Trên đây là một vài biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị đại số cho học sinh trong quá trình giảng dạy và ôn thi học sinh giỏi..[r]
(1)A/ Phần mở đầu. I/ Lí do chọn đề tài.
1 Lí do khách quan
- Dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức là một dạng toán khó thường hay gặp trong các kì thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10 Là một dạng toán mà lượng bài tập cũng rất đa dạng và phong phú xong thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định, là dạng toán nâng cao ít gặp trong chương trình SGK, SBT các lớp THCS
2 Lí do chủ quan
- Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Hải Đông, cũng như trong quá trình ôn thi HSG tôi thấy HS thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, hs rất lúng túng, chậm chạp mặc dù đã được thầy gợi ý, hướng dẫn
- Nếu hs được rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị, thì tư duy của các em trở lên linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán cũng như trong quá trình giải quyết các tình huống trong thực tế
II/ Nhiệm vụ, phạm vi, đối tượng nghiên cứu của đề tài.
1 Nhiệm vụ của đề tài
- Xác định cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số) của hs lớp 9 diện khá, giỏi
- Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng giải toán tìm cực trị, cũng như việc vận dụng BĐT côsi để giải một số bài toán tìm cực trị
- Đề xuất một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán tìm cực trị
2 Phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị (đại số) của hs lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông
3 Đối tượng nghiên cứu
Các hs khá, giỏi của lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông
III/ Phương pháp nghiên cứu.
1 Các phương pháp chủ yếu: - Phương pháp điều tra
(2)2 Các phương pháp hỗ trợ: - Phương pháp trò chuyện - Phương pháp quan sát
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
B Phần nội dung.
Chương I
cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán cực trị (đại số) cho hs khá, giỏi lớp 9 1 Cơ sở lí luận
- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập là một yêu cầu quan trọng trong việc học tập bộ môn toán nói chung và trong việc giải quyết các bài toán cực trị nói riêng Nó không những rèn luyện cho hs thói quen tư duy toán học mà còn giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo
- Số lượng bài tập, cũng như dạng bài tập về vận dụng BĐT côsi tìm cực trị rất đa dạng và phong phú, muốn giải quyết tốt thì cần phải có kĩ năng cơ bản về sử dụng BĐT côsi
- Do đặc điểm tâm lí của hs trong giai đoạn này chưa được ổn định, dễ phát triển theo những chiều hướng tích cực cũng như tiêu cực nên việc định hướng phương pháp giải là rất quan trọng
2 Cơ sở thực tiễn
- Kĩ năng vận dụng BĐT côsi của đa số hs khá, giỏi còn yếu, đặc biệt trong việc áp dụng vào giải quyết các bài toán tìm cực trị đại số, hs rất lúng túng, chậm chạp nhiều khi bế tắc không tìm ra hướng giải
Chương II:
Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán tìm cực trị của hs lớp 9 trường THCS Hải Đông 1 Về đội ngũ giáo viên
(3)- Đa số các em là con em nông dân, điều kiện học tập còn nhiều thiếu thốn, chưa có thời gian cho việc học tập nâng cao, ôn luyện
- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập ở mức độ thấp, nhất là trong lĩnh vực nâng cao
- Chưa có thói quen suy nghĩ, tư duy, tìm tòi sáng tạo
Chương III
Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số)
I Kiến thức cần nhớ A khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức
* Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )
f x ³ m; tồn tại x0Î D để f x( )0 =m thì m được gọi là GTNN của biểu thức
f(x)
Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi x=x0
*Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )
f x £ m; tồn tại x0Î D để f x( )0 =m thì m được gọi là GTLN của biểu thức
f(x)
Kí hiệu Max f(x) = m, đạt được khi x=x0
B BĐT côsi
1) Cho hai số a³ 0;b³ 0 ta luôn có 2
a b
a b
+ ³
; hay
2
2
a b a b£æçççè + ÷ö÷÷ø Dấu “=” xảy ra khi a = b
2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có 3 3
x y z
x y z
+ + ³
hay
3
3
x y z xyz£æçççè + + ÷ö÷÷ø
dấu “=” xảy ra khi x = y = z
3) Mở rộng cho n số không âm a a a1, , , ,2 3 an ta luôn có:
1 2 3 n n 1 2 3 n
a + + +a a + ³a n a a a a dấu “=” xảy ra khi a1=a2 = = an
(4)a) Nếu a+b = k ( k là hằng số) Tìm GTLN của a.b b) Nếu a.b = k ( k là hằng số) Tìm GTNN của a + b Giải:
a Theo BĐT côsi ta có:
2 2
2 4
a b k
a b£æçççè + ÷ö÷÷=
ø dấu “=” xảy ra khi
2
a b k
a b a b k
ì =
ïï Û = =
íï + =
ïî vậy GTLN của a.b là
2
4
k
, đạt được khi 2
k a= =b
b theo BĐT côsi ta có: a b+ ³ 2 a b =2 k dấu “=” xảy ra khi
a b
a b k
a b k
ì =
ïï Û = =
íï =
ïî .Vậy GTNN của a.b là 2 k , đạt được khi a= =b k
Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy
- Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích đạt GTLN khi hai số bằng nhau
- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng đạt GTNN khi hai số băng nhau
II Các dạng toán cơ bản:
1 Dạng toán tìm GTNN.
* Ví dụ 1: Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức
12 3
x y
x
= +
Giải: Do x > 0 nên
12 0; 0 3
x x
> >
, áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
12 12
2 4
3 3
x x
y
x x
= + ³ =
, dấu “=” xảy ra khi
2
12
36 6
3
x
x x
x
= Û = Û =
(do x > 0) Vậy ymin= 4, đạt được khi x = 6
*Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của biểu thức A =
x y z y+ +z x .
Giải: Do x,y,z > 0 nên 0; 0; 0
x y z
y> z > x> áp dụng BĐT côsi cho ba số
dương ta có A =
3
3 3
x y z x y z
y+ + ³z x y z x = , dấu “=” xảy ra khi
x y z
y = =z x hay
x = y = z Vậy Min A = 3, đạt được khi x = y = z
(5)nhiều trường hợp ta phải áp dụng nhiều lần BĐT côsi hoặc phải áp dụng cả hai chiều của BĐT côsi để giải, ta xét các ví dụ sau
*Ví dụ 3: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của biểu thức B =
1 1 (a b)( )
a b
+ +
Giải: Do a, b > 0 nên
1 1
0; 0
a> b> , áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta
có a b+ ³ 2 a b ;
1 1 1 1 2
2
a+ ³b a b = a b suy ra
B =
1 1 2
( )( ) 2 4
a b a b
a b a b
+ + ³ =
Dấu “=” xảy ra khi
1 1
a b
a b a b
ì = ïï
ï Û =
íï =
ïïî Vậy
Min B = 4; đạt được khi a = b
*Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A =
xy yz xz
z + x + y với x, y, z là các số
dương và x + y + z = 1
Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
2 2
xy yz xy yz y
z + x ³ z x = (1)
Tương tự ta có: 2 2
yz xz yz xz z
x + y ³ x y = (2)
2 2
xz xy xz xy x
y + z ³ y z = (3)
Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A³ 2(x+ + =y z) 2
Vậy Min A = 1, đạt dược khi
1
1 3
x y z
x y z xy yz zx
z x y
ì + + = ïï
ïï Û = = =
íï = = ïïïî
*Ví dụ 5: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn
1 1 1
2
x+ =y Tìm GTNN của
(6)Giải: Do x > 0; y > 0 nên x; y xác định và
1 1
0; 0
x> y> , áp dụng BĐT
côsi đối với hai số dương 1 1
;
x y ta có
1 1 1 1 1
( )
2
x y £ x+y suy ra
1 1
4 4
xy
x y £ Þ ³
áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương x; y ta được A = x+ y³ 2 x y =2 4=4 Dấu “=” xảy ra khi
4
1 1 1
2
x y
x y x y
ìï =
ïïï Û = =
íï + =
ïïïî Vậy GTNN Min A = 4; đạt được khi x = y = 4. *Ví dụ 6: Cho x > 0; y > 0 và x + y = 2a (a > 0)
Tìm GTNN của C = 1 1
x+y.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có.
2
2
2 1 1
2 2
x y a
xy a xy a
xy a
+
£ = = Þ £ Þ ³
Nên C = 2
1 1 x y 2a 2
x y xy a a
+
+ = ³ =
Dấu
“=” xảy ra khi
2
x y a
x y a x y
ì + =
ïï Û = =
íï =
ïî Vậy Min C =
2
a,
đạt được khi x = y = a
2 Dạng toán tìm GTLN.
*Ví dụ 7: Tìm GTLN của biểu thức y = (x + 2)(3 – x) với - £ £2 x 3.
Giải: Do - £ £2 x 3 nên x+ ³2 0;3- x³ 0 áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: y = (x + 2)(3 – x)
2
2 3 25
2 4
x x
æ+ + - ÷ö ç
£ççè ÷÷ø =
Dấu “=” xảy ra khi 1
2 3
2
x+ = - xÛ x=
Vậy Max y = 25
4 ; đạt được khi 1 2
x=
*Ví dụ 8: Tìm GTLN của biểu thức D = (2x + 1)(2 – 3x) với
1 2
2 x 3
- £ £ Nhận xét Ta chưa thể áp dụng ngay BĐT côsi cho hai số 2x + 1 và 2 – 3x vì tổng của chúng chưa là hằng số, ta sẽ giải như sau
Giải: Ta có D = (2x + 1)(2 – 3x) =
1 2
2( ).3( )
2 3
x+ - x
, Do
1 2
2 x 3
- £ £
nên
1 2
0; 0
2 3
x+ ³ - x³
(7)D =
2
1 2
1 2 2 3 49
6( )( ) 6
2 3 2 24
x x
x x
æ ö÷
ç + + - ÷
ç ÷
ç ÷
ç
+ - £ ç ÷÷=
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
çè ø , dấu “=” xảy ra khi
1 2 1
2 3 12
x+ = - xÛ x=
Vậy Max D = 49
24; đạt được khi 1 12
x= 3 Dạng toán tìm GTLN và GTNN.
*Ví dụ 9: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = 5- x+ x- 1.
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là 1£ £x 5. Do A > 0, ta có
A2 = 5 – x + x – 1 + 2 (5- x x)( - 1) = 4 + 2 (5- x x)( - 1)
Mà 2 (5- x x)( - 1) ³ 0, nên A2 ³ 4Û A³ 2 dấu “=” xảy ra khi x = 5 hoặc
x = 1 Vậy Min A = 2, đạt được khi x = 5 hoặc x = 1 Mặt khác áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có
A2 = 4 + 2 (5- x x)( - 1) £ 4 + 5 – x + x – 1 = 8 suy ra A £ 2 2 Dấu “=”
xảy ra khi 5 – x = x – 1 hay x = 3 Vậy Max A = 2 2, đạt dược khi x = 3.
*Ví dụ 10: Cho x³ 0;y³ 0 và x+ £y 6 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
A = x2y(4 – x – y ) Giải.
a Tìm GTLN
+ Với 4< + £x y 6 thì A<0.
+ Với 0£ + £x y 4, áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có.
A =
4
4 2 2
4 (4 ) 4 4
2 2 4
x x
y x y
x x
y x y
æ ö÷
ç + + + - - ÷
ç ÷
ç ÷
ç
- - £ ç ÷÷=
ç ÷
ç ÷÷
çè ø Dấu “=” xảy ra khi
4 2
0 4
x
y x y
x y
ìïï = =
-ï Û
íï
ï £ + £ ïî
2 1
x y
ì = ïï íï =
ïî Vậy Max A = 4, đạt được khi 2 1
x y
ì = ïï íï = ïî b Tìm GTNN
+ Với 0£ + <x y 4 thì A > 0.
+Với 4£ + £x y 6 thì - A = x2y( x + y – 4) = 4 (2 2 4) x x
(8)- A
4
4 4
4 6
2 2
4 4 1 4 1 64
4 2 2
x x
y x y x y
æ ö÷
ç + + + + - ÷
ç ÷ æ+ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç
£ ççç ÷÷÷÷= ççè - ø÷÷£ èçç - ø÷÷= ÷
çè ø
Suy ra A³ - 64 Dấu “=” xảy ra khi
4 4
2
2 6
x
x y x y
y x y
ìï ì
ï = = + - ï =
ï Û ï
í í
ï ï =ïî
ï + = ïî
Vậy Min A = -64, đạt được khi 4 2
x y
ì = ïï íï = ïî
III Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị
1 Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 11: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: y = 2
1 2x
x
+
Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
y = 2
1 2x
x
+
= 2 3 2
1 1
3 3
x x x x
x x
+ + ³ =
Dấu “=” xảy ra khi
3 2
1
1 1
x x x
x
= Û = Û =
.Vậy Min y= 3, đạt được khi x =1 *Ví dụ 12: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức N =
3 2000
x x
+
Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
N =
2 2000 2 1000 1000 3 2 1000 1000
3 300
x x x
x x x x x
+ = + + ³ =
Dấu “=” xảy ra khi
2 1000 3 1000 10
x x x
x
= Û = Û =
Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10 *Ví dụ 13: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức E =
3 2
3
x x
+
(9)E =
3 3 3 3
3 5
2 2 2 2 2 2 2 5
3 1 1 1 1 1 1 5
5
2 2 2 2 4
x x x x
x
x x x x x x x
+ = + + + + ³ =
Dấu “=” xảy ra khi
3
5 5
2
1
2 2
2
x
x x
x
= Û = Û =
Vậy Min E = 5
5
4 , đạt được khi x=5 2
*Ví dụ 14: Cho a, b, x là những số dương Tìm GTNN của biểu thức P =
(x a x b)( )
x
+ +
Giải: Ta có P =
2
(x a x b)( ) x (a b x ab) ab
x a b
x x x
+ + = + + + = + + +
P =
2
2 ( )
ab ab
x a b x a b a b
x x
+ + + ³ + + = +
Dấu “=” xảy ra khi
ab
x x ab
x
= Û =
Vậy Min P = ( a+ b)2, đạt được khi x= ab
2 Biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 Tìm GTLN của biểu thức Q = x2y3.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có.
1 = x + y =
5
2 3 2 3 2 3
2 3
5 5
2 3
1 108
5 1 5
2 2 3 3 3 2 3 108 108 5 3125
x x y y y x y x y x y
x y
æö÷ ç
+ + + + ³ Þ ³ Û £ç ÷çè ø÷Þ £
Dấu “=” xảy ra khi
2 1
5 3 2 3
5
x y x
x y
y
ìï
ì + = ï =
ï ï
ï ï
ï Û ï
í í
ï = ï
ï ï =
ï ï
î ïïî
Vậy Max Q = 108
3125, đạt được khi 2
5 3 5
x y
ìïï = ïïï íï ï = ïïïî
*Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức y = x(1 – x)3 với 0£ £x 1. Giải: Do 0£ £x 1, nên 1 – x ³ 0 Ta có y =
3
1 1
(10)áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có
4 3
4
1 3 1 1 1 3
3 4 4
x x x x
y£ æçççè + - + - + - ÷ö÷÷ø =
Dấu “=” xảy ra khi 3x = 1 – x hay 1 4
x= Vậy Max y =
3 4
3
4 , đạt được khi 1 4
x=
*Ví dụ 17: Tìm GTLN của biểu thức y = x2(3 – x), với 0£ £x 3
Giải: Do 0£ £x 3, nên 3- x³ 0 ta có y =
3
3 2 2
4 (3 ) 4 4
2 2 3
x x
x x x
x
æ ö÷
ç + + - ÷
ç ÷
ç ÷
ç
- £ ç ÷÷=
ç ÷
ç ÷÷
çè ø
Dấu “=” xảy ra khi 2 3 2
x
x x
= - Û =
Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2 *Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức Z = x3(2 – x)5 với x³ 0
Giải:
+) Xét x > 2 thì 2 – x < 0 do đó Z < 0 +) Xét 0£ £x 2 thì 2- x³ 0
Ta có Z =
27 5 5 5
(2 )(2 )(2 )(2 )(2 ) 125 3 3 3
x x x
x x x x x
- - - -
- áp dụng BĐT côsi cho tám số không âm ta được
8
3 8 3 5
3 8 8
5 5 5
2 2 2 2 2
27 3 3 3 3 5 3 5
125 8 5 4 4
x x x
x x x x x
Z
æ ö÷
ç + + + - + - + - + - + - ÷
ç ÷
ç ÷
ç
£ ç ÷÷= =
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
çè ø
Dấu “=” xảy ra khi
5 3
2 5 6 3
3 4
x
x x x x
= - Û = - Û =
Vậy Max Z =
3 5 8
3 5
4 , đạt được khi
3 4
x=
3 Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực tri của bình phương biểu thức đó.
*Ví dụ 19: Tìm GTNN của biểu thức A = 3x- 5+ 7 3- x , với
5 7
3£ £x 3.
Giải: Do
5 7
3£ £x 3, nên 3x- ³5 0;7 3- x³ 0 Ta có
2
2
(3 5) (7 3 ) 2 (3 5)(7 3 ) 2 (3 5 7 3 ) 4
A x x x x
A x x
= - + - + -
-£ + - + - =
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x hay x = 2 Vậy Max A2 = 4 suy ra
(11)*Ví dụ 20: Cho x + y = 15 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
4 3
B= x- + y
-Giải: Điều kiện x³ 4;y³ 3 Ta có
2 4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2
B = -x + - +y x- y- = + x- y- ³ Þ B³ Dấu “=” xảy
ra khi
15
( 4)( 3) 0
x y
x y
ì + =
ïï Û
íï - - =
ïî x = 4; y =11 hoặc x =12; y = 3 Vậy Min B = 2 2,
đạt được khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3
Mặt khác ta có B2£ + - + -8 (x 4 y 3) 16= Þ B£ 4 Dấu “=” xảy ra khi
15 15 8
4 3 1 7
x y x y x
x y x y y
ì + = ì + = ì =
ï ï ï
ï Û ï Û ï
í í í
ï - = - ï - = ï =
ï ï ï
î î î Vậy Max B = 4, đạt được khi
8 7
x y
ì = ïï íï = ïî *Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A =
xy yz xz
z + x + y với x, y, z là các số
dương thỏa mãn x2+y2+z2=1
Giải: ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2( )
x y y z z x
A x y z
z x y
= + + + + +
Lại có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1
x y y z z x
z + x + y ³ ( chứng minh tương tự ví dụ 4)
3 1 2 3 3
A A
Þ ³ + = Þ ³ , dấu “=” xảy ra khi
2 2 2 1
3 3
x y z
x y z x y z
ìï + + =
ï Û = = =
íï = =
ïî .
Vậy Min A = 3, đạt được khi
3 3
x= = =y z
4 Thêm, bớt một hằng số.
*Ví dụ 22: Cho 0 < x < 2 Tìm GTNN của biểu thức P =
9 2
2
x x+x
- .
Giải: ta có 0 < x < 2 nên 2 – x > 0
P =
9 2 9 2 9 2 9 2
1 1 1 2 1 7
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x x x x x
-
-+ = + - + = + + ³ + =
- - - - .
Dấu “=” xảy ra khi
9 2 1
2 2
x x
x
x x
-= Û =
- Vậy Min P = 7, đạt được khi 1 2
x= Nhận xét Trong ví dụ trên ta đã bớt 1 và thêm 1 để xuất hiện hạng tử
2 x
x
có dạng nghịch đảo của 9 2
x x
(12)*Ví dụ 23: Cho 0 < x < 1 tìm GTNN của biểu thức Q =
3 4
1 x- +x.
Nhận xét Theo ví dụ trên ta cần làm xuất hiện các hạng tử có dạng 3 1
x x
-và
4(1 x)
x
để khi nhân vào ta được tích là một hằng số Vậy cần phải thêm và bớt bao nhiêu?
- Cách làm: Đặt
3 4 3 4 (1 )
1 1
ax b x
c
x x x x
-+ = + +
- - sau đó dùng phương pháp
đồng nhất hệ số, ta được a = b = 1; c = 7 vậy ta có thể giải như sau
Giải: Q =
3 4 3 4(1 ) 3 4(1 )
7 2 7 7 4 3
1 1 1
x x x x
x x x x x x
-
-+ = + + ³ + = +
- - - Dấu “=”
xảy ra khi 3 1
x x
- =
2
4(1 )
( 3 1)
x x x
- Û =
- Vậy Min Q = 7 4 3+ , đạt được khi
2
( 3 1)
x=
-*Ví dụ 24: Cho x > y > 0 và x.y = 1
Tìm GTNN của biểu thức A =
2 2
x y x y
+ - .
Giải: ta có
A =
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 ( ) 2 2
( )
x y x y x y xy x y
x y
x y x y x y x y x y
+ = + - + = + - + = - + = - +
- - - Do
x > y nên x – y > 0 áp dụng BĐT côsi ta có A³ 2 2, dấu “=” xảy ra khi
2
6 2
1 . 1
1 2
2
( ) 2 2 6 2
2
x y x y x
x y
x y x y x y
x y y
ìï +
ï
ì =
ï ì ï =
ï ìï = ï = ï
ïï Û ï Û ï Û ï
í í í í
ï - = ï - = ï - = ï
-ï - ïî ïî ï
ï ï =
ïî ïïî
Nhận xét Trong ví dụ trên ở tử thức ta đã thêm và bớt 2, và sử dụng giả thiết tích x.y = 1 để làm xuất hiện hằng đẳng thức (x – y )2 sau đó tách
biểu thức đã cho thành hai biểu thức có tích không đổi, từ đó có thể sử dụng BĐT côsi
*Ví dụ 25: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.B =
a b c
b c+ +a c+ +a b+
Giải: Thêm, bớt 3 vào biểu thức đã cho ta được.
( 1) ( 1) ( 1) 3
a b c a b c
(13)-1 1 1
(a b c)( ) 3
b c a c a b
= + + + +
-+ + +
[ ]
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 a b b c c a b c a c a b
= + + + + + + +
-+ + +
B
3 3
1 1 9 3
.3 ( )( )( ).3 3 3
2 a b b c c a (a b b c c a)( )( ) 2 2
³ + + + - = - =
+ + +
Vậy 3 2
B³
, dấu “=” xảy ra khi a = b = c Suy ra Min B =
3
2, đạt được khi a = b = c
5 Nhân, chia với cùng một số khác không.
*Ví dụ 26: Tìm GTLN của biểu thức M =
9 5
x x
-
Giải: ĐKXĐ x³ 9 Ta có M =
9.3 1 9 9 9
( 3)
9 3 2 3 3 1
5 5 5 10 30
x x x
x
x x x x
- - + - +
- = £ = =
Dấu “=” xảy ra khi 9
3 18
3
x
x
-= Û =
Vậy Max M = 1
30, đạt được khi x = 18
Nhận xét Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành 9
.3 3
x
-, khi vận dụng
BĐT côsi tích 9
.3 3
x
được làm “trội” thành nửa tổng
9 1
3
3 3
x
x
- + =
có dạng kx, có
thể rút gọn x ở mẫu, kết quả là một hằng số
*Ví dụ 27: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm GTLN của A= a b+ + b c+ + c a+
Nhận xét BĐT côsi cho phép ta làm “giảm” một tổng thành một tích, nhưng ở đây ta cần làm “trội” một tổng? Vì vậy ta coi mỗi hạng tử chẳng hạn a b+ như một tích (a b+ ).a để làm “trội” thành một tổng, vấn đề là tìm a như thế nào?( phần này sẽ giải thích trong phần V “kĩ thuật chọn điểm rơi trong BĐT côsi”) Với bài này ta sẽ giải như sau
(14)3 2 2 2
( ( ) ( ) ( ) )
2 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
( 1) 6
2 2 2 2 2
A a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
A a b c
= + + + + + = + + + + +
æ ö÷
ç + + + + + + ÷
ç ÷
ç ÷
ç
£ ç + + ÷÷= + + + =
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
çè ø
Dấu “=” xảy ra khi
1
1 2
3 3
a b c
a b c a b b c c a
ì + + = ïï
ï Û = = =
íï + = + = + =
ïïî Vậy max A = 6, đạt
được khi a = b = c = 1 3.
*Ví dụ 28: Tìm GTLN của biểu thức y= x2+ +1 2(x2- 2)+ 3(7- x2) và các giá trị tương ứng của x trong khoảng xác định
Nhận xét Ta vẫn cần làm “trội” một tổng vì vậy cần coi mỗi hạng tử như là một tích
Giải: ĐKXĐ - 7£ £ -x 2 và 2£ £x 7, ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2( 2) 3(7 )
1
( ( 1).6 2( 2).6 3(7 ).6) 6
1 1 6 2( 2) 6 3(7 ) 6
2 2 2
6
1 1 6 2 4 6 21 3 6 1
.18 3 6
2
6 6
y x x x
y x x x
x x x
y
x x x
y
= + + - +
-= + + - +
-é + + - + - + ù
ê ú
£ ê + + ú
ë û
+ + + - + + - +
£ = =
Dấu “=” xảy ra khi
2
2
2
1 6
2( 2) 6 5
3(7 ) 6
x
x x
x
ìï + = ïï
ï - = Û =±
íï
ïï - =
ïî Vậy Max y =3 6 ,
đạt được khi x = ± 5
6 Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho.
*Ví dụ 29: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2
Tìm GTNN của biểu thức P =
2 2 2
x y z
y+z+x+z+x+y .
Giải: áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương
2
x
y+z và 4 y+z
ta được
2 2
2 2
4 4 2
x y z x y z x
x
y z y z
+ +
+ ³ = =
(15)Tương tự
2 2
(2) (3)
; ;
4 4
y z x z x y
y z
z x x y
+ +
+ ³ + ³
+ + Cộng vế với vế các BĐT
(1),(2),(3) ta được
2 2 2
2
x y z x y z
x y z x y z x x y
æ ö÷ + +
ç + + ÷+ ³ + +
ç ÷
ç ÷
ç + + +
è ø
( ) 2 1
x y z P³ x+ + -y z + + =
Dấu “=” xảy ra khi
2 3
x= = =y z
Vậy Min P = 1, đạt được khi
2 3
x= = =y z
Nhận xét Trong cách giải trên ta đã thêm 4
y+z
vào hạng tử thứ nhất
2
x
y+z có
trong đề bài, để khi vận dụng BĐT côsi có thể khử được (y + z) Cũng tương tự như vậy đối với các hạng tử thứ hai và thứ ba Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời ở cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi
2 3
x= = =y z
7 Đặt ẩn phụ để biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa các hạng tử có tích không đổi.
*Ví dụ 30: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức. B =
a b c
b c+ +a c+ +a b+
Giải: Đặt
x b c y c a z a b
ì = + ïï
ïï = + íï
ï = +
ïïî Do đó x, y, z > 0 và
2 2 2
x y z a
x y z b
x y z c
ì - + +
ïï = ïï ïï
ï - +
ï = íï ïï
ï +
-ï = ïï ïî áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có
B = 2 2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
- + + - + +
-+ + = + +
+ + +
B =
3 1 1 1 3 1 1 1
.2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x z y z x y x z y z
y x z x z y y x z x z y
æ ö æ ö æ ö
- + ç + ÷+÷ ç + ÷+ ç + ÷³÷ - + + +
÷
ç ÷ çç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç è ø ç
è ø è ø
B
3 3
1 1 1
2 2
-³ + + + =
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay b +c = c + a = a + b hay
a = b = c
*Ví dụ 31: Cho a > 1; b > 1 Tìm GTNN của
2 2
1 1
a b
A
a b
= +
(16)-Giải: Đặt a – 1 = x > 0; b – 1 = y > 0 ta có.
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 1 2 1 1 1
( ) ( ) 4
1 1
1 1
2 2 4 8
a b x y x x y y
A x y
a b x y x y x y
A x y
x y
+ + + + + +
= + = + = + = + + + +
-
-³ + + =
Dấu “=” xảy ra khi
1
1 1 1
1
2
1 1 1
0; 0
x x
x a
y a b
y b
y
x y
ìïï = ïï
ïï ì = ì - =
ï ï ï
ï = Û ï Û ï Û = =
í í í
ï ïïî = ïïî - = ïï
ï > > ïï
ïïî
Vậy Min A = 8, khi a=b=2
IV Một số sai lầm thường gặp
kĩ thuật chọn “điểm rơi ” trong BĐT côsi
Bài 1: Cho x³ 3 Tìm GTNN của biểu thức
1
S x x
= +
*Sai lầm thường gặp
1 1
2 2
S x x
x x
= + ³ =
suy ra Min S = 2 *Nguyên nhân sai lầm Min S = 2
1 1
x x
Û = =
mâu thuẫn với x³ 3 *Phân tích tìm lời giải:
Xét bảng biến thiên các giá tri của x; 1/x và S để dự đoán Min S
x 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
x
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1 11
S 1
3 3
1 4
4
1 5
5
1 6
6
1 7
7
1 8
8
1 9
9
1 10
10
1 11
11 *Nhận xét Khi x càng tăng thì S càng lớn, dự đoán khi x = 3 thì S đạt GTNN Để tạo ấn tượng ta nói Min S =
10
3 , tại “điểm rơi” x = 3.
(17)x và 1
x vì
1 3
3 ¹
Lúc này ta giả sử sử dụng BĐT côsi cho cặp số 1 ;
x x a
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
çè ø sao
cho tại “điểm rơi” x = 3 thì 1
x x
a= tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây
3
3 1
3 9
1 1 3
3
x x
x
a a a
a
ìïï = ïïï
= Þ íï Þ = Þ =
ï =
ïïïî Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “điểm rơi”. *Lời giải đúng:
1 1 8 1 8 2 8.3 10
2
9 9 9 9 3 9 3
x x x x
S x
x x x
= + = + + ³ + ³ + =
Dấu “=” xảy ra
khi
1
3 9
3
x
x x x
ìïï =
ï Û =
íï ï =
ïî Vậy Min S = 10
3 , đạt được khi x = 3.
Bài 2: Cho x³ 2 Tìm GTNN của biểu thức 2
1
A x x
= +
*Sai lầm thứ nhất 2 2 3 2 3
1 1 1 3
3
2 2 2 2 4
x x x x
A x
x x x
= + = + + ³ =
suy ra Min A =
3 3
3
2 2 4 Û x= < .
*Sơ đồ “điểm rơi” 2
2
2 1
2 8
1 1 4
4
x x
x
a a a
a
ìïï = ïïï
= Þ íï Þ = Þ =
ï =
ïïïî *Sai lầm thứ hai
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 9
2 2
8 8 8 8 8 8 8.2 8 4
x x x x x
A x x
x x x x
= + = + + ³ + = + ³ + = Þ =
thì Min A =
9 4
*Nguyên nhân sai lầm Mặc dù đã biến đổi theo sơ đồ “điểm rơi” và đáp số Min A =
9
4 là đúng nhưng sai lầm ở chỗ đánh giá mẫu số “
2 2 2
2
4
8 8.2
x
x
³ Þ ³ =
” là sai
*Lời giải đúng 2 2 3 2
1 1 6 1 6 3 6.2 9
3
8 8 8 8 8 8 4 8 4
x x x x x x
A x
x x x
= + = + + + ³ + ³ + =
Vậy Min A =
9
(18)Bài 3: Cho x³ 6 Tìm GTNN của biểu thức
2 4
B x x
= +
*Lời giải sai
2 2 2
5
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 5
B x x x
x x x x x x x x x
= + = + + + + ³ =
; Min B =5
*Nguyên nhân sai lầm, Min B = 5 khi
2 1 2. 1 1 6
x x x x
x
= Û = Û = <
*Sơ đồ “điểm rơi”
2 36
36 4
6 9 6
4 4 6
6
x x
x
a a a
a
ìïï = ïïï
= Þ íï Û = Û =
ï =
ïï ïî
*Lời giải đúng
2 2
2 4 4 2(1 1 ) 2 . 4 2(1 1 )
9 6 9 6 9 6 9 6
x x
B x x x
x x x
= + = + + - ³ +
2 9 6 1 6 6 4(9 6 1) 4 6 4 6(9 6 1)
2.2 6 ( ) 2.2
3 6
9 6 9 6 9 6 6
x x
B³ + - ³ + - = +
8 6 36.6 4 6 108 2 6
6 3
B³ + - =
-Dấu “=” xảy ra khi
2
2
4
36 6 6
9 6
x
x x x
x
= Û = Û =
Vậy Min B =
108 2 6 3
khi x = 6
Bài 4 Cho
1 0
2
x
< £
Tìm GTNN của biểu thức 2
1 2
C x
x
= +
*Sai lầm thường gặp 2 2 3 2
1 1 1
2 3 3
C x x x x x
x x x
= + = + + ³ =
suy ra Min C = 3 *Nguyên nhân sai lầm: Min C = 3, đạt được khi x = 1 mâu thuẫn với giả thiết
*Lời giải đúng
*Sơ đồ “điểm rơi” 2
1
1 2 8
1 4
2
x x
x
a
a a
ìïï = ïïï
= Þ íï Þ =
ï =
(19)2 2 2 3 2 2
1 1 7 1 7 3 7.4
2 3 5
8 8 8 8 2 8
C x x x x x
x x x x x
= + = + + + ³ + ³ + =
Dấu “=” xảy ra khi
2
1
1 8
1 2
2
x
x x
x
ìïï =
ïïï Û =
íï ï =
ïïïî Vậy Min C = 5, đạt được khi x=12 V Bài tập áp dụng
Bài 1: a Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
2
2 6 5
2
x x
A
x
- +
=
b Cho x ³ 0 Tìm GTNN của biểu thức
2 2 17
2( 1)
x x
B
x
+ +
=
+
c Cho x ³ 0 Tìm GTNN của biểu thức
6 34
3
x x
C
x
- +
=
+ .
d Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
(x 4)(x 9)
A
x
+ +
=
Bài 2: a Cho x > y và x.y = 5 Tìm GTNN của
2 1, 2 2
x x y
Q
x y
+ +
=
- .
b Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn x+ + ³y z 12
c Tìm GTNN của biểu thức
x y z
P
y z x
= + +
Bài 3: a Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
2 1
1
E
x x
= +
- .
b Cho x > 1 Tìm GTLN của biểu thức
25 4
1
A x
x
= +
- . Bài 4: Cho x, y cùng dấu Tìm GTNN của
2 2 2
A x y xy
= + +
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức y= x2+ + +x 1 x2- x+1.
Bài 6: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của
2 2
a b E
x y
= +
(a, b là những số dương cho trước)
Bài 7: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
6 6
6 3
3 3
1 1
2
1 1
x x
x x
D
x x
x x
æ ö æ÷ ö÷
ç + ÷- ç + ÷
-ç ÷ ç ÷
ç ç
è ø è ø
=
æ ö æ÷ ö÷
ç + ÷+ç + ÷
ç ÷ ç ÷
ç ç
è ø è ø
(20)Tìm GTNN của
x y A
xyz
+ =
b Cho x, y, z, t > 0 và x + y + z + t = 2 Tìm GTNN của biểu thức
(x y z x)( y)
B
xyzt
+ + +
=
Bài 9: a Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm GTNN của biểu thức
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
a b c
A
a b c
+ + +
=
- - - .
b Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = k (k là hằng số)
Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1
k k k
Q
a b c
æ öæ÷ öæ÷ ö÷
ç ç ç
= +çèç øè÷÷çç+ ÷÷øèçç+ ÷÷ø
Bài 10: Tìm GTLN của biểu thức A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) Với x y z, , ³ 0 và x + y + z = 1.
Bài 11: Tìm GTLN của biểu thức
2
1 y
x B
x y
-= +
, với x³ 1;y³ 2. Bài 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a (a là hằng số) Tìm GTLN của biểu thức P = xy + yz + zx
Bài 13: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+ ³y 6. Tìm GTNN của biểu thức
6 8 3 2
P x y
x y
= + + +
Bài 14: Cho x > 0; y > 0 và x+ ³y 6 Tìm GTNN của biểu thức
12 16
5 3
P x y
x y
= + + +
C phần kết luận
1 Kết quả đạt được.
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được dạng toán có thể sử dụng BĐT côsi để giải, tư duy của các em đã trở lên nhanh nhẹn hơn, sáng tạo hơn các em có sự định hướng tốt và nhanh tìm ra lời giải, các em tự tin hơn khi gặp bài toán khó và hứng thú hơn khi học bộ môn toán
2 Bài học kinh nghiệm.
(21)hoặc giờ tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp, khó hình dung vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập và giao bài tập về nhà, kiển tra học sinh Sau khi hướng dẫn xong nội dung đề tài cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn kĩ năng làm bài tập cho học sinh Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận một cách thụ động mà đạt kết quả không như mong muốn
3 Phạm vi áp dụng của đề tài
- Chuyên đề “Rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số)”được áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 8,9 là thích hợp nhất
4 Kết luận.
Các bài tập về tìm cực trị thường là tương đối khó với học sinh, nhưng khi hướng dẫn xong chuyên đề này, học sinh sẽ thấy rằng việc giải toán tìm cực trị có thể trở lên đơn giản hơn, đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận, các em sẽ tự tin hơn
Trên đây là một vài biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị đại số cho học sinh trong quá trình giảng dạy và ôn thi học sinh giỏi Do kinh nghiệm của bản thân chưa có nhiều nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự giúp đỡ của lãnh đạo nhà trường, của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề này ngày càng được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn./
Hải Đông ngày 03 tháng 04 năm 2009.
Người viết chuyên đề