Tuyển tập 25 bài toán thực tế ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

TUYỂN TẬP 25 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vng để đo chiều cao dừa, với kích thước 4,8m đo hình bên Khoảng cách từ góc đến chân người thợ từ vị trí chân đứng thẳng 1,6m mặt đất đến mắt người nhắm Hỏi với kích thước trên, người thợ đo chiều cao bao nhiêu? (làm trịn đến mét) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Ta có, tứ giác Xét ∆ADC ABDH vuông ⇒ BA = DH = 1, 6m; BD = AH = 4,8m hình chữ nhật D có BD BD = BA.BC ⇒ BC = đường cao: ⇒ AC = AB + BC = 1, + 14, = 16m Vậy chiều cao dừa 16m Trang BD 4,82 = = 14, 4m BA 1, A B Bài 2: Muốn tính khoảng cách từ điểm đến điểm bên bờ sông, ông Việt vạch đường vuông AB AC = 30m CD góc với Trên đường vng góc lấy đoạn thẳng , vạch vng góc với AD = 20m, BC AB D A phương cắt (xem hình vẽ) Đo từ ơng Việt tính khoảng cách từ đến ACB B AB Em tính độ dài số đo góc Lời giải: AC AB AD = AC ⇒ AB = = 45m AD Xét Xét ∆BCD ∆ABC vuông vuông C A CA đường cao, ta có: tan ACB = , ta có: AB 45 = = 1,5 ⇒ ·ACB ≈ 56°18 ' AC 30 AB = 45m, ·ACB = 56°18' Vậy Bài 3: Một cao có chiều cao 6m Để hái buồng cau xuống, phải đặt thang tre cho đầu thang tre 8m đạt độ cao đó, góc thang tre với mặt đất bao nhiêu, biết thang dài (làm tròn đến phút) Trang Lời giải: Xét ∆ABC sin B = vuông AC = = BC A , ta có: (tỉ số lượng giác góc nhọn) µ ≈ 48°35′ ⇒B Vậy góc thang tre với mặt đất 48035′ Bài 4: Một máy bay bay độ cao góc nghiêng so với mặt đất 12 km Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường máy bay tạo Trang a) Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh góc nghiêng (làm tròn đến phút)? 5° b) Nếu phi cơng muốn tạo góc nghiêng cách sân bay kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Lời giải: a) Xét ∆ABC sin B = vuông A AC 12 = = BC 320 80 , ta có: (Tỉ số lượng giác góc nhọn) µ ≈ 2°9′ ⇒B Vậy góc nghiêng 2°9′ b) Trang Xét ∆ABC sin B = AC BC ⇒ BC = vng A , ta có: (tỉ số lượng giác góc nhọn) AC 12 = ≈ 137,7 km sin B sin 5° 137, 7 km Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh máy bay cách sân bay Bài 5: Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận hải đăng trung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận hải đăng cao nhiều tuổi Hải đăng Kê Gà 66 m xây dựng từ năm 1897-1899 toàn đá Tháp đèn có hình bát giác, cao so với mực 40 km 22 nước biển Ngọn đèn đặt tháp phát sáng xa hải lý (tương đương ) 66 m, Một người thuyền thúng biển, muốn đến hải đăng có độ cao người đứng mũi thuyền dùng giác kế đo góc thuyền tia nắng chiều từ đỉnh hải đăng đến thuyền 25° m Tính khoảng cách thuyền đến hải đăng (làm tròn đến ) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Trang Xét ∆ABC tan C = AB AC ⇒ AC = A, vuông ta có: (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB 66 = ≈ 142 ( m ) tan C tan 25° 142 m Vậy khoảng cách thuyền đến hải đăng m Bài 6: Trường bạn An có thang dài Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng cách 65° để tạo với mặt đất góc “an tồn” (tức đảm bảo thang không bị đổ sử dụng) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Trang Xét ∆ABC cos B = AB BC A, vng ta có: (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ AB = BC.cos B = 6.cos65° ≈ 2,5 ( m ) 2,5 m Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng Bài 7: Thang xếp chữ A gồm hai thang đơn tựa vào Để an tồn, thang đơn tạo với mặt đất góc khoảng bao nhiêu? 