Đang tải... (xem toàn văn)
Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn:
- Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) M ( M số) (1)
- Tồn xo,yo cho:
f( xo,yo ) = M (2)
b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn :
- Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) m ( m số) (1’)
- Tồn xo,yo cho:
f( xo,yo ) = m (2’)
2/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A chưa
thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2
A = ⇔ x -2 = ⇔ x = Vậy minA = khi x =
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN P a
Tìm GTLN P a ¿¿ ¿
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + ba x ) + c = a( x + 2 ab )2 + c -
2
2
4 b
a
Đặt c - b2
4 a =k Do ( x + b
(2)- Nếu a a( x + 2 ab )2 0 , P k MinP = k x = - b 2 a
-Nếu a ¿¿
¿ a( x +
b
2 a )2 P k MaxP = k x =
-b 2 a
2/ Đa thức bậc cao hai:
Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36
minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x
1 = 1, x2 =
3/ Biểu thức phân thức :
a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN A =
6 x −5 − x2
Giải : A =
6 x −5 − x2 =
−2
9 x2−6 x +5 =
3 x −1¿2+4
¿
−2
¿
Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) 2 +4 (3x 1) 4
1
4 theo tính chất a
b 1a 1b với a, b dấu) Do
3 x −1¿2+4
¿
−2
¿
− 24 ⇒ A - 12
minA = - 12 ⇔ 3x – = ⇔ x = 13
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN BT :
1 A
x 4x
(HD giải:
2
1 1
A max A= x
x 4x x 2 5 5
.)
2 Tìm GTLN BT :
1 A
x 6x 17
(3)(HD Giải: 2
1 1
A max A= x
x 6x 17 x 8
)
3 (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 A
2 x 2x
b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN A = 3 x
− x+6 x2−2 x+1
Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
2
2 4
2
x x x x
x x
= +
x − 2¿2 ¿ x − 1¿2
¿ ¿ ¿
minA = chi x =
Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có :
A =
2 2
2 2
3( 1) 8( 1) 6 8 2 2
1 1
y y y y y y y
y y y y
y y
= -
2 y +
1
y2 = (
y -1)2 +
2
minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x =
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt:
2
2
1 P
1 x x x
2, (36/210) Tìm GTNN bt :
2
2 2006
B x x
x
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt:
2
2
C
5 x
x x
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a,
2
2 D
2
x x
x x
b,
2
2
2 E
2
x x
x x
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = 3 − x
x2+1
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số :
A = x
−4 x+4 − x2−1 x2+1 =
x − 2¿2 ¿ ¿ ¿
(4)Min A= -1 x =
Tìm GTLN A = 4 x2+4 − x2− x −1
x2+1 = -
2 x +1¿2 ¿ ¿ ¿
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: a, A 2 x x
b,
2
3
B
2 x x
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a,
2 4 4
C x x
x
Với x > 0; b,
5
3
2 D x
x
Với x >
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: a,
3
2 E x
x
với x > 0; b,
2
1 Fx
x Với x > 0
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: 2 17
2
x x
Q
x
Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:
6 34 R
3
x x
x
Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:
3 2000
S x x
Với x >
III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đến ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A
x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = (1)
Mà (x – y)2 Hay: x2 - 2xy + y2 (2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ⇒ x2 + y2
minA = 12 x = y = 12
Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 +
1
(5)minA = 12 x = y = 12
Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến
Đặt x = 12 + a y = 12 - a Biểu thị x2 + y2 ta :
x2 + y 2 = (
2 + a)2 + (
2 - a)2 =
2 +2 a2
2 => MinA =
2 ⇔ a = ⇔
x=y = 12
Bài tập : Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b2014
Cách Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b 1 2011
2
= a 2a 1 b 2b 1 ab a b 1 2011
2
= a 1 b1 a b1 b1 2011
2 2
= a 1 b1 a1 b1 2011
2
2 1
a 2011
2 4
b b b
a
2
2 3 1
1
= a + 2011
2
b
b
Min A = 2011
1
a
1
1 b
a b b
Cách 2:
2 2 2
2
2A 3 2014 = a 2 a 2.2 4022
= a 1 4022
a ab b a b a b b ab b a b
b a b
Min 2A = 4022
a
1
2
b a b
a b
=> Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài CMR : Min P = Với P = a2ab b 2 3a 3b3
