SKKN kỷ thuật quy về một biến trong các bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức image marked

MỤC LỤC A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài .Trang 01 II Mục đích nghiên cứu .Trang 02 III Đối tượng nghiên cứu .Trang 02 B Giải vấn đề I Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 03 II.Cơ sở lý thuyết Phương pháp dạy học phát giải vấn đề Trang 03 Một sốkiến thức sử dụng đề tài Trang 04 III Giải pháp tổ chức thực Quy biến phương pháp Trang 07 Quy biến có sẳn tốn Trang 09 Quy biến phương pháp đặt ẩn phụ Trang 12 IV Kết kinh nghiệm rút Trang 21 C Kết luận đề xuất Trang 23 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết, năm gần ngành giáo dục có nhiều chủ trương để nâng cao chất lượng dạy học nhiều hình thức biện pháp như: đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực, dạy học lấy học sinh làm trung tâm, đổi kiểm tra đánh giá học sinh Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” có nhiều ưu điểm phù hợp với công tác giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng nói chung dạy học giải tập tốn nói riêng Tuy nhiên để thành cơng phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” lực chuyên môn lực sư phạm giáo viên đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian thực tâm huyết Để có giảng thu hút học trò, giúp học trò phát triển tư mơn tốn dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tơi bao giáo viên u nghề yêu toán khác thường trăn trở với khó khăn học trò q trình tiếp cận tốn Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn có mặt hầu hết kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi THPT quốc gia Khơng tốn hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải tốn mà có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi.Một phương pháp hiệu dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng quy biến để khảo sát Khơng có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thông qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự tìm cách giải tốn cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải riêng cho Trang Vì lí tơi viết đề tài “ Kỷ thuật quy biến tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức’’ để giúp cho học sinh có cách tư tốt gặp dạng tốn II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài nhằm mục đích: - Chia sẻ với quý Thầy, Cô, bạn đồng nghiệp em học sinh kinh nghiệm để giải tốn tìm GTNN, GTLN đề thi tuyển sinh Đại học - Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 12 THPT ôn thi học sinh giỏi thi THPT quốc gia - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT - Phạm vi nghiên cứu đề tài bao gồm: + Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN hàm số thơng qua vài ví dụ + Hệ thống số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến lại + Hệ thống số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y , t = x + y t = xy + Hệ thống số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại + Hệ thống số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai x y biến cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp t = B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU  Trường THPT Hoằng Hóa đóng địa bàn vùng nơng thơn khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học THPT kiến thức sở mơn Tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình  Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập tìm GTLN GTNN, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo tạo niềm vui, hưng phấn giải toán Trang  Kết khảo sát số lớp: 12A1và 12A4 phần giải tập tốn tìm GTLN GTNN hàm số qua tìm hiểu giáo viên dạy mơn Tốn, có khoảng 5%- 10% học sinh hứng thú với toán II CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phuơng pháp dạy học phát giải vấn đề a Bản chất Dạy học phát giải vấn đề phương pháp dạy học giáo viên tạo tình có vấn đề, điều khiển học sinh phát vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải vấn đề thơng qua chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ đạt mục đích học tập khác b Quy trình thực - Tìm cách giải vấn đề thường thực theo sơ đồ: Bắtđầu Phân tích vấnđềddddddddd dddddd®ddddddd Đề xuất thực hướng giải ®®eeeeeđề Hình thành giải pháp Giải pháp Kết thúc c Ưu điểm - Phương pháp góp phần tích cực vào rèn luyện tư phê phán, tư sáng tạo cho học sinh Trên sở sử dụng vốn kiến thức kinh nghiệm có học sinh xem xét, đánh giá, thấy vấn đề cần giải - Đây phương pháp phát triển khả tìm tòi, xem xét nhiều góc độ khác - Thông qua việc giải vấn đề, học sinh lĩnh hội tri thức, kĩ phương pháp nhận thức Trang d Hạn chế - Phương pháp đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cơng sức, phải có lực sư phạm tốt suy nghĩ để tạo nhiều tình gợi vấn đề hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát giải vấn đề - Việc tổ chức tiết học phần tiết học theo phương pháp phát giải vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian sovới phương pháp thông thường Một số kiến thức sử dụng đề tài 2.1 Một số kiến thức sơ đạo hàm Trong mục chúng tơi trình bày lại số kiến thức đạo hàm số công thức đạo hàm  Định lí Giả sử D khoảng hay hợp khoảng Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm D ( u + v )¢ ( uv )¢ = u ¢ + v ¢; ( u - v )¢ = u ¢v + uv ¢; ( ku )¢ ( uv )¢ = u ¢v -uv ¢ v2 = u ¢ - v ¢; = ku Â; , vi v ( x )  Định lý Đạo hàm số hàm số thường gặp (c )¢ = ( c ( x )¢ ( x n )¢ hàng số) =1 ( u n )¢ = nx n -1 ( x ẻ ) ( x1 ) ( u1 ) = - x12 ( x )¢ = ( x > ) x ( ln x )¢ = ( sin x )¢ ( cos x )¢ (e u )¢ = ex x (x = - uu2¢ ( u )¢ = (e x )¢ = nu n -1u ¢ = e uu ¢ ( ln u )¢ > 0) ( sin u )¢ = cos x ( cos u )¢ = - sin x Trang u¢ u = u¢ u = u ¢ cos u = -u ¢ sin u ( tan x )¢ (co t x ) = + tan2 x ( x p ( tan u )¢ + kp ) (co t u )¢ = - ( + cot2 x ) ( x kp ) = u  ( + tan2 u ) = -u ¢ ( + co t2 u ) 2.2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong mục chúng tơi trình bày lại số kiến thức tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D Ì  +) Nếu tồn điểm x Ỵ D cho f ( x ) £ f ( x ) với x Ỵ D số M = f ( x ) gọi giá trị lớn hàm số f D , kí hiệu M = max f ( x ) x ỴD +) Nếu tồn điểm x Ỵ D cho f ( x ) ³ f ( x ) với x Ỵ D số m = f ( x ) gọi giá trị nhỏ hàm số f D , kí hiệu m = f ( x ) x ỴD  Nhận xét Như vậy, muốn chứng tỏ số M (hoặc m ) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D cần rõ : +) f ( x ) £ M (hoặc f ( x ) ³ m ) với x Ỵ D ; +) Tồn điểm x Ỵ D cho f ( x ) = M (hoặc f ( x ) = m )  Nhận xét Người ta chứng minh rằnghàm số liên tục đoạn đạt giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn Trong nhiều trường hợp, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm f đoạn éë a;b ùû sau : Tìm điểm x 1, x 2, , x n thuộc khoảng (a;b ) mà f có đạo hàm khơng có đạo hàm Tính f ( x ), f ( x ), , f ( x n ), f (a ) f (b ) So sánh giá trị tìm được.Số lớn giá trị giá trị lớn f đoạn éë a;b ùû , số nhỏ giá trị giá trị nhỏ f đoạn éë a;b ùû Trang 2.3 Một số thí dụ tìm GTNN, GTLN hàm số Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + - x x Lời giải Tập xác định D = éë -2;2 ùû , f ¢ ( x ) = , f ¢(x ) = Û x = - x2 Bảng biến thiên -2 t f ¢ (t ) + - 2 f (t ) -2 Từ bảng biến thiên ta có f (x ) = f ( ) = 2 f ( x ) = f ( -2 ) = -2 max x Ỵ é -2;2 ù x Ỵ é -2;2 ù ë ë û û Thí dụ (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = ln2 x đoạn éë 1;e ùû x ln x x - ln2 x ln x ( - ln x ) x = Lời giải Ta có y ¢ = x2 x2 Từ có bảng biến thiên : y = y (e ) = Vậy max é ù êë 1;e ûú e2 x y¢ Û x = e2 y y = y (1) = Û x = é ù 1;e ú ëê û Trang 0 + e2 e2 - e3 e3 III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Như thấy việc tìm GTNN, GTLN hàm số đơn giản Việc chuyển tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức khơng hai biến sang tốn tìm GTNN, GTLN hàm số chứa biến giúp giả tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức Quy biến phương pháp Trong phần tơi trình bày số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến lại Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ Cho x , y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x P = 1-x + y 1-y  Phân tích tìm tòi lời giải Do giả thiết mối liên hệ bậc x y nên rút ẩn x theo y (hoặc y theo x) để vào P  Lời giải Từ giả thiết x , y > , x + y = ta có y = - x , < x < Khi ta có P = Xét hàm số f ( x ) = x x 1-x 1-x + + 1-x 1-x x x , f ¢(x ) = 2-x (1 - x ) - x - 2x x Bảng biến thiên x f ¢(x ) f (x ) +¥ - Trang + x +1 +¥ ỉ1ư Từ bảng biến thiên suy P = f ( x ) = f ỗỗỗ ÷÷÷ = đạt x Ỵ( 0;1 ) è2ø x =y = Thí dụ Cho x , y Ỵ  thỏa mãn y £ 0, x + x = y + 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = xy + x + 2y + 17  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có chứa biến x y ,muốn quy biến ta phải quy biến x cách y theo biểu thức chứa x từ giả thiết vào P để khảo sát  Lời giải Từ giả thiết y £ 0, x + x = y + 12 ta có y = x + x - 12 x + x - 12 £ hay -4 £ x £ Khi P = x + 3x - 9x - Xét hàm số f ( x ) = x + 3x - 9x - 7, x Ỵ éë -4; ùû éx = Ta có f ' ( x ) = ( x + 2x - ) = Þ êê êë x = -3 Ta có bảng biến thiên x f ¢(x ) f (x ) -4 + -3 20 - + 20 -12 13 Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) = f ( ) = -12 , max f ( x ) = f ( -3 ) = f ( ) = 20 é ù é ù x Ỵ ë -4;3 û x Î ë -4;3 û Do P = -12 đạt x = 1, y = -10 max P = 20 đạt x = -3, y = -6 x = 3, u = Nhận xét Qua thí dụ cho ta kỹ thuật giảm biến tìm GTNN, GTLN biểu thức hai biến cách biến qua biến lại sử dụng giả thiết để đánh giá biến lại Từ tìm GTNN, GTLN hàm số chứa biến bị chặn Trang Bài tập tương tự Bài Cho x , y Î éë -3;2 ùû thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x + y Bài Cho x , y ³ thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = Bài x y + y +1 x +1 Cho x , y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y2 + 1 + 2 x y x + y = Bài Cho Tìm giá Bài Cho a,b, x , y Ỵ  thỏa mãn < a,b £ , a + b £ £ x £ £ y P = x + y3 + 3(x - y2 ) + 3(x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài trị nhỏ biểu thức 2x + y + 2x + y xy ( a + b ) Cho x , y Ỵ  thỏa mãn x £ y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y - 8x + 16 Bài Cho x , y Ỵ ( 0;1 ) thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x x + yy Quy biến có sẳn tốn Thí dụ 3.Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có chứa biến để làm giảm số biến từ giả thiết ta rút biến z theo x y sau thay vào P sau sử dụng đánh giá để biến x  Lời giải 2x  y Từ giả thiết ta có: z  , x,y,z>0 nên 2xy-7>0 xy  Khi đó: P  x  y  2x  4y  x  11   y     2x  4y    2xy  2x  2x   2xy  x  Trang Xét hàm số f ( x)  x3  x  x  1  x   0;   Ta có f ( x)  10 x  1  x  0 x 91 Lập bảng biến thiên ta thấy P  f ( x)  f      108 Vậy GTNN biểu thức P  91  x ;y z 5 108 Thí dụ 5.