Chuyên đề cực trị của hàm số ôn thi đại học cực hay

Một số dạng toán liên quan đến vấn đề cực trị *** Một số kiến thức cần nhớ: -Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm 0 x , có đạo hàm trên }{\);( 0 xba , và có đạo hàm khác 0 tại 0 x , khi đó: - Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua 0 x thì f(x) đạt cực trị tại 0 x . - Nếu 0)(" 0 xf thì f(x) đạt cực tiểu tại 0 x ,nếu 0)(" 0 xf thì f(x) đạt cực đại tại 0 x . *Cực trị của hàm bậc 3: RDTXDdcxbxaxy  : 23 - Hàm số có tối đa 2 điểm cực trị. - Nếu viết qpxynmxdcxbxaxy  ').( 23 và hàm số có 2 điểm cực trị phân biệt thì qpxy  là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó. Ví dụ 1: Tìm tham số m để hàm số 4)1( 23  xmxy có 2 điểm cực trị phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): x - 2y -3=0.            4 27 )1(4 3 )1(2 40 0')1(23' 3 2 m y m x yx yxmxy            4 27 )1(4 ; 3 )1(2 );4;0( 3 mm BA ,gọi            4 27 )1(2 ; 3 1 3 mm I là trung điểm AB.             27 )1(4 ; 3 )1(2 3 mm BA  đường thẳng d có VTCP: )1;2(u  Vì A,B đối xứng với nhau qua d nên AB vuông góc với d và I thuộc d. Ví dụ 2: Cho hàm số mmxmmxxy  3223 )1(33 . Tìm tham số m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ gấp 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ? mxy mx mx mxmxmmxxy 66" 1 1 0)1)(1(30)1(363' 22        Dễ thấy: A(m-1;2-2m) là điểm cực đại, B(m+1;-2m-2) là điểm cực tiểu. 2 034 27 )1(2 2 3 1 0 27 )1(4 3 )1(4 1 0. 3 3                                       m mm mm m dI uBA BA           2/1 2 )22()1(9)22()1(93 222222 m m mmmmOAOBOAOB *Cực trị của hàm số trùng phương: RDTXDcbxaxy  : 24 Nhận xét: )2(224' 23 baxxbxaxy  - Nếu 0 2  a b thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân có đỉnh nằm trên trục Oy -Nếu 0 2  a b thì hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất A(0;c) Ví dụ 1: (TSDH Khối A-2012) Cho hàm số: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông?       1 0 0)1(4)1(44' 2 23 mx x mxxxmxy Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì: m>-1. Các điểm cực trị của hàm số là:     12;112;1);0( 2  mmCmmBmA Vì      CB CB yy xx nên B,C đối xứng nhau qua Oy, mà A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A. Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC.     22 12;112;1 mmmACmmmAB  Suy ra:   1)1(012)1( 4 2 2  mmmmm . So điều kiện suy ra m=0 Ví dụ 2: Cho hàm số 12 24  mmxxy , tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam giác có: A) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. B) Có diện tích bằng 1. Giải A)       mx x mxxmxxy 2 23 0 0)(444' Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì m>0. Tọa độ 3 điểm cực trị là:     1;)1;0(1; 22  mmmCmBmmmA Dễ thấy tam giác ABC cân tại B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường trung trực của cạnh AC, tức là nằm trên trục Oy. Gọi I(0;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=IB=IA=IC=1 nên: 224 )1(2 mxmxy                           11 11 11 1)1( 11 2 2 2 2 2 2 bm bm bmmm bm bmmm -Với m-1-b=1thì:            2/51 1 0 0)1)(1(1)1( 222 m m m mmmmmm So điều kiện ta nhận 2 51 ;1   mm -Với m-1-b=-1 thì: 00)12(1)1( 322  mmmmmm (loại.Vì không thỏa điều kiện m>0) Tóm lại, giá trị của m cần tìm là: 2 51 ;1   mm B) *Cách 1: gọi H là trung điểm AC.       11111.2. 2 1 . 2 1 22   mmmmmmmmyyxBHACS CBCABC -Khi 1m thì phương trình tương đương với: 11 2  mmm (nhận) - Khi 10  m thì phương trình tương đương với: (*)1)22( 2  mmm Đặt mt  với t>0. Phương trình (*) trở thành: 0122 35  ttt (**) Xét hàm số: );0(:122)( 35  DTXDttttfy Dttty  0265' 24 Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng );0(  -Nếu t>1 thì f(t)>f(1)=0 -Nếu t<1 thì f(t)<f(1)=0 Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất: t=1. Suy ra m=1 (loại) Vậy m=1 *Cách 2: Áp dụng tính chất: Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, giả sử );();( 2211 yxCByxAB   thì diện tích của tam giác ABC được tính bởi công thức: 1221 2 1 yxyxS ABC   1112 2 1 );();( 22 22    mmmmmS mmBCmmBA ABC *Cực trị của hàm phân thức:           p q RDTXD xh xg qpx cbxax y \: )( )( 2 Nếu điểm 0 x là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách: )(' )(' )( )( )( 0 0 0 0 0 xh xg xh xg xy  Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là: )(' )('2 xh xg p bax y    Ví dụ 1: Cho hàm số: 1 52 )( 2    x mxx xfy . Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng y=2x. 2 2 )1( 522 '    x mxx y Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình 0522 2  mxx có 2 nghiệm thực phân biệt: 2042'  mm Đường thẳng qua 2 cực trị: mxy 22  Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số. Khi đó theo định lí Viet ta có: a+b=2 và a.b=2m+5 Theo đề ta có:       0)(24 0)2)(2( 0222222 022 2     mbamab mbma mbbmaa yxyx BBAA Suy ra: 020404)52(4 22  mmmmm vô lí Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hàm số 23 23  xxy có đồ thị (C), qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm A,B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại M, trong đó M là điểm cực đại của đồ thị hàm số. ĐS: các đường thẳng qua I lần lượt có các hệ số góc là         2 51 2 k k Bài 2: Cho hàm số 23 23  xxy có đồ thị (C),tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn: 5)1()( 22  mymx ? DS: m=2, m=-4/3 Bài 3: Cho hàm số 23 23  xxy có đồ thị (C),tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cực trị đạt GTNN? DS: M(4/5;2/5)