chuyên đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số luyện thi đại học-đặng việt hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Công thức : Phương trình tip tuyn ti im ( ) ( ) ( ) ; : o o M x y C y f x ∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o x x y y x x y y y x x f x ′ ′ = − + ⇔ = − +  Các l ư u ý : + N  u cho x o thì tìm y o = f ( x o ). + N  u cho y o thì tìm x o b  ng cách gi  i ph ươ ng trình f ( x ) = y o . + Tính y ′ = f ′ ( x ). Suy ra y ′ ( x o ) = f ′ ( x o ). + Ph ươ ng trình ti  p tuy  n ∆ là: y = f ′ ( x o ).( x – x o ) + y o .  D ạ ng toán tr ọ ng tâm c ầ n l ư u ý : + Ti  p tuy  n t  i  i  m M thu  c  th  hàm phân th  c ax b y cx d + = + c  t các tr  c t  a  Ox, Oy t  i các  i  m A, B th  a mãn các tính ch  t 0 OAB OA kOB S S ∆ =   =  + Kho  ng cách t  tâm  i x  ng c  a  th  hàm s  ax b y cx d + = +  n ti  p tuy  n t  i  i  m M thu  c  th   t giá tr  l  n nh  t, ho  c b  ng m  t h  ng s  cho tr ư c. Ví d 1. Cho hàm s  3 2 2 2 y x x x = + + + . Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n v  i  th  t  i a) giao  i  m c  a  th  và Ox . b)  i  m u  n c  a  th  . Ví d 2. Cho hàm s  3 2 3 1 y x x x = + + + . Tìm di  m M thu  c  th  hàm s  sao cho ti  p tuy  n t  i M v  i  th   i qua g  c t  a  O.  /s: ( 1;2) M − Ví d 3. Cho hàm s  1 ( ) 2 x y C x + = − . Tìm di m M thuc  th hàm s ( C ) sao cho tip tuyn ti M vi  th ct các trc ta  Ox, Oy ti A , B sao cho OA = 3 OB , vi O là gc ta . /s: Mt im M là (3;4) M Ví d 4. Cho hàm s ( ) 1 x y C x = + . Tìm di m M thuc  th hàm s ( C ) sao cho khong cách t im E (1; 2) n tip tuyn ti M vi  th bng 1 . 2  /s: M  t  i  m M là (0;0) M BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hàm s  3 2 2 6 3 y x x x = − + − . Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n v  i  th  t  i giao  i  m c  a  th  và Ox. Tài liu bài ging: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 /s: 13 1 2 2 y x   = −     Bài 2. Cho hàm s 3 2 2 3 1 y x x = − + có  th  là (C) Tìm trên (C) nh  ng  i  m M sao cho ti  p tuy  n c  a (C) t  i M c  t tr  c tung t  i  i  m có tung  b  ng 8.  /s: ( 1; 4) M − − Bài 3. Cho hàm s  2 1 x y x + = − Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n c  a  th  hàm s  bi  t ti  p tuy  n c  t tr  c hoành, tr  c tung l  n l ư t t  i hai  i  m phân bi  t A và B sao cho di  n tích tam giác OAB b  ng 50 3 (v i O là gc to ) /s: (2;4) M Bài 4. Cho hàm s 2 3 1 x y x + = − Vi t phương trình tip tuyn ca  th hàm s bit tip tuyn ct trc hoành, trc tung ln lưt ti hai im phân bit A và B sao cho OB = 5 OA (vi O là gc to ) /s: 5 17; 5 3 y x y x = − + = − − Bài 5. Cho hàm s 1 x y x = + Tìm im M thuc  th sao cho khong cách t im ( 1;1) E − n tip tuyn ti M vi  th bng 2. /s: (0;0), ( 2; 2). M M − − Bài 6. Cho hàm s 2 1 x y x + = − Tìm im M thuc  th sao cho khong cách t im ( 1;1) E − n tip tuyn ti M vi  th ln nht. /s: max 2 (0;2), ( 2;0). d M M= ⇔ − Bài 7. Cho hàm s 3 2 1 x y x − = + Vi t phương trình tip tuyn vi  th sao cho khong cách t im 1 1 ; 2 2 I   −     n tip tuyn ti M bng 7 2 . 10  /s: 7 11. y x = + Bài 8. Cho hàm s  2 5 2 x y x + = − (1) Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n c  a  th  hàm s  (1) bi  t ti  p tuy  n c  t tr  c hoành, tr  c tung l  n l ư t t  i hai  i  m phân bi  t A và B sao cho OA = 9OB (v  i O là g  c to   ) Ví d 9. Cho hm s  3 1 x y x − = + (C) Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n c  a  th  hàm s  , bi  t ti  p tuy  n c  t tr  c Ox t  i A, c  t tr  c Oy t  i B sao cho OA = 4OB. Ví d 10. Cho hàm s  2 2 3 x y x + = + (1). Vi  t ph ươ ng trình ti  p tuy  n c  a  th  hàm s  (1), bi  t ti  p tuy  n  ó c  t tr  c hoành, tr  c tung l  n l ư t t  i hai  i  m phân bi  t A , B và tam giác OAB cân t  i g  c t  a  O . VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tip theo)  Công thức : Phương trình tip tuyn ti im ( ) ( ) ( ) ; : o o M x y C y f x ∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o x x y y x x y y y x x f x ′ ′ = − + ⇔ = − +  Các l ư u ý : + N  u cho x o thì tìm y o = f ( x o ). + N  u cho y o thì tìm x o b  ng cách gi  i ph ươ ng trình f ( x ) = y o . + Tính y ′ = f ′ ( x ). Suy ra y ′ ( x o ) = f ′ ( x o ). + Ph ươ ng trình ti  p tuy  n ∆ là: y = f ′ ( x o ).( x – x o ) + y o .  D ạ ng toán tr ọ ng tâm c ầ n l ư u ý : Ti  p tuy  n t  i  i  m M thu  c  th  hàm phân th  c ax b y cx d + = + c  t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: + M là trung đ i ể m c ủ a AB + Di ệ n tích tam giác IAB luôn không đổ i, v ớ i I là giao đ iêm c ủ a hai ti ệ m c ậ n + Chu vi tam giác IAB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. + Bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác IAB d ạ t gái tr ị l ớ n nh ấ t. Ví d 1. Cho hàm s ố 2 ( ) 1 x y C x + = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. a) Ch ứ ng minh r ằ ng M là trung đ i ể m c ủ a AB. b) Ch ứ ng minh r ằ ng di ệ n tích tam giác IAB không đổ i, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị ( I là giao c ủ a hai ti ệ m c ậ n) Ví d 2. Cho hàm s ố 2 3 ( ) 2 x y C x − = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề độ dài đ o ạ n AB ng ắ n nh ấ t. /s: (3;3), (1;1) M M Ví d 3. Cho hàm s ố 2 1 ( ) 1 x y C x + = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề chu vi tam giác IAB nh ỏ nh ấ t, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố . /s: 1 3 M x = ± BÀI TP T LUYN: Bài 1. Cho hàm s ố 2 3 ( ) 2 x y C x − = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác IAB có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố . /s: (3;3), (1;1) M M Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông t ạ i I nên đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác IAB có đườ ng kính là A B, suy ra di ệ n tích đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p là 2 2 π π 4 AB S R= = , t ừ đ ó bài toán quy v ề tìm M để độ dài AB ng ắ n nh ấ t. Tài liệu bài giảng: 01. TIP TUYN CA  TH HÀM S – P2 Thy ng Vit Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Bài 2. Cho hàm số 2 3 ( ) mx y C x m + = − . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác IAB có diện tích bằng 64. /s: 58 2 m = ± Bài 3. Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x − = + . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. /s: 2(1 3) y x= + ± Bài 4. Cho hàm số ( ) 1 x y C x = − . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 2) + . /s: 4 y x y x = −   = − +  Bài 5. Cho hàm s ố 3 2 3 1 y x x = + − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các tr ụ c t ọ a độ t ạ i A, B. Tìm t ọ a độ đ i ể m M bi ế t OB = 3OA, v ớ i O là g ố c t ọ a độ . /s: ( 1;1) M − Bài 6 . Cho hàm s ố y = 2 1 1 − − x x . G ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC  Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox. Kí hiệu k = tanα.  Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.  Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi − = − M N d M N y y k x x  Đường thẳng d đi qua điểm M(x 1 ; y 1 ) và có hệ số góc k thì có phương trình ( ) 1 1 : . = − + d y k x x y Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.  Cho hai đường thẳng 1 1 1 2 2 2 : : d y k x m d y k x m = +   = +  + d 1 và d 2 song song v ớ i nhau thì có cùng h ệ s ố góc : 1 2 1 2 d d k k m m =    ≠   + d 1 và d 2 vuông góc v ớ i nhau thì có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 1 : 1 2 2 1 1 . 1 . = − ⇔ = − d d d d k k k k  Đạo hàm tại một điểm x o thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. T ức là ( ) . ′ = tt o k y x Ví d 1: Xác đị nh h ệ s ố góc k c ủ a các đườ ng cho d ướ i đ ây ? a) 2 1 2 2 3 1 0 3 2 1 . 3 3 3 − + − = ←→ = − + ⇔ = + → = − x y y x y x k b) 1 3 1 5 3 0 5 3 . 5 5 5 − + + = ←→ = − ⇔ = − → = x y y x y x k c) 2 3 0 2 3 2. + + = ←→ = − → = x y y x k Ví d 2: Cho hàm số 3 2 ( 1) 2 3 y x m x mx = + − + + Tìm m để ti ế p tuy ế n a) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = –3 song song v ớ i đườ ng th ẳ ng d : 5x – y + 3 = 0 b) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = 1 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d’ : x – 2y + 3 = 0 Ví d 3: Cho hàm s ố 4 2 2( 1) 8 2 y x m x m = + − − − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i các đ i ể m c ố đị nh c ủ a đồ th ị hàm s ố vuông góc v ớ i nhau. Ví d 4: Cho hàm s ố 3 x m y x m + = − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị và tr ụ c Oy vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d : x – 2y + 1 = 0 Ví d 5: Cho hàm s ố 3 2 1 y x x x = + − + G ọ i d là đườ ng th ẳ ng đ i qua đ i ể m A(1 ; 2) và có h ệ s ố góc k. Tìm k để d c ắ t đồ th ị (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i B, C vuông góc v ớ i nhau. Ví d 6: Cho hàm s ố 3 2 3 3. y x x x = − + + M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2 ; 1) và có h ệ s ố góc k. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm k ể đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho a) cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt. c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Hưng dn gii : Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 2 3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2) − + + = − + ⇔ − + + = − x x x k x x x x k x 2 2 2 ( 2)( 1) ( 2) ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − − = − ⇔  = − − − =  x x x x k x g x x x k a) Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i duy nh ấ t m ộ t đ i ể m khi (1) vô nghi ệ m 5 0 1 4(1 ) 0 . 4 ⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < − k k Vậy với 4 5 < − k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2. Điều đó xảy ra khi 5 0 1 4(1 ) 0 4 (2) 0 (2) 1 0 1  ∆ > + + > > −    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  > −    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t. c) Do nghi ệ m x = 2 > 0 nên để ba giao đ i ể m có hoành đ ô d ươ ng thì (1) ph ả i có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t và khác 2. G ọ i hai nghi ệ m đ ó là x 1 ; x 2 . Khi đ ó ta có 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 + > >   ⇔ ⇔ < −   > − − >   x x k x x k K ế t h ợ p v ớ i di ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ba giao đ i ể m ở câu b ta d ượ c 4 1 5 − < < − k là giá tr ị c ầ n tim. Ví d 7: Cho hàm s ố 3 2 2 3 1. y x mx mx = − + + a) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆: 4x + y + 1= 0. b) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0. H ư ng d  n gi  i : a) Ta có 2 3 2 6 6 2 3 1 12 6 0 2  ′ = − +  = − + + →  ′′ ′′ = − → = ⇔ =   y x mx m y x mx mx m y x m y x Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n có h ệ s ố góc là 2 2 3 6. 6 . 2 4 2 2   ′ = = − + = − +     u m m m m k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i :4 1 0 4 1 4. ∆ ∆ + + = ⇔ = − − → = − x y y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i ∆ nên 2 2 2 3 4 3 2 8 0 4 2 3 ∆ =   = ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔  = −   u m m k k m m m m V ậ y, v ớ i 4 2; 3 = = − m m thì ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n c ủ a đồ th ị song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ( ) 2 24 12 13 24 ′ = − = + + = + tt k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆′ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i 2 2 2 :2 3 2 0 3 2 2 . 3 3 3 ′ ∆ ′ ∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = − x y y x y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i ∆′ nên ( ) 2 45 . 1 13 24 1 26 48 3 3 26 ′ ∆ = − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = − tt k k m m m V ậy, với 45 26 = −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hàm số 3 2 ( 2) 3. = − − + + y x m x mx a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1. b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0. Bài 2. đồ thị hàm số y = –x 4 + 2mx 2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau. Bài 3. Cho hàm số 3 2 3 2, y x x x = + + + có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k. a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm. b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau. Bài 4. Cho hàm số y = x 4 + mx 2 – m – 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương c ủa đồ thị hàm số. Bài 5. Cho hàm số ( ) 3 1 . + − = + m x m y x m Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị hàm s ố v ớ i tr ụ c Ox song song v ớ i đườ ng th ẳ ng (d): y = –x –5. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tip theo) Ví d 1: Cho hàm số 2 1 , 1 − = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3). Ví d 2: Cho hàm số 2 , 2 = − x y x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2 = AB OA Đ/s: d: x + y – 8 = 0 Ví d 3: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham s ố). Xác định m để (C m ) c ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) t ại D và E vuông góc với nhau. Đ/s: 9 65 8 − =m Ví d 4: (Trích đề thi Đạ i h ọ c kh ố i A n ă m 2011) Cho hàm s ố 1 , 2 1 − + = − x y x có đồ th ị là (C). Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng th ẳ ng d: y = x + m luôn c ắ t đồ th ị (C) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B v ớ i m ọ i giá tr ị c ủ a m. G ọ i k 1 ; k 2 là h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị (C) t ạ i A, B. Tìm k để t ổ ng 1 2 + k k đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: ( ) 1 2 min 1; 2 = − + = − m k k BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm s ố 1 , 2 + = − x y x có đồ th ị là (C). G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n c ủ a đồ th ị (C). Tìm đ i ể m M trên đồ th ị sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng IM. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. Bài 5: Cho hàm s ố 3 2 – 3 4 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2; 0) có h ệ s ố góc k. Xác đị nh k để d c ắ t (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau. Bài 6: Cho hàm s ố 3 2 2 5 ( 1) (3 2) 3 3 = − + − + − − y x m x m x có đồ th ị ),( m C m là tham s ố . Tìm m để trên )( m C có hai đ i ể m phân bi ệ t 1 1 1 2 2 2 ( ; ), ( ; ) M x y M x y th ỏ a mãn 1 2 . 0 > x x và ti ế p tuy ế n c ủ a )( m C t ạ i m ỗ i đ i ể m đ ó vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng : 3 1 0. − + = d x y Bài 7: Cho hàm s ố 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 = + − + − + + y x m x m x m (1) v ớ i m là tham s ố . Tài liệu bài giảng: 01. TIP TUYN CA  TH HÀM S – P4 Thy ng Vit Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1 cos α . 26 = Bài 8: Cho hàm số 3 1 − = + x y x có đồ th ị là (C). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố , bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c hoành t ạ i A, c ắ t tr ụ c tung t ạ i B sao cho OA = 4OB. Bài 9: Cho hàm s ố 3 2 ( ) 6 9 3 = = + + + y f x x x x (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các ti ếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB 2011. = . Đ/s: 9 ; 6039. 2 = =k k HƯNG DN GII, ÁP S Bài 1: Cho hàm số 1 , 2 + = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. Ta có 2 1 2 3 3 3 1 2 2 2 ( 2) + − + ′ = = = + → = − − − − − x x y y x x x x G ọ i ( ) ( ) 3 3 ; 1 ;1 . 2 2   ∈ ⇒ = + → +   − −   o o o o o o M x y C y M x x x Ta có 2 1 lim 2 1 lim 1 2 → →∞ +  = ∞   −  +  =  −  x x x x x x , từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang. Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 2 3 ( 2) ′ = = − − tt o o k y x x  Đườ ng th ẳ ng IM có h ệ s ố góc 2 3 1 1 2 3 2 ( 2)   − +   − −   = = = − − − o I M IM I M o o x y y k x x x x  Ti ế p tuy ế n t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng IM khi 2 2 3 3 . 1 . 1 ( 2) ( 2) = − ⇔ − = − − − tt IM o o k k x x 2 2 3 2 3 ( 2) 3 2 3 2 3   − = = + ⇔ − = ⇔ ⇔   − = − = −     o o o o o x x x x x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = + ⇒ = + = + = + → + + − o o o x y M x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = − ⇒ = + = + = − → − − − − o o o x y M x V ậ y có hai đ i ể m M th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) 2 3 . 