(Đề thi HSG Thanh Hóa 2016) Cho số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x  y   z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x3 y3 z3 14    x  yz y  xz z  xy  z  1  xy  x  y  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có chứa biến vai trò hai biến x y Do ta quy biểu thức P biến z cách sử dụng sử dụng bất đẳng thức Cauchy  Lời giải Ta có x, y, z  nên 1  x 1  y   x  y  2   z  1 dấu = xảy  Lại có  xy  x  y  1  x 1  y  2xy  x  y dấu = xảy x  y x4 y4 z3 Khi ta có P     x  xyz y  xyz x  y   xy  z  1 x  y2  z3 P    x  y   xyz 1  x 1  y   z  1 x P  y2  1 z  z3  1  x 1  y   z  1 14 1  x 1  y  14 1  x 1  y  14 1  x 1  y   x  y  z3 14    1  z  1  x 1  y   z  1 1  x 1  y  2 x  y z  1   4z3 28 z  28 z  z  z  57       2 1  z   z  12  z  12 1  z   z  12  z  1 Xét hàm f  z   z  z  z  57  z  1 , z 1 Trang 11 x y  3z  5  3z  14 z  23 Ta có f '  z   , z  f ' z    z  3  z  1   53 f  z  f    Lập bảng biến thiên hàm số f  z  ta nhận zmin 1;    Vậy GTNN P 53 đạt x  y  , z  3 Quy biếnbằng phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN biểu thức chứa biến có tính chất đối xứng Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến mà giả thiết biểu thức thể tính đối xứng Từ phép đặt ẩn phụ ta chuyển tốn tìm G hàm số Thí dụ Cho x , y Î  thỏa mãn x + y ¹ -1 x + y + xy = x + y + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = xy x +y +1  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có chứa biến vai trò hai biến x y Do ta quy biểu thức P biến cách đặt ẩn phụ t = x + y t  xy , nhiên giả thiết tốn đặt t  xy vào biểu thức P phức tạp nhiều  Lời giải Đặt t = x + y Từ giả thiết: x + y + xy = x + y + ta có ( x + y ) - xy = ( x + y ) + hay xy = t - t - 2 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y ) ³ 4xy suy 3t - 4t - £ hay - £ t £ Khi P = t + 2t t2 - t - t2 - t - Xét hàm số f ( t ) = , f ¢ (t ) = , f ¢ (t ) = t +1 t +1 (t + 1) Û t = Ú t = -2 (loại) Bảng biến thiên t f ¢ (t ) f (t ) - 23 Trang 12 - -1 + Từ bảng biến thiên ta có P = f ( t ) = f ( ) = -1 đạt é ù t Ỵ ê - ;2 ú ë û ( x ; y ) = ( -1;1 ) ( x ; y ) = ( 1; -1 ) max P = max f ( t ) = f ( - 23 ) = f ( ) = t Ỵ éê - ;2 ùú ë û 3 đạt x = y = - x = y = Thí dụ (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x + y + x 2y ) - ( x + y ) + với số thỏa mãn ( x + y ) + 4xy ³ x, y  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức A có chứa biến vai trò hai biến x y Do ta quy biểu thức A biến cách đặt ẩn phụ t = x + y t  xy , nhiên giả thiết toán đặt t  xy t = x + y vào biểu thức P xuất bậc phức tạp nhiều Do ta chọn cách đặt t = x + y  Lời giải Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : ( x + y ) ³ 4xy nên (x + y ) + 4xy ³ Þ ( x + y ) + ( x + y ) ³ ( x + y ) + 4xy ³ 3 é ù Þ ( x + y ) + ( x + y ) - ³ Þ éë ( x + y ) - ùû ê ( x + y ) + ( x + y ) + ú ³ (1) ë û Do ( x + y ) 2 é 1ù + ( x + y ) + = ê ( x + y ) + ú + > từ (1) suy : x + y ³ êë úû Vậy cặp ( x ; y ) thỏa mãn yêu cầu đề x + y ³ (2) Ta biến đổi A sau: A = ( x + y + x 2y ) - ( x + y ) + = 3 x + y ) + ( x + y ) - ( x + y ) + (3) ( 2 (x + y2 ) Do x + y ³ A³ nên từ (3) suy : 2 3 x + y2 ) + (x + y2 ) - 2(x + y2 ) + = (x + y2 ) - 2(x + y2 ) + ( 4 Vì x + y ³ (x + y ) 2 nên từ (2) ta có : x + y ³ Trang 13 9 2 Đặt f ( t ) = t - 2t + với t = x + y ³ Ta có : f ¢ ( t ) = t - > 0, "t ³ ỉ1ư Suy : min1 f ( t ) = f ççç ÷÷÷ = (4) t³ è ø 16 Từ (4) suy A ³ Vậy A = 9 Mặt khác dễ thấy x = y = A = 16 16 x = y = 16 Thí dụ (Đề thi tuyển sinh Đại học B – 2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn (a + b ) + ab = (a + b )(ab + ) ỉa3 b3 ỉa2 b2 Tìm giá trị nh nht ca biu thc P = ỗỗỗ + ữữữ - ỗỗỗ + ữữữ a ÷ø a ÷ø èb èb  Phân tích tìm tòi lời giải Nhận thấy giả thiết yêu cầu toán chứa biểu thức đối xứng a b nên cách tư hướng phương pháp chung đó.Tuy nhiên đặt t  xy t = x + y vào biểu thức P xuất bậc tính tốn phức tạp Do ta chọn cách đặt t = dễ dàng nhiều a b toán lại trở nên + b a  Lời giải Với a, b dương, ta có: (a + b ) + ab = (a + b )(ab + ) æa b ö æ 1ö Û (a + b ) + ab = a 2b + ab + (a + b ) Û çç + ÷÷ + = (a + b ) + ỗỗ + ữữữ ỗố b a ữứ çè a b ø ỉ1 1ư ỉ1 1ư a æa b ö Mà (a + b ) + ççç + ÷÷÷ ³ 2 (a + b )ççç + ữữữ = 2 ỗỗỗ + + ữữữ , èa b ø èa b ø èb a ø ổa bử ổa b b suy ra: ỗỗỗ + ữữữ + 2 ỗỗỗ + + ữữữ ị + b a ốb a ø èb a ø Đặt t = a b + , t ³ , suy : P = ( t - 3t ) - ( t - ) = 4t - 9t - 12t + 18 b a Xét hàm số f ( t ) = 4t - 9t - 12t + 18 , với t ³ ỉ5ư 23 f ( t ) = f ỗỗ ữữữ = - Ta cú f  ( t ) = ( 2t - 3t - ) > , suy : é ỗ ờở ;+Ơ Trang 14 ) ố2ứ ì a b ï ï + = ï 23 Vậy, MinP = đạt : ïí b a 2ỉ Û (a;b ) = ( 2;1 ) hoc ù ỗỗ + ữữ ù a + b = ù ỗố a b ữứ ï ï ỵ (a;b ) = ( 1;2 ) Nhận xét Qua thí dụ trên, cho ta kỹ thuật giảm biến tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức hai biến có tính đối xứng: Do tính đối xứng nên ta ln biến đổi đưa dạng đặt t = x + y , t = x + y , t = a b + t = xy , từ đưa tìm GTNN, GTLN hàm số ẩn t b a Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN biểu thức chứa biến có tính chất đối xứng Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại Từ đó, chuyển tốn tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010) Cho số thực không âm a, b, c thoản mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab + bc + ca ) + a + b + c  Phân tích tìm tòi lời giải Nhận thấy giả thiết yêu cầu toán chứa biểu thức đối xứng a ,b c cách giải có tương tự dạng biến đối xứng hay không Để trả lời cho cách tư ta phải biến đổi biểu thức M cách sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên giả thiết  Lời giải Ta có: M ³ (ab + bc + ca ) + (ab + bc + ca ) + - (ab + bc + ca ) Đặt t = ab + bc + ca , ta có : £ t £ (a + b + c ) é 1ö = Xét hàm số f ( t ) = t + 3t + - 2t trờn 0; ữữữ , ta cú : f  ( t ) = 2t + êë ø - 2t Trang 15 f ¢¢ ( t ) = - biến ( - 2t ) é ù ë û £ , dấu xảy t = , suy f ¢ ( t ) nghịch ỉ 1 11 Xét đoạn ê 0; ú ta có : f  ( t ) f  ỗỗỗ ữữữ = - > , suy f ( t ) đồng biến ê 3ú è3ø é êë ù úû Do : f ( t ) ³ f ( ) = 2, "t Î ê 0; ú é êë ù úû Vì : M ³ f ( t ) ³ 2, "t Ỵ ê 0; ú Vậy M ì ï ab = bc = ca ï ï ï = Û íab + bc + ca = Û (a;b; c ) ï ï a +b +c = ï ï ỵ số : ( 1; 0; ), ( 0;1; ), ( 0; 0;1 ) Thí dụ 10 Cho x + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx  Phân tích tìm tòi lời giải Bài tốn giả thiết u cầu toán chứa biểu thức đối xứng x, y z cách giải tương tự dạng Ta quy biến cách đặt t = x + y + z  Đặt t = x + y + z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( x + y + z ) £ ( x + y + z ) suy - £ t £ Khi P = (x + y + z ) + 1é 2 2 ù ê ( x + y + z ) - ( x + y + z ) ú = ( t + 2t - ) û 2ë Xét hàm số f ( t ) = ( t + 2t - 1) , f ¢ ( t ) = 2t + , f ¢ ( t ) = Û t = -1 Ta có bảng biến thiên t ¢ f (t ) f (t ) - 1- -1 - -1 Trang 16 + 1+ Từ bảng biến thiên ta có M in P = M in f ( t ) = f ( -1 ) = -1 đạt t = -1 hay ( x ; y; z ) = ( -1; 0; ) t Î éê - 3; ùú ë û hốn vị nó; MaxP = Max t Ỵ éê - 3; ùú ë û ( x ; y; z ) = ( f (t ) = f ; ; 3 ( 3) = + đạt t = hay ) Thí dụ11.Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  abc 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c   Phân tích tìm tòi lời giải Sử dụng bất đẳng thức để đưa biểu thức P hàm chứa abc Sau đặt abc  t  Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức: ( x  y  z )  3( xy  yz  zx) , x, y, z   ta có: (ab  bc  ca )  3abc(a  b  c)  9abc   ab  bc  ca  abc Ta có: (1  a)(1  b)(1  c)  (1  abc )3 , a, b, c  Thật vậy: 1  a 1  b 1  c    (a  b  c)  (ab  bc  ca)  abc   3 abc  3 (abc)2  abc  (1  abc )3 Khi đó: P  abc  Q (1) 3(1  abc )  abc  Đặt  abc  abc  t ; a, b, c > nên  abc    1   2t  t  1  t  1 t2   0, t   0;1 Xét hàm số Q   , t   0;1  Q (t )  2 3(1  t )  t 1  t  1  t  Do hàm số đồng biến  0;1  Q  Q  t   Q 1  Vậy maxP = 1 (2) Từ (1) (2): P  6 , đạt và chi : a  b  c  Trang 17 Bài tập tương tự Bài 1/ Cho x , y > thỏa mãn x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3x 3y 1 + - 2- y ( x + 1) x ( y + 1) x y Bài 2/ Cho x , y không đồng thời thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y2 + + x + y2 y2 + x + Bài 3/ Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x 1+y +y 1+x Bài 4/ Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x 1+y + y 1+x Bài 5/ Cho x , y ¹ thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x + y - xy Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + x y3 Bài 6/ Cho x , y Ỵ  thỏa mãn x + xy + y £ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x - xy + y Dạng 3: Tìm GTLN,GTNN biểu thức chứa biến có tính chất đẳng cấp Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến mà giả thiết biểu thức thể tính đẳng cấp Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ 12 (Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011) Cho x , y, z ba số thực thuộc đoạn éë 1; ùû x ³ y, x ³ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có dạng đẳng cấp có chứa biến để quy ẩn ta sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá P sau đặt ẩnr phụ để quy biến  Lời giải Trang 18 Ta biến đổi P được: P = 2+ 3y x + 1+ z y + 1+ x z Trước hết ta chứng minh : 1 (*), với a b dương + ³ 1+a 1+b + ab ( ) ab ³ Thật vậy, ( * ) Û (a + b + ) + ab ³ ( + a )( + b ) Û (a + b ) ab + ab ³ a + b + 2ab Û ( ab - )( a- b ) ³ , với a, b dương ab ³ Dấu xảy ra, : a = b ab = Áp dụng (*), với x y thuộc đoạn éë 1; ùû x ³ y , ta có: P = 2+ 3y x + 1+ Dấu xảy ra, : Đặt 1+ x z ³ 2+ 3y x + 1+ x y z x x = = (1) y z y x t2 = t, t Î éë 1;2 ùû Khi đó: P ³ + y 2t + + t Xét hàm số : f ( t ) = Ta có: f ¢ ( t ) = t2 + , t Ỵ éë 1;2 ùû , 2t + + t -2 éëê t ( 4t - ) + 3t ( 2t - ) + ùûú Þ f (t ) ³ f ( ) = Û z y + ( 2t + ) (1 + t ) 34 33 Dấu xảy < 0, ra, x = Û x = 4, y = (2) y Suy P ³ 34 33 Từ (1) (2) suy dấu xảy ra, : x = 4, y = z = Vậy, giá trị nhỏ P 34 , x = 4, y = 1, z = 33 Trang 19 t =2 Thí dụ 13.Cho a,b,c ba số thực không đồng thời thỏa mãn (a  b  c)  2(a  b  c ) a  b3  c Tìm giá trị lớn nhỏ : P  (a  b  c)(ab  bc  ca )  Phân tích tìm tòi lời giải Biểu thức P có dạng đẳng cấp có chứa biến để quy ẩn ta sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá P sau đặt ẩn phụ để quy biến  Lời giải Ta có (a  b  c)2  a  b  c  2(ab  bc  ca)  2(a  b  c )  a  b  c  2(ab  bc  ca ) 1  ab  bc  ca  (a  b  c )  (a  b  c) 2 3 4(a  b3  c3 ) a b c        4 Khi P    4   4  (a  b  c)  abc   abc   abc  4a 4b 4c ;y ;z  từ phép đặt ta có : abc abc abc  x yz 4  y z  4 x  y z  4 x (*)     xy  yz  xz   yz   x( y  z )  yz  x  x  Đặt x  16 P  x3  y  z  x3  ( y  z )3  yx( y  z )  x  12 x  12 x  16 P 3 3 x  x  x 1 16 4 Từ (*) để tồn y z : (4  x)2  4(4  x  x )  x  0;   3 Như Vậy bái tốn trở thành tìm GTLN GTNN  8 x  0;   3  x 3  Ta có: P '  x  x    ;  16 x  2 Ta có: P(0)  1; P( )  11 ; P(2)  1; P( )  Trang 20 P 3 3 x  x  x  16 4 * MaxP  11 2 x  ; y  z  ; x  ; y  z  3 3 * MinP  x  0; y  z  2; hoac x  2; y  x  Bài tập tương tự 1/ Cho x , y > thỏa mãn xy £ y - Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y3 + y2 x3 2/ Cho x , y ³ Chứng minh 3x + 7y ³ 9xy 3/ Cho x , y ³ Chứng minh x + y ³ x 3y + xy ỉx2 y2 ỉx 4/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ỗỗỗ + ữữữ - ỗỗỗ + ữữữ vi x , y èy x ø x ÷ø èy IV KẾT QUẢ VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Kết quả:  Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có 60% em học sinh có hứng thú với học 30% số biết cách tìm tòi xây dựng toán từ toán gốc giáo viên gợi ý em tự tìm tòi  Trong kỳ thi thử THPT quốc gia tồn tỉnh có khoảng 30-40% học sinh lớp giải tốn tìm GTLN,GTNN ởdạng khơng q khó đề thi Kinh nghiệm rút  Khi tiếp cận toán tìm GTLN,GTNN biểu thức, ta cần nghiên cứu kỹ mối quan hệ giả thiết cho biểu thức cần tìm Nếu liệu tốn xoay quanh hai ba biến đó, câu hỏi là: “Giữa chúng có mối quan hệ ràng buộc ?” đặt giả thuyết chúng có tính chất đối xứng, chúng có tính chất đẳng cấp, Từ kiểm chứng giả thuyết đặt đặc biệt hóa tốn, đốn dấu xãy dự đoán kết GTLN GTNN  Để quy biểu thức cần tìm GTLN,GTNN biến ta cần xem xét đánh giá giả thiết + Nếu giả thiết chứa hai biến bậc biến qua biến lại Trang 21 + Nếu giả thiết biểu thức có chứa biến đối xứng đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y , t = x + y t = xy + Nếu giả thiết biểu thức chứa hai biến đối xứng biến độc lập quy biến độc lập x y +Nếu biểu thức có tính đẳng cấp đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp t = Ý nghĩa SKKN Với sáng kiến kinh nghiệm hy vọng góp thêm tài liệu cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp ; giúp em học sinh có thêm kinh nghiệm cho loại tốn này, từ tự tin thi Đại học Khả ứng dụng triển khai Sáng kiến kinh nghiệm triển khai chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; dùng để giảng dạy cho em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới cho loại toán Trang 22 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I NHỮNG KẾT LUẬN Qua thực tế giảng dạy thấy vấn đề dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lòng say mê nhiệt tình hút em vào đường nghiên cứu Bài tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức vấn đề mới, thực tế vấn đề khó không hứng thú nhiều học sinh Thậm chí nhiều Thầy, Cơ chưa thực quan tâm mức vần đề II NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập toán giảng Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Xuân Ninh Trang 23 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KỶ THUẬT QUY VỀ MỘT BIẾN TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC Người thực hiện: Lê Xuân Ninh Chức vụ: Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Hoằng Hóa Sáng kiến kinh nghiệm mơn: Tốn học Trang 24 THANH HÓA NĂM 2016 Trang 25 ... đạt x = -3 , y = -6 x = 3, u = Nhận xét Qua thí dụ cho ta kỹ thuật giảm biến tìm GTNN, GTLN biểu thức hai biến cách biến qua biến lại sử dụng giả thiết để đánh giá biến lại Từ tìm GTNN, GTLN hàm... giả tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức Quy biến phương pháp Trong phần tơi trình bày số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến lại Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá... hai biến cách biến qua biến lại + Hệ thống số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y , t = x + y t = xy + Hệ thống số dạng toán tìm GTNN, GTLN