Bài CMR: khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT: x24y2z2 2x8y 6z15 0 Hướng dẫn Ta có: VTx2 2x 1 4y28y 4 z2 6z 9 1= x-1 22y22z 32 1 Bài 3: Có hay khơng số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau:
1)x24y2z24x4y8z22 0
(6)Hướng dẫn Ta có:
2 2
2 2
1) VT 4 4 16
= x+2 1
x x y y z z
y z
2 2
2 2
2) VT = x 12 12 1986 = 3 1986 1986
x y y z z
x y z
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m2 4mp5p210m 22p28 Hướng dẫn Ta có:
2 2
2
2
A = 4 10 20 27
= 2.5 25
= 2
m mp p p p m p
m p m p p
m p p
Bài 5: CMR: Max B = Với Ba2 5b2 2a4ab10b Hướng dẫn Ta có:
2 2
Ba 4ab 4b b 6b 2 a4b 1
2 2
= - 4 9 2 1
a ab b b b a b
2 2
= - 2 1
a b a b b
2
= - 1 4
a b b
Bài 6: Tìm GTNN
a) A=a25b2 4ab 2b5 ( Gợi ý
2
A = a - 2b b1 4 )
b) B = x2y2 xy 3x 3y2029 ( Gợi ý B = x-y 2 y 32x 322011 )
c) Cx24y29z2 4x12y 24z30 ( Gợi ý C = x+2 22y323z421 )
d) D= 20x218y2 24xy 4x12y2016 ( Gợi ý D= 4x-3y 22x123y 22011 )
Bài 7: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : a2b2c2d2 a b c d (*)
Ta có :
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
0
4
4 4 4
2 2
a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad
a b c d ab ac ad
a ab b a ac c a ad d a
a b a c a d a
(7)Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a2 b2c2d2e2 a b c d e
Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a2b2 1 ab a b
Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a24b24ab 4a4b 4
Bài 4: Tìm số x, y, z thỏa mãn : x24y2z2 2x 8y6z14
Bài 5: Tìm số m, p, thỏa mãn : m2 5p2 4mp10m22p25 IV Các ý giải toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2
ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒
x=2
2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn ⇔ A nhỏ
1
B lớn ⇔ B nhỏ với B >
Ví dụ : Tìm GTLN
4
2
1 ( 1)
x A
x
(Chú ý A> nên A lớn
A nhỏ
ngược lại)
Ta có :
1 A =
2 2
4 4
( 1) 2
1
1 1
x x x x
x x x
.Vậy
1
A
min
1
A = x = Do maxA =1 x = 0
3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c
c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > an > bn
Bất đẳng thức Cô si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+
(8)Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4 ⇒
2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 ⇔
2 3
x y x y
Thay y =
3
x
vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4
Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y =
3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau
- Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số
- Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y)
Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y =
Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y =
==================================================== MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức :
1 A =
x y
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm
,
x y ta có:
1 4
x y xy (1)
Lại có:
1
2
x y xy
(9)Từ (1) (2) suy :
1 4
A =
1 x
2 y xy
Vậy Min A =
Phân tích sai lầm:
Đẳng thức sảy (1)
1 4 x y xy
Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL khơng có giá trị nhỏ KL sai
Giải đúng: Vì x + y = nên
1 4
A = x+y
x
x y
y y x
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm
4 , x y
y x Ta có :
4
2
x y x y
y x y x
Dấu “=” xẩy
1
2 3
1
1
3
x y y x x
y x
x y
y x y
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu khơng Có hướng giải tốn đúng.
2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán:
VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT :
2
1
A = x+
x y y
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x,
x Ta có:
1
x+ x x x (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm
1 y,
y Ta có:
1
y+ y
y y (2)
Từ (1) (2) =>A => Min A =
Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1)
2
1
1 x x x
Đẳng thức sảy (2)
2
1
1
(10)Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức si cho hai số dương ta có :
x + y 1
2 xy xy 2 xy4
Ta có :
2
2 1
A = + x +y +
x y
Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy - 2=
1 2 (1)
2 2
1 1
2
x y x y xy (2) Từ (1) (2) =>A + 2+4 =
25
2 =>Min A = 25
2 x=y =
Lưu ý: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải toán đúng.
3,
Sai lầm chứng minh điều kiện :
VD1: Tìm GTLN bt:
1 A =
6 17 x x
Lời giải sai: A đạt Max x2 6x17 đạt Min Ta có :
2
2 6 17 3 8 8
x x x
Do Min x2 6x17 8 x3 Vậy Max A =
1
8 x3
Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên
đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x2 6x17x 32 8 8nên tử mẫu A dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN
2 2
2
x y xy
x y x y
Khi MinA =
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y)
g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m hắng số
Chẳng hạn: Từ x2 4x – => x2 đạt nhỏ x2 = 4x – (x – )2 = x =2
Đi đến x2 = x = Dễ thấy kết phải Min x2 = x =0
Lời giải đúng: Ta có x + y =4
2
x + y =16 (1)
(11)Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải tốn đúng.
4, Sai lầm chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN bt: A = x + x
Lời giải sai : x + x =
2
2 1 1 1
x +2 x x
2 4 4
Vậy: Min A =
1
P/tích sai lầm: sau c/m f(x)
1
chưa trường hợp xảy f(x)=
1
1 x
(vơ lí )
Lời giải đúng: ĐKTT x x 0 : A = x + x 0 => Min A = x0
VD2: Tìm GTLN A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z số không âm x +y+ z =1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xyx y 2 ta có :
2
2
2
4x z+y x+y+z
4y z+x x+y+z
4z x+y x+y+z
=>
1 64xyx z+y y+z z+x =>xyx z+y y+z z+x
64
Vậy Max A =
1 64
Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=”
ĐK để Max A =
1 64là :
z+y = x
y+x = z
x+z = y x + z + y = x + z + y = x, y, z x, y, z
x y z
( vơ lí )
Lời giải đúng: Ta có : = x +y+ z x.y.z (1)
3
2 = x +y + z+x + y+ z x +y z+x y+ z
(2)
Từ (1) (2) => 3 x y z x +y z+x y+ z hay:
3
3
2 A A
Max A =
2
x +y = z+x = y+ z
1
3 , ,
x y z x y z
x y z
VD3: Tìm giá trị nhỏ :
(x a)(x b) A
x
(12)Lời giải sai: Ta có:
2 ax
2 ax.2 bx ab bx
x a
x a x b x
x b
Do đó:
(x a)(x b) 4x ab
A ab
x x
vậy Min A = ab x a b
Phân tích sai lầm: Nếu a b khơng có: A = ab
Lời giải : Ta có
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
.
Theo bất đẳng thức Cauchy :
ab
x ab
x
nên A ≥ ab + a + b =
a b
min A =
a b
chi
ab
x x ab
x x
.
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk
1 1
x y Tìm GTNN bt: A = x y
Do x > 0, y > nên
1
0, y
x áp dụng bất đẳng thức côsi cho số
1 , x y
ta có:
1 1 1 2 x y x y
Hay
1
4 xy => xy 4
Mặt khác ta có: x > 0, y > => x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
2 4
x y xy
Vậy: Min A = :
4 1
2 x y
x y x y
VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A x2 x 1 x2 x
Ta có:
2
2 3
x x x x R
2 4
2
2 3
x x x x R
2 4
(13)Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 x 1, x 2 x ta có :
2 2 4
x x 1 x x x x x x x x 1
Max A =
4
2
x x 1
x
x x x x
VD3 Tìm giá trị nhỏ :
x y z
A
y z x
với x, y, z >
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương:
3
x y z x y z
A
y z x y z x
Do
x y z x y z
min x y z
y z x y z x
Cách : Ta có :
x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
2
yx (do x, y > 0) nên để
chứng minh
x y z
3
y z x ta cần chứng minh :
y z y
1
z x x (1)
(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2)
(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm
giá trị nhỏ
x y z
y z x.
VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x) (2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A A ≤
3
2
max A =
3
2
x = y = z =
(14)VD 5: Tìm GTNN
xy yz zx
A
z x y
với x, y, z > , x + y + z =
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz xy yz
2 2y
z x z x .
Tương tự :
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = với x = y = z =
1 3.
