + x2 + 4x + Bài 94: Tìm GTNN : C = x2 + x2 − x + Bài 95: Tìm GTLN của: B = 5x + 21 x2 + Bài 96: Tìm GTLN của: C = 2x2 − 4x + x2 − 2x + Bài 97: Tìm GTLN của: D = 3x + x + 10 x2 + 2x + GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CĨ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Tìm của: A = 3x2 + y2 biết : 3x + y = HD: y = − 3x = A = 3x + (1 − 3x ) = 12 x − x + Bài 1: Cho số x, y thỏa mãn: x + 3y = 13 , tìm GTNN Q = x2 + y2 Bài 2: Tìm của: A = xy biết 3x + y = HD: y = − 3x = A = x (1 − 3x ) = −3x2 + x Bài 3: Tìm của: A = a3 − b3 − ab biết: a – b =1 HD: a = b + = A = ( b + 1) − b3 − ( b + 1) b = 2b + 2b + Bài 4: Tìm max của: B = a.b biết: 3a + 5b = 12 HD: Từ gt ta có: a = 12 − 5b 12 − 5b  −5 12 , thay vào B = b  b + b = 3   Bài 5: Tìm của: C = x3 + y3 + xy biết: x + y = HD: Từ gt=> y = − x thay vào C ta được: C = x3 + (1 − x ) + xy = x − x + Bài 6: Tìm của: D = x2 + y2 biết: x + y = HD: Từ gt=> x = − y thay vào D = (1 − y ) + y Bài 7: Tìm của: E = 2x2 + y2 biết: x − y = HD: Từ gt=> y = 4x − thay vào E Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm của: A = x2 + y2 Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm của: B = − xy    Bài 9: Cho a, b>0 a+b=4, tìm GTLN P =  −   −   a  b    1   1 Bài 10: Tìm của: F = 1 +  + 1 +  , biết: a+b=1 a,b >0 a b   HD:   Ta có: 1 + 2 2 2 a+b   a+b   b  a a b a b  + + + + + + = + + + =            a   b   a  b b a b a   + 4.2 + = 18 Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: x + y2 + = , Tìm max của: A= x.y x2 HD: 2  1  y    y  Từ gt ta có : =  x + −  +  x + − xy  + xy + => =  x −  +  x −  + xy + x x  2      => xy +  = xy  10 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 12: Cho hai số thực a,b  0, thỏa mãn: 2a2 + b2 + = , Tìm min, max của: S = ab + 2017 a2 HD:  b2 1  b     Từ gt ta có : =  a + −  +  a + − ab  + ab + =  a −  +  a −  + ab + a a  2      2 => ab +  = ab + 2017  2019 = S  2019  1  b    b  Mặt khác : =  a + −  +  a + + ab  − ab + =  a −  +  a −  − ab + a a  2      2 => −ab +  = ab  −2 = ab + 2017  2015 => S  2015 Bài 13: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: x + y2 + = , Tìm min, max của: A = xy + 2024 x2 HD: Từ gt ta có : = x +  y2 16 y  16   y 2 + = 16 = x + + =  x + −  +  x + + xy  − xy + 2 x x  x    4  y  => =  x −  +  x +  − xy + = − xy +  16 = xy  −8 = A = xy + 2024  2016 x  2    Mặt khác : 16 =  x +  16   y 4  y  −  +  x + − xy  + xy + =  x −  +  x −  + xy − x x  2     2 => xy −  16 = xy  = S = xy + 2024  2032 y2 + = , Tìm max, A = xy x2 Bài 15: Cho x,y  R khác biết: x + y + = , Tìm x,y để B = x y đạt đạt max 4x Bài 14: Cho số x,y khác thỏa mãn: x + HD: Ta có : = 8x2 + y + 1   =  x + −  + ( x + y − xy ) + xy + 2 4x 4x     =  x −  + ( x − y ) + xy + = xy +  = B = xy  2x    −1  Mặt khác : =  x −  + ( x + y ) − xy + = −4 xy +  = B = xy  2x   y Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x + + = Tìm của: P = xy x Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: A = ( x + y )( y + 3x ) + 25 xy HD: Ta có : A = 16( xy)2 + 12 x3 + 12 y + xy + 25xy = x y + 12 ( x3 + y ) + 34 xy Vì x+y =1 nên x3 + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x + y ) − 3xy = − 3xy , thay vào A A = x2 y + 12 (1 − 3xy ) + 34 xy , Đặt xy=t : A = 6t − 2t + 12 Bài 17: Cho x, y số thực thỏa mãn: x + y = Tìm biểu thức: ( )( ) C = x + y y + x + 8xy Bài 18: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: A = x2 + y2 HD: 11 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức Từ gt ta có : x = − y thay vào A = ( − y ) + y = y − 12 y + Bài 19: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x2 + y2 − xy = , Tìm max của: A = x2 + y2 HD: Ta có : x2 + y − xy = = x + y − xy = = ( x − y ) + x + y = => x2 + y2  hay A  mặt khác : = x2 + y − xy = x + y = + xy = 3x + y = + ( x + y )  => x + y  8 hay A  3 Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: A = x3 + y3 + 2xy HD: Từ gt ta có : y = − x thay vào A ta : A = x3 + ( − x ) + x ( − x ) Bài 21: Cho số thực x,y thỏa mãn: x + y + = , Tìm max của: ( ) ( ) A = x3 + y + x + y + 10 xy HD: Ta có : x+y= - 4, nên x3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −64 + 12 xy , x + y = ( x + y ) − xy = 16 − xy thay vào A = ( −64 + 12 xy ) + (16 − xy ) + 10 xy Bài 21: Cho x, y số thực thỏa mãn: x + y = , Tìm GTNN C = ( x + y )( y + x ) + 8xy Bài 22: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: x + y + z = , Tìm max của: A = xy + yz + zx HD: Từ giả thiết=> z = − x − y thay vào A ta : A = 2xy + y ( − 2x − y ) + x ( − 2x − y ) = −2x2 − y − 2xy + 4x + y Bài 23: Cho x,y,z  R thỏa mãn: x + y + z = Tìm max của: A = xy + yz + 3zx HD: Từ gt => z = − x − y thay vào A = xy + y ( − x − y ) + 3x ( − x − y ) Bài 24: Cho x,y  R thỏa mãn: x2 + 2xy + ( x + y ) + y + 10 = , Tìm max của: S = x+ y +3 HD: Từ gt ta có : x2 + 2xy + 7x + y + y2 +10 = (2 y + 7)  y +  ( y + 7) + y + y + 10 − = =>  x + y +  + y − = => x + x  + 4 2    => −  x + y +  = −5  x + y  −2 => −2  x + y +  2 3m2 2 Bài 25: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: n + np + p = − , Tìm min, max của: A = m + n + p 2 2 HD: Từ gt ta có : 2n2 + 2np + p2 = − 3m2 = 3m2 + 2n2 + p2 + 2np = => (m2 + n2 + p + 2mn + 2np + 2mp) + ( 2m2 + n2 + p − 2mn − 2mp ) = => ( m + n + p ) + ( m − p ) + ( m − n )  => −  m + n + p  2 2 Bài 26: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x2 + y2 + z = , Tìm min, max của: P = x + y + z HD: 12 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Ta có : P2 = ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz , nên ta nhân vào gt : 18 = x + y + z = ( x + y + z + xy + yz + zx ) + (5 x + y + z − xy − yz − zx ) 18 = ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) => ( x + y + z )  18 2 2 − 18  x + y + 2z  18 Bài 27: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2m2 + 2n + p + 3mn + mp + 2np = , Tìm max của: B = m + n + p HD: Từ gt ta có : 4m2 + 4n2 + p2 + 6mn + 2mp + 4np = => ( m2 + n2 + p + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m2 + n2 + p − 4mp − 2np ) = => ( m + n + p ) + ( p − m ) + ( n − p ) = => ( m + n + p )  = −1  m + n + p  2 2 Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: x + y + z = , Tìm max của: A = xy + yz + zx HD: Từ gt=> z = − x − y thay vào A = xy + y ( − x − y ) + x (3 − x − y ) = x2 − y2 − xy + 3x + 3y Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: B = − xy + yz + zx HD: Từ gt ta có : z = − x − y => B = − xy + y ( − x − y ) + 4x ( − x − y ) =>B= −4x2 − 3y2 −16xy + y +12x Bài 30: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x + y − z = , Tìm max A = − xy + yz + zx HD: Từ gt=> z = x + y − thay vào A = − xy + y ( 2x + y − 4) + x ( 2x + y − 4) Bài 31: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x + y − z = , Tìm max của: B = 12 xy − yz − zx HD: Từ gt ta có : z = x + y − thay vào B = 12 xy − y ( x + y − 4) − x ( x + y − ) Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = −2 , tìm của: A = ( x3 + y3 ) − 15xy + HD: Từ x + y= -2, ta có : x3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + xy thay vào A = ( −8 + xy ) −15xy + = −3xy − y= - - x thay vào A = −3x ( −2 − x ) − Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = −2 , Tìm ( ) B = x + y − x3 − y + x y + xy x + y + 13xy HD: ( ) B = x + y − x3 − y + x y + xy x + y + 13xy Từ x+y= - 2, ta có: x4 + y = ( x + y ) − xy  − x y = ( − xy ) − x y   2 x3 + y3 = 6xy − , x2 + y2 = − 2xy , Thay vào b ta : B = ( − xy ) − x y − ( xy − 8) + x y + xy ( − xy ) + 13xy B = − xy + 24 , thay y = −2 − x = B = x2 + 2x Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = , Tìm max của: A = x3 + y − ( x + y ) + xy + HD: 13 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Vì x + y = nên x3 + y3 = 125 −15xy x2 + y2 = 25 − 2xy thay vào A = 125 −15xy − ( 25 − xy ) + xy + Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: ( ) ( ) B = x + y − x3 + y − 20 x + y − x y + xy HD: ( ) ( ) B = x + y − x3 + y − 20 x + y − x y + xy Vì x+y=5 nên x + y = ( 25 − xy ) − x y , x3 + y3 = 125 −15xy , x2 + y2 = 25 − 2xy 4 B = ( 25 − xy ) − x y − (125 − 15xy ) − 20 ( 25 − xy ) − x y + xy Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: x4 + y − = xy (3 − 2xy ) , Tìm max của: P = xy HD: Từ gt=> x4 + y4 − 3xy + 2x2 y2 = => (x − x y + y ) + x y − 3xy = = ( x − y 2 2 ) 2  121  => +  xy −  = 4 16   121   xy −   4 16  Bài 37: Cho số thực x,y thỏa mãn: 7x2 + y2 +12xy − 4x − y −15 = , Tìm max của: A = 2x + 3y + HD: Từ gt=> ( x ) + ( y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + + 3x = 16 => ( x + y + 1) + 3x = 16 2 Bài 38: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 3x2 + y2 + 5z + 4xy − 2xz + yz = , Tìm max của: P = x+ y HD: Từ gt ta có: ( x2 + y + xy ) + ( x + y + 5z + xy − xz + yz ) = => ( x + y ) + ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( z − xz + x ) = => ( x + y )  = −  x + y  Bài 39: Cho số x, y, z thỏa mãn: 3x + y + z = Tìm max của: p = x2 + y2 + z HD: Từ gt ta có: y = − 3x − z => y2 = 1+ 9x2 + 4z − 6x +12xz − 4z : P = 10 x + z + 12 xz − x − z + Bài 40: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A = xy + yz + zx HD: Từ gt => z = − x − y thay vào A = 2xy + y (1 − x − y ) + 4x (1 − x − y ) Bài 41: Cho x, y  R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: Từ gt=> x = − y thay vào P = y (1 − y ) x Bài 42: Cho x,y  R + thỏa mãn: x+y=10, Tìm của: A = + y HD: Ta có : 1 4 +  = = x y x + y 10 Bài 43: Cho x,y  0, x+y=1, Tìm min, max của: A = x2 + y2 HD: Từ gt=> y = − x thay vào A = x + (1 − x ) 14 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 44: Tìm max của: P = x + y + z , biết: y + z + yz = − x HD: Từ gt => y2 + 2z2 + yz = − 3x2 = 3x2 + y2 + 2z + yz = => ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − zx ) = => ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) = = ( x + y + z )  2 2 Bài 45: Cho x2 + 3y2 + 2xy −10x −14 y +18 = , Tìm min, max của: S = x + y HD: Từ gt=> x + x ( y − 5) + ( y − 5) + y − 14 y + 18 − y + 10 y − 25 = => ( x + y − 5) + ( y − y + 1) = = ( x + y − 5)  => −3  x + y −  2 Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta : 3a + 3c + 5b = 72 = ( a + b + c ) = 72 − 2b  72 Do b  = a + b + c  72 = 24 Bài 46: Cho số nguyên dương a, b, c cho ( a − b )( b − c )( c − a ) = a + b + c a, CMR: a + b + c b, Tìm GTNN P = a + b + c Bài 47: Cho a,b,c số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm E = 2a + 3b − 4c HD:  c  a = − 3c  Cộng theo vế ta : a + b = =  =  b = 3c − c    Khi đó: E = ( − 3c ) + (3c − 2) − 4c = − c a   b  Bài 48: Cho x, y, z  0, x + y = 2014,3x + z = 3031 , Tìm GTLN biểu thức : A = x + y + z HD: Cộng theo vế gt ta có: 5x + y + 5z = 5045 − y  5045 y  nên ( x + y + z )  5045 = x + y + z  1009 Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: a + b + c + ab + bc + ca 4 a b + b 2c + c a Bài 50: Cho x,y,z số thực nguyên dương thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = , tìm của: A = x2 + y + z HD: Ta có: 12 = x + y + z + xy + yz + zx MÀ x  x + , y  y2 +1 , z  z + , 2xy  x2 + y2 , 2yz  y2 + z , 2zx  z + x nên 12  ( x + y + z ) + = x + y + z  Bài 51: Cho x2 + y2 + z  27, Tìm max A = x + y + z + xy + yz + zx 15 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức HD: Ta có : ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx )  27 + ( x + y + z + z + y + x )  81 => ( x + y + z )  , mặt khác xy + yz + zx  x2 + y y + z z + x2 + + = 27 2 Khi A  + 29 = 36 , dấu ‘=’ x = y = z = Bài 52: Cho xy + yz + zx = , Tìm của: A = x4 + y4 + z HD: 2 Ta có: 64 = ( xy + yz + zx )  ( x + y + z )( x + y + z ) = ( x + y + z ) 64  ( x + y + z )  ( x + y + z )(12 + 12 + 12 ) => A  64 64 , A = 3 1 Bài 53: Cho x  , x + y  , tìm của: P = x2 + y + + x x+ y 19a + 19b + 19c + + + Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: ab + bc + ca = , Tìm của: A = b +1 c +1 a +1 HD: A 19 57 19a + 19b + 19c + 19  a b c   1   + + + =  + +  +  + +   + 2 abc 2 2b 2c 2a b c a 2a b c Vì = ab + bc + ca  3 ( abc ) = abc  Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a + b + c = , CMR: a +1 b +1 c +1 + + 3 b2 + c + a + Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm của: A = a + b2 + c + d HD: 9 