Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất Giải Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường
Trang 1Bài 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x
x− 2 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B mà tam giác OAB thỏa mãn AB = OA√
2
Giải
Cách 1 Gọi M(xo; yo), (xo6= 2) thuộc đồ thị hàm số Pt tiếp tuyến d tại M có dạng:
y− 2xo
xo− 2 =
−4 (xo− 2)2(x − xo)
Do tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy tại các điểm A, B và tam giác OAB có AB = OA√
2 nên tam giác OAB vuông cân tại O Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x +TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x
(xo− 2)2 = −1 ⇔ (xo− 2)2= 4 ⇔
"
xo= 0 ⇒ pt d : y = −x (loại)
xo= 4 ⇒ pt d : y = −x + 8 +TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x
(xo− 2)2.(−1) = −1 pt vô nghiệm
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x + 8
Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) = OA
AB =√1
2 = sin
π 4 nên tam giác AOB vuông cân tại O phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (xo; yo) có dạng :
(xo− 2)2(x − xo) + 2xo
xo− 2
dễ dàng tính được A = x2
o
2; 0
và B =
0; 2x
2 o
(xo− 2)2
yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm xolà nghiệm của phương trình
x2o
2 =
2x2o (xo− 2)2 ⇔ x3
o(xo− 4) = 0 +) với xo= 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y = −x (loại)
+) với xo= 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x + 8
Bài 2.
Tìm các giá trị của m để hàm số y =1
3x
3−1
2m.x
2+ m2− 3 x có cực đại x1, cực tiểu x2đồng thời x1; x2
là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
r 5 2
Giải
Cách 1 Mxđ: D = R Có y0= x2− mx + m2− 3 y0= 0 ⇔ x2− mx + m2− 3 = 0
Hàm số có cực đại x1,cực tiểu x2thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y0= 0 có 2 nghiệm phân biệt dương, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó
⇔
∆ > 0
S> 0
P> 0
⇔
4 − m2> 0
m> 0
m2− 3 > 0
⇔
−2 < m < 2
m> 0
m< −√
3 ∨ m >√
3
⇔√3 < m < 2 (∗)
Theo vi-et có:
x1+ x2= m
x1x2= m2− 3
Mà x21+ x22= 5
2⇔ 2(x1+ x2)2− 4x1x2= 5 ⇔ 2m2− 4(m2− 3) = 5 ⇔ m = ±
√ 14 2
www.laisac.page.tl
T
T U U Y Y Ể Ể N C C H H Ọ Ọ N C C Â Â U 1 1 . 2 L L I I Ê Ê N Q Q U U A A N K K H H Ả Ả O S S Á Á T H H À À M S S Ố Ố
(TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC TOÀN QUỐC, NĂM 2011)
Trang 2Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m =
√ 14
2 thỏa yêu cầu bài toán
Bài 3.
Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) : y = 1
3mx
3+ (m − 1)x2+ (4 − 3m)x + 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x + 2y − 3 = 0
Giải
Cách 1: Có y0= mx2+ 2(m − 1)x + 4 − 3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y0·
−1 2
= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
⇔ mx2+ 2(m − 1)x + 2 − 3m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔
m6= 0
∆0> 0
S> 0
P> 0
⇔
m6= 0 4m2− 4m + 1 > 0
m− 1
m < 0
2 − 3m
m > 0
⇔
m6= 0
m6= 1 2
0 < m < 1
0 < m < 2
3
⇔
0 < m <1
2 1
2< m <
2 3
Vậy m ∈
0;1
2
∪ 1
2;
2 3
là các giá trị cần tìm của m
Cách 2: Có y0= mx2+ 2(m − 1)x + 4 − 3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y0·
−1 2
= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2+ 2(m − 1)x +
2 − 3m = 0 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Th1: m = 0 từ (1) ta có x = −1 (loại)
Th2: m = 1
2 từ (1) ta có x = ±1 (loại)
Th3: m 6= 0; m 6= 1
2 từ pt (1) có 2 nghiệm x = 1 ∨ x =
2 − 3m m Điều kiện bài toán dẫn đến: :2 − 3m
m > 0 ⇔ 0 < m < 2
3 Kết hợp với cả 3 trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈
0;1 2
∪ 1
2;
2 3
Bài 4.
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x3− 3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho
xA= 2 và BC = 2√
2
Giải
Với xA= 2 ⇒ yA= 4 VậyA(2; 4)
Xem d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k Có pt d : y − yA= k(x − xA) ⇔ y = kx − 2k + 4
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : x3− 3x + 2 = kx − 2k + 4
⇔ (x − 2)(x2+ 2x + 1 − k) = 0 ⇔ x = 2 hay g(x) = x2+ 2x + 1 − k = 0 (∗)
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,C thì pt(∗) phải có 2 nghiệm phân biệt xB; xCphân biệt và khác 2: Lúc đó :⇔
∆0= k > 0
g(2) = 9 − k 6= 0
⇔ 0 < k 6= 9 (∗0)
Theo vi-et ta có :
xB+ xC= −2
xB.xC= 1 − k
Mà B,C thuộc d nên yB= kxB− 2k + 4; yC= kxC− 2k + 4
Có BC = 2√
2 ⇔ BC2= 8 ⇔ (xB− xC)2+ k2(xB− xC)2= 8
⇔(xB+ xC)2− 4xBxC (1 + k2) = 8 ⇔ k3+ k − 2 = 0 ⇔ k = 1 (thỏa đk (∗0)) ⇒ pt d : y = x + 2
Vậy đường thẳng d cần tìm có pt: y = x + 2
Trang 3Bài 5.
Cho hàm số y = 4x3− 6mx2+ 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0; 1), B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất
Giải
Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:
4x3− 6mx2+ 1 = −x + 1 ⇔ x(4x2− 6mx + 1) = 0
Để pt có 3 n0 phân biệt thì 4x2− 6mx + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇒ ∆0= 9m2− 4 > 0 ⇔ m > 2
3, m <
−2 3 Gọi B(x1; −x1+ 1),C(x2; −x2+ 1) Để B và C đối xứng qua đường phân giác thứ 1 thì:
x1= y2
y1= x2
⇔
x1= −x2+ 1
x2= −x1+ 1
⇔ x1+ x2= 1 ⇔ 3
2m= 1 ⇔ m =
2 3
So sánh với đk, thấy không tìm được m thỏa mãn
Cho hàm số y = x4− 2mx2+ 2m2− 4,m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1
Giải
Mxđ: D = R Có y0= 4x3− 4mx
y0= 0 ⇔ 4x3− 4mx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2= m Hàm số có 3 cực trị ⇔ m > 0 (∗)
Gọi A(0; 2m2− 4); B(√m; m2− 4);C(−√m; m2− 4) là 3 điểm cực trị
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A
Kẻ AH⊥BC có S∆ABC= 1
2AH.BC ⇔ 2 = |yB− yA| |2xB|
⇔ 2 = 2m2.√
m⇔ m = 1 Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 7.
Cho hàm số y = x− 2
x+ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất
Giải
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1) Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ
x0, phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 3
(x0+ 1)2(x − x0) +
x0− 2
x0+ 1 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 tại điểm A
−1;x0− 5
x0+ 1
, và cắt tiệm cận đứng tại điểm B (2x0+ 1; 1)
Ta có:IA =
x0− 5
x0+ 1− 1
|x0+ 1|; IB = |2x0+ 1 − (−1)| = 2|x0+ 1|
Nên: IA.IB = 6
|x0+ 1|.2 |x0+ 1| = 12 Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S =
1
2IA.IB = 6.
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r = S
p = 6
p Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên:
2p = IA + IB + AB = IA + IB +√
IA2+ IB2≥ 2√IA.IB +√
2IA.IB = = 4√
3 + 2√
6 Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔ (x0+ 1)2= 3 ⇔ x = −1 ±√
3
- Với x = −1 −√
3 ta có tiếp tuyến: d1: y = x + 2 1 +√
3
- Với x = −1 +√
3 ta có tiếp tuyến: d1: y = x + 2 1 −√
3
Bài 8.
Trang 4Cho hàm số y = 2mx + 3
x− m Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64
Giải
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m và đường tiệm cận ngang là
y= 2m Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I (m; 2m)
Gọi M
x0;2mx0+ 3
x0− m
(với x06= m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này là: y = − 2m
2+ 3 (x0− m)2(x − x0) +
2mx0+ 3
x0− m Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại A
m;2mx0+ 2m
2+ 6
x0− m
và cắt tiệm cận ngang tại B (2x0− m; 2m)
Ta có: IA =
2mx0+ 2m2+ 6
x0− m − 2m
=
4m2+ 6
x0− m
; IB = |2x0− m − m| = 2 |x0− m|
Nên diện tích tam giác IAB là: S = 1
2IA.IB = 4m
2+ 6
Bởi vậy, yêu cầu bài toán tương đương với: 4m2+ 6 = 64 ⇔ m = ±
√ 58 2
Bài 9.
Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = x4− 4x2+ m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và Ox:x4− 4x2+ m = 0 (1)
Đặt t = x2≥ 0 Lúc đó có pt: t2− 4t + m = 0 (2)
Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiêm phân biệt t > 0
⇔
∆0= 4 − m > 0
S= 4 > 0
P= m > 0
⇒ 0 < m < 4 (i)
Gọi t1;t2(0 < t1< t2) là 2 nghiệm của pt (2) Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:
x1= −√
t2; x2= −√
t1; x3=√
t1; x4=√
t2
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:
Z x 3
0
(x4− 4x2+ m) dx =
Z x 4
x 3
(−x4+ 4x2− m) dx ⇒ x
5 4
5 −4x
3 4
3 + mx4= 0 ⇒ 3x
4
4− 20x24+ 15m = 0
Từ đó có x4là nghiệm của hpt:
x44− 4x2
4+ m = 0 (3) 3x44− 20x2
4+ 15m = 0 (4) Lấy 3.(3) − (4) ⇒ x24=3m
2 Thay x
2
4=3m
2 vào (3) có:
9m2
4 − 5m = 0 ⇒ m = 0 ∨ m =20
9 Đối chiếu điều kiện (i) có m =20
9 là giá trị cần tìm.
Bài 10.
Cho hàm số y = x4− 2(1 − m2)x2+ m + 1 Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất
Giải
y0= 4x3− 4x(1 − m2) = 0 ⇔ x = 0, x2= 1 − m2
Hàm số có 3 cực trị ⇔ −1 < m < 1
Khi đó, tọa độ điểm cực đại là A(0; 1 + m),
tọa độ 2 điểm cực tiểu là B(−√
1 − m2;√
1 − m2);C(√
1 − m2;√
1 − m2)
Trang 5Diện tích tam giác ABC là: SABC= 1
2d(A; BC).BC = (1 − m
2)
5
2 ≤ 1 Dấu = xảy ra khi m = 0
Đáp số: m = 0
Bài 11.
Cho hàm số y = −x + 1
x− 3 có đồ thị là (H) Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn hơn 1 tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 1 = 0 một góc có giá trị bằng 2
√ 5 25
Giải
Vì chỉ biết công thức tính cos của góc từ 2 vecto cho trước, với lại bài này cho kết quả cos khá đẹp cos(2
√
5
25 ) ≈ 0, 9999 ≈ 1 nên em nghĩ là sẽ áp dụng công thức tính cos của góc giữa 2 vecto luôn.
Gọi vecto chỉ phương của pt tiếp tuyến tại M là:−→u
1( 2 (x − 3)2; −1) Vecto chỉ phương của dt ∆ : 3x + 4y − 1 = 0
là:−→u
2(4; −3) Có: cos (−→u
1;−→u
2) =
(x − 3)2+ 3|
5
r 4 (x − 3)4+ 1
= 1 ⇔ |8 + 3(x − 3)2| = 5p4 + (x − 3)4⇔ (x − 3)2=3
2⇔
x=? => M =?
Bài 12.
Cho hàm số y = x+ 3
x− 2 có đồ thị (H) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho dAOBnhọn
Giải
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của pt: x+ 3
x− 2 = −x + m + 1 ⇔ x
2− (m + 2)x + 2m + 5 = 0
Để pt trên có 2 nghiệm pb thì ∆ > 0, x 6= 2 ⇔
m2− 4m + 16 > 0
22− 2(m + 2) + 2m + 5 6= 0
⇒ m =?
Gọi A(x1; −x1+ m + 1), B(x2; −x2+ m + 1) là 2 giao điểm của (H) và d
Để dAOBnhọn thì : AB2< OA2+ AB2⇔ 2(x2− x1)2< (−x1+ m + 1)2+ (−x2+ m + 1)2⇔ −2x1x2+ (m + 1)(x1+ x2) − (m + 1)2< 0 ⇔ m > −3
Kết hợp với đk ban đầu để suy ra giá trị của m
Bài 13.
Cho hàm số y = x
x− 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2 +√
2)
Giải
Cách 1 2 đường tiệm cận của đồ thị là x = 1, y = 1 Gọi pttt của (H) tại M(xo; yo) là: y =−1(x − xo)
(xo− 1)2 + xo
xo− 1 Khi x = 1 ⇒ y = xo+ 1
xo− 1 ⇒ A(1;
xo+ 1
xo− 1). Khi y = 1 ⇒ x = 2xo− 1 ⇒ B(2xo− 1; 1), I(1; 1)
⇒ P(ABC) = IA + IB + AB = xo+ 1
xo− 1− 1 + 2xo− 2 +
r (2xo− 2)2+ (1 −xo+ 1
xo− 1)
2= 2(2 +√
2)
⇔ 2 + 2(xo − 1)2+p(xo− 1)4+ 4 = 2(2 +√
2)(xo− 1)
⇔
xo− 1 = 0 (loại)
−2(1 +√2)(xo− 1)2+ (2 +√
2)2(xo− 1) − 2(2 +√2) = 0
Cách 2 - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = 1
- Gọi M(a; a
a− 1), phương trình tiếp tuyến tại M: y =
−1 (a − 1)2(x − a) + a
a− 1
Trang 6- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1;a+ 1
a− 1)
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a − 1; 1)
- Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB + AB = 2
|a − 1|+ 2|a − 1| + 2
r (a − 1)2+ 1
(a − 1)2 ≥ 4 + 2√2, dấu
= xảy ra khi |a − 1| = 1 tức a = 0; a = 2
- Với a = 0 ⇒ y = −x
- Với a = 2 ⇒ y = −x + 4
Kết luận: y = −x, y = −x + 4 là 2 tiếp tuyến cần tìm
Bài 14.
Cho hàm số: y = 2x − m
mx+ 1 (1) Chứng minh với mọi m 6= 0 đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x − 2m tại
2 điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định Đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N Tìm m để SOAB= 3SOMN
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d:
2x − m
mx+ 1 = 2x − 2m ⇔ 2mx
2− 2m2x− m = 0
x6= −1 m
(2)
Do m 6= 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x2− 2mx − 1 = 0
x6= −1 m
(∗)
Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt xA; xB khác −1
m
⇔
∆0= m2+ 2 > 0
f(−1
m) = 2
m2+ 1 6= 0
⇔ ∀m 6= 0
Mặt khác có xA.xB=1
2 nên A, B luôn thuộc một đường (H) cố định.
Kẻ OH⊥AB ⇒ OH = d(O,d)=|−2m|
√
5 Lại có A, B ∈ d ⇒ yA= 2xA− 2m; yB= 2xB− 2m Theo viet có:
xA+ xB= m
xA.xB= 1
2
Có: AB =p(xA− xB)2+ (yA− yB)2=p5(xA− xB)2=p5(xA+ xB)2− 20xAxB⇔ AB =√5m2+ 10
Vì M, N là giao điểm của d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m)
Theo giả thiết :SOAB= 3SOMN ⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔ |−2m|√
5 .
√ 5m2+ 10 = 3 |xM| |yN|
⇔|−2m|√
5 .
√
5m2+ 10 = 3 |m| |2m| ⇔√
m2+ 2 = 3 |m| ⇔ m2+ 2 = 9m2⇔ m = ±1
2 Vậy với m = ±1
2 là các giá trị cần tìm
Bài 15.
Tìm trên (H) : y = −x + 1
x− 2 các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x
Giải
Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
−x + 1
x− 2 = −x + m ⇔ g(x) = x
2− (m + 3)x + 2m + 1 = 0 (x 6= 2) (1)
Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt xA; xBvà khác 2
⇔
∆g(x) > 0
g(2) 6= 0
⇔
(m + 3)2− 4(2m + 1) > 0
4 − (m + 3)2 + 2m + 1 6= 0
⇔ (m − 1)2+ 4 > 0; ∀m
Trang 7Theo viet có
xA+ xB= m + 3
xA.xB= 2m + 1
Lại có: yA= −xA+ m; yB= −xB+ m
Mà AB = 4 ⇔ AB2= 16 ⇔ (xB− xA)2+ (yA− yB)2= 16 ⇔ (xB− xA)2= 8 ⇔ (xB+ xA)2− 4xA.xB= 8
⇔ (m + 3)2− 4(2m + 1) = 0 ⇔ m2− 2m − 3 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 3 +Với m = 3 thay vào pt (1) có:x2− 6x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ±√2 ⇒ y = ±√
2 Lúc này tọa độ 2 điểm A, B là A(3 +√
2; −√
2); B(3 −√
2;√ 2) hoặc B(3 +√
2; −√ 2); A(3 −√
2;√ 2) +Với m = −1 thay vào pt (1) có: x2− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±√2 ⇒ y = −2 ±√
2 Lúc này tọa độ 2 điểm
A, B là A(1 +√
2; −2 −√
2); B(1 −√
2; −2 +√
2) hoặc B(1 +√
2; −2 −√
2); A(1 −√
2; −2 +√
2) Vậy A, B là các điểm như trên thỏa yêu cầu bài toán
Bài 16.
Tìm m để đồ thị hàm số y = x4− mx2+ m − 1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −2
Giải
Xét:x4− mx2+ m + 1 = 0 ∆ = (m − 2)2=>√
∆ = |m − 2| ⇒ x2= m − 1(m > 1), x2= 1 Vậy 4 giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1; 0), B(−√
m− 1; 0),C(1; 0), D(√m− 1; 0)
Để 4 điểm đó có hoành độ >-2 thì:
TH1:−√
m− 1 > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒ 1 < m < 2
TH2:−2 < −√
m− 1 < −1| ⇔ 2 < m < 5 Vậy :m ∈ (1; 2) ∪ (2; 5) là giá trị cần tìm
Bài 17.
Cho hàm số y = x+ 3
x+ 2 có đồ thị là (H) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm phân biệt sao cho−→
OA.−→
OB= −4 với O là gốc tọa độ
Giải
- Xét phương trình: x+ 3
x+ 2 = 2x + 3m ⇒ 2x
2+ 3(1 + m)x + 6m − 3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -2 khi ∆ = 9m2− 30m + 33 > 0 điều này xảy ra với mọi m
- Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1, x2thì A(x1, 2x1+ 3m), B(x2, 2x2+ 3m)
- Có:−→
OA.−→
OB= −4 ⇒ x1.x2+ (2x1+ 3m)(2x2+ 3m) = −4 ⇒ 12m − 15
7 12
Bài 18.
Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y =3x − 1
x− 1 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A(2; 1)
Giải
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến−→
OIvới I(1; 3) Công thức đổi trục:
x= X + 1
y= Y + 3 Trong hệ tọa độ mới pt hàm số được viết lại là :Y = 2
X (1) và điểm A trở thành A(1; −2) Xét 2 điểm B
a;2 a
;C
b;2 b
(a < 0 < b) thuộc đồ thị hàm số (1)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒ H(a; −2); K(b; −2)
Có dBAH+ dCAK= 900= dCAK+ dACK⇒ dBAH = dACK
Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒
AH= CK
BH= AK
(∗)
Trang 8Lúc đó từ (∗) có hpt:
(1 − a)2=
2 +2 b
2
(2)
2 +2 a
= |b − 1| (3)
Từ (2) có
3 − a +2
b
−a − 1 −2
b
= 0 ⇔ a =3b + 2
b ∨ a = −b − 2
b Với a =3b + 2
b từ (3) có
8b + 4 3b + 2
= |b − 1| ⇒
"
3b2+ 9b + 6 = 0(4) 3b2+ 7b + 2 = 0(5) + Với (4) pt có 2 nghiệm b = −1 ∨ b = −2 không thỏa do b > 0
+ Với (5) pt có 2 nghiệm b = −1
3∨ b = −2 không thỏa do b > 0 Với a =−b − 2
b từ (3) có
4
b+ 2
= |b − 1| ⇒
"
b2+ b − 6 = 0(6)
b2+ b + 2 = 0(7) +Với (7) pt vô nghiệm
+Với (6) pt có 2 nghiệm b = 2 ∨ b = −3 (loại)
Khi b = 2 ⇒ B(−2; −1);C(2; 1) hoặc ngược lại Lúc đó 2 điểm B,C của bài toán cần tìm là: B(−1; 2);C(3; 4) hoặc ngược lại
Bài 19.
Cho hàm số y = x3+ 3x2+ m (1) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho dAOB= 120o
Giải
- Phương trình y0= 0 ⇔ x = 0, x = −2
- Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị a(0; m), B(−2; m + 4)
- Yêu cầu của bài toán dẫn đến giải phương trình:
−→
OA.−→
OB OA.OB = −
1
2⇔ −2m(m + 4) = |m|√m2+ 8m + 20 ⇔ m = 0, m = −12 +√132
3 Đáp số: m = 0, m = −12 +√132
3
Cho hàm số y = 2x − 1
x+ 1 có đồ thị (C).
Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2√
2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2x − 1
x+ 1 = x + m ⇔ f (x) = x
2+ (m − 1)x + m + 1 = 0 (1) (x 6= −1)
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt xA, xBkhác −1
⇔
∆ = (m − 1)2− 4(m + 1) > 0
f(−1) = 1 − m + 1 + m + 1 6= 0
(∗) Theo vi-et có :
xA+ xB= 1 − m
xA.xB= m + 1 Lại có A, B ∈ d ⇒ yA= xA+ m; yB= xB+ m Do AB = 2√
2 ⇔ AB2= 8 ⇔ (xA− xB)2+ (yA− yB)2= 8
⇔ (xA+ xB)2− 4xA.xB= 4 ⇔ (1 − m)2− 4(m + 1) = 4 ⇔ m2− 6m − 7 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 7
Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1; m = 7 là giá trị cần tìm
Bài 21.
Cho hàm số y = 3x − 2
x+ 1 (C) Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại
Avà B thỏa mãn cos dBAI =√5
26
Giải
Trang 9Xét điểm M(xo; yo), (xo6= −1) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến d.
Phương trình tiếp tuyến tại d có dạng : y −3xo− 2
xo+ 1 =
5 (xo+ 1)2(x − xo)
Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt tại A, B và ∆IAB có cos dBAI =√5
26 nên tan2BAId= 1
cos2
d BAI − 1 = 1
25⇒ tan dBAI = 1
|5| ⇒ tan dABI= |5|
Lại có tan dABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y0(xo) = 5
(xo+ 1)2 > 0
(xo+ 1)2 = 5 ⇔ (xo+ 1)2= 1 ⇒ xo= 0 ∨ xo= −2
Với xo= 0 có pt tiếp tuyến d : y = 5x − 2
Với xo= −2 có pt tiếp tuyến d : y = 5x + 2
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có pt như trên
Bài 22.
Cho hàm số y = x4− 2mx2+ 2 có đồ thị (Cm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D 3
5;
9 5
Giải
y0= 4x3− 4mx = 0 ⇔ x = 0, x = ±√m (m > 0) Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm cực trị là: A(0; 2), B(−√
m; −m2+ 2),C(√
m; −m2+ 2), D 3
5;
9 5
Gọi I(x; y) là tâm đường tròn(P)
⇒
IA2= ID2
IB2= IC2
IB2= IA2
⇔
3x − y + 1 = 0 2x√
m= −2x√
m (x +√
m)2+ (y + m2− 2)2= x2+ (y − 2)2
⇔ x = 0, y = 1, m = 0(loại), m = 1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 23.
Cho hàm số y = x
4
2 − 3x2+5
2 có đồ thị (C) và điểm A ∈ (C) với xA= a.
Tìm các giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt B,C khác A sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và C)
Giải
Cách 1 Xét A
a;a
4
2 − 3a2+5
2
thuộc đồ thị (C)
Phương trình tiếp tuyến tại A : y − a4
2 − 3a2+5
2
= (2a3− 6a)(x − a) ⇔ y = 2a(a2− 3)x −3a
4
2 + 3a
2+5 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A x
4
2 − 3x2+5
2 = 2a(a
2− 3)x −3a
4
2 + 3a
2+5 2
⇔ (x − a)2(x2+ 2ax + 3a2− 6) = 0 ⇔
"
x= a
f(x) = x2+ 2ax + 3a2− 6 = 0 (1)
Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại 2 điểm B,C khác A thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt xB; xCkhác a
⇔
∆0= a2− (3a2− 6) > 0
f(a) = 6a2− 6 6= 0
⇔
−√3 < a <√
3
a6= ±1
(∗)
Do AB = 3AC ⇒−→
AC= 3−→
AB⇒ xC− 3xB= −2a (2) Lại theo vi et có:
xB+ xC= −2a (3)
xB.xC= 3a2− 6 (4)
Từ (2) và (3) ⇒ xB= 0và xC= −2a Thế vào (4) có: 3a2− 6 = 0 ⇔ a = ±√2 ( thỏa (∗))
Trang 10Kiểm tra:
+Với a =√
2 có A
√ 2; −3 2
; B
0;5 2
;C
−2√2;21
2
⇒ AC = 3AB +Với a = −√
2 có A
−√2; −3
2
; B
0;5 2
;C
2√ 2;21 2
⇒ AC = 3AB Vậy a = ±√
2 là các giá trị cần tìm của a
Cách 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với xA= a là:
y= 2a3− 6a (x − a) +a4
2 − 3a2+5
2
PT hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):
x4
2 − 3x2+5
2= 2a
3− 6a (x − a) +a
4
2 − 3a2+5
2⇔ (x − a)2 x2+ 2ax + 3a2− 6 = 0
Để có 3 giao điểm A, B,C thì phương trình:
x2+ 2ax + 3a2− 6 = 0 (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ⇔
−√3 < a <√
3
Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của phương trình (∗) nên: ⇔
xB+ xC= −2a
xB.xC= 3a2− 6 Mặt khác: AC = 3AB (B nằm giữa A và C) ⇔−→
AC= 3−→
AB⇔ xC− 3xB= −2a
Ta có hệ:
xC− 3xB= −2a
xB+ xC= −2a
xB.xC= 3a2− 6
⇔
xB= 0
xC= −2a 3a2− 6 = 0
⇔ a = ±√2 thỏa mãn điều kiện
Vậy giá trị cần tìm của m là: a = ±√
2
Cho hàm số y = 1
4x
4− (3m + 1)x2+ 2(m + 1) (m là tham số) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O
Giải
y0= x3− 2(3m + 1)x = 0 ⇔ x = 0, x2= 2(3m + 1)
Hàm số có 3 cực trị khi m > −1
3, khi đó tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị là A(0; 2m + 2), B(−√
6m + 2; −9m2− 4m + 1),C(√6m + 2; −9m2− 4m + 1) Tam giác ABC có trọng tâm O khi: −18m2− 6m + 4 = 0 ⇔ m = −2
3, m =
1 3 Đáp số: m =1
3
Cho hàm số y = 1
3mx
3+ (m − 1)x2+ (3m − 4)x + 1 có đồ thị là (Cm).Tìm tất cả các giá trị của m sao cho trên (Cm) có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d) : y = x + 2011
Giải
y0= mx2+ (m + 1)x + 3m − 4 Để tiếp tuyến vuông góc với (d) thì y0.1 = −1 ⇔ mx2+ (m + 1)x + 3m − 3 = 0(1) có nghiệm với mọi x thuộc R
TH1: m = 0 ⇒ pt trở thành: −2x − 3 = 0 ⇔ x = −3
2 Vậy m = 0 thỏa mãn TH2: m 6= 0 ⇒ (1) là phương trình bậc 2, vậy để phương trình có nghiệm thì:
∆ = −2m2+ m + 1 ≥ 0 ⇔ −1
2 ≤ m ≤ 1, m 6= 0 Vậy −1
2 ≤ m ≤ 1 là giá trị cần tìm
Bài 26.
... là: a = ±√2
Cho hàm số y = 1
4x
4− (3m + 1)x2+ 2(m + 1) (m tham số) Tìm m để hàm số có điểm cực trị tạo thành tam...
x0− m
(với x06= m) điểm thuộc đồ thị hàm số cho
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là: y = − 2m
2+ (x0−... giá trị cần tìm.
Bài 10.
Cho hàm số y = x4− 2(1 − m2)x2+ m + Tìm m để hàm số cho có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác
