TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 91 MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION Nguyễn Hoàng Thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong 3 ¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báo của ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly 76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn đưa ra một câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích Descartes Xx[0,1] có hay không tính chất điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động. Bài báo này chỉ ra một ví dụ về tập A không là AR có tính chất điểm bất động mà tích Descartes XxA ( trong đó X là tập thiết lập bởi R.H.Bing trong Theorem 14 của [1] ) có tính chất điểm bất động. ABSTRACT in the American Mathematical Monthly (76-1969, pp119-132) R.H.Bing utilized an example of an arcwise connected set X in 3 ¡ with a fixed point property. In that paper, he poses a question (question 5) if Xx[0,1] has a fixed point property. In 1970 W.L.Young gave a positive answer to Bing’s question. Le Hoang Tri (1995) proves that if A is a compact AR-space then XxA has a fixed point property. This paper gives an example of set A which has a fixed point property but is not an AR . And XxA also has a fixed point property. 1. Đặt vấn đề Trong toàn bộ bài báo tập ta qui ước X là tập liên thông đường do Bing thiết lập trong [1] (Hình 1). Năm 1967 Knill chỉ ra một tập B có tính chất điểm bất động nhưng Bx[0,1] không có tính chất điểm bất động (xem [3]). TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 92 Năm 1969 Bing đã thiết lập một tập X (Hình 1) trong 3 ¡ (xem [1]) có tính chất điểm bất động mà XD∪ không có tính chất điểm bất động, ở đây D là hình chữ nhật và XD∩ là 1 đoạn. Tiếp đó Bing đặt câu hỏi liệu XxI có hay không tính chất điểm bất động với I là đoạn [0,1](xem [1], question 5). Năm 1970 Young trả lời được câu hỏi của Bing bằng việc chứng minh rằng XxI có tính chất điểm bất động (xem [5]). Năm 1995 Le Hoang Tri trong [4] đã tổng quát được kết quả của Young với việc chứng minh định lí. Định lí 1. Nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động. Câu hỏi đặt ra ở đây là nếu A không phải là AR thì liệu XxA có hay không tính chất điểm bất động? Trước hết ta đi xây dựng tập A (Hình 2). Đặt 2 12 11 A {(0,y) | y [-1,1]}, A ={(x,sin )| x (0, ]} xπ = ∈∈ ∈ và 12 AA A = ∪ .Ta dễ dàng có được các kết quả sau Bổ đề 1. A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải là một AR. Bổ đề 2. A có tính chất điểm bất động. 2. Giải quyết vấn đề Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi đã nêu trong phần đặt vấn đề. Định lí 2. Tồn tại một tập A có tính chất điểm bất động mà không phải là AR và XxA có tính chất điểm bất động. Chứng minh. Giả sử XxA không có tính chất điểm bất động, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục f :XxA XxA→ không có điểm bất động. Từ đó theo kết quả của Young (xem [5]) thì TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 93 11 f(XxA ) XxA⊄ . (1) Kí hiệu p: XxA X→ là phép chiếu từ XxA lên X, q :XxA A→ là phép chiếu từ XxA lên A Kí hiệu 2 1 p: → , 2 2 p: → tương ứng là các phép chiếu từ 2 lên thành phần thứ nhất và lên thành phần thứ hai. Do (1) nên 12 f(XxA ) XxA∩ ≠∅ . Vậy ta có 12 f(XxA ) XxA∪ là tập liên thông đường. Giả sử 12 f(XxA ) XxA⊄ .Khi đó 11 f(XxA ) XxA∩ ≠∅ . Vậy 11 f(XxA ) XxA∪ là tập liên thông đường. Do 11 12 1 (f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA ) f (XxA )∪∩ ∪ ⊃ nên 11 12 (f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪∪ ∪ liên thông đường. Từ đó do 1 2 11 12 (XxA ) (XxA ) (f(XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪ = ∪∪ ∪ và do 12 XxA XxA XxA= ∪ nên ta có XxA là tập liên thông đường. Suy ra A liên thông đường (vô lí). Vậy 12 f(XxA ) XxA⊂ . (2) Chọn xX∈ và một dãy n2 {M } A⊂ sao cho n M (0,1)→ . Hiển nhiên n (x,M ) (x,(0,1))→ . Vì f liên tục nên n f(x,M ) f(x,(0,1))→ . Do các phép chiếu là liên tục ta có n q f(x,M ) q f(x,(0,1))→ và 1 n1 p q f(x,M ) p q f(x,(0,1))→ . Do (2) ta có 1 p q f (x, (0,1)) 0> . Vậy tồn tại 0 n ∈ sao cho 0 1n p q f(x,M ) 0> . Suy ra 0 n2 q f(x,M ) A∈ và vì vậy 0 n2 f(x,M ) XxA∈ (3) Giả sử 22 f(XxA ) XxA⊄ . Khi đó 21 f(XxA ) XxA∩ ≠∅ . Do đó 21 f(XxA ) XxA∪ là tập liên thông đường. Và do (3) nên 22 f(XxA ) XxA∩ ≠∅ suy ra 22 f(XxA ) XxA∪ là một tập liên thông đường. Và do 21 22 2 (f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA ) f(XxA )∪∩ ∪ ⊃ nên 21 22 (f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪∪ ∪ liên thông đường. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 94 Từ đó do 1 2 21 22 (XxA ) (XxA ) (f(XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪ = ∪∪ ∪ và do 12 XxA XxA XxA= ∪ nên ta có XxA là tập liên thông đường. Suy ra A liên thông đường (vô lí). Vậy 22 f(XxA ) XxA⊂ . (4) Từ đó 12 2 f(XxA) f(XxA XxA ) XxA= ∪⊂ . Suy ra 2 q f(XxA) q(XxA )⊂ . Từ đó 1 12 1 p q f (XxA) p q(XxA ) (0, ] π ⊂⊂ . Do XxA là tập compact và 1 p qf là ánh xạ liên tục nên tồn tại 01 ε min p q f (XxA)= . (5) Xét 2 điểm 02 0 11 P( ,0),Q(ε ,sin ) A πε ∈ và đoạn [P,Q] trên 2 A .Ta thấy do (5) nên 10 1 p q f (XxA) [ε, ] π ⊂ suy ra q f (XxA) [P,Q]⊂ và vì thế f(XxA) Xx[P,Q]⊂ . Do 2 Xx[P,Q] XxA⊂ nên f (Xx[P,Q]) Xx[P,Q]⊂ .Và hiển nhiên vì [P,Q] là đồng phôi với [0,1] nên [P,Q] là AR compact. Vậy theo định lí 1 thì Xx[P,Q] có tính chất điểm bất động. Do đó Xx[P,Q] f có điểm bất động suy ra f có điểm bất động. 3. Kết luận Với kết quả của Knill thì nếu B là tập có tính chất điểm bất động thì chưa chắc BxA với A là một AR đã có tính chất điểm bất động. Với tập liên thông đường X mà Bing nêu ra thì XxA trong đó A là một AR compact là có tính chất điểm bất động. Bài báo này đã chỉ ra được một ví dụ về tập A không phải là AR mà tích Descartes Xx A (trong đó X là tập do Bing thiết lập) có tính chất điểm bất động. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.H.Bing, The elusive fixed point property, The Amer.Math.Monthly.76, pp119- 132, 1969. [2] J. Dugundji and A.Granas, Fixed point theory, Springer, 2003. [3] R.J.Knill and Cones, Product and fixed point. Fund. Math. 60, pp 35-46, 1967. [4] Le Hoang Tri, On Bing's question about fixed point property. Acta Math. Vietnam. 20 [5] W.L.Young, A product space with the fixed point property, Proc. Amer. Math. Soc. 25, pp 313-317, 1970. , no. 2, 257-264, 1995. . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 91 MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION. Bổ đề 1. A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải là một AR. Bổ đề 2. A có tính chất điểm bất động. 2. Giải quyết vấn đề Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi. tập liên thông đường X trong 3 ¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báo của ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly 76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn đưa ra một câu hỏi