cực trị của hàm số ôn thi đại học

hay

Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức • Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình • Hồnh độ x1, x2 y′ = có nghiệm phân biệt y′ = điểm cực trị nghiệm phương trình • Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích – Suy y = f ′( x ).q( x ) + h( x ) y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: • Gọi α góc hai đường thẳng tan a = y = h( x ) d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 k1 − k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k=p (hoặc k=− ) p Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k = tan a k−p = tan a + kp (Đặc biệt d ≡ Ox, giải điều kiện: ) Trang Khảo sát hàm số Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B ∆ với trục Ox, Oy – Giải điều kiện S∆ IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện S∆ IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB – Giải điều kiện: ∆ ⊥ d I ∈ d  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hồnh độ điểm cực Trang 10 Khảo sát hàm số trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1 = (−∞;α ) K2 = (α ; +∞) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x −a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (−∞;α ) Hàm số có cực trị khoảng (−∞;α ) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (−∞;α ) ⇔ g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = (α ; +∞) Hàm số có cực trị khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (α ; +∞) ⇔ g(t ) = có nghiệm t > P <  ∆ ' ≥ ⇔   S < P ≥  P <  ∆ ' ≥ ⇔   S > P ≥  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị a) x1 < α < x2 b) x1, x2 thoả: x1 < x2 < α c) α < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x −a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < α < x2 ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 ⇔ P < b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < α ∆ ' >  ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < ⇔ S < P >  c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả α < x1 < x2 ∆ ' >  ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả < t1 < t2 ⇔ S > P >  Câu Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m Trang 11 (1) Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) • y ′= −3 x + 6mx + 3(1 − m ) PT y ′= có ∆ = > 0, ∀m ⇒ Đồ thị hàm số (1) ln có điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y′ ta được: Khi đó: 1 m y =  x − ÷y ′+ x − m + m 3 3 y1 = x1 − m + m ; y2 = x2 − m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu Cho hàm số y = x + 3x + mx + m − y = x − m2 + m (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh • PT hoành độ giao điểm (C) trục hoành: x + x + mx + m − = (1) ⇔  x = −1   g( x ) = x + x + m − = (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục Ox ⇔ PT (2) (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác –1 ⇔ Câu Cho hàm số  ∆ ′= − m >   g(−1) = m − ≠ y = − x + (2m + 1) x − (m − 3m + 2) x − ⇔ m  2m − > y = x − 3x − mx + y ′= có m ≠  ⇔ m >  (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x −1 • Ta có: y ' = 3x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3x − x − m = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 Gọi hai điểm cực trị x1; x2 (*) A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) Thực phép chia y cho y′ ta được: 1  2m   1 m y =  x − ÷y '+  − ÷x +  + ÷ 3 3 3     2m   2m  m m ⇒ y1 = y( x1 ) =  − ÷x1 + + ; y2 = y( x2 ) =  − ÷x2 + + 3     ⇒  2m  m − ÷x + +   Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị ∆: y =  Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x − ⇔ xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x −1 ⇔ 2m −2 =1⇔ m = (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng Trang 13 y = x −1 Khảo sát hàm số y1 + y2 x1 + x2  2m   m = −1 ⇔  − ÷( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) − 2 3     2m   m ⇔ − ÷.2 +  + ÷ = ⇔ m = 3    ⇔ yI = xI − ⇔ Vậy giá trị cần tìm m là: Câu Cho hàm số y = x − 3mx + 4m3 m=0 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x • Ta có: x = y′ = x − 6mx ; y′ = ⇔  x = 2m  Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ uu ur AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x ⇔ m=± Câu  AB ⊥ d I ∈ d  ⇔ 2m − 4m =   ⇔ 2m = m  2 Cho hàm số y = − x + 3mx − 3m − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: • x + 8y − 74 = y ′= −3 x + 6mx ; y ′= ⇔ x = ∨ x = 2m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT Khi điểm cực trị là: y ′= A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) Trung điểm I AB có toạ độ: Đường thẳng d: có nghiệm phân biệt ⇔ x + 8y − 74 = có I (m;2m − 3m − 1) r VTCP u = (8; −1) Trang 14 ⇒ m≠0 uu ur AB(2m;4m3 ) Khảo sát hàm số A B đối xứng với qua d ⇔ I ∈ d  AB ⊥ d  ⇔  m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = u u r  ur  AB.u =  ⇔ m=2 Câu hỏi tương tự: a) Câu y = x − x + m x + m, d : y = Cho hàm số x− 2 ĐS: y = x − x + mx m=0 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: • Ta có x − 2y − = y = x − x + mx ⇒ y ' = x − x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ m < Ta có: 1 2  1 y =  x − ÷y ′+  m − ÷x + m 3 3 3  ⇒ đường thẳng ∆ qua điểm cực trị có phương trình nên ∆ có hệ số góc d: 2  y =  m − ÷x + m 3  k1 = m − x − 2y − = ⇔ y = x − 2 ⇒ d có hệ số góc k2 = Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d ⊥ ∆ ⇒  12 k1k2 = −1 ⇔  m − ÷ = −1 ⇔ m = 2  Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I ∈ d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x + m − Trang 15 (1) có đồ thị (Cm) Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối y= xứng với qua đường thẳng d: • x y ' = x − 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∆ ' = 9(m + 1)2 − 3.9 > Ta có ⇔ m ∈ (−∞; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; +∞) 1 m +1 ′ y= x− ÷y − 2(m + 2m − 2) x + 4m + 3   Giả sử điểm cực đại cực tiểu A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I trung điểm AB ⇒ y1 = −2(m2 + 2m − 2) x1 + 4m + ; y2 = −2(m2 + 2m − 2) x2 + 4m +  x1 + x2 = 2(m + 1)  x x =  và: Vậy đường thẳng qua hai điểm  AB ⊥ d I ∈ d  ⇔ y = x − 3(m + 1) x + x − m , với cực đại cực tiểu y = −2(m2 + 2m − 2) x + 4m + A, B đối xứng qua (d): Câu 10 Cho hàm số y= x ⇔ m =1 m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với 2) Xác định • Ta có m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho m =1 x1 − x2 ≤ y ' = x − 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ PT y ' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT x − 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt  m > −1 + ⇔ ∆ ' = (m + 1)2 − > ⇔   m < −1 − + Theo định lý Viet ta có x1, x2 (1) x1 + x2 = 2(m + 1); x1 x2 = Khi đó: x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1x2 ≤ ⇔ ( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1)2 ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm Trang 16 −3 ≤ m < −1 − (2) −1 + < m ≤ Khảo sát hàm số Câu 11 y = x + (1 − 2m ) x + (2 − m ) x + m + , Cho hàm số m với tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với 2) Xác định • Ta có: m x1, x2 để hàm số cho đạt cực trị cho x1 − x2 > ⇔ y' = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử  ⇔ ∆ ' = (1 − 2m)2 − 3(2 − m) = m − m − > ⇔  m >  m < −1  số x1 + x2 = − đạt cực trị điểm x1, x2 x1 < x2 ) (*) Khi 2 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1x2 > ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) > ⇔ 16m2 − 12m − > ⇔ m > Kết hợp (*), ta suy Cho hàm số m> + 29 − 29 ∨m< 8 + 29 ∨ m < −1 y = x − mx + mx − , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với 2) Xác định • Ta có: ta 2(1 − 2m) 2−m ; x1x2 = 3 x1 − x2 > Câu 12 y ' = x + 2(1 − 2m) x + (2 − m ) Hàm số có CĐ, CT Hàm m =1 m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho m =1 x1 − x2 ≥ y ' = x − 2mx + m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y' = có nghiệm phân biệt ⇔ m < m >  (*) Khi đó: ∆′ = m − m > x1 − x2 ≥ ⇔ ⇔ ( x1 − x2 )2 ≥ 64 ⇔ x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) x1 + x2 = 2m, x1x2 = m m − m − 16 ≥ Trang 17 ⇔  − 65 m ≤  + 65  m ≥  (thoả (*)) có: Khảo sát hàm số Câu 13 Cho hàm số 1 y = x − (m − 1) x + 3(m − 2) x + , 3 với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với 2) Xác định • Ta có: m để hàm số cho đạt cực trị x1 + x2 =  x1 + x2 = 2(m − 1)  x x = 3(m − 2)  ⇔ 8m2 + 16m − = ⇔ m = Cho hàm số y ′= có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (luôn với ∀m) ∆′ > ⇔ m − 5m + > Khi ta có: Câu 14 cho y ′= x − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ ⇔ x1, x2 m=2 ⇔ −4 ± 34  x2 = − m   x − x = 3(m − 2)  2( 2)  y = x + mx − x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị • y ′= 12 x + 2mx − Khi đó: x1, x2 thỏa x1 = −4 x2 Ta có: ∆′ = m2 + 36 > 0, ∀m ⇒ hàm số ln có cực trị  m  x1 = −4 x2 ; x1 + x2 = − ; x1x2 = −  ⇒m=± x1, x2 Câu hỏi tương tự: y = x + x + mx + ; x1 + 2x2 = a) Câu 15 Cho hàm số ĐS: y = x − ax − 3ax + m = −105 (1) (a tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện: x12 + 2ax2 + 9a a2 • y′ = x − 2ax − 3a ⇔ ∆ = 4a2 + 12a > Ta có: + a2 x2 + 2ax1 + 9a Hàm số có CĐ, CT ⇔ ⇔  a < −3 a >  =2 y′ = (*) Khi (2) có nghiệm phân biệt x1 + x2 = 2a , x1x2 = −3a x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a + 12a > Trang 18 x1, x2 Khảo sát hàm số toạ độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị • Ta có: Hàm số có điểm cực trị ⇔ PT y′ = x + 12mx + y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 4m − > ⇔ m > Khi ta có: ⇒ m< − (*)  x 2m  y= + ÷.y′ + (6 − 8m ) x − 4m 3  đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có PT là: ∆ : y = (6 − 8m ) x − 4m d (O, ∆) = Câu 30 −4m (6 − 8m2 )2 + Cho hàm số =  m = ±1 ⇔ 64m − 101m + 37 = ⇔   m = ± 37 (loaïi )   y = x − x + (m − 6) x + m − ⇔ m = ±1 (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm A(1; −4) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị • Ta có: y′ = x − x + m − 12 265 Hàm số có điểm cực trị ⇔ PT y′ = phân biệt ⇔ ∆′ = 32 − 3(m − 6) > ⇔ m < Ta có: (*) 2  y = ( x − 1).y′ +  m − ÷x + m − 3 3  ⇒ PT đường thẳng qua điểm cực trị ∆: ⇒ Câu 31 d ( A, ∆ ) = 6m − 18 4m − 72m + 333 Cho hàm số = 12 265 y = x − x + mx + ⇔ 2  y =  m − ÷x + m − 3  m =  1053 m = 249  (thoả (*)) (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Trang 26 có nghiệm Khảo sát hàm số 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm  11  I ; ÷ 2  đến đường thẳng qua hai điểm cực trị lớn • Ta có: y′ = x − x + m Hàm số có điểm cực trị ⇔ PT y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ m < Ta có:  x 1  2m  m y =  − ÷y′ +  − ÷x + +  3   ⇒ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: Dễ dàng tìm điểm cố định ∆  2m  m ∆:y = − ÷x + +   u   ur   A  − ;2 ÷ AI =  1; ÷    4 Gọi H hình chiếu vng góc I ∆ Ta có Vậy Câu 32 d (I , ∆) = IH ≤ IA max(d ( I , ∆)) = Cho hàm số Dấu "=" xảy ⇔ IA ⊥ ∆  2m  − ÷ = ⇔ m =  ⇔ 1+   m =1 y = x + 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m + 3m (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Chứng minh với m, đồ thị (Cm) ln có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị khơng đổi • Ta có:  x = −2 − m y′ = x + 6(m + 1) x + 6m(m + 2) ; y′ = ⇔  x = − m  Đồ thị (Cm) có điểm cực đại Câu 33 Cho hàm số A(−2 − m;4) điểm cực tiểu B(− m;0) ⇒ AB = y = x − 3(m + 1) x + 6mx + m3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho • Ta có: ⇔ y′ = 6( x − 1)( x − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ m ≠ Trang 27 y′ = AB = có nghiệm phân biệt Khảo sát hàm số Khi điểm cực trị AB = Câu 34 ⇔ A(1; m3 + 3m − 1), B(m;3m ) (m − 1)2 + (3m2 − m3 − 3m + 1) = ⇔ m = 0; m = Cho hàm số (thoả điều kiện) y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + 4m − (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho ∆OAB vuông O x = m +1 ⇒ y = m − y ′= x − 6mx + 3(m2 − 1) ; y ′= ⇔  x = m − ⇒ y = m +  uu u r uu ur A(m + 1; m − 3) , B(m − 1; m + 1) ⇒ OA = (m + 1; m − 3) , OB = (m − 1; m + 1) • Ta có: ⇒ ∆OAB vng O ⇔ Câu 35 uu u u u ur r OA.OB = ⇔  m = −1 2m − m − = ⇔  m = y = x − 3(m + 1) x + 6mx + m3 Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC vuông C, với • Ta có: C(4;0) y′ = 6( x − 1)( x − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ Khi điểm cực trị A(1; m3 + 3m − 1), B(m;3m ) ⇔ Câu 36 có nghiệm phân biệt m ≠ ∆ABC vuông C ⇔ ⇔ y′ = uu uu ur ur AC BC = ⇔ (m + 1)  m2 (m2 − m + 1) + 3m − 5m +  =   m = −1 Cho hàm số y = x + 3x + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −4 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho ·AOB = 1200 Trang 28 Khảo sát hàm số • Ta có:  x = −2 ⇒ y = m + y ′= x + x ; y ′= ⇔  x = ⇒ y = m  Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(−2 ; m + 4) uu u r uu ur OA = (0; m), OB = (−2; m + 4) ⇔ m(m + 4) ( m2 + (m + 4)2 ) =− Để ·AOB = 1200 cos AOB = − −4 < m < ⇔ m2 + (m + 4)2 = −2m(m + 4) ⇔  2 3m + 24m + 44 = ( ) −4 < m < −12 +  ⇔ −12 ± ⇔ m = m =  Câu 37 Cho hàm số y = x − 3x + m2 − m + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu A B cho diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; ) • Ta có y ' = x − x ; y ' = ⇔ x − x = ⇔ x = 0; x = Các điểm CĐ, CT đồ thị là: ⇒ Hàm số ln có CĐ, CT A(0; m − m + 1) , B(2; m − m − 3) , AB = 22 + (−4)2 = Phương trình đường thẳng AB: x − y − m2 + m − = −4 ⇔ x + y − m2 + m − = m = 1 m2 − m + S∆ ABC = d (C , AB) AB = = m − m + = ⇔  2  m = −2 Câu hỏi tương tự: a) Câu 38 y = x − 3mx + 2, C (1;1), S = 18 Cho hàm số ĐS: y = x − 3(m + 1) x + 12mx − 3m + m=2 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị A B cho hai điểm với điểm  9 C  −1; − ÷lập 2  thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Trang 29 Khảo sát hàm số • Ta có y ' = x − 3(m + 1) x + 12m phân biệt ⇔ Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆ = (m − 1)2 > ⇔ m ≠ y′ = có hai nghiệm (*) Khi hai cực trị A(2;9m), B(2m; −4m + 12m − 3m + 4) ∆ABC nhận O làm trọng tâm ⇔ Câu 39 Cho hàm số 2 + m − =  ⇔m=−  2  −4m + 12m + 6m + − =  y = f ( x ) = x + 3(m − 3) x + 11 − 3m (thoả (*)) ( Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1, M2 cho điểm M1, M2 B(0; –1) thẳng hàng • y′ = x + 6(m − 3) y′ = Chia f (x) cho f ′( x ) ⇔ x = x = − m  ta được: Hàm số có cực trị ⇔ Câu 40 thẳng hàng ⇔ Cho hàm số B ∈ M1M2 ⇔ y = −(m − 3)2 x + 11 − 3m m=4 (thoả (*)) y = x − mx + (m2 − 1) x + (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu • Ta có: m=2 yCĐ + yCT > x = m +1 y′ = x − 2mx + m2 − y′ = ⇔  x = m −  yCÑ + yCT > Câu 41 (*) 1 m −3 f ( x ) = f ′( x )  x + ÷− (m − 3) x + 11 − 3m  3 ⇒ phương trình đường thẳng M1M2 là: M1, M2 , B m≠3 ⇔ Cho hàm số −1 < m < 2m3 − m + > ⇔  m > 1 y = x − (m + 1) x + (m + 1)3 3 (1) (m tham số thực) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị (1) nằm phía (phía phía ngồi) đường trịn có phương trình (C): Trang 30 x + y2 − x + = Khảo sát hàm số • x = y′ = x − 2(m + 1) x y′ = ⇔  x = 2(m + 1)  Hàm số có cực trị ⇔ m ≠ −1 Gọi hai điểm cực trị đồ thị là:   A  0; (m + 1)3 ÷, B(2(m + 1);0)   (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = IA = + (1) A, B nằm hai phía (C) ⇔ 16 (m + 1)6 , (IA2 − R )(IB − R ) < IB = 4m ⇔ 1 4m2 − < ⇔ − < m < 2 (2) Kết hợp (1), (2), ta suy ra: Câu 42 Cho hàm số 1 − 0, ∀m ⇒ hàm số ln có hai điểm cực trị x1, x2 Ta có: 2 y = ( x − m).y′ − (m + 1) x + m + 3 ⇒ Giả sử điểm cực trị (Cm) 2 y1 = − (m2 + 1) x1 + m + ; 3 A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) 2 y2 = − (m + 1) x2 + m + 3 Trang 31 Khảo sát hàm số Do đó:    4 AB = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = (4m2 + 4) 1 + (m2 + 1)2  ≥  + ÷    9 ⇒ 13 AB ≥ Câu 44 Dấu "=" xảy ⇔ Cho hàm số m=0 Vậy AB = 13 m=0 y = x − x − mx + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ tam giác cân • y′ = x − x − m Ta có: Hàm số có cực trị ⇔  2m  m y = ( x − 1).y′ +  − − ÷x + − 3   đồ thị có phương trình: ∆ cắt Ox, Oy m=− (m ≠ 0) m−6 6−m = 2(m + 3) ⇔ m = 6; m = − ; m = − 2 x − mx + (m2 − m + 1) x + Cho hàm số : y = m > −3 ⇒ Đường thẳng ∆ qua điểm cực trị  m−6   6−m A ;0 ÷, B  0; ÷    2(m + 3)  Đối chiếu điều kiện ta có có nghiệm phân biệt ⇔  2m  m y = − − ÷x + −   Tam giác OAB cân ⇔ OA = OB ⇔ Câu 45 y′ = (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = (−∞;1) 2) Tìm m để hàm số có cực trị khoảng • Tập xác định D = R Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 y′ = x − 2mx + m2 − m + ta : y ' = g(t ) = t + ( − m ) t + m − 3m + Hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞;1) ⇔ f (x) = có nghiệm khoảng (−∞;1) ⇔ g(t ) = có nghiệm P <  ∆ ' ≥ t < ⇔   S < P ≥   m2 − 3m + <   ⇔  m − ≥ ⇔1< m <  2 m − <  m − 3m + ≥  Trang 32 Khảo sát hàm số Vậy: Với Câu 46 < m < hàm số (1) có cực trị khoảng x − mx + (m2 − m + 1) x + Cho hàm số : y = (−∞;1) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = (1; +∞) 2) Tìm m để hàm số có cực trị khoảng • Tập xác định D = R Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 y′ = x − 2mx + m − m + ta : y ' = g(t ) = t + ( − m ) t + m − 3m + Hàm số(1) có cực trị khoảng (1; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (1; +∞) ⇔ g(t ) = có nghiệm Vậy: Với m >1 P <  ∆ ' ≥ t > ⇔   S > P ≥  Câu 47  m2 − 3m + <   ⇔  m − ≥  2 m − >  m − 3m + ≥  hàm số (1) có cực trị khoảng x − mx + (m2 − m + 1) x + Cho hàm số : y = ⇔1< m (1; +∞) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị • Tập xác định D = R Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 (1) có hai cực trị thoả mãn x1 < < x2 y′ = x − 2mx + m − m + ta được: x1, x2 x1, x2 thoả y ' = g(t ) = t + 2(1 − m)t + m − 3m + x1 < < x2 ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 x1 < < x2 thoả ⇔ P < ⇔ m − 3m + < ⇔ < m < < m < hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 Cho hàm số : y = x − mx + (m2 − m + 1) x + (1) Vậy: Với Câu 48 thoả mãn 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị • Tập xác định D = R x1, x2 thoả mãn y′ = x − 2mx + m − m + Trang 33 x1 < x2 < t1 < < t2 Khảo sát hàm số Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 ta : x1, x2 (1) có hai cực trị y ' = g(t ) = t + ( − m ) t + m − 3m + thoả x1 < x2 < ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < ∆ ' >  ⇔ S < P >  m − >  ⇔ m − 3m + > ⇔ m ∈ ∅ 2m − <  Vậy: Khơng có giá trị m thoả YCBT Câu 49 x − mx + (m2 − m + 1) x + Cho hàm số : y = (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị • Tập xác định D = R Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn < x1 < x2 y′ = x − 2mx + m2 − m + ta : x1, x2 y ' = g(t ) = t + ( − m ) t + m − 3m + thoả < x1 < x2 ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 < t1 < t2 m − > ∆ ' >   ⇔ S > ⇔ m − 3m + > ⇔ m > P > 2m − >   Vậy: Với m > hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn Dạng 2: Cực trị hàm số trùng phương: < x1 < x2 y = f ( x ) = ax + bx + c A Kiến thức • Hàm số nhận x=0 làm điểm cực trị • Hàm số có cực trị ⇔ phương trình y′ = có nghiệm • Hàm số có cực trị ⇔ phương trình y′ = có nghiệm phân biệt • Khi đồ thị có điểm cực trị A(0; c), B( x1; y1), C ( x2 ; y2 ) Trang 34 ∆ABC cân A thoả Khảo sát hàm số B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân tam giác – Tìm điều kiện để phương trình y′ = có nghiệm phân biệt – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ∆ABC cân A – Giải điều kiện: ∆ABC vuông A ⇔ ∆ABC ⇔ uu u u ur ur AB.AC = AB = BC Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S cho trước – Tìm điều kiện để phương trình y′ = có nghiệm phân biệt – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ∆ABC cân A – Kẻ đường cao AH – Giải điều kiện: Câu 50 Cho hàm số S = S ABC = AH BC y = x − 2(m − m + 1) x + m − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn • y′ = x − 4(m − m + 1) x ; x = y′ = ⇔  x = ± m − m +1  Khoảng cách điểm cực tiểu: d = ⇒ Câu 51 d = ⇔m= Cho hàm số y=  1 m − m +1 = m − ÷ +  2 x − mx + 2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Trang 35 Khảo sát hàm số • x = y ′= x − 2mx = x ( x − m) y ′= ⇔  x = m Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ PT nghiệm ⇔ Câu 52 y ′= có m≤0 y = − x + 2mx − Cho hàm số (Cm ) m=2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị m để tất điểm cực trị (Cm ) nằm trục toạ độ • Ta có: x = y′ = −4 x + 4mx ; y′ = ⇔  x = m + Nếu m≤0 đồ thị có điểm cực trị + Nếu m>0 (Cm ) có điểm cực trị (0; −4) ∈ Oy A(0; −4), B(− m ; m − 4), C ( m ; m − 4) Để A, B, C nằm trục toạ độ B, C ∈ Ox ⇔ Vậy: Câu 53 m≤0 Cho hàm số m=2 y = x + (3m + 1) x − (với m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm tất giá trị m m = −1 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy • Ta có: m > ⇔m=2  m − = y ' = x + 2(3m + 1) x ; y ' = ⇔ x = 0, x = − Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔m0 có ba nghiệm phân biệt Khi ba điểm cực trị đồ thị (Cm) là: A(0; m − 1), B ( − m ; − m + m − 1) , C ( m ; −m + m − 1) SVABC = R= y − y A xC − x B = m m ; AB = AC = m + m , BC = m B m = AB.AC BC (m + m)2 m =1⇔ = ⇔ m3 − 2m + = ⇔  m = − 4SVABC 4m m   Câu hỏi tương tự: a) Câu 59 y = x − 2mx + Cho hàm số ĐS: y = x − 2mx + m = 1, m = −1 + (Cm) Trang 39 y′ Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =1 2) Tìm giá trị m để (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm • Ta có: 3 9 D  ; ÷ 5 5 x = y′ = x − 4mx; y′ = ⇔  x = m Hàm số có điểm cực trị ⇔ Khi điểm cực trị (Cm) là: I ( x; y ) Gọi Ta có: Câu 60 m>0 A(0;2), B(− m ; − m + 2), C ( m ; −m + 2) tâm đường tròn (P) ngoại tiếp ∆ABC  IA2 = ID   IB = IC  IB = IA  Cho hàm số ⇔ 3 x − y + =  2 x m = −2 x m ( x + m )2 + ( y + m − 2)2 = x + ( y − 2)2  y = x − 2(1 − m2 ) x + m + ⇔ x =  y = m =  Vậy m =1 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=0 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn • x = y′ = x − 4(1 − m ) x ; y′ = ⇔  2 x = 1− m Hàm số có cực trị ⇔ −1 < m < Khi điểm cực trị (Cm) là: ( A(0;1 + m) , B − − m ; − m2 Ta có: Vậy Câu 61 ) , C( S ABC = d ( A, BC ).BC = (1 − m )2 ≤ − m ; − m2 ) Dấu "=" xảy ⇔ m=0 max S ABC = ⇔ m = Cho hàm số y= x − (3m + 1) x + 2(m + 1) (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=0 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O • x = y′ = x − 2(3m + 1) x ; y′ = ⇔   x = 2(3m + 1) Hàm số có cực trị ⇔ Trang 40 m>− (*) ... Với m > hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn Dạng 2: Cực trị hàm số trùng phương: < x1 < x2 y = f ( x ) = ax + bx + c A Kiến thức • Hàm số nhận x=0 làm điểm cực trị • Hàm số có cực trị ⇔... (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực Trang 10 Khảo sát hàm số trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức... xảy ⇔ Cho hàm số m=0 Vậy AB = 13 m=0 y = x − x − mx + (1) 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với