Tiêp tuyên cua đồ thị hàm số
Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ! Ôn thi đại Học 7/11-21/11/2013 Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số 1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm )();( 000 CyxM . Viết phờng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm );( 000 yxM . 2.Ph ơng pháp: Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại );( 000 yxM có dạng : ))((' 000 xxxfyy = . Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc 1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết phờng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A. 1 O y y = f(x) y 0 x x 0 M 0 y x O y = f(x) A(a; b) Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ! 2. Ph ơng pháp : Cách 1: Viết phơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k dới dạng: y = k(x - a) + b (d). Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: = += kxf baxkxf )(' )()( có nghiệm. Giải phơng trình }{ n xxxxbaxxfxf ; ;;))((')( 10 += . tính k i = f(x i ) với ni ;0= , thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến. Cách 2: Tìm tiếp điểm M(x 0 ,y 0 ) Phơng trình tt tai M có dạng: y=f(x 0 )(x-x 0 )+y 0 Tiếp tuyến đi qua A(a;b) nên b=f(x 0 )(a -x 0 )+y 0 . Từ đó tìm x 0 với y 0 =f(x 0 ) * L u ý : Đối với bài toán này chúng ta thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì vậy chún ta cần phân biệt rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau. Dạng 3: Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc 1. Bài toán: Cho hàm số y = f(x) (C) và số k R . 2. Ph ơng pháp: Cách 1 : Tìm tọa độ tiếp điểm M(x 0 ,y 0 ) Giải phơng trình f(x 0 ) = k. Giả sử đợc các nghiệm x 1 ; x 2 ; ;x n. . Tính y i = f(x i ). Pttt tại x i là: ii yxxky += )( . Cách 2 : Phơng trình tiếp tuyến có dạng y=kx+m Hệ phơng trình ( ) '( ) y f x kx m f x k = = + = có nghiệm. Từ đó tìm m và viết pttt 3.Các dạng biểu diễn hệ số góc k: *) Cho trực tiếp: 7 3 ;3;1;5 ==== kkkk *) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng của trục Ox một góc , với 3 ; 3 2 ;45;30;15 000 Khi đó hệ số góc k = tan . *) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a. *) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): y = ax + b a kka 1 1 == . 2 Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ! *) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y = ax + b một góc . Khi đó: tan 1 = + ka ak . Dạng 4: Tìm điểm trên (d) hoặc (C) để từ đó có thể kẻ đợc 1,2,3 tiếp tuyến đến (C) Phơng pháp: Cách 1: M(x M ,y M ) ( )d hoặc (C). Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k: y=k(x-x M )+y M Hệ ( ) (1) '( ) (2) M M y k x x y f x k = + = có nghiệm. Thế (2) vào (1). Số tiếp tuyến kẻ từ M là số nghiệm x của phơng trình y=f(x) = f(x)(x-x M )+y M (3) Cách 2: Từ điều kiện nghiệm kép của pt (1) ta suy ra một phơng trình đối với ẩn k. Số tiếp tuyến là số nghiệm đối với ẩn k. Cách 2 thờng đợc sử dụng nhiều hơn!` Dạng 5: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Phơng pháp: Gọi M(x M ,y M ) là điểm cần tìm Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k là: y=k(x-x M )+y M Tơng tự dạng 4 ta suy ra từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Hai tiếp tuyến vuông góc f(x 1 ).f(x 2 )= -1. Từ đó tìm đợc M Chú ý: 1) Trong những trờng hợp pt(3) phức tạp ta thờng sử dụng điều kiện nghiệm kép của pt(1) để tìm ra phơng trình đối với ẩn k(chú ý khi pt có ẩn ở mẫu). Khi đó pt đối với ẩn k có 2 nghiệm k 1 , k 2 sao cho k 1 .k 2 = -1 2) Qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến nằm về 2 phía trục hoành thì (3) có 2 nghiệm phân biệt sao cho f(x 1 ).f(x 2 ) < 0 Bài 1: Cho hàm số 12 2 1 += x xy (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3). Bài 2: Cho hàm số: )1( 1 12 + = x x y . Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 3x. Bài 3: Viết pttt của đồ thị hàm số: 23 23 += xxy tại điểm có hoành độ x = 3. Bài tập 4: Cho hàm số 43 23 += xxy (C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ- ờng thẳng 0109 =+ yx . 3 Tng lai danh vng ngy mai y, cú c hay khụng tui hc trũ! Bài 5: Cho hàm số 43 23 += xxy (C). Viết pttt của (C) tại điểm A(1; -2). Bài 6: (Dự bị khối B-2002) Cho hàm số 3 4 2 2 1 3 1 23 += xxxy (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng .24 += xy Bài 7: (ĐH Khối B- 2006). Cho hàm số 2 1 2 + + = x xx y (C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị (C). Bài 8: (ĐH khối B 2008). Cho hàm số 3 2 4 6 1y x x= + (C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9). Bài 9: Cho hàm số 1 2 + = x x y (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 . Bài 10: Cho hàm số 24 2xxy = (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -2. Bài 11; 3 2 1y x x= + . Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lợt tại A, B và tam giác OAB cân tại O. Bài 12: 1 x y x = . Tìm tọa độ M trên đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với đờng thẳng đi qua M và I(1;1) Bài 13: 2 1 1 x y x = (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là điểm thuộc (C). Tiếp tuyến tại M của (C ) cắt các tiệm cân tại A, B. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. Bài 14: 2 1 1 x y x = + . a) Tìm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M với đờng thẳng đi qua M và giao của 2 tiệm cận có tích hệ số góc là -9 b) Tìm M sao cho khoảng cách từ I(-1;2) tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất Bài 15: 2 3 2 x y x = . Tìm trên đồ thị những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt 2 tiệm cận tại A, B sao cho AB ngắn nhất 4 Tương lai danh vọng ngày mai ấy, có được hay không tuổi học trò! 5 . một góc , với 3 ; 3 2 ;45;30;15 000 Khi đó hệ số góc k = tan . *) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a. *) Tiếp tuyến vuông góc với đờng. tại A(0; 3). Bài 2: Cho hàm số: )1( 1 12 + = x x y . Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 3x. Bài 3: Viết pttt của đồ thị hàm số: 23 23 += xxy tại điểm có. hàm số 3 4 2 2 1 3 1 23 += xxxy (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng .24 += xy Bài 7: (ĐH Khối B- 2006). Cho hàm số 2 1 2 + + = x xx y (C).