CÁC DẠNG TOÁN tìm GTLN, GTNN của một BIỂU THỨC lớp 8

CHUN ĐỀ TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói 2) Phương pháp: a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A ≥ k với k số + Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A ≤ k với k số + Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B Các tập tìmGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giải: a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – ≥ - A = - ⇔ x = b) B = - 5(x2 + max B = 4 9 x) + = - 5(x2 + 2.x + ) + = - 5(x + )2 ≤ 5 25 5 5 ⇔ x= − 5 b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a < Giải: b b b2 Ta có: P = a(x + x) + c = a(x + ) + (c ) a 2a 4a b b2 Đặt c = k Do (x + ) ≥ nên: 2a 4a a) Nếu a > a(x + b b ) ≥ P ≥ k ⇒ P = k ⇔ x = 2a 2a b) Nếu a < a(x + b b ) ≤ P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = 2a 2a II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - + đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + ≥ x = 3x - = ⇔ A = ⇔ y = ⇔ 3x - = ⇔  x = - 3x =   b) B = x - + x - B = x-2 + x-3 = B = x-2 + 3-x ≥ x-2 +3-x = ⇒ B = ⇔ (x – 2)(3 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ 2 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x + + x - x - 2 2 2 Ta có C = x - x + + x - x - = x - x + + + x - x ≥ x - x + + + x - x = C = ⇔ (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ ⇔ + x – x2 ≥ ⇔ x2 – x – ≤ ⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ ⇔ - ≤ x ≤ 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = (1) Và x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ + = Ta có từ (1) ⇒ Dấu xảy ≤ x ≤ (2) ⇒ Dấu xảy ≤ x ≤ Vậy T có giá trị nhỏ ≤ x ≤ III Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ - 36 Min A = - 36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ (x – 1)(x – 6) = ⇔ x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x - y = ⇔x=y=1 x - = = (x – y)2 + (x – 1)2 + ≥ ⇔  c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a b b b2 3b 3b ≥ + )+ = (a + )2 + 2 4 Min (C + 3) = hay C = - ⇔ a = b = ⇔ x = y = 2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Đặt x + = y ⇒ C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + ≥ ⇒ A = ⇔ y = ⇔ x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 ≥ ⇒ D = ⇔ x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN Ví dụ : Tìm GTNN A = -2 −2 = 2 = 9x - 6x + (3x - 1) + 6x - - 9x 1 −2 −2 Vì (3x – 1)2 ≥ ⇒ (3x – 1)2 + ≥ ⇒ (3x - 1)2 + ≤ ⇒ (3x - 1)2 + ≥ ⇒ A ≥ 2 A = - ⇔ 3x – = ⇔ x = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức: a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = = 3− + A= Thì 2 Đặt y = x-1 x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + ≥ ⇒ A = ⇔ y = ⇔ =1 ⇔ x=2 x-1 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm A= 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 = = + ≥2 x - 2x + (x - 1) (x - 1) ⇒ A = ⇔ x – = ⇔ x = b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = x x x + 20x + 100 x 1 ⇒ x = − 10 Ta có B = x + 20x + 100 = (x + 10) Đặt y = y x + 10 1 1 1   2 ≤ B = ( y − 10 ).y = - 10y + y = - 10(y – 2.y y + )+ = - 10  y - ÷ + 20 400 40 40 40 10   Max B = 1 ⇔ y= ⇔ y = ⇔ x = 10 40 10 10 x + y2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y  (x + y) + (x - y)  2 x + y 1 (x - y) ⇒ A = ⇔ x = y Ta có: C = = = + ≥ x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 Các phân thức có dạng khác: a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = Ta có: A = - 4x x2 +1 - 4x (4x − 4x + 4) − (x + 1) (x - 2) = = − ≥ −1 ⇒ A = - ⇔ x = x2 +1 x2 +1 x +1 - 4x (4x + 4) − (4x + 4x + 