1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chuyên đề cực trị của hàm số ôn thi đại học cực hay

5 628 2

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 290,82 KB

Nội dung

Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC.. Gọi I0;b là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Trang 1

Một số dạng toán liên quan đến vấn đề cực trị

***

Một số kiến thức cần nhớ:

-Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm x0, có đạo hàm trên (a;b) \ {x0}, và có đạo hàm khác 0 tại x0, khi đó:

- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua x0 thì f(x) đạt cực trị tại x0

- Nếu f" (x0)  0thì f(x) đạt cực tiểu tại x0,nếu f" (x0)  0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

*Cực trị của hàm bậc 3: yax3bx2cxd TXD:DR

- Hàm số có tối đa 2 điểm cực trị

- Nếu viết yax3bx2cxd (mxn).y'pxqvà hàm số có 2 điểm cực trị phân biệt thì ypxqlà phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó

Ví dụ 1: Tìm tham số m để hàm số yx3 (m 1 )x2  4có 2 điểm cực trị phân biệt đối

xứng với nhau qua đường thẳng (d): x - 2y -3=0

4 27

) 1 ( 4 3

) 1 ( 2

4 0

0 ' )

1 (

2

3

m y

m x

y x

y x m

x

y





27

) 1 ( 4

; 3

) 1 ( 2 );

4

;

0

(

3

m m

B



27

) 1 ( 2

; 3

m

I là trung điểm AB





   

27

) 1 ( 4

; 3

) 1

(

B

A

đường thẳng d có VTCP: u  ( 2 ; 1 )

Vì A,B đối xứng với nhau qua d nên AB vuông góc với d và I thuộc d

Ví dụ 2: Cho hàm số yx3  mx2  m2  xm3 m

) 1 ( 3

3 Tìm tham số m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ gấp 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ?

m

x

y

m x

m x m

x m x m

mx

x

y

6

6

"

1

1 0

) 1 )(

1 (

3 0 ) 1 ( 3 6

3

Dễ thấy: A(m-1;2-2m) là điểm cực đại, B(m+1;-2m-2) là điểm cực tiểu

2 0

3 4 27

) 1 ( 2 2 3 1

0 27

) 1 ( 4 3

) 1 ( 4

1 0

.

3

3





 

m m

m

m m

m

d I

u B A

B A

Trang 2

  

2 / 1

2 )

2 2 ( ) 1 ( 9 ) 2 2 ( ) 1 ( 9

m

m m

m m

m OA

OB OA

OB

*Cực trị của hàm số trùng phương:yax4 bx2c TXD:DR

Nhận xét: y'4ax32bx2x(2ax2b)

- Nếu 0

a

b

thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân

có đỉnh nằm trên trục Oy

-Nếu 0

a

b

thì hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất A(0;c)

Ví dụ 1: (TSDH Khối A-2012) Cho hàm số:

Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông?

1

0 0

) 1 (

4 ) 1 ( 4 4 '

2 2

3

m x

x m

x x x m x

y

Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì: m>-1 Các điểm cực trị của hàm số là:

)

;

0

A

C

B

C B

y

y

x

x

nên B,C đối xứng nhau qua Oy, mà A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại

A Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC

1 2

; 1 1

2

;

m

Suy ra:  (m 1 ) m2 2m 12 0  (m 1 )4 m 1 So điều kiện suy ra m=0

Ví dụ 2: Cho hàm số yx4 2mx2m 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam giác có:

A) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

B) Có diện tích bằng 1

Giải

m x

x m

x x mx x

y

2 2

0 ) (

4 4

4

'

Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì m>0 Tọa độ 3 điểm cực trị là:

 m; m2m 1 B( 0 ;m 1 ) Cm; m2m 1

A

Dễ thấy tam giác ABC cân tại B

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường trung trực của cạnh AC, tức

là nằm trên trục Oy Gọi I(0;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=IB=IA=IC=1 nên:

2 2 4

) 1 (

x

Trang 3



1 1

1 1

1 1

1 ) 1 (

1 1

2 2

2

2 2

2

b m

b m

b m

m m

b m

b m

m m

-Với m-1-b=1thì:

2 / 5 1 1

0 0

) 1 )(

1 ( 1 )

1

m m

m m

m m m m

m

So điều kiện ta nhận

2

5 1

;

m m -Với m-1-b=-1 thì:

0 0

) 1 2 ( 1 )

1

m (loại.Vì không thỏa điều kiện m>0)

Tóm lại, giá trị của m cần tìm là:

2

5 1

;

1   

m

B) *Cách 1: gọi H là trung điểm AC

2 2

1

2

-Khi m 1 thì phương trình tương đương với: m2 m  1 m 1 (nhận)

- Khi 0 m 1thì phương trình tương đương với: (m2 2m 2 ) m  1 (*)

Đặt tm với t>0 Phương trình (*) trở thành: t5 2t3 2t 1  0 (**)

Xét hàm số: yf(t) t5 2t3 2t 1 TXD:D ( 0 ;  )

D t t

t

y'  5 4 6 2 2  0   Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( 0 ;  )

-Nếu t>1 thì f(t)>f(1)=0

-Nếu t<1 thì f(t)<f(1)=0

Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất: t=1 Suy ra m=1 (loại)

Vậy m=1

*Cách 2: Áp dụng tính chất:

Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, giả sử B A (x1;y1) B C (x2;y2)thì diện tích của tam giác ABC được tính bởi công thức:

1 2 2

1 2

1

y x y x

SABC  

Trang 4

1 1

1 2

2 1

)

; ( )

; (

2 2

2 2

S

m m BC

m m BA

ABC

*Cực trị của hàm phân thức:

p

q R D TXD x

h

x g q

px

c bx ax

) (

) (

2

Nếu điểm x0 là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách:

) ( '

) ( ' ) (

) ( ) (

0 0

0

0 0

x h

x g x h

x g x

Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là:

) ( '

) ( ' 2

x h

x g p

b ax

Ví dụ 1: Cho hàm số:

1

5 2 )

(

2

x

mx x

x f

y Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm

về 2 phía của đường thẳng y=2x

2 2

) 1 (

5 2 2

'

x

m x

x

Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình x2  2x 2m 5  0 có 2 nghiệm thực phân biệt:  '   2m 4  0 m  2

Đường thẳng qua 2 cực trị: y  2x 2m

Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số Khi đó theo định lí Viet ta có: a+b=2 và a.b=2m+5

Theo đề ta có:

0 )

( 2 4

0 ) 2 )(

2

(

0 2 2 2 2 2 2

0 2

2

2 

m b a m ab

m b m a

m b b m a a

y x y

Suy ra: 4 ( 2m 5 )  4mm2 0 m2 4m 20  0 vô lí

Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hàm số yx3 3x2 2có đồ thị (C), qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm A,B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại

M, trong đó M là điểm cực đại của đồ thị hàm số

ĐS: các đường thẳng qua I lần lượt có các hệ số góc là

2

5 1 2

k k

Bài 2: Cho hàm số yx3 3x2 2có đồ thị (C),tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn: (xm)2 (ym 1 )2  5?

Trang 5

DS: m=2, m=-4/3

Bài 3: Cho hàm số yx3 3x2  2có đồ thị (C),tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cực trị đạt GTNN?

DS: M(4/5;2/5)

Ngày đăng: 07/01/2015, 20:32

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w