Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức mô đun tìm GTLN – GTNN của mô đun số phức

NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MƠ - ĐUN NHĨM TỐN VD - VDC NĂM HỌC 2020 – 2021 I LÝ THUYẾT =I Mỗi số phức, khía cạnh đại số, nghiệm tương ứng tam thức bậc hai monic hệ số thực có biệt thức âm Nếu z nghiệm f(x) = x2 + ax + b với a,b  NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN  = a − 4b  nghiệm cịn lại gọi liên hợp Tích hai nghiệm b số không âm Căn bậc hai b gọi module Ở khía cạnh hình học, số phức cặp tọa độ vector, độ lớn vector module Module số phức Số phức liên hợp: z = a + bi(a,b  ) module z z = a2 + b2 ; Số phức liên hợp z z = a − bi Ta có: Phần thực z R e z = z+ z z−z , phần ảo z Im z = ; 2 zz = z1 z2 , z = zz ; z1 + z2 = z1 + z2 , zz = z1z2 , z = z ; z z1 = , z2 z2 NHĨM TỐN VD – VDC  z1  z1 ( z2  )  =  z2  z2 1/ Đẳng thức Mô - Đun + m z1 + nz2 = m z1 + n2 z2 + m n (z1.z2 + z1.z2 ) với m ,n  2 + z + z1 + z + z2 + z1 + z2 = 2  z + z2 = z +  2 z1 − z2  +  với z,z1,z2   z1,z2  z2 z z1 + z2 với z1,z2 số phức khác z1 z2 a,b,c   +Nếu a  phương trình az2 + bz + c = có hai nghiệm phức khơng  = b2 − 4ac   thực z1,2 = −b  i  2a Dễ thấy z1 = z2  z1 = z2 2/ BĐT Mô - Đun https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN Lớp 7: A B − B C  A C  A B + B C Lớp 10: a − b  a + b  a + b NHĨM TỐN VD – VDC Lớp 12: z1 − z2  z1 + z2  z1 + z2 + z + z1 + z + z2  z1 − z2 Đẳng thức xảy  z + z1   z + z2  z + z2   z + z1 = k ( z + z1 ) + ( −z − z2 )  = k ( z + z2 ) + ( −z − z1 )  (k  ;k  0;1) =0 = k ( z + z2 ) ;( z + z2  0;k  ;k  ) + z + z1 − z + z2  z1 − z2 Đẳng thức xảy  z + z1   z + z2  z + z2   z + z1 II = k ( z + z1 ) + ( −z − z2 )  = k ( −z − z1 ) + z + z2  (k  1;+  ) ) ,k  ( −;0  =0 = k ( z + z2 ) ;( z + z2  0;k  ,k  ) MỘT SỐ VÍ DỤ =I Minh Hoạ-T4/N2021 Câu 1: Xét hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 = 1,z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn Ⓐ − 19 Ⓑ + 19 Ⓒ −5 + 19 Ⓓ + 19 a Định hướng Tất giả thiết đề nói Mơ đun số phức, ta xét: m z1 + nz2 Bằng tính tốn ta có kết quả: m z1 + nz2 = m z1 + n2 z2 + m n (z1.z2 + z1.z2 ) Trong 2 m ,n số thực z1,z2 số phức Như từ giả thiết ta tính 3z1 + z2 đưa toán cho toán quen thuộc b Lời giải tham khảo Lời giải + = z1 − z2 = z1 + z2 − (z1.z2 + z1.z2 ) = − ( z1.z2 + z1.z2 )  ( z1.z2 + z1.z2 ) = ; 2 3z1 + z2 = z1 + z2 + (z1.z2 + z1.z2 ) = 19 2 +Áp dụng bất đẳng thức mô đun, có: 3z1 + z2 − −5i  (3z1 + z2 ) + ( −5i)  3z1 + z2 + −5i  − 19  3z1 + z2 − 5i  + 19 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 3z1 + z2 − 5i NHÓM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MƠ - ĐUN +Vì tốn trắc nghiệm nên chọn B; Tuy nhiên 3z1 + z2 − 5i = + 19 k  ,k   3z1 + z2 = −i 19  Chọn B  z + z = k − i ( )  Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m ,M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z − + i Giá trị biểu thức P = m + M Ⓐ 13 + 73 Ⓑ + 73 Ⓒ + 73 Ⓓ + 73 a Định hướng NHĨM TỐN VD – VDC Minh Hoạ-L2/N2017 Câu 2: z + − i + z − − 7i =  z + − i + −z + + 7i = (z + − i) + ( −z + + 7i) suy z = a ( x) + b (x) i với x  0;1 Đến ta có tốn quen thuộc b Lời giải tham khảo Lời giải + z + − i + z − − 7i =  z + − i + −z + + 7i = (z + − i) + ( −z + + 7i)  z + − i = x (6 + 6i) ;( x  ,0  x  1)  z = ( −2 + 6x) + (1 + 6x) i  z − + i = ( −3 + 6x) + (2 + 6x) i = 72x2 − 12x + 13 m ax f ( x) = f (1) = 73 Vậy m = 0;1 ;M = 73  Chọn B Chuyên Thái Bình-L5/N2018 Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i) z + + (1 + i) z − = Gọi m ,n giá trị lớn giá trị nhỏ z Đặt w = m + ni, giá trị w Ⓑ 41009 Ⓐ 21009 2018 Ⓓ 61009 Ⓒ 51009 a Định hướng +Biến đổi giả thiết: (1 + i) z + + (1 + i) z − =  z + − i + z − + i = +Áp dụng BĐT: z1 + z2  z1 + z2 dễ dàng tìm m +Áp dụng z + z1 + z + z2  z + z2 = z +  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc + z1 − z2 2   a,b   ta Trang NHÓM TOÁN VD – VDC  1 +Xét hàm số f (x) = 72x2 − 12x + 13,x  0;1 , dễ thấy m in f (x) = f   = ; 0;1  12  NHÓM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MƠ - ĐUN có : a + b  (a2 + b2 ) tìm n Lời giải + = z + − i + z − + i  z + − i + z − + i = 2z  z  (1) Đẳng thức (1) xảy z + − i = k ( z − + i) ,(k  ,k  )   z =  ( −1 + i)  m =  z = 2 2 + = z + − i + z − + i   z + − i + z − + i  = z + i−    z  (2 ) Đẳng thức (2 ) xảy NHĨM TỐN VD – VDC b Lời giải tham khảo  2018 z + 1− i = z − 1+ i  z =  (1 + i)  n = Vậy w = 61009  Chọn D   z = THPT Đặng Thúc Hứa Nghệ An-Lần1 Năm 2018 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = z + − 3i + z − + i Giá trị lớn biểu thức z − + 3i Ⓐ 13 Ⓑ + 13 Ⓒ Ⓓ NHĨM TỐN VD – VDC a Định hướng 2 2 + Ta có: z + − 3i + z − + i =  z − i + − 2i  + Mặt khác: z − i = z + − 3i + z − + i  ( (1 ( + 32 ) z + − 3i + z − + i 2 ) ) = 20 z − i + Từ suy z − i  Đến ta có toán quen thuộc b Lời giải tham khảo Lời giải 2 2 + Ta có: z + − 3i + z − + i =  z − i + − 2i  ; Từ z − i = z + − 3i + z − + i  ( (1 ( + 32 ) z + − 3i + z − + i 2 ) ) = 20 z − i + Suy z − i  + z − + 3i = (z − i) + ( −2 + 4i)  z − i + −2 + 4i  + = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN (1)  z − + 3i  Đẳng thức (1) xảy Chuyên Sư Phạm Hà Nội-L2/N2021 Câu Xét số phức z thỏa mãn z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị bé biểu thức P = z + + z − Tổng M + m Ⓐ 14 Ⓑ Ⓒ 45 + 35 NHĨM TỐN VD – VDC  z + − 3i z − + i =   z − i =  z = −2 + 5i Vậy m ax z − + 3i =  Chọn D  k  ,k   z − i = k ( −2 + 4i) 15 + 33 Ⓓ a Định hướng + z + zk với = (z + w ) + (zk − w ) = z + w + zk − w + (z + w ) (zk − w ) + (z + w ) (zk − w ) k = 1;2 Do 2 z1 − w = p ( z2 − w ) 2 a z + z1 + b z + z2 theo z + w zk − w ( a,b  với p tính ) Khi dễ dàng tính M +Nhìn vào kết luận, ta tìm cách làm xuất hệ số trước biểu thức z + (Cân hệ số) công thức z1 + z2 = z2 z z1 + z2 với z1,z2 số phức khác không z1 z2 b Lời giải tham khảo Lời giải ( ( ) ) ( )  z + 2 = ( z − 1) + = z − 12 + + z − + z − = 13 + z − + z −  +Ta có  suy 2 z − = ( z − 1) − = z − + − z − + z − = − z − + z −   ( ) z + + z − = 50 ; P = z+2 + z−3  ( ) 33 2  4 Vì làm  +  z+2 +3 z−3 = 2  33 + P = ( −z − + z − ) + z −  −z − + z − + = Khi z = thỏa mãn điều kiện đề trắc nghiệm nên dự đốn M = P = Vậy m =  Chọn D c Bài tập tương tự Cho số phức z thỏa mãn https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc z − − 2i = Giá trị lớn biểu Trang NHÓM TOÁN VD – VDC Viết P = ( −z − + z − ) + z − ta dễ dàng tìm m NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN thứcT = z + − i + z − − 4i Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − − i = 2 Gọi M ,m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức H = z + − 2i + z − + 4i Giá trị M + m Ⓐ 16 Ⓑ 11 Ⓒ 26 + Ⓓ 26 + a Định hướng + Tìm m đơn giản rõ ràng áp dụng: z1 + z2  z1 + z2 + Ta biết: z + z1 + z + z2  z + z2 = z +  NHĨM TỐN VD – VDC Sở Vĩnh Phúc-L2/N2018 Câu 6: z1 − z2  +  , ta có:  2 2 z + − 2i + z − + 4i =  z + i + − 3i  Mặt khác biết z − − i = 2 , tìm   m ax z + i toán quen thuộc Như áp dụng BĐT : a,b  , a + b  (a2 + b2 ) tìm M b Lời giải tham khảo Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC + H = z + − 2i + −z + − 4i  z + − 2i− z + − 4i = (1)  z + − 2i = k (6 − 6i) ;k  ,0  k  Đẳng thức (1) xảy   z = −i z − − i = 2   2 2 + H   z + − 2i + z − + 4i  =  z + i + − 3i  = z + i + 18     z + i = (z − − i) + (2 + 2i)  z − − i + + 2i = Suy H  10 (2 )  z + − 2i = z − + 4i  l ,l   z = + 3i Đẳng thức ( ) xảy  z − − i = l + i ( )  z − − i = 2  +Vậy m = 2;M = 10  Chọn A Đề tham khảo-2018 Câu 7: Xét số phức z = x + yi ( x,y  ) thỏa mãn z − − 3i = Khi biểu thức P = z + − 3i + z − + i đạt giá trị lớn nhất, giá trị x + y Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 10 a Định hướng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN + Nhận thấy z + − 3i = (z − − 3i) + , z − + i = (z − − 3i) + (3 + 2i) khơng 2 tính  z + − 3i +  z − + i theo z − − 3i (  , số thực) NHĨM TỐN VD – VDC 2 2 + Tuy nhiên ta lại có z + − 3i + z − + i =  z − i + − 2i  b Lời giải tham khảo Lời giải 2 2 + P   z + − 3i + z − + i  =  z − i + − 2i  = + z − i     (1) + z − i = (z − − 3i) + (4 + 2i)  z − − 3i + + 2i = (2 ) Đẳng thức (2 ) xảy k  ,k   z − − 3i = k ( + 2i)  z = + 4i   z − − 3i = + Từ (1) (2 ) suy P  10 (3 ) Đẳng thức (3 ) xảy đẳng thức z = + 4i  z = + 4i Chọn D  z + − 3i = z − + i (1) (2 ) đồng thời xảy   Sở GD&ĐT Quảng Nam-2018 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị nhỏ biểu Ⓐ + Ⓑ + Ⓒ + 14 15 Ⓓ + 15 a Định hướng +Nhận thấy z − z số ảo Coi z − z biến số tìm cách giảm biến số biểu thức P BĐT z + + z − = z + + −z + = z + + −z +  z − z + Suy P  z − z + + z − z − 4i = Q +Nếu đặt z = x + yi,(x,y  ) Q biểu thức chứa biến y ta có bàn tốn quen thuộc b Lời giải tham khảo Lời giải +Đặt z = x + yi,(x,y  ) , ta có : P = ( z + + −z + ) + z − z − 4i  z − z + + z − z − 4i https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC thức P = z + + z − + z − z − 4i NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN ( ) = 2 y2 + + y − + y2 + + y − = ( )  y 2 + 1 + y −  y + + y −  y+ +2 −y = 2+ ( +Từ suy P  2 + ( ) (1) Khi z = ) ( ) i thỏa mãn z  P = 2 + Vậy m in P = 2 +  Chọn A Câu 9: Face book - 2021 NHĨM TỐN VD – VDC 12 +  Cho số phức z thỏa mãn z − i = Biết biểu thức T = z + 3i + z − − i đạt giá trị nhỏ z = x + yi ( x,y  Ⓐ − 13 17 Ⓑ ) Hiệu x − y 13 − 17 Ⓒ + 13 17 Ⓓ − + 13 17 a Định hướng + Khai thác kết luận: Biểu thức T = z + 3i + z − − i đạt giá trị nhỏ Ta phải “cân hệ số” (làm xuất thừa số biểu thức z + 3i ) trước áp dụng bất đẳng thức mô đun đẳng thức sau: z1 + z2 = z2 z z1 + z2 z1 z2 ( z1,z2  ;z1  0,z2  ) số phức z thỏa mãn z = c Tìm giá trị nhỏ z − z1 + z1 z − z2 c b Lời giải tham khảo Lời giải +Ta có z + 3i = ( z − i) + 4i = 4i z−i (z − i) + ( 4i) = z ; T = ( z + + i− z ) z−i 4i  z + + i− z = 17 (1) z = k ( + i) ,(k  ,0  k  1) +Đẳng thức (1) xảy   z − i = z= + 13 + 13 + i 17 17 +Vậy x − y = + 13  Chọn C 17 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC  z1  +Tổng quát toán:Cho trước hai số phức z1,z2 thỏa mãn  số thực dương c Biết z1  z2 NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN c Bài tập tương tự Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt cầu (S ) :(x + 1) + (y − 4) + z2 = điểm thuộc mặt cầu (S ) Giá trị nhỏ M A + 2M B Ⓐ 2 Câu 2: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Trong không gian cho tam giác A BC có A B = 2R ,A C = R ,CA B = 120 Gọi M điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B bán kính R Giá trị nhỏ M A + 2M C Ⓐ 4R Ⓑ 6R Ⓒ R 19 Ⓓ 2R Câu 10: Face book - 2021 Cho số phức z thỏa mãn z = P = z2021 + ( z ) 2019 NHĨM TỐN VD – VDC điểm A (3;0;0 ) ,B ( 4;2;1) Gọi M + 6z − z2020 + Gọi M ;m giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức P Giá trị biểu thức T = M − m Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ a Định hướng =1 z = + z =  z =  zz = z z2020 + 2020 + − z2020 + = z2020 + z2020 + − z2020 + + Đặt z2020 = x + yi(x,y  ) Ta đưa toán quen thuộc b Lời giải tham khảo Lời giải =1 z = + z =  z =  zz = z z2020 + 2020 z = (z ) 2020 z 2020 1 Từ ta có : P = z2021 + 2019 + 6z − z2020 + z z + − z2020 + = z2020 + (z2020 ) + − z2020 + (Chú ý = ( z2020 ) ) +Đặt z2020 = x + yi(x,y  x2 + y2 = z2020 = z 2020 ) , đó: =  x2 = − y2  −1  x  +Ta có P = 2x + − (x + 1) + yi = 2x + − https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc (x + 1) ( ) + y2 = x − ( x + 1) + Trang NHĨM TỐN VD – VDC z 1 Từ ta có : P = z2021 + 2019 + 6z − z2020 + z z NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN ( )  1 +Xét hàm số f ( x) = x − ( x + 1) + 6,x   −1;1 Dễ thấy m in f(x) = f −  = ; −1;1  2 m ax f ( x) = f (1) =  Chọn B  −1;1 Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn điều kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − i− 10 = Giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 Ⓐ 10 + Ⓑ − Ⓒ 101 − Ⓓ 101 + a Định hướng + Đặt z1 = x + yi; ( x,y  ) , từ z1 + i = z1 − z1 − 2i tính y = NHĨM TỐN VD – VDC Lê Q Đơn Lai Châu-L1/N2018 Câu 11: x2 (Nếu đặt z2 = a + bi tính a theo b phức tạp) + Tìm cách kết nối kết luận z1 − z2 với giả thiết z2 − i− 10 = bằng: z1 − z2 + z2 − i− 10  z1 − z2 + z2 − i− 10 =  x2  +  − 1 4  (x − 10 ) b Lời giải tham khảo Lời giải ) , đó: z1 + i = z1 − z1 − 2i  x2 + (y − 1) = ( −2y − 2) y= x2 x2  z1 = x + i 4 + z1 − z2 + z2 − i− 10  z1 − z2 + z2 − i− 10 = (x − 10 )  x2  +  − 1 4   z1 − z2  (x − 10 )  x2  +  − 1 − 4  + Xét hàm số f(x) = ( x − 10 )  x2  + − 1 ,x    Dễ thấy m in f (x) = f ( 4) = 45 z1 = + 4i k  ,k   + Suy z1 − z2  − (1) Đẳng thức (1) xảy  z − z2 = k ( z2 − i − 10 )  z − z = −  z1 = + 4i   50 − 5 +  Chọn B z = + i  5  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC + Đặt z1 = x + yi; ( x,y  NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN Chuyên Đại Học Vinh-L2/N2021 Câu 12: Cho số thực b,c cho phương trình z2 + bz + c = có hai nghiệm phức z1,z2 thỏa Ⓑ 5b + c = −12 Ⓐ 5b + c = Ⓒ 5b + c = 12 Ⓓ 5b + c = −4 a Định hướng +Nếu z1 số thực = z1 − + 3i = (z1 − 4) + Điều vơ lý +Vì z1,2 nghiệm phức khơng thực phương trình z2 + bz + c = nên z1 = z2  z1 = z2 = z2 NHĨM TỐN VD – VDC mãn z1 − + 3i = z2 − − 6i = Mệnh đề sau đúng? b Lời giải tham khảo Lời giải +Nếu z1 số thực = z1 − + 3i = (z1 − 4) +  Điều vơ lý +Vì z1,2 nghiệm phức khơng thực phương trình z2 + bz + c = nên z1 = z2  z1 = z2 = z2 +Mặt khác: = z1 − + 3i  z1 − −4 + 3i   z1  ; = z2 − − 6i  z2 − −8 − 6i = z1 − 10   z1  14 Suy z1 = + z1 − + 3i = z1 − −4 + 3i z1 = k ( −4 + 3i) với k  24 18 24 18 48 − + i; c = zz i; z2 = = 36 −b = z1 + z2 = = z1 5 5  Chọn A Nhận xét Gọi A ,B điểm biểu diễn số phức không thực z1,z2 mặt phẳng tọa độ O xy A đối xứng với B qua trục thực O x Từ ta có tốn cách thay điều kiện  z1 − + 3i = điều kiện cho A thuộc đường tròn B thuộc đường tròn; đoạn   z2 − − 6i = thẳng; đường thẳng; parabol; hình thoi…Chú ý: z1,2 nghiệm phức khơng thực phương trình bậc hai hệ số thực Chuyên Tuyên Quang-L3/N2021 Câu 13: z − z + z + z  Giá trị nhỏ biểu thức Cho số phức z thỏa mãn 2 P = z − + 3i + z + − 13i Ⓐ 156 Ⓑ 155 Ⓒ 146 Ⓓ 147 a Định hướng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHĨM TỐN VD – VDC dàng tính z1 = k  Từ dễ NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN +Gọi M ( x;y) điểm biểu diễn số phức z = x + yitrong mặt phẳng tọa độ O xy , từ z − z + z + z   M nằm hình vng lớn giá trị nhỏ M A tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P b Lời giải tham khảo Lời giải +Trong mặt phẳng tọa độ O xy , gọi M ( x;y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x,y  ) Khi z − z + z + z   x + y   M khơng nằm ngồi hình vng EFG H (hình vẽ) 2 + P =  z + − 5i + −3 + 8i  = 2M A + 146 với A ( −1;5 ) Vì A FE  900 nên c Bài tập tương tự Cho số phức z thoả mãn z + z + z − z = z2 Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i Ⓐ + Câu 2: Ⓑ + Ⓒ + Ⓓ + Cho số phức z thỏa mãn z2 = z + z + Gọi M ,m giá trị lớn giá trị nhỏ z − + 4i Giá trị M + m Ⓐ + Câu 3: Ⓑ Ⓒ Ⓓ + Cho số phức z thỏa mãn z2 + = z + z Gọi M ,m giá trị lớn nhất, nhỏ z + + 3i Giá trị M + m Ⓐ + 13 Câu 4: Ⓑ + 13 Ⓓ + 13 Gọi S tập tất số thực dương m Ⓓ + 13 để có bốn số phức z thỏa mãn hệ  z = m Tổng bình phương phần tử S   z + z + z − z = z Ⓐ 12 Ⓑ 17 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Ⓒ 19 Ⓓ 22 Trang 12 NHĨM TỐN VD – VDC M A  M F =  P  156 Khi z = 3i thỏa mãn điều kiện tốn P = 156 Vậy m in P = 156  Chọn A Câu 1: NHĨM TỐN VD – VDC 2 + P =  z + − 5i + −3 + 8i  = 2M A + 146 với A ( −1;5 ) Như cần tìm giá trị NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN Sở GD Hịa Bình-T5/N2021 Câu 14: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z = , w − + 2i = Giá trị lớn biểu thức Ⓐ 16 Ⓑ 18 Ⓒ 18 Ⓓ 24 a Định hướng +Không thể biến đổi luận : H = z − zw − z.z = z giả thiết, biến đổi kết z−z z−z −w −w = 2 +Đến tìm cách giảm biến cách xét NHĨM TỐN VD – VDC H = z − zw − H z−z −1 = − w − w − + 2i b Lời giải tham khảo Lời giải +Đặt z = x + yi với x, y  z−z = yi ; Vì z =2 nên x + y =  −2  y    y +   ( y + )  16 +Ta có  z−z H z−z z−z −w = − w − w − + 2i − w  −1 = 2 z−z z−z − w + w − + 2i = − + 2i = −3 + ( y + ) i = + ( y + )   H  24 2  z = 2i  +Khi  18 14 (thỏa mãn điều kiện đề bài) H = 24 Vậy max H = 24  Chọn D  w = − i Nhận xét Ta tìm H sau + H z−z z−z +1 = − w + w − + 2i  − w + w − + 2i = + ( y + )2   H  2  z = −2i +Khi  (thỏa mãn điều kiện đề bài) H = Vậy H = w = − 2i Biểu diễn hình học số phức : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N biểu diễn số phức z−z z−z − w Rõ ràng điểm M thuộc đoạn thẳng AB với , w NM = 2 A(0; −2), B(0; 2) N điểm thuộc đường tròn ( C ) có tâm I (3; −2) , bán kính r = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHĨM TỐN VD – VDC H = z − zw − z.z = z NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MƠ - ĐUN +Ta có NM + IN  MI  NM  MI −1  IA −1 (Chú ý IA ⊥ AB ) + NM  NI + IM = + MI  + max IA; IB NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 ... + Khai thác kết luận: Biểu thức T = z + 3i + z − − i đạt giá trị nhỏ Ta phải “cân hệ số? ?? (làm xuất thừa số biểu thức z + 3i ) trước áp dụng bất đẳng thức mô đun đẳng thức sau: z1 + z2 = z2 z z1... NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN (1)  z − + 3i  Đẳng thức (1) xảy Chuyên Sư Phạm Hà Nội-L2/N2021 Câu Xét số phức z thỏa mãn z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị bé biểu thức P = z... ( −1;5 ) Như cần tìm giá trị NHĨM TỐN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN Sở GD Hịa Bình-T5/N2021 Câu 14: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z = , w − + 2i = Giá trị lớn biểu thức Ⓐ 16 Ⓑ 18 Ⓒ