VD 6: Tìm GTNN 2
1
A 4xy
x y xy
với : x > 0, y > 0, x + y < 1
Ta có:
2
4
2 1 1 1 1 1 4
2
1 1
2 x y
xy x y xy
x y xy
x y xy x y x y
x y xy
Ta có: 2 2
1 1
A 4xy 4xy
x y xy x y 2xy 4xy 4xy
=>
2 2
2
4 5 11
A 4xy 11
x 2xy y 4xy x y x y x y x y
VD 7: : Cho
1 x
, Tìm GTLN A = 2x25x2 + x+3 - 2x
Giải : Ta có : A = 2x25x2 + x+3 - 2x = 2x 1 x2 + x+3 - 2x Với
1 x
ta có:
2x x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2 Ta có:
2x x+2
2x x+2
Hay :
3x
2x x+2
Dấu “ = ” xảy 2x x+2 x=1
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3, Ta có:
x
4 3
2 x x
Hay : x
2
2 x
Dấu “ = ” xảy x 4 x=1
Do đó:
x A
2
3x
- 2x = Dấu “ = ” xảy x=1
VD 8: : Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của:
1 S =
(15)Ta có: S =
1 x + y + z
x y z
=
4 9
1+4+9+ y x z y x z
x y y z z x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương , y x
x y ta có :
4
2
y x y x
x y x y
Tương tự ta có :
4 9
2 12
z y z y
y z y z ;
9
2
x z x z
z x z x
S + + + + 12 + =36
Dấu “=” sảy :
2 2 2 4 3
4
3 1 1 y x
x y y x y
y x z y
z y
z x x
y z
x z x y z
x z
x y z z
z x x y z
Vậy Min S = 36
1 1
, ,
3
y x z
Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề bài Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cơ-si tìm cực trị nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn A 3x 5 3 x, ĐKXĐ :
3 5
7 3
x x x
Bình phương hai vế ta có : A2 = + 2 3 x 3 x
Với
5
3 x 3 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x 5 7 3x ta có:
3x 5 3 x2 3 x 3 x
hay 2 3 x 3 x
A2 =>A Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x =
VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x22x 8 -x2 x 2 (*)
ĐKXĐ :
2
2
2
-x
1
1
1
-x
x x x x x x x x x
(16)Từ (*) =>
2 2 2
A = -x 2x 8 -x x -x 2x8 -x x
= -2x23x10 2 x2 4 x x 1 2 x
= 2 x x 2 x1 4 x 2 2 x x 2 x1 4 x
2 2
2
= 4 x 2 x x2 x1 4 x x1 4 x 2
2
4 x x x 2
A = 4 x2 x1 4 x x0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y 1 x 1x
Bài 2: Tìm GTLN hàm số : y x 2 4 x
Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A x 5 23 x
Bài 4: Tìm GTLN hàm số : A 2x 3 23 2 x
Bài 5: Tìm GTLN hàm số : A 5x 7 17 5 x
Bài 6: Tìm GTLN hàm số : A 3x 2 20 3 x
Bài 7:Tìm GTLN : A x 1 y 2 biết x + y =
Bài Tìm GTNN : A = -x24x21 -x23x10
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN :
x y z
A =
y z x với x, y, z dương x + y + z 12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN : A x 4 y 3 biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác không.
VD Tìm giá trị lớn biểu thức:
x - A =
5x
Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có:
x - A =
5x =
1 x -
x - 3
.3 1
2
3
5x 5 30
x
x x
Dấu “=” xảy x -
3
18
9
x x
(17)BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức:
7x - A =
7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức:
3
3
x - B =
27x
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số:
1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau
VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức:
4
3
3x 16 A =
x
Giải : Ta có
4
3 3
3x 16 16 16
A = 3x x x x
x x x
Áp dụng BĐT Cơ-si Ta có :
4
3
16 16
A = x+x+x+ 4.2 x x x x x
Vậy Min A =
16
2
x x
x
VD2: Tìm Max Min A = x y( - x - y ) với x y , x + y 6
Xét 0 x y4 Ta có :
4
x
+y+ - x - y
x 2 2
A = .y( - x - y ) 4
2
x
x
Dấu “=” xẩy x
= y = - x - y y = ; x =2
2
Xét 4 x y6
Rễ thấy: – x - y2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y =
=> A = x y( - x - y ) đạt GTNN x2y đạtGTLN
Ta có :
3
2
2 x+y x+x+2y
3 x.x.2y
x y =
2 2
=32 hay x2y 32 (2)
Từ (1) (2) => x y( - x - y ) 2 -64 Dấu ‘=’ xảy
6
2
x y x
x y y
(18)Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A =
x
x
2 .(3 – x) Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số không âm
x ,
x
2 , (3 – x) ta :
x 2.
x
2.(3 – x) ≤
3
x x x
2 1
3
.
Do A ≤ (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > , y > x + y Tìm GTNN
12 16 P 5x 3y
x y
Bài 2( 70/28) Cho x > , Tìm GTNN
3 2000
N x x
Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN
2 2 17
Q
2( 1)
x x
x
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN
6 34 M
3
x x
x
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y x.y =5 , Tìm GTNN
2 1, 2
Q x xy y
x y
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 x > , Tìm GTLN B x y
2) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến
cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho.
VD1: Cho < x < , Tìm GTNN
9
B
x x x
Ta có :
9
B 1
2
x x x x
x x x x
Min B=
9
2
x x
x
x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyến )
Bài 1( 74/ 29) Cho < x <1, Tìm GTLN
3 B
1 x x
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN
25 A
1 x
x
(19)Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN biểu thức:
2
2x A =
2x x
Bài 4: Tìm GTNN biểu thức:
x - B =
x
Bài 5: Tìm GTNN biểu thức:
2
x A =
x x
(Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH)
Bài 6: Tìm GTNN biểu thức:
1 A =
x+1 x
( với x > -1 )
Bài 7: Tìm GTNN biểu thức:
2 B =
x-1 x
( với x > )
Bài 8: Tìm GTNN biểu thức:
5 C =
2x-1 x
( với x > 2 )
Bài 9: Tìm GTNN biểu thức:
5 D =
1 - x x
x
( với < x < )
Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho:
VD1 : Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTNN biểu thức:
2 2
P x y z
y z z x y x
Ta có :
2
x
y z + 4 y z
2
2
4
x y z x
x y z y
x z + x z
2
4
y x z y
y x z z
y x + 4 y x
2
2
4
z y x z
z y x =>
2 2
4 4
x y z y z x z y x
x y z y z z x y x
Hay:
2 2
2
x y z x y z
x y z y z z x y x
=>
2 2
P
2
x y z x y z x y z
x y z y z z x y x
(20)Vậy Min P =
2
2
2
4
2
4
4
x y z
y z
y x z
x y z x z
z y x
y x
Lưu ý: Nếu ta thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào
2 2
z x y
, ,
y+x y+z z+x ta khử
(x + y), ( z + y), ( x + z) không tìm x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy đồng thời Khi khơng tìm giá trị nhỏ
VD2 : Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn
a b
1
x y (a b số dương).
Giải Cách : A = x + y = 1.(x + y) =
a b ay bx
x y a b
x y x y
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương :
ay bx ay bx
2 ab
x y x y .
Do
2
A a b ab a b
2
min A a b
với
ay bx
x y
x a ab
a b
1
x y y b ab
x, y
Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
.
Từ tìm giá trị nhỏ A
VD3 Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > , xy yz zx 1 .
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:
2 2
x y z x y z
x y y z z x
(21)x y y z z x
xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx
2 2
xy yz zx
x+y+z
hay
2 2
min A =
1 2
1 x y z
3
VẬN DỤNG BDT A B A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y x22x 1 x2 2x1
Cách 1: y x22x 1 x2 2x 1 x x
Nếu: x < -1 y x x1 x 1 x 1 2x2
Nếu: -1 x 1 y x x1 x x 1
Nếu: x > y x x1 x x 2 x2
Vậy y nhỏ -1 x 1
Cách : áp dụng BĐT a b a b ( Dấu “=” sảy a.b 0)
Ta có : y x 1 x x 1 x 2
Vậy y nhỏ -1 x 1
Bài 2: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có :
A = x(4 -2x ) = –
2
2 2 2
x x
=
2
2 x 2
=> Max A =
1 2
2
2
x x
y x xy
Cách 2: Ta có : A =
1
2 x xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số
2x, xy ta có:
2
2
2
2
2
2
2 4.2
x xy
x xy x xy
x xy x xy x y
Thay số ta có : 2 x y =A
Vậy Max A =2
2
2
x xy x
x xy y
(22)BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y 4x2 4x 1 4x212x9 b, y x24x 4 x2 6x9
Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,y 25x2 20x 4 25x2 30x9