1) (2x + 1) ⇒ ⇔ − = − ≤ Ta lại có: A = = max A = x = x +1 x2 +1 x2 +1 C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến: 1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = ⇒ x = – y 1 1 1  nên A = (1 – y) + y = 2(y – y) + = 2(y – 2.y + ) + =  y - ÷ + ≥ 2 2  Vậy A = 2 1 ⇔ x= y= 2 b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 ≥ ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2) ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ 1 ⇒ A = ⇔ x = y = 2 2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Từ Cho x + y + z = ⇒ Cho (x + y + z)2 = ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta có x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 2 = ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z )  ≥ ⇒ x + y + z ≥ xy+ yz + zx (2) Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ ⇒ A = ⇔ x = y = z = b) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≥ xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) ⇒ xy+ yz + zx ≤ ⇒ max B = ⇔ x = y = z = 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z = 1 Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ≤ áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) ⇒ ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Dấu xảy x = y = z = ⇒ S ≤ Vậy S có giá trị lớn 8 = 27 27 729 x = y = z = 729 4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) ⇒ ≤ ( x + y + z ) 2 (1) x4 + y4 + z 27 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x + y + z ) ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) Từ (1) (2) ⇒ ≤ 3( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ Vậy x + y + z có giá trị nhỏ 3 x= y = z = ± 3 D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + ≥ 2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị: +) -A lớn ⇔ A nhỏ ; +) lớn ⇔ B nhỏ (với B > 0) B +) C lớn ⇔ C2 lớn Ví dụ: Tìm cực trị A = x4 + (x + 1) a) Ta có A > nên A nhỏ lớn nhất, ta có A 1 ( x + 1) 2x = = 1+ ≥ ⇒ A = ⇔ x = ⇒ max A = ⇔ x = A x +1 x +1 b) Ta có (x2 – 1)2 ≥ ⇔ x4 - 2x2 + ≥ ⇒ x4 + ≥ 2x2 (Dấu xẩy x2 = 1) 2x 2x ≤ ⇒ 1+ ≤ + = ⇒ max Vì x4 + > ⇒ = ⇔ x2 = x +1 ⇒ A = ⇔ x = ±1 x +1 A 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN tồn tập xác định biến y Ví dụ: Tìm GTLN B = - (x + y) a) xét x + y ≤ - Nếu x = A = - Nếu ≤ y ≤ A ≤ - Nếu y = x = A = b) xét x + y ≥ A ≤ So sánh giá trị A, ta thấy max A = ⇔ x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức: Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 ⇒ 2x + 3y ≤ 26 Max A = 26 ⇔ x y 3x 3x ⇒ x2 + y2 = x2 +  ÷ = 52 ⇔ 13x2 = 52.4 ⇔ x = ± = ⇒y =   Vậy: Ma x A = 26 ⇔ x = 4; y = x = - 4; y = - 5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 ⇔ x2 – 3x – 10 = ⇔ x = x = - Khi A = 11 11 = 121 ⇒ Max A = 121 ⇔ x = x = - b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = Ta có: B = (x + 4)(x + 9) x + 13x + 36 36 = =x+ + 13 x x x Vì số x ⇒ A= x+ (x + 4)(x + 9) x 36 36 36 36 ⇔ x=6 có tích x = 36 khơng đổi nên x + nhỏ ⇔ x = x x x x 36 + 13 nhỏ A = 25 ⇔ x = x 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức m n Ví dụ: Tìm GTNN A = 11 − Ta thấy 11m tận 1, 5n tận Nếu 11m> 5n A tận 6, 11m< 5n A tận m = 2; n = thÌ A = 121 − 124 = ⇒ A = 4, chẳng hạn m = 2, n = ... 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 ≥ ⇒ D = ⇔ x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN Ví dụ : Tìm GTNN A = -2 −2 = 2 = 9x - 6x + (3x - 1) +... D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + ≥ 2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức. ..B Các tập tìmGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giải: