Các vấn đề liên quan đến hàm số

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh () xAy = () 0xA ≥ tgxy = π+ π ≠ k 2 x () () xBlogy xA = () () ⎩ ⎨ ⎧ ≠< > 1xA0 0xB () () xB xA y = () 0xB ≠ gxcoty = π≠ kx ⎢ ⎣ ⎡ = x x e a y )0a(x >∀ () n2 xAy = () () + ∈ ≥ Zn 0xA ⎢ ⎣ ⎡ = xarccos xarcsin y 1x1 ≤≤− ⎢ ⎣ ⎡ = xln xlog y 0x >∀ () 1n2 xAy + = () + ∈ ∈∀ Zn Dx ( ) [] ( ) xB xAy = ( ) 0xA > ( )( () () ⎢ ⎣ ⎡ ± = xgxf xgxf y  ) gf DDD ∩= II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT () () bxf axf ≥ ≤ () ( ] () [ ) +∞= ∞−= ,bDf a,Df ( ) () bxfa bxfa << ≤≤ () [] () ( ) b,aDf b,aDf = = 2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT: () [] () ()() 2222 2 dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT * đònh. xác xA làm xa, aaxA * ++≤+≥+ ∀∀≥+ III. HÀM HP g o f [] () () [] () {} () (){} ⎢ ⎣ ⎡ ⊂∧≠ ∈∧∈ = ≠=∈∀ ∃⇒φ= gfff gfgf fg ooofg fgoff fffo DT0T,D DT;DxfDx|x D * fggf và xfgxfg:Dx * ZD:fgDT * ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg o o o ∩ ∩  IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: ()() () () () () Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ∈∀−= ∈∀=− V. GIỚI HẠN HÀM SỐ: 1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh 0 0 Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x 0 ), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử số và mẫu số trong () () xg x f lim 0 xx→ với các chú ý: • Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x 0 ). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. • Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó. llh llh 3 2 33 33 A B A B A B A AB B+←⎯→− ±←⎯→± + Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. • Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 ()() ( ) ( ) () ()() () () 22 33 2 2 44 22 nn n1n2 n32 n2n1 a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a a b a b . ab b −− − − − −=− + ±=± ±+ −= + − + −=− + + ++ + • Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô đònh này trở thành dạng vô đònh khác. Chẳng hạn: ()() đó) tự thứ theo 0 (dạng xgxflim 0x ∞× → 2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh ∞ ∞ • PP 1 : Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh. • PP 2 : Dùng các đònh lý giới hạn tương đương: () () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =ε>ε++++ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >−++⇒−∞→ >++⇒+∞→ ⇒∞→ ∞→ 0x lim và 0a với;x a2 b xa~cbxax /3 )0a(;ax~cbxaxx )0a(;ax~cbxaxx 2/ xa~xPx 1/ x 2 2 2 n nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh ∞−∞ Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp. 2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: () x a2 b xa~cbxax 2 ε++++ trong đó: a > 0 và () 0xlim x =ε ∞→ 3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác • TH 1 : Khi (x tính bằng radian) 0x → () () () () () () ( ) () () () () () () () () ux 0 ux 0 2 2 2 ux 0 sinu x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x ux ux 1cosux 11 lim hay 1-cos u x ~ u x 22 ux →→ → == − ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎡⎤ ⎣⎦ Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác. ()() ( ) ( ) llh llh 1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu +←⎯→− + ←⎯→− • TH 2 : Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian) 0 xx → * Đặt: ⎩ ⎨ ⎧ →⇒→ += ⇔−= 0txx txx xxt 0 0 0 * Khi: 0't,xx'txx 00 →−=⇒→ Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số. 5. Hàm kẹp: () () ( ) { } () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⇒ == ∈∀≤≤ → →→ Lxglim Lxhlimxflim x|Vx,xhxgxf 0 00 0 xx xxxx 0x 6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối: ( ) ( ) () () 00 00 xx xx xx xx lim f x L lim f x L lim f x 0 lim f x 0 →→ →→ ⎧ = ⇒= ⎪ ⎨ = ⇒= ⎪ ⎩ 7. Hàm liên tục: * () () ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =Δ = ∈∀∈ →Δ → 0lim hay xfxflim Dx,Rxf y 0x 0 xx 00 0 0 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 3 * Liên tục tại x 0 : () () ( ) ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇒== − + −+ → → →→ trái tục liên :xfxflim phảitụcliên:x fxflim xfxflimxflim 0 xx 0 xx 0 xxxx 0 0 0 0 8. Công thức giới hạn: () () () () () sin x lim 1 x0 x tgx lim 1 x0 x lim U x 0 x0 sin U x lim 1 x0 Ux tgU x lim 1 x0 Ux 1cosx 1 lim 2 x0 2 x = → = → = → = → = → − = → x lim a x x lim a 0 x x lim e x a1 x lim e 0 x x e lim x x x lim x.e 0 x x lim a 0 x 0a1 x lim a x =+∞ →+∞ + = →−∞ =+∞ →+∞ > + = →−∞ =+∞ →+∞ = →−∞ + = →+∞ < < =+∞ →−∞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ lim log x a x lim log x a x0 lim ln x x a1 lim ln x x0 ln x lim 0 x x lim x. ln x 0 x0 lim log x a x 0a1 lim log x a x0 =+∞ →+∞ =−∞ + → =+∞ →+∞ > =−∞ + → + = →+∞ − = + → =−∞ →+∞ < < =+∞ − → ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ * Quy tắc Lopitan: () () () () x'g x' f lim xg x f lim 00 xxxx →→ = VI. ĐẠO HÀM: () ()() x x fxxf lim x y limx'f 00 xxxx 0 00 Δ −Δ + = Δ Δ = →Δ→Δ hay: () () ( ) () ( ) ( ) () () ( ) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − = ⇒ − − = − + → − → + → 0 0 xx 0 0 xx 0 0 xx 0 xx xfxf limx'f trái ĐH xx xfxf limx'f phảiĐH xx xfxf limx'f 0 0 0 0 0 ⇒ f có đạo hàm tại x 0 ⇔ ( ) ( ) −+ = 00 x'fx'f . Nếu ( ) ( ) −+ ≠ 00 x'fx'f thì f không có đạo hàm tại x 0 . 1. Chứng minh hàm số liên tục: Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x 0 , cần làm 3 bước: B 1 : Kiểm tra ; tìm số trò f(x f0 Dx ∈ 0 ) (1) B 2 : Tìm () Rbxflim 0 xx ∈= → (2) B 3 : So sánh (1) và (2); nếu () ( ) bxfxflim 0 xx 0 == → , hàm f liên tục tại x = x 0 . () ( ) () ( ) () () ( ) 00 xxxx 00 xx 00 xx x tại tục liên f thì xfxflimxflim x phải bêntục liên f thì ,xfxflim x trái bêntục liên f thì ,xfxflim 00 0 0 ==⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = −+ − + →→ → → Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x 0 : (1) PP 2 : f là hàm sơ cấp xác đònh tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0 . (2) PP 3 : ⇒ f liên tục tại x 0ylim 0x =Δ →Δ 0 . (3) PP 4 : f khả đạo hàm tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0 . Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các đònh nghóa: ĐN 1 : f liên tục trong () ( ) b;axmọitại tục liên fb,a 0 ∈⇔ ĐN 2 : f liên tục trên [] ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⇔ btại trái tục liên f a tại phảitục liên f ba; trong tục liên f b;a 2. Tìm đạo hàm tại một điểm: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 B 1 : Tính () ( ) R bnếu và b xx xfxf lim x y lim 0 0 xx0x 0 ∈= − − = Δ Δ →→Δ B 2 : Tồn tại f’(x 0 )=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn: * () ( ) () + → = − − + 0 0 0 xx x'f xx xfxf lim 0 : đạo hàm bên phải điểm x 0 . * () ( ) ( − → = − − − 0 0 0 xx x'f xx xfxf lim 0 ) : đạo hàm bên trái điểm x 0 . Ghi chú: Nếu x 0 là điểm thông thường của tập xác đònh, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x 0 ). 3. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa: () Dx;Rx'f x y lim 0x ∈∀∈= Δ Δ →Δ ta làm ba bước cơ bản: B 1 : Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx). B 2 : Lập tỷ số x y Δ Δ B 3 : Tính () Rxg x y lim 0x ∈= Δ Δ →Δ ; thì kết luận: f’(x) = g(x). Đạo hàm Vi phân 1) Hàm cơ bản: () () () 22 v 'v v 1 v 'v.uv'.u v u 'v.uv'.u'v.u 'v'u'vu số) hằng:(c 'u.c'u.c −= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ±=± = 2) Hàm hợp: Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y = (f o u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] hay y 0 = y’ u .u’x. 3) Hàm ngược: Cho: () () ⎩ ⎨ ⎧ =→ → xfyx D fD:f . Khả đạo hàm theo x và có hàm ngược: . () () ⎩ ⎨ ⎧ =→ → − − yfxy DDf:f 1 1 Ta có: x y y x 'y 1 'x 'x 1 'y =⇔= 1) Đònh nghóa: ( ) ( )() xd.x'fdyxfy =⇒= 2) Quy tắc vi phân: ( ) () 2 v dv.udu.v v u d dv.udu.vv.ud dvduvud − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ±=± 3) Hàm hợp: [ ] () () [ ] () () [ ] () () () xux xxx x o 'u.'y'y uf.'u'yufufy =⇒ =⇒== 4) Hàm logarit: ( ) [ ] ( ) ()() 0xu;xuy xv >= () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +==⇒ u 'u vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm: Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) ( ) nn u;x ( ) 'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx C 0 cosx -sinx x 1 tgx xtg1 xcos 1 2 2 += ( ) u;x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u2 'u ; x2 1 e x e x x 1 2 x 1 − a x a x lna Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 5 lnx x 1 cotgx () xgcot1 xsin 1 2 2 +−=− log a x alnx 1 5. Đạo hàm cấp cao: Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y (n) = f (n) (x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau: • Tính y’, y”, y’” . để dự đoán công thức của: y (n) = f (n) (x) (1) • Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y 1k ≥∀ (k) = f (k) (x) (2) • Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: y (k+1) = f (k+1) (x); đúng 1k ≥∀ Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm. 6. Ứng dụng của đạo hàm: • Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x 0 ) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó: ϕ M(x ,y ) 00 (h.1) t x (C): y = f(x) ( 0 x' ) ftgk =ϕ= (là ý nghóa hình học của đạo hàm) • Nếu một hàm f có đạo hàm tại x 0 thì hàm f liên tục tại điểm x 0 . • Nhưng một hàm f liên tục tại x 0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x 0 . • Một hàm f không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm x 0 . • Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: ) f là hàm hằng trên D () )1(Dx;0x'f ∈∀=⇔ ) f đồng biến trên D () )2(Dx;0x'f ∈∀≥⇔ ) f nghòch biến trên D () )3(Dx;0x'f ∈∀≤⇔ Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghòch biến) trong D có thể bằng không tại những giá trò rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3). () D; ⊂βα y x x 0,1 f'(x )=0 0,1 f'(x )=0 0,2 x 0,2 b a B (h.2) A 0 C D y α f'(x )=0 x0 ( ; ) 0,1 ∀∈αβ x 0 β a b (h.3) A 0 C D x B x 0 a b f(b) 0 (C) : y = f(x) y x x 0 a b B (h.6) A f(a) f(b) 0 (C) : y = f(x) x B • Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: . () b;ax 0 ∈ • Nếu: [] ()() [] f liên tục trên a;b fafb 0 f đơn điệu nghiệm cách trên a;b < ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ) [] phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x a;b 0 = ⇒ ∈ ⎧ ⎨ ⎩ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 6 • Giả sử hàm f : y = f(x) xác đònh trên đoạn [a;b] ) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax 0 ∈ ) ( ) ( ) b;axV 0 ∈ sao cho: () ( ) 00 xx;xfxf ≠∀< . ) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax 0 ∈ ) ( ) ( ) b;axV 0 ∈ sao cho: () ( ) 00 xx;xfxf ≠∀> . * Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và đạt một cực trò tại x 0 đó thì điều kiện cần là f’(x 0 ) = 0. y a x 0 b A B 0 f'(x )=0 0 (h.9) f'(x )>0 0 f'(x )<0 0 (C):y=f(x) x y a x 0 b A B 0 f'(x )=0 0 (h.10) f'(x )>0 0 f'(x )<0 0 (C):y=f(x) x Ý nghóa hình học: tiếp tuyến với đồ thò (C) : y = f(x) tại điểm cực trò thì song song trục hoành. Hệ quả: Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn. * Đònh lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trò) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và f’(x 0 ) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x 0 thì đủ để f đạt một cực trò tại x 0 . • Khi f’(x 0 ) = 0 và khi f’(x) đi qua x 0 mà không đổi dấu, ta nói (x 0 ;f(x 0 )) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện (*) có thể thay thế bằng f’(x 0 ) và f liên tục tại x 0 . • Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó. * Đònh lý 3: (Tồn tại điểm uốn) Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x 0 ) (**) và f”(x 0 ) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x 0 thì M(x 0 ;y 0 ) là điểm uốn của (C) : y = f(x). Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại ( ) 00 xVx ∈ để f liên tục tại x 0 ; thì M vẫn là điểm uốn. y a x 0 b A I B 0 f"(x )=0 0 (h.10) f"(x )>0 0 f"(x )<0 0 (C):y=f(x) x • f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương. • f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương. * Đònh lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trò) Nếu f’(x 0 ) = 0 trong V(x 0 ) đồng thời f”(x 0 ) # 0 thì hàm f có cực trò tại x 0 . Cụ thể: f'(x )=0 0 f"(x )<0 0 f'(x )=0 0 f"(x )>0 0 * Đònh lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ) Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f -1 xác đònh trên [f(a);f(b)]. • Lúc đó f -1 cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f. • Xét tính đối xứng của hai đồ thò hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C -1 ) : y = f -1 (x) qua đường phân giác thứ nhất. • Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có: () () () ( ) DfDx;xxf xfxf Dtrênngặt tăng f 1 ∩ ∈∀=⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − • Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (đònh lý) L’ Hospitale như sau: () () ( ) () ( ) () ( ) () () () xg xf lim . x"g x"f lim x'g x'f lim 0 0 Dạng xg xf lim 0 0 0000 n n xxxxxxxx →→→→ ==== ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 ) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô đònh ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 vừa khử. ) . đều có thể biến đổi về dạng ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale. ) Dạng ()( ∞−∞∞× ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ∞ ;0; • Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y a x 1 x 2 b 0 x 2 x x 2 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 x x f 2 1 2 x f x f 2 1 + y a x 1 x 2 b 0 x 2 xx 21 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 xx f 21 2 xfx f 21 + [ ] () [] () () () f liên tục trên a;b fx fx . fx xx .x n n12 12 f" 0 trên a;b f nn x;x; .x a;b n 12 +++ +++ <⇒ ≥ ∈ ⎧ ⎪ ⎛⎞ ⎪ ⎨ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎩ Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x 1 = x 2 = . = x n . * Đònh lý Lagrance: [] () ( )() () ( )() xfabafbf;b;ac ba; đạo khảf ba; tục liên f −=−∈∃⇒ ⎩ ⎨ ⎧ Ý nghóa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thò (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thò. Hệ quả: (Đònh lý Rolle) [] () () () () () giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt 12 f liên tục trên a;b và f a f b nếu có của f x 0 phải có f có đạo hàm trên a;b ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0 0 = ⇒= = ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬⎨ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ: () () ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≥ <⇒<∈∀ ⇔ biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f x fxfxx:b;ax,x ba; trên tăng f 212121 () () ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≤ >⇒<∈∀ ⇔ biếnnghòch số Hàm :b;ax,0x'f x fxfxx:b;ax,x ba; trên giảm f 212121 f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3 Nếu min () 0x'f ≥ Nếu max () 0x'f ≤ f luôn tăng: ( ) 0x'f ≥ f luôn giảm: ( ) 0x'f ≤ a > 0 và 0≤Δ a < 0 và 0≤Δ II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG: 1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong bax2'ycbxaxy 2 +=⇒++= ( ) +∞α; Hệ số Hàm f tăng () +∞α∈∀≥ ;x,0'y Hàm f giảm () +∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 11 mnhận :0b'ymm >=⇒= 11 mnhận :0b'ymm <=⇒= Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 8 a > 0 ?m a2 b =⇒α≤− Không xảy ra a < 0 Không xảy ra ?m a2 b =⇒α≤− 2. Hàm bậc 3: cbx2ax3'ydcxbxaxy 223 ++=⇒+++= * TH1: () [ ) +∞α+∞α ; hay; Hệ số f tăng () +∞α∈∀≥ ;x,0'y Hệ số f giảm () +∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’ ⎩ ⎨ ⎧ ≤Δ > 0 0a Thỏa () +∞α∈∀≥ ;x,0'y ⎩ ⎨ ⎧ ≤Δ < 0 0a () +∞α∈∀≤ ;x,0'y ⎩ ⎨ ⎧ >Δ > 0 0a [ ) +−+ +∞α∞− 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx ⎩ ⎨ ⎧ >Δ < 0 0a [ ) −+− +∞α∞− 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx a < 0 Không thỏa a > 0 Không thỏa * TH2: ( ] ( ] [ ] ( ) α β α βα∞α− ;hoặc; và ;- hoặc;∞ Tăng 0'y ≥ ( ] ( ] α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [] βαβα ; hoặc; ( ] +−+ ∞+α∞− 00'y xx;x 21 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a −+− ∞+ ∞− 00'y xxx 21 () () 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤β<α≤ Giảm 0'y ≤ ( ] ( ] α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [] βαβα ; hoặc; ( ] −+− ∞+α∞− 00'y xx;x 21 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a +−+ ∞+ ∞− 00'y xxx 21 () () 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤β<α≤ 3. Hàm hữu tỷ: ( ) 'bx'a xg 'bx'a cbxax y 2 + = + ++ = Cách 1: Giải như phần II.2 Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này. f tăng hoặc ( +∞α; ) α≥x f giảm ( ) +∞α; hoặc α≥x ()( )( () () ) () () () () ( ) ( )() () () () () () () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤α α≤− < ⇔ ∞+ − ∞+α− α=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞−⇒≤⇔ +∞α∈∀≤ +∞α∈∀≤ 0g a2 b 0a xg CĐ xg 0x'g a2 b x gxg max ; a2 b trong giảm xg0xg max ;x,0xgthì;x,0'y + () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥α α≤− > ⇔ ∞+ + ∞+α− α=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞−⇒≥⇔ ∞α∈∀≥+∞α∈∀≥ 0g a2 b 0a CT xg 0x'g a2 b x gxg min ; a2 b trong tăng xg0xg min ;x,0xg thì ;x,0'y xg III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT: 1. Bất đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 9 () () ( ) () () () () () () () () fx 0 hoặc fx 0,x a;b fx tăng thì x 0 fx f0 f ' x f x tăng hoặc giảm fx giảm thì x 0 fx f0 ≤≥∀∈ ≥⇒ ≥ ⇒⇒ ≤⇒ ≤ ⎡ ⎢ ⎣ Nếu BĐT có 2 biến thì: () () β<α ff với ba <β<α< Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng () ( ) ( ) ( ) () () () ⎩ ⎨ ⎧ β>α⇒β<α⇔ β<α⇒β<α⇔ ⇒βα ff giảm xf fftăngxf ; 2. Phương trình có nghiệm duy nhất: • Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh x 0 là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm). • Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghòch biến). CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ I. CỰC TRỊ: () ( ) () () () ( ) () () f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-) 0 f đạt cực trò tại x f ' x 0 00 f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( ) 0 f' a 0 f có đạt cực trò tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trò 00 fa b f đạ ⇔> + ⇒=⇒ ⇔< + = ⇒= ⇔ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ () { () () () { () () () () a0 t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trò 0 f' x 0 Vô nghiệm a0 f ' x 0 không đổi dấu 0 f' x 0 Nghiệm kép f' x 0 f' x 0 00 f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x 00 f" x 0 f" x 00 ≠ ⇔= ⇔ ⇒ Δ> = ≠ ⇔= ⇔ ⇔ Δ≤ = == ⇔⇒ ⇔ < ⎡ ⎢ ⎣ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0> ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ: () () () 22 ax bx c aa'x 2ab' x bb ' a'c yy'f'x 2 a'x b' a'x b' 2 y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0 *f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0 b' *f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag - a' ++ + + − =⇒== + + =⇔ + + − = ≠ ⇔Δ > ⇔Δ < ⎛ ⎜ ⎝ () () 0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ. y' 0 y' 0;x x 2 điểm cực trò cùng 1 phía đối với Ox 12 *f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT cùng dấu đồ thò cắt Ox tại 2 điểm phâ y.y 0 max min <⇒ =Δ> ≠ ⇔⇔ > ⎞ ⎟ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ () () () () () y' 0 y' 0 n biệt y0 y0 y' 0 y' 0 y' 0 y' 0;x x 12 *f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT trái dấu Đồ thò không cắt Ox y0 y0 y.y 0 max min *Điều kiện cần và đủ để tồn ⎧ =Δ> ⎪ ⇔ ⎨ =Δ> ⎪ ⎩ =Δ> =Δ> ≠ ⇔⇔⇔ =Δ< < ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎧ ⎨⎨ ⎩ ⎩ () b' tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0 a' −> ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 10 III. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG: 1. Dạng 1: () 42 2 y ax bx c y' 2x 2ax b 2x 0 y' 0 2 2ax b 0 (1) f có 3 cực trò (1) có hai nghiệm phân biệt x 0 * f có 2 điểm uốn ab 0 a0,b0 f có một cực trò a 0, b 0 * f không điểm uốn (1) vô nghiệm =++⇒= + = =⇔ += ≠ ⇔ < =≠ ≠= ⇔ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡⎡ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ab 0≥ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2. Dạng 2: () () 432 2 yaxbxcdy'x4ax3bxc x0 y' 0 2 4ax 3bx c 0 (2) 0 f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép * g0 0 mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0 =+++⇒= ++ = =⇔ ++= Δ≤ ⇔⇔ = =≠ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎡⎡ ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ 3. Dạng 3: () () ()() () () () 432 3 2 yaxbxcxdxey'4ax3bx2cxd 2 y' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép 0 * f có một cực trò g0 g x 0 có nghiệm x hoặc x =++++⇒= + ++ =−α ++ =−α = α = Δ≤ ⇔⇔ α = ==α≠α ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Chú ý: () [] 1) f có cực trò mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x 12 2) f có cực trò mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x 1212 3) f có cực trò trong ; y ' 0 thỏa x x 12 4) f đạt CĐ tại x , , đạt α⇔ = α< < α⇔ <α< < ≤α αβ ⇔ = α< < <β ∈αβ [] CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x 01 ∈αβ⇔ = α≤ ≤β≤ 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ: 1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố đònh của (C m ) : y = f m (x) có bậc ba: 1/ Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm cố đònh hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố đònh tương ứng từ y 0 = f m (x 0 ) (I) là: () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++= +++= ⇔ )II(0dxcxbxaxg )I(dxcxbxaxf 101 2 01 3 010 202 2 02 3 020m Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố đònh. 2/ Thực hiện phép chia đa thức f m (x 0 ) : g(x 0 ) để đưa (I) về dạng: () ()  quả hệtrình phương 0 khôngbằng 000 xxgxfy β+α+γ== () β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố đònh của (C m ); ∀m. Hay ba điểm cố đònh của (C m ) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố đònh đó). 2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trò của hàm bậc ba (C m ) : y=f m (x) [...]... = [a; b] B2: Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trò y0=f(x0) của các cực trò đòa phương tại các điểm B Tìm f(a), f(b): là các số trò biên của hàm f B3: So sánh f(a), f(b) và các y0, ta có: M = max{f (a); f (b ); (các y 0 )} = max f (x ) B a≤ x ≤ b a≤ x ≤ b m = min{f (a ); f (b ); (các y 0 )} = min f (x ) a≤ x ≤ b Ghi chú: Khi viết a≤ x ≤ b m ≤ f (x ) ≤ M , ta có tập giá trò của hàm f là: f(Df) =... ⎞⎤ 2 Hàm bậc 3: Tâm đối xứng là điểm uốn I ⎢− ; f ⎜ − ⎟⎥ ⎣ 3a ⎝ 3a ⎠⎦ 3 Hàm bậc 4: Hàm chẵn ⇒ I ≡ 0 ⎛ d a⎞ 4 Hàm nhất biến: Tâm đối xứng I⎜ − ; ⎟ giao điểm của TCĐ và TCN ⎝ c c⎠ 2 ⎛ b a' b − 2ab' ⎞ ⎟ giao điểm của TCĐ và TCX 5 Hàm hữu tỷ : I⎜ − ; 1 ⎜ a (a')2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 Hàm bậc 2: CHỦ ĐỀÀ 12: KHOẢNG CÁCH I KHOẢNG CÁCH: 1 Khoảng cách giữa 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) là B 2 Khoảng cách từ M(x0;y0) đến (Δ):... Phương pháp 2: Các dạng biện luận bằng đồ thò trong trường hợp phức tạp khác Cần kết hợp một trong các tính chất sau: Đặt ẩn phụ tìm biến thiên của ẩn phụ Giới hạn đồ thò và tìm tương quan số các ẩn số giữa nghiệm phụ và nghiệm chính • Xét dấu nghiệm số phương trình bằng đồ thò So sánh nghiệm số với số α bằng đồ thò điều kiện của ẩn số và giới hạn đồ thò Người ta còn có thể biện luận bằng cách sử dụng... VÀ CÁC HÀM KHÁC Đạo hàm: { y' = } A B 2 A C B C x −2 x+ a b a c b c (ax 2 + bx + c ) 2 Tùy theo tam thức bậc hai ở tử thức y’ hàm số có thể đơn điệu (đồng biến hay nghòch biến) trên từng khoảng của miền xác đònh Có thể có một cực trò (nếu tam thức có nghiệm kép) hay hai cực trò (nếu tam thức có hai nghiệm phân biệt) • Tiệm cận: hàm số luôn có tiệm cận ngang: y= A a Số tiệm cận đứng phụ thuộc vào số. .. tiếp tuyến với (C) Qua mọi III HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3) 1 • Dạng 1: Hàm bậc bốn 3 (C) : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a ≠ 0) 2 Đạo hàm: y’ = 4ax + 3bx + 2cx + d là một đa thức bậc ba nên ít nhất một nghiệm thức α Như vậy đạo hàm y’(x) có thể viết dưới dạng: y’=(x - α).g(x) Trong đó: g(x) là một đa thức bậc hai px2 + qx + r (mà các hệ số p, q, r phụ thuộc vào α, a,... theo số tiệm cận đứng, số cực trò, đồ thò của hàm số sẽ có các dạng khác nhau • CHỦ ĐỀÀ 7: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ - PHÉP SUY ĐỒ THỊ I BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1 Phương pháp 1: Dạng cơ bản f(x) = m Vẽ đồ thò (C) : y= f(x) (Nếu chưa có sẵn đồ thò) • Xét sự tương giao của đường thẳng lưu động song song với trục hoành (d): y = m với • (C) y = f(x) Tùy theo số giao... Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 Tích khoảng cách từ 1 điểm di động trên đồ thò đến 2 đường tiệm cận không đổi Tìm TCĐ (Δ1), TCX (Δ2) M(x0,y0) ∈ (C) Tính d1[M, (Δ1)] và d2[M, (Δ2)] ⇒ d1d2 = hằng số 2 Tổng các khoảng cách từ 1 điểm trên đồ thò đến 2 đường tiệm cận hoặc đến 2 trục tọa độ ngắn nhất dùng BĐT Côsi 3 Khoảng cách 2 điểm trên đồ thò ngắn nhất dùng BĐT Côsi II TÌM ĐIỂM NGUYÊN... 0) có bốn nghiệm tạo thành một cấp số cộng 4 2 2 Dạng 2: Hàm trùng phương (C) : y = ax + bx + c (a ≠ 0 ) • MXĐ: D = (− ∞;+∞ ) • • Hàm số chẵn (trục đối xứng của (C) là Oy) Sự biến thiên: Xét đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) 23 A B C D 0 x Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net Nếu ab ≥ 0 ⇒ y' = 0 chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trò, đồ thò không có điểm... (d ) hay A, I, B thẳng hàng • Do đó tọa độ các điểm cực trò và điểm uốn là: ⎧x AI = x CĐ A⎨ ; ⎩y A = αx CĐ + β ⎧x A = x CT B⎨ ; ⎩y A = αx CT + β 3 Quỹ tích của cực trò, điểm uốn hàm bậc ba Từ các tọa độ A, B, I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó Khử tham số m Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trò tham số Quỹ tích của A, B hay I là (d ) : y = αx... từ một điểm bất kỳ M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola đều vuông góc với nhau và đồng thời đoạn nối các tiếp điểm T1T2 luôn luôn đi qua tiêu điểm F của (P) (t2) có ít nhất ba thực nghiệm α (P) (t1) T1 T2 (d) M (C) : y = f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d (C) : y = f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) • MXĐ: D = (− ∞;+∞ ) II HÀM BẬC BA: y′ = 3ax2 + 2bx + c và y′′ = 6ax + 2b • Các đạo hàm: • Tâm đối xứng . http://www.toanthpt.net 1 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh. học của đạo hàm) • Nếu một hàm f có đạo hàm tại x 0 thì hàm f liên tục tại điểm x 0 . • Nhưng một hàm f liên tục tại x 0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm