tiếp tuyến của đồ thị hàm số ôn thi đại học

hay

§1 Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A Tóm tắt lý thuyết

Cho y= f x( ) ( )C

1 Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với ( )C tại M x f x( 0; ( )0 ) là đường thẳng

tiếp xúc nhau

Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến của ( )C

tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc ( )C

và M là nơi xảy

ra sự tiếp xúc

2 Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của ( )C là tiếp tuyến với ( )C tại một điểm N nào đó Điểm M có thể

thuộc ( )C hoặc không, trong trường hợp thuộc ( )C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không

(xem các hình vẽ ở dưới)

Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua M x y( 1; 1) của ( )C .

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x của 0 ( )C :

( ) (0 0) ( )0

:y f x' x x f x

B2 ∆ đi qua M khi và chỉ khi y1 = f x'( ) (0 x1−x0)+ f x( )0 Giải phương trình này để tìm x 0

B3 Thay mỗi x tìm được ở bước 2 vào phương trình 0 ∆, ta được một tiếp tuyến qua M của ( )C

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho

2 2

1

y x

− +

=

+ ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại điểm M có hoành độ

bằng 1

2 2 2

Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu y và ' y thay cho f và ' f trong trường hợp bài toán chỉ đề cập

đến một hàm số

Ví dụ 2 Cho y x= +3 4x2+5x+2 ( )C

Viết phương trình các tiếp tuyến của ( )C

tại những giao điểm của ( )C

x x

= −



 = −

Suy ra ( )C có hai giao điểm với trục hoành là M1(−2;0) và M2(−1;0).

Từ y' 3= x2+8x+5 suy ra y' 2( )− =1, y' 1( )− =0 Do đó phương trình tiếp tuyến với ( )C tại

x x

0

0

15'

4916

0 0

Bài 1 1 y=24x−43; 2 y=2, y=9x−7; 3 y=7x+4; 4 y=12x−15, y= −3221x+128645, 4

y= ; 5 y=4, y= −94x+74 Bài 2 M(−1;12).

§2 Điều kiện tồn tại tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Xét bài toán sau đây

Bài toán Cho đồ thị hàm số y= f x( ) ( )C

Tìm điều kiện của tham số để ( )C

có tiếp tuyến thỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x của 0 ( )C :

( ) (0 0) ( )0

:y f x' x x f x

B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng ∆ để nhận được một phương trình ẩn x Tiếp 0

tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm x 0

Chứng minh qua điểm I(− −1; 1) không tồn tại tiếp tuyến của ( )C

12

:

11

x

x x

12

11

x x

x x

31

1

x x

Vậy không tồn tại x để 0 ∆ đi qua I Nói cách khác qua I không có tiếp tuyến của ( )C .

Ví dụ 2 Cho y=4x2+3mx+6 ( )C Tìm m để ( )C có tiếp tuyến đi qua A(1; 2− ).

Giải Phương trình tiếp tuyến với ( )C

tại điểm có hoành độ x là:0

Giải Phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại điểm có hoành độ x (0 x0 ≠2) là:

( ) (0 0) ( )0

:y y x' x x y x

0 0

5:

22

x

x x

Qua A có tiếp tuyến tới ( )C

khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x : 0

( )2 ( 0) 0

0 0

5

22

x

x x

10x 21 0

2110

Trong trường hợp này ( )2 có nghiệm ⇒ ( )1 có nghiệm.

Trường hợp 2 a− ≠2 0 ⇔ a≠2 Khi đó ( )2

là phương trình bậc hai có ∆ = − +′ 5a 35 Do đó,

trong trường hợp này ( )1

có nghiệm khi và chỉ khi ( )2

Giải Phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại điểm có hoành độ x (0 x0 ≠1) là:

tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x sao cho hai đường thẳng 0 ∆ và d trùng nhau Tức là

hệ sau đây có nghiệm đối với x0

111

( )1 ⇔

0 0 0

12

( )C tiếp xúc với dkhi và chỉ khi m≠1.

Ví dụ 5 Cho y x= 4−8x2+7 ( )C Tìm m để đường thẳng :d y=60x m+ tiếp xúc với ( )C

Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và ( )C

Giải Phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại điểm có hoành độ x là:0

( ) (0 0) ( )0

:y y x' x x y x

( )C

tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x sao cho 0 ∆ và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ

sau đây có nghiệm đối với x0

( ) ( ) ( )

Vậy d tiếp xúc với ( )C

khi và chỉ khi m= −164 Khi đó hoành độ tiếp điểm là x0 =3.

C Bài tập

Bài 1 Cho 1

x y

x

=

− ( )C Chứng minh rằng qua I( )1;1 của ( )C , không tồn tại tiếp tuyến nào

của ( )C .

Bài 2 Tìm m sao cho đồ thị hàm số 1

x m y

−

=+ − có tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 2− ).

Bài 3 Cho y x= 4−2x2 ( )C .

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ( )C ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng y=3 mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ( )C .

a≤

; 2 Những điểm cần tìm có dạng A a( );3

với a∈ −∞ −( ; 3  ∪ 3;+∞)

§3 Hệ số góc của tiếp tuyến

A Giới thiệu

Ta biết rằng f x'( )0

là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm có hoành độ x0

Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến

12

x x

Giải Gọi ∆ là tiếp tuyến với ( )C

tại điểm có hoành độ x 0 ⇒ ∆ có hệ số góc là k= y x'( )0 .

− Tìm m để tiếp tuyến tại M của ( )C m song song với đường thẳng : 5d x y− =0.

Giải Phương trình tiếp tuyến tại M của ( )C m

m m

Tìm m để các tiếp tuyến của ( )C m

tại A và B vuông góc với nhau.

Do đó các tiếp tuyến của ( )C m tại A và B

vuông góc với nhau khi và chỉ khi

m m

y x

+ −

=+ và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

x

−

=+ và tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4d x y+ − =1 0.3) ( )C

Bài 4 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị ( )C của hàm số y=13x3− +x 23

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

§4 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho điểm M x y( 0; 0) và đường thẳng :∆ ax by c+ + =0 Ta có công thức tính khoảng cách từ

2. Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng

k k

x x

⇒ ( )0

2827

27

y x

• k= −1 ⇔ 6x02−8x0 + = −1 1 ⇔

0

0

113

x x

⇒ ( )0

127

27

.Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o của ( )C là: y x= , y x= −6427, y= −x, y= − +x 278 .

Ví dụ 2 Cho

1

x y

x

−

=+ ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

biết tiếp tuyến cách

Giải Phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại điểm có hoành độ x (0 0

12

13

10

x x

x x

0112

x x x x

• x0 =0 ⇒

( ) ( )

0 0

0 0

0

0

1'

30

0

0

1'

31

x y

x

−

=+ ( )C

.Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

biết tiếp tuyến cách đều các điểm A(−7;6) và B(−3;10).

Giải Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x (0 x0 ≠ −1) là:

( ) (0 0) ( )0

:y y x' x x y x

0 0

3 25

:

11

x

x x

−

++

⇔

0 0

12

x x

0

0

5'

412

0 0

Giải Giả sử x là hoành độ của M 0 ⇒ tiếp tuyến tại M của ( ) C có phương trình:

( ) (0 0) ( )0

:y y x' x x y x

0 0

11

x x

2 0 2 0

Vậy khoảng cách d I( ;∆) lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi x0 = − ±1 3 ⇔

x y x

=+ ( )C

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C

biết tiếp tuyến của ( )C

tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1

4

2'

1

y

x

=+ Xét điểm M∈( )C , M có hoành độ x Ta có phương trình tiếp tuyến 0

22

:

11

x

x x

++

2 0

22

:

x x

:

22

0

A

x x

y

x y

:

22

0

B

x x

y

x x

21

21

x OB

x

=

4 0 2 0

OAB

4 0 2 0

141

2

0 2

1

x x

; 22

M M

  ( )C m Tìm m để tiếp tuyến của ( )C m tại các điểm có

hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng

3

13

Bài 2 Cho

34

x y

x

−

=+ ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến cách A(− −4; 1)

x

+

=+ ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

biết khoảng cách từ điểm

  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4 [ĐHA09] Cho

2

x y x

+

=+ ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

biết tiếp tuyến cắt

các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O

Bài 5 Cho 2( 31)

x y

x

+

=+ ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến cắt các trục

tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O

Bài 6 Cho

22

x y

x

=

− ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết rằng tiếp tuyến cắt các

trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA= 2.

D Hướng dẫn và đáp số

Bài 1

148

hoặc

7240

toán là y= − −x 2 Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là y= − +x 32, y= − −x 52

Bài 6 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y= − +x 4.

§5 Điều kiện tiếp xúc

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa (Hình ) Cho y= f x( ) ( )C và y g x= ( ) ( )C' ( )C

và ( )C' tiếp xúc với nhau tại điểm M x y( 0; 0) nếu cả hai điều kiện

sau đây thỏa mãn:

• M là một điểm chung của ( )C

và ( )C'

;

• Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau.

Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

Hình

2 Điều kiện tiếp xúc Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số y= f x( ) ( )C

và y g x= ( ) ( )C'

, ta xét hệ:

( ) ( ) ( ) ( )

có nghiệm đối với x;

• Nghiệm của ( )* chính là hoành độ tiếp điểm;

• x là hoành độ tiếp điểm 0 ⇒ tiếp tuyến chung của ( )C và ( )C' tại điểm có hoành độ x 0

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho

3 5

24

2

y x= + −x ( )C' Chứng minh ( )C và ( )C'tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung

4 2

f x = +x x− và g x( ) =x2+ −x 2 Xét hệ:

( ) ( ) ( ) ( )

05

k b x

( )I có nghiệm ⇔ 2

k b x

k k

Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng ∆:y k x= ( + −1) 9.

∆ là tiếp tuyến của ( )C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

( )I

( )

3 2 2

( ) ( )

4x −6x + =1 12x −12x x+ −1 9 ⇔ 4x3+3x2−6x− =5 0 ⇔

541

x x

x=

vào ( )2

ta cĩ

154

x x

m x

1

1

là nghiệm của

là nghiệm của

m

m m

1) y x= 2− −3x 1 và

2 2 31

x y x

=+ .3) y= f x( ) = − +x2 3x+6, y g x= ( ) = − +x3 x2 4 và y h x= ( ) =x2+7x+8.

Bài 2 [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol y x= 2 −3x đi qua điểm

chúng vuông góc với nhau

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị ( )C

trong các trường hợp sau:

y h x= tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ

Chứng minh tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1− sao cho hệ

2

' 2

11

1

k x x

k x