75° Nếu muốn tạo thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thang đơn phải dài Lời giải: Hình vẽ minh họa toán: Do tam giác ABC cân nên đường cao AH đường trung tuyến hay H trung điểm BC Xét ∆ABH vuông H, ta có: Trang sin B = ⇒ AH AB AB = (tỉ số lượng giác góc nhọn) AH = ≈ 2, 07m sin B sin 75° 2, 07m Vậy thang đơn có chiều dài Bài 8: Từ đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy thuyền bị nạn 20° góc so với phương ngang mực nước biển Muốn đến cứu thuyền phải quãng đường dài mét? Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Theo đề bài, ta có: ∠BCA = ∠CBx = 20° Xét ∆ABC tan ACB = ( AC // Bx hai góc vị trí so le trong) vng A, ta có: AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) Trang ⇒ AC = AB 350 = ; 961, 6m tan ACB tan 20° 961, 6m Vậy muốn đến cứu thuyền phải quãng đường dài khoảng 5, 7 cm Bài 9: Một khối u bệnh nhân cách mặt da chiếu chùm tia gamma Để tránh 8,3 cm làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) (xem hình vẽ) Tính góc tạo chùm tia với mặt da chùm tia phải đoạn dài để đến khối u? Lời giải: Xét ∆ABC tan B = vuông A , ta có: AC 5, = AB 8,3 (tỉ số lượng giác góc nhọn) µ ≈ 34° 28′ ⇒B Trang Ta có: BC = AB + AC ⇒ BC = AB + AC = (8,3)2 + (5, 7) ≈ 10,1( cm) (định lý Pytago) Vậy góc tạo chùm tia với mặt da khối u 34° 28′ 10,1 cm chùm tia phải đoạn dài khoảng Bài 10: Một ngurời quan sát đứng cách tháp góc 55° 10° 10 m , nhìn thẳng đỉnh tháp chân tháp so với phương ngang mặt đất Hãy tính chiều cao tháp Lời giải: Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: Xét ∆AHB tan BAH = vuông BH AH H AH = BD = 10 m , ta có: (tỉ số lượng giác góc nhọn) Trang 10 đề đến ⇒ A' B ' = AB A ' C ' 7.272 = = 136m AC 14 136 = 40 3, Vậy tịa nhà có: (tầng) Bài 14: Tịa nhà Bitexco Financial (hay Tháp Tài Bitexco) tịa nhà chọc trời xây dựng trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh Tịa nhà có 68 tầng (khơng tính tầng hầm) Biết rằng, tồ nhà có bóng in mặt đất dài 47,3 mét, thời điểm có cột cờ (được cắm thẳng đứng mặt đất) cao 15 mét có bóng in mặt đất dài 2,64 mét a) Tính góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc làm trịn đến độ) b) Tính chiều cao tồ nhà, (làm trịn đến hàng đơn vị) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn a) Vì góc tạo tia nắng mặt trời mặt đất nên góc B góc B’ ⇒ tan B = tan B ' = A 'C ' 15 = A ' B ' 2, 64 (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ B = B ' ≈ 80o Vậy góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất tan B = b) Ta có: 80o AC AB Trang 14 ⇒ AC = AB.tanB = 47,3 15 ≈ 268,8m 2, 64 Vậy chiều cao tịa nhà 268,8m Bài 15: Giơng bão thổi mạnh, tre gãy gập xuống làm chạm đất tạo với mặt 8, 5m 30o đất góc Người ta đo khoảng cách từ chỗ chạm đất đến gốc tre Giả sử tre mọc vuông góc với mặt đất , tính chiều cao tre (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Xét ∆ADC vuông C tan DCA = , ta có: AD AC (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) ⇒ AD = AC.tan DCA = 8,5.tan 30 o ( m) Trang 15 cos DCA = Và AC DC ⇒ DC = (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) ⇒ AB = AD + DC = 8,5.tan 30o + AC 8,5 = ( m) cos DCA cos 30o 8,5 = 14,72 m cos 30o Bài 16: Tính chiều cao trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết hai điểm cách mặt sơng người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Xét ∆ABD vng A , ta có Trang 16 40o 30o 89m tan ADB = ⇒ AD = Xét tan ACB = Ta có: (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) AB AB = m tan ADB tan 40o ∆ABC ⇒ AC = AB AD vng AB AC A , ta có (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) AB AB = m tan ACB tan 30o AD + DC = AC (vì D ⇔ AB AB + 89 = o tan 40 tan 30o ⇔ AB AB − = 89 o tan 30 tan 40 o ⇔ AB  1 − o  o