Chuyên đề tính chất cơ bản của phân thức - THCS.TOANMATH.com

Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu.. Dạng 3: Tính giá trị của phân thức. Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bư[r]

(1)

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất phân thức

* Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho Ta có:

A A M B  B M

với M đa thức khác đa thức

* Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho Ta có:

: : A A N B B N

với N nhân tử chung A B

2 Quy tắc đối dấu

* Nếu đổi dấu cà tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho Ta có:

A A

B B

 



* Nếu đổi dấu tử mẫu đồng thời đổi dấu phân thức phân thức phân thức cho Ta có:

   



A A A

B B B

IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước

Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tù hai vế;

(2)

Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn đẳng thức sau:

a 32 2, 2;

2

A x x

x

x x



  

 

b  

2

5 5

,

x y x y

x y A

   

c

2 8 2 16 1

, 0,

2

x x x

x x

x A

    



d ,

2

y x x y x

x A

 

 



Bài 2: Tìm ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

2 , 1,

3 27

A B C

x x

x  x  x  x   

Bài 3: Tìm ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

 

2

1

,

4 4

A x B C

x

x x x x



   

   

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu đề

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài;

Bước Sử dụng tính chất phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa phân thức thỏa mãn yêu cầu

Bài 4: Tìm phân thức có tử thức đa thức 2x có giá trị phân thức

  

2

12 12

, 2,

x x

   

 

Bài 5: Biến đổi phân thức

4x3 thành phân thức có mẫu thức đa thức

2

4x  x giá trị

(3)

Bài 6: Biến đổi cặp phân thức

2 x

x 

16, 1, 0,

3

x

x x x

x

    

 thành cặp phân thức có

cùng tử thức phân thức ban đầu

Dạng 3: Tính giá trị phân thức

Phương pháp giải: Thực theo ba bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức phân thức thành nhân tử;

Bước Rút gọn phân thức;

Bước Thay giá trị biến vào phân thức tính

Bài 7: Tính giá trị phân thức sau:

a 22 3,

x x

A x

x x

 

 

  3x 1

b 2 , 2;

5 x

B x x

x x



  

 

2 4 0

x  

Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn

2x 7x 3 , tính giá trị phân thức sau:

a

2

x x

x x  

 

b

3

27 x

x x

  

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức

Bước Phân tích từ thức mẫu thức phân thức thành nhân tử;

Bước Rút gọn phân thức, từ suy điều phải chứng minh

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, sử dụng định nghĩa hai

phân thức nhau: A C

B D A.D = B.C

(4)

a 3;

4

a a

 

  với x4;x8

b

 

2

9 3

;

3 2

x x x

x x x x

  

    với

2 1;

3 x  x

Bài 10: Cho cặp phân thức

2

1 x

x x



 

2

x x

x x  

  với x  1;2;4

a Hai phân thức có ln hay khơng?

b Tìm giá trị cụ thể x để hai phân thức

Dạng 5: Toán nâng cao

Bài 11: Cho hai phân thức A

B C

D Chứng minh có vơ số cặp phân thức mẫu có dạng '

A E

' C

E thỏa mãn điều kiện

' '

;

A A C C

E  B E  D

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau rút gọn phân thức ta có

a) 2 2

2

A x

x  x  

b)     

   

5

3

x y x y x y

A x y

x y

  

   



c)  

2 8 2 ( 8)

2 2

x x x

A x x

x A

 

   



d) (y )

2

y x x

A x

x A

      

Bài 2:

  , 1,

3 ( 3)(x 1) ( 3)

A B C

x x

x  x   x  x x  

 , 1,

1 (x 1)

A B C

x x

    

   Chọn

2

1 9;

A  C x  x B x 

(5)

Tương tự ta rút gọn chọn A x   2 B (x1)(x2);Cx1x22x4

Bài 4:

     

2

12 12 3(2 1) 1

A , 2,

6 5 5

x x x x x

x x

x x x x x x

          

     

Bài 5:

  

2

1

4 4

B B

B x

x  x  x  x x   

Vậy phân thức cần tìm 2

4

x x x

  

Bài 6:

  

   

2

4

4 16

2 4

x x

x x x x x

 

   

  Và ta giữ nguyên biểu thức thứ

2 16 1

, , 0,

3

x

x x x

x

    



Bài 7:

2

2 3

2 1

x x x

A

x x x

  

 

  

Thay

3

x   A

b) ta có 4 0 2( )

2( ) x loai x

x tm

       



2

5

x B

x x x



 

  

Với

5 x   B 

Bài 8:

2

3

2 1

2 x

x x

x       

(6)

a) 1;1

x có x3là thỏa mãn

7 A  

b) x 1;3 ta nhận

2

x 43

6 B

 

Bài 9:

a) 3;

4

a a

 

  ta xét tích chéo  

2

3 ( 8) 24

a a a  a ; a4a6a22a24 hai

phân thức không

b)

    

2

9 3 3 3( 1)

;

3 2 1 1

x x x x x

x x x x x x x x x

    

  

        

Bài 10:

  

2

1

3 4

x x

x x x x x

 

 

 

     ;

  

2

1

2 3

2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

    

a) Hai phân thức không với x

b) ta xét

4

x x

   

 

7 x

Bài 11:

Với hai phân thức A AD

B BDvà

C CB

D  BD , để ta thấy ta nhân tử mẫu hai phân thức với

đa thức M 0 ta ln mẫu số EBD M Do có vơ số đa thức M nên ta có vơ số phân

thức mẫu hai phan thức cho

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: Hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau:

a)  

2

5 5

3

x y  x  y

với x y;

b)

3

2

4

a a

 

  với a 2

(7)

a)

2

6

4

b b b

b A

 

 với

3 ; b 

b)

2

n m m n

m A

 



 với m2

Bài 3: Dùng tích chất phân thức, tìm đa thức A biết:

2

x xy y A

x y y x

  



 

Bài 4: Cho phân thức 42

5 x x



 Biến đổi phân thức cho thành phân thức có tử

thức đa thức A12x29 x

Bài 5: Biến đổi phân thức

  

2

8

4 15

x x

 

  thành phân thức có tử thức

1 A  x

Bài 6: Dùng tích chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có tử thức:

a)

2 x

1 x

x 

b)

4 x

x 

2

25 x

x 



Bài 7: Tính giá trị phân thức:

a) 22

2 x

x x



  với x 1 x1

b)

2

3

1

x x

x 

 với x 1 x 2

2

1

2

x

x x



  với

1 1;

2

x x 3x 1

 

2

9

3 2

x

x x x



  

2

3 3

1

x x

x  

 với x1

x Chứng tỏ cặp

(8)

Bài 10: Cho hai phân thức

2 5 6

3

y y

y

 



2

6

y y

y

 

 với y2

1

y Cặp phân thức có

bằng hay khơng?

Dạng 5: Tốn nâng cao

2

1 x

x x



 

2

x x

x x  

  với x 1;x2 x4

a) Hai phân thức có ln hay khơng? b) Tìm giá trị cụ thể x để hai phân thức

a)

2

1

2

x

x x



  với x1

x 2x 1 3;

b)

2

3 10

x x

 

  với x2;x3

2 8 15 0.

(9)

HƯỚNG DẪN

Bài 1:

a) Ta có:           

2 2 2

5

5 5

3 3

x y

x y x y x y x y

x y x y x y



      

  

b) Ta có:   

2

3 2

2

4 2

a a

a a a

a

a a a a



    

   

Bài 2:

a) Ta có:  

      

2

3 3

6

2

4 3 3

b b b b

b b b

A b

b b b b b

 

      

    

b) Ta có:  

2 2

m n

n m m n

A m

m m m

 

      

  

Bài 3:

Ta có:

       

2

3

2

y xy x y x y x y x y x

x xy y

A x y

x y x y y x y x y x y x

         

         

     

Bài 4:

Ta có:  

 

2

4 3

4 12

5 3 15

x x

x x x

x x x x x



   

  

Bài 5:

Ta có:

          

2

2 4 2 2 1

8 2 1

4 15 2 15 2 15 15 15

x x x

x x x x

x x x x x x x x

  

       

       

Bài 6:

a) Ta có:  

  

3

3 3

2 2

x x

x x x x x

 

 

(10)

Ta có:  3 3

5 15

x

x x

x x x



   

b) Ta có:    

 

2

5

5 25

4 20

x x

x x x x x

 

   

 

Ta có:

2 25

2 x

x 



Bài 7:

a) Ta có:  

 2

2

2 2

2 1

x x

A

x x x x

 

  

   

Thay x1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 2 1 1 A

x

  

 

b) Ta có:  

  

2

3

3 3

1 1

x x

x x x

B

x x x x

 

  

   

Thay x 2 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được:  

 

3

2

1

x B

x



  

  

Bài 8:

Ta có: 1 x   x

Ta có:   

  

2

1

2 1 2

x x

C

x x x x x

 

  

    

Thay

3

x ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được:

1

1 3

4

2 1 1 x

C x

 

   

 

Bài 9:

Ta có:

     

2 2

3

9 9

3 2 3 2 3

x

x x x

x x x x x x x x x x x



  

   

(11)

Ta có:  

  

2

3

3 3

1 1

x x

x x x x x

 

   

      2

Từ    1 ,

 

2

9 3

3 2

x x x

x x x x

  

 

   

Bài 10:

Ta có:   

 

2 5 6 2 3 3

3 3

y y

y y y

y y

 

    

   1

Ta có:   

 

2 3 2 1

2 3

6 3

y y

y y y

y y

 

  

 

   2

Từ    1 , 2 2

3 6

y y y y

y y

   

 

 

Bài 11:

a) Ta có:   

  

2

1

3 4

x x

x x x x x

 

   

      1

Ta có:   

  

2

3

2 3

2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

      2

Từ    

2

1

1 ,

3

x x x

x x x x

  

 

   

b) Với x 1;x2 x4

thì

2

1 3

3 4

x x x x x

x x x x x x

    

  

     

 1 2  4 3 3 2 7 12 4 10

2

x x x x x x x x x x

               

Vậy

2

x hai phân thức cho

Bài 12:

a) Loại trường hợp x = thay x = -2 kết

(12)

b) Loại trường hợp x = thay x = kết