81  , nên xét  a −   = a − a +  4 16  81 9 81 81 81 b − b +  0, c − c +  0, d − d +  => a + b + c + d − ( a + b + c + d ) +  16 16 2 16 81 => A  dấu xảy a = b = c = d = 4 2 Bài 57: Cho a + b = ,Tìm max của: A = ab ( a + b ) Dự đoán dấu “=” a = b = c = d = HD: Ta có: a + b = = a2 + b2 = − 2ab = A = ab ( − 2ab ) = −2a2b2 + 4ab A = − ( a 2b − 2ab + 1) +  , Max A = Bài 58: Cho x + y + z = , Tìm của: A = x + y + z HD: Đặt x = a ( t  0) = x = t , y = b, z = c => A = a + b2 + c a + b + c = 1 a Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b  , Tìm của: P = a + b + + b HD: 1 1 = = = 4a ,=> P =  4a +  +  4b +  − ( a + b )  + − ( a + b ) a a  b  mà a + b  = ( a + b )  = −3 ( a + b )  −3 => P  − = Điểm rơi: a = b = Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b  , Tìm của: A = 1 + + a + b a b ab 16 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức HD: 1 1 = 3 = 4, = = 3 = 2 a +b ab a +b 2a b 1 1 1 Khi đó: A = 3 + + + +  55 3 6 2 a + b 2a b 2a b 2ab 2ab (a + b ) a b Điểm rơi a = b = Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: x + y = , tìm của: P = x2 + y + 33 xy HD : k 33 , nên xy = = = k = 32 đó: xy 32 1 1  = = P  2.8 + P = xy + +  64 + , Mà: xy ( x + y ) 4 xy xy xy Điểm rơi: x = y = đó: P  xy + Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: a + b + c + d = , Tìm của: M= ( 1 1 + + + a +1 b +1 c +1 d +1 ) ( ) Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: (11x + y + 2015)( x − y + 3) = , Tìm của: P = xy − 5x + 2016 HD: Từ gt ta có : 11x + y + 2015 = x − y + = TH1: Ta có : 11x + y + 2015 = = y = 11x + 2015 thay vào P TH2: ta có: x − y + = = y = x + thay vào P 1 + + a +b+c b +c+a c +a+b Bài 65: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: 4c + 2b  a ( b2 + c ) , Tìm của: Bài 64: Cho a,b,c dương tổng 3, Tìm max của: A = S= + + b+c −a a +c −b a +b −c Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a + b2 + c = , Tìm P = ( a + b + c ) +  + +  a b c  1  Bài 67: Cho x + y + z = 1, tìm của: F = xy + yz + zx Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a + b + c = 1, tìm của: S= 2 ab bc ca 11 1 + 2+ +  + +  2 a +b b +c c +a 4a b c HD: Ta có: ab bc ca 1 1 1 1 1a b b c a c  + 2+ +  + + = + + +  + + + + + + 3 2 a +b b +c c +a 4 a b c  a + b b + c c + a 4 b a c b c a  b a c b a c 15 1 x 1 y 1 z S =  +  +  +  +  +  +  + + + = , dấu “=” x2 = 4, y2 = 4, z = Vì đặt 4  x 4  y 4  z 4 a b + =x b a S= 17 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 69: Cho P = xy ( x − 2)( y + 6) + 12x2 − 24x + y + 18 y + 36 , CMR P dương với x,y  R Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: x + y  , Tìm của: P =  x10 y10  16 16 2 +  + x + y − 1+ x y  y x2  ( Bài 71: Tìm A =  ) ( ) + y2 +1+ x 5xy Bài 72: Cho số x,y,z thỏa mãn : x + y + z = , Tìm GTLN : B = xy + yz + zx HD: Ta có : B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y ) ( x + y ) y −  −3 2 = xy + ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + 3x + y = −  x +  + ( y − 1) +    Bài 73: Cho x, y, z >0 Tìm GTNN của: A = x2 y2 z2 + + x + yz y + zx z + xy HD : x2 y2 z2 Ta có: A  2 + 2 + 2 = dấu x +y +z y +z +x x +y +z yz = y2 + z ,2zx = x2 + z ,2xy = x2 + y2 hay x=y=z Bài 74: Cho x,y số thực khác thỏa mãn: x2 − 2xy + y2 − 2x + y + = , Tính giá trị biểu thức: P = 3x y − xy Bài 75: Cho x, y, z số dương thỏa mãn : x + y + z = , Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= ( x + y )( y + z ) + ( y + z )( z + x ) + ( z + x )( x + y ) ( z + x) ( x + y) ( y + z) Bài 76 : Cho x2 + xy + 3y2 = , Tìm Min max biểu thức : P = x2 − 2xy + y2 HD : P x − xy + y Ta có : = x + xy + y x Bài 77 : Cho x  2, x + y  , y > , Tìm Min P = x + y + + x+ y HD : 1 1 1 1 +  =  + = P  x + y + + + x y x+ y x + y 4x y x 4x y x =     P   x2 +  +  y2 + , Điểm rơi cosi :  4x   y   x + y = Ta có : x2 + Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của: S = x +1 Bài 79: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a+b c+b 1 = = + , Tìm GTNN của: P = a − b 2c − b b a c 18 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ là: + ( a − b )  dấu “=” a=b + a + b  ab + a b + 2 b a Bài 1: Tìm biểu thức: A = + (  x  1) 1− x x HD: − 2x + 2x − x + x 2x − x 2x − x + = 3+ +  3+ = 3+ 2 1− x x 1− x x 1− x x 2x 1− x = = x = − Dấu ‘’ = ’’ 1− x x x2 + Bài 2: Tìm biểu thức: B = với x  x+2 Tách A = HD: x2 − + 5 = x−2+ = x+2+ −4 −4 x+2 x+2 x+2 = x + =  Dấu ‘’=’’ x + = x+2 x2 − x + Bài 3: Tìm của: A = với x > x + x +1 Tách A = HD: x2 + x + − x 2x 2 , mà x +  = = 1− = 1−  1 x x + x +1 x + x +1 x + +1 x +1+ x x x + x +1 Bài 4: Tìm của: A = x + 2x +1 x2 + x + Bài 5: Tìm của: B = với x  x Tách A = HD: x Ta có: B = x + +  + = , dấu xảy x = = x = x x2 Bài 6: Tìm của: C = với x >1 x −1 HD: x2 −1 + 1 = x = Ta có: C = = x +1+ = x −1+ +  + , Dấu x − = x −1 x −1 x −1 x −1 Bài 7: Tìm của: B = ( x + 1) 1 +  với x >  x HD: x Tách B = x + + +  + , dấu xảy x = = x = x 19 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức  x2  Bài 8: Tìm của: A = ( x + 1) +  +  với x  −1  x +1  HD:   Tách A = ( x + 1) + ( x + 1) + 2 2+2  = ( x + 1) + + ( x + 1)  ( x + 1)  Dấu ( x + 1) = Bài 9: Tìm của: A = ( x + 1) = ( x + 1) = 1 = x + =  2 x − x +1 x2 − x + Bài 10: Tìm của: B = x + với < x < 1− x x HD: (1 − x ) (1 − x ) x x − 5x + 5x x + = = + +  + , dấu 1− x 1− x x 1− x x x x Bài 11: Tìm của: C = + (x > 1) x −1 Ta có: B = HD: C= x −1 x −1 +1 x −1 2 1 + = = + +  + , Dấu 2 x −1 x −1 x −1 2  x y  x y Bài 12: Cho x,y >0, Tìm của: P =  +  −  +  −  y x  y x HD: 2 x y 1   1 Đặt + = t = P = t − t − =  t −  − , mà t  = P   −  − = y x 2   2 ( x + a )( x + b ) với x > Bài 13: Cho a, b > Tìm của: A = x HD: Ta có: B = x + ax + bx + ab ab   = a + b +  x +   a + b + ab = x x   ( a+ b Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, số dương x,y thay đổi cho ) a b + = , Tìm x,y để x y S = x + y đạt min, Tìm S theo a,b HD: a b bx ay Ta có S = ( x + y )  +  = a + b + +  a + b + ab , S = y x x y ( a+ b ) a b ay bx mà + = = x = a + ab , y = b + ab = x y x y + với  x  Bài 15: Tìm của: A = 1− x x Dấu HD: Ta có: A = − 2x + 2x 1− x + x 2x 1− x 2x 1− x + = 3+ +  + 2 , dấu = 1− x x 1− x x 1− x x 20 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR: a b c + +  b+c c+a a+b HD: y+z−x x+z− y x+ y−z ,b = ,c = , thay vào VT 2  x y  z x  z y y z  x z  x y  Ta được:  + − 1 +  + − 1 +  + − 1  =  +  +  +  +  +   x x  y y  z z   y x x z  y z x + Bài 17: Cho 0 ( x − y )  => 20162 − = 1005006 => Max B 4 Để xy nhỏ ( x + y ) lớn nhất, mà x, y  z , Giả sử : x < y=>  x, y  2016 xy  =  ( x − y ) 2 20162 − 20142  2014 => xy  = 2015 = Min B 2 1  1  Bài 20: Tìm của: A =  x +  +  y +  biết: x,y>0 x+ y =1 x  y  HD:  x2 + y  1  2 2  + + = x + y + ( )  2  + = ( x + y ) 1 + 2  + 2 x y  x y   x y  Ta có : ( x + y )  ( x + y ) = = x + y  , x + y  xy =  xy = 2  16 x y 25 Khi : A  (1 + 16 ) + = 2 2 1  1  1  Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng 1, Tìm Min : B =  a +  +  b +  +  c +  a  b  c  A = x2 + y + HD: Ta có : B = ( a + b2 + c2 ) +  1 1 + +  + , Từ = a + b + c a b c   1 1  1 1  + +    + +  a b c a b c  1 1 1 1 1 1 mà ( a + b + c )  + +   = + +  =>  + +   81 = + +  27 a b c a b c a b c a b c  = ( a + b + c )  ( a + b + c ) = a + b + c  21 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Vậy B  + 27 + b+c c+a a+b  Bài 21: Cho a,b,c số dương, Tìm của: A =  + + + + +  b c b+c c +a a +b   a a b c 1 1 1 + + = , CMR: P = + + 1 x y z 2x + y + z x + y + z x + y + 2z a b3 c Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: a + b + c + ab + bc + ca = , Tìm của: A = + + b c a Bài 22: Cho x,y,z  , Thỏa mãn: 1  1  Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm của: A =  x +  +  y +  x  y  x + y + 12 xy Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 x+y=1, Tìm của: A = x+ y ( ) HD: ( x + y ) − xy  + 12 xy ( x + y )2 + xy    Ta có : A =  , Co si x + y + = = x + y + 2  x+ y x+ y x+ y x+ y   x, y   => A  dấu  x + y = = x = y = 4 xy =  1 Bài 26: Cho x,y>0 x3 + y3 + ( x + y ) + ( x + y ) + = , Tìm của: A = + x y HD: 3 2 Gt= ( x + 1) + ( y + 1) + ( x + y + 2) = = ( x + y + 2) ( x + 1) − ( x + 1)( y + 1) + ( y + 1) + 1 =   Ta cm ngoặc vuông >0 với x,y=> x+y+2=0 1 x + y −2 −2 , mà ( x + y )  xy =  xy =  =  −2 + = = x y xy xy xy xy 2  x y x y Bài 27: Tìm của: + −  +  + y x  y x a b Bài 28: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện a +  , tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = + b a b Mặt khác : 22 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ... Bài 78: Tìm max của: N = x − xy + y x + xy Bài 79: Tìm max của: P = 2 x +y x − 3x + Bài 80 : Tìm max của: Q = x − 2x +1 x + xy + y Bài 81 : Tìm max của: R = x − xy + y x2 Bài 82 : Tìm GTLN biểu thức: ... 27: Tìm max của: Bài 28: Tìm max của: Bài 29: Tìm max của: Bài 30: Tìm max của: Bài 31: Tìm max của: Bài 32: Tìm max của: Bài 33: Tìm của: H = x2 −1 x2 + ? ?8 3x + x2 Bài 35: Tìm max của: P = x... x − x + 2012 Bài 85 : Tìm GTNN biểu thức : P = , với x#0 x2 4x + Bài 86 : Tìm giá trị lớn P = x +1 4x + Bài 87 : Tìm giá trị lớn P = x +1 x − 3x + Bài 88 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x −