tan 30  tan 30 tan 40o ⇔ AB = ( 1) ( 2) thuộc AC )  ÷ = 89  89 1 − o tan 30 tan 40o ⇔ AB ≈ 164, m Bài 17: Hai người A B đứng bờ sơng nhìn cồn sơng Người A nhìn cồn với góc 43° 250m so với bờ sơng, người B nhìn cồn với góc 28° so với bờ sơng Hai người đứng cách Hỏi cồn cách bờ sông hai người đứng m? Trang 17 Lời giải: Xét tam giác · tan CAH = vng A , ta có CH CH CH ⇒ AH = = ( 1) · AH tan 43° tan CAH Xét tam giác · tan CBH = AHC BHC vng B , ta có CH CH CH ⇒ BH = = ( 2) · BH tan CbH tan 28° Từ (1) (2) ta có     AB = AH + HB = CH  + + ÷ ⇔ 250 = CH  ÷  tan 43° tan 28°   tan 43° tan 28°  CH ≈ 84, 66m Suy : 84, 66m Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng Trang 18 Bài 18: Hai thuyền A B vị trí minh họa hình dây Tính khoảng cách chúng (làm tròn đến met) Lời giải: Xét tam giác tan AKI = Ta có vng tai I ta có: AI ⇒ AI = IK tan AKI = 380.tan 50 ≈ 453m IK Xét tam giác tan BKI = AIK BIK vng tai I ta có: BI ⇒ BI = IK tan AKI = 380.tan ( 15° + 50° ) ≈ 815m IK AB + AI = BI ⇒ AB = BI − AI = 815 − 453 = 362m Vậy khoảng cách chúng 362m Bài 19: Lúc 6h sáng bạn An từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên xuống dốc hình vẽ Aˆ = 6° Bˆ = 4° Cho biết đoạn AB dài 762m, góc Trang 19 a) Tính chiều cao dốc b) Hỏi An đến trường lúc giờ? Biết tốc độ lên dốc 4hm/h tốc độ xuống dốc 19km/h a) Xét ∆AHC ∆BHC tan CBH = vng H ta có: CH CH CH ⇒ AH = = ° ( m) AH tan CAH tan tan CAH = Xét Lời giải: (1) vng H ta có: CH CH CH ⇒ BH = = ° (m) BH tan CBH tan (2) Từ (1) (2), suy ra: AH + BH = ⇒ CH = CH CH     + ⇔ AB = CH  + ⇔ 672 = CH  + ° ° ° ° ÷ ° ° ÷ tan tan  tan tan   tan tan  672   +  ° ° ÷  tan tan  ≈ 32m Vậy chiều cao dốc 32m b) Xét ∆ACH sin CAH = vng H ta có: CH CH 32 ⇒ AC = = ° ( m) AC sin CAH sin Trang 20 Xét ∆BHC sin CBH = vng H ta có: 4km / h = Đổi đơn vị: CH CH CH ⇒ CB = = ° ( m) CB sin CBH sin 10 95 m / s 19km / h = m / s 18 ; ° t AC S AC 32 / sin = AC = = ( s) VAC VAC 14, Thời gian lên dốc AC là: ° tCB S CB 32 / sin = CB = = ( s) VCB VCB 68, Thời gian xuống dốc CB là: ° t AB = t AC + tCB ° 32 / sin 32 / sin = + ≈ 362, 44( s ) 14, 68, Thời gian từ A đến B là: ´ ˆ   362, 44s ≈ ph u t giay Bài 20: Trong buổi luyện tập, tàu ngầm mặt biển bắt đầu lặng xuống di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước góc 21° a) Khi tàu chuyển động theo hướng 250m tàu độ sâu so với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét) b) Giả sử tốc độ trung bình tàu 9km/h sau (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu độ sâu 200m (cách mặt nước biển 200m) làm trịn đến phút Lời giải: Hình vẽ minh họa Trang 21 a) Xét ∆ABC sin A = vng C ta có: CB ⇒ CB = AB.sin A = 250.sin 210 ≈ 89, 6m AB Vậy tàu 250m tàu độ sâu 89,6m b) 9km/h=2,5m/s Gọi t(s) thời gian để tàu đạt độ sâu 200m Quảng đường tàu thời gian t(s) là: AB = S AB = vAB t AB = 2,5t ( m) Xét ∆ABC sin A = vng C ta có: CB 200 200 ⇔ sin 210 = ⇔t= ≈ 223s ≈ phút AB 2,5t 2,5.sin 210 Vậy thời gian tàu phút Bài 21: Một cầu trượt bao gồm phần cầu thang ( để bước lên) phần ống trượt ( để trượt xuống) nối liền với Biết xây dựng phần ống trượt cần phải đặt phần ống trượt nghiêng với mặt đất 50o góc Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt xem phần cầu thang đường thẳng dài 2,5m; ống trượt dài 3m Lời giải: Hình minh họa tốn Trang 22 Tam giác CHB vng H nên: HB = CB.cos 50° = 3.cos 50° HC = CB.sin 50° = 3.sin 50° Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ACH vuông H: AC = CH + AH ⇔ AH = AC − CH = 2,52 − (3.sin 50° ) AB = AH + HB = 2.52 − (3.sin 50° ) + 3.cos 50° ≈ 2,91 ⇒ AH = 2,52 − (3.sin 50° )2 Do đó: Bài 22: Trong phịng khách sạn, bên cạnh khóa cửa cịn có phụ kiện hữu ích khác door guard ( chốt trượt mở an tồn ) Thiết bị phòng trường hợp nghe tiếng gõ cửa mà khơng biết xác Door guard dạng chốt nối, tạo khoảng cỡ 12cm đủ để người bên nhận diện người bên ngồi nói chuyện với Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm Hãy tính góc mở cánh cửa Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Ta có: AB = AC nên ∆ABC tam giác cân A Gọi H trung điểm BC Khi AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao Trang 23 BH = HC = 6cm Trong tam giác vng ABH, ta có: sin BAH = AH · = ⇒ BAH ≈ 3,8° AB 90 · BAC ≈ 7, 6° Do đó: Bài 23: Người ta cần lắp đặt thiết bị chiếu sáng gắn tường cho phịng triển lãm hình vẽ 20o Thiết bị có góc chiếu sáng cần đặt cao mặt đất 2,5m Người ta đặt thiết bị chiếu sáng sát tường canh chỉnh cho mặt đất dải ánh sáng vị trí cách tường 2m Hãy tính độ dài vùng chiếu sáng mặt đất Lời giải: Xét ∆ABC · tan BAC = BC = = 0,8 · ⇒ BAC ≈ 38,7 o AB 2,5 vuông B, ta có: · · · BAD = BAC + CAD = 38,7 o + 20o = 58,7 o Ta có: Xét ∆ABD BD = AB.tan BAD = 2,5.tan 58,7 o ≈ 4,1( m ) vng B, Ta có: ⇒ CD = BD − BC = 4,1 − = 2,1( m ) Vậy độ dài vùng chiếu sáng mặt đất 2,1 (m) Trang 24 Bài 24: Trên tịa nhà có cột ăng – ten cao 5m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng – ten góc chiều cao tịa nhà Lời giải: + Dựa vào hình vẽ tốn, ta có: BC = 5m AD = EH = 7m · · BAE = 50o ; CAE = 40 o · · CEA = BEA = 90o + Xét ∆CAE vuông E, ta có: tan CAE = CE AE (Tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ CE = AE.tan CAE = AE.tan 40o ( m) (1) Trang 25 50o 40o so với phương nằm ngang Tính + Xét ∆BAE vng E ta có: tan BAE = BE AE (Tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ BE = AE.tan BAE = AE.tan 50o ( m ) (2) + Từ (1) (2) ta suy ra: BE − CE = AE tan 50o − AE tan 40o ⇔ BC = AE ( tan 50o − tan 40o ) ⇔ = AE ( tan 50o − tan 40o ) ⇔ AE = tan 50 − tan 40o o CE = + Thay AE vào (1) ta có: ( m) tan 40o o tan 50 − tan 40 o BH = BC + CE + EH = + Suy ra: ( m) 5.tan 40o + ≈ 23,9 ( m ) tan 50o − tan 40o Vậy chiều cao tòa nhà 23,9 (m) Bài 25: Kim tự tháp Kê Ốp ( Ai Cập ) có dạng hình chóp đều, đáy hình vng, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh ( hình vẽ ) Mỗi cạnh bên kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy dài 230m a) Tính theo mét chiều cao h kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) b) Tính góc tạo cạnh bên kim tự tháp so với mặt đất Trang 26 S 214 m h A B O 230 m Lời giải: a) - Dựa vào hình vẽ minh họa ta có: AB = BC = CD = DA = 230 m SA = SB = SC = SD = 214 m ∆SOA, ∆SOB, ∆SOC , ∆SOD tam giác vuông O - Xét ∆ABC vng B ta có: AC = BA2 + BC ⇒ AC = BA2 + BC = 230 + 230 = 230 2m ⇒ OC = - Xét AC 230 = = 115 2m 2 ∆SOC vng O ta có: SC = SO + OC ( 2142 = h2 + 115 ) ⇒ h ≈ 139,1m Vậy chiều cao h kim tự tháp 139,1 m b) - Xét ∆SOC vng O ta có: Trang 27 D C cosSOC = OC 115 = SC 214 · ⇒ SOC ≈ 40o 32 ' Trang 28 ... Lời giải: Hình minh họa tốn Trang 22 Tam giác CHB vng H nên: HB = CB.cos 50° = 3.cos 50° HC = CB.sin 50° = 3.sin 50° Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ACH vuông H: AC = CH + AH ⇔ AH = AC − CH... ∆ABC tam giác cân A Gọi H trung điểm BC Khi AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao Trang 23 BH = HC = 6cm Trong tam giác vng ABH, ta có: sin BAH = AH · = ⇒ BAH ≈ 3,8° AB 90 · BAC ≈ 7, 6° Do đó: Bài. .. cách Hỏi cồn cách bờ sông hai người ? ?ứng m? Trang 17 Lời giải: Xét tam giác · tan CAH = vng A , ta có CH CH CH ⇒ AH = = ( 1) · AH tan 43° tan CAH Xét tam giác · tan CBH = AHC BHC vng B , ta có