1 ′ = + y x G ọ i ( ) 2 1 ; 1 −   ∈   +   a M a C a Ti ế p tuy ế n v ớ i (C) t ạ i M có h ệ s ố góc: ( ) 2 3 ( ) . 1 ′ = = + tt k y a a Giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n I(−1; 2). VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 Đường thẳng IM có hệ số góc là ( ) 2 3 . 1 − − = = − + M I IM M I y y k x x a Theo bài ta có ( ) ( ) ( ) 4 2 2 0 3 3 . 9 . 9 1 1 2 1 1 =  − = − ⇔ = − ⇔ + = →  = − + +  tt IM a k k a a a a V ậ y có 2 đ i ể m M th ỏ a mãn đề bài là M(0; − 3), M( − 2; 5). Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Đườ ng th ẳ ng d qua M(1 ; −2 ) và có h ệ s ố góc k nên có d ạ ng d : y = k(x − 1) − 2. Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị : 3 2 3 2 2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1) − + − = − − ⇔ − + − = − x x k x x x k x 2 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − + + = − ⇔  − + + = ⇔ = − + − =  x x x x k x x x k g x x x k Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t khi (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và khác 1. Ta có đ i ề u ki ệ n 5 0 1 4( 1) 0 4 (1) 0 (1) 1 0 1  ∆ > − − > <    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  <    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t, trong đ ó có đ i ể m M(1 ; −2). b) G ọ i A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) ⇒ x 1 ; x 2 là hai nghi ệ m c ủ a g(x) = 0, theo đị nh lí Vi-ét ta có 1 2 1 2 1 1 + =   = −  x x x x k Ti ế p tuy ế n t ạ i A, B l ầ n l ượ t có h ệ s ố góc là ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 3 4 3 4  ′ = = − +   ′ = = − +   A B k y x x x k y x x x Ti ế p tuy ế n t ạ i A và B vuông góc v ớ i nhau khi ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 . 1 3 4 3 4 1 = − ⇔ − + − + = − A B k k x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0 ⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + = x x x x x x x x k k k k k Ph ươ ng trình trên vô nghi ệ m, v ậ y không có giá tr ị k nào th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : • Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và (d): 3 – ( 3) – – 2 0 + = x m x m 2 2 1 3 ( 1)( – – – 2) 0 ( ) 2 0 = − ⇒ =  ⇔ + = ⇔  = − − − =  x y x x x m g x x x m d c ắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 9 1;3 , , , 0 4 M N P m m − ⇔ > − ≠ Khi đó x N ; x P là các nghiệm của phương trình 2 1 2 0 2 + =  − − − = ⇒  = − −  N P N P x x x x m x x m H ệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k 1 và k 2 thỏa mãn 2 1 2 2 3 3 3 3  = −  = −  N P k x k x Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 2 1 2 3 2 2 3 . 1 9 18 1 0 3 2 2 3  − + =   = − ⇔ + + = ⇔ − −  =   m k k m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c 3 2 2 3 m − ± = là các giá tr ị c ầ n tìm. VINAMATH.COM VINAMATH.COM [...]... = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình y = Học trực tuyến tại: www.moon.vn 5 VINAMATH.COM Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị Viết viết... he// Ví dụ 2 Cho hàm số y = − x3 + 9 x Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0 c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số Ví dụ 3 Cho hàm số y = − x3 + 9 x Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số Ví dụ 4 CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số y = x đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm... TỰ LUYỆN Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: 2  a) Biết tiếp tuyến đi qua A  ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 3  ( b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2 ) 2 x+2 2x −1 Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ( 0; −1) đến đồ thị hàm số y = x3 + x 2 − x + 2 Đ/s: y = 4 x − 1 Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số. .. Học trực tuyến tại: www.moon.vn 1 VINAMATH.COM Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 x3 − x 2 + 3x + 1 Đ/s: y = 3 x + 1 Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y = − x3 + 2 x + 5 Đ/s: x + y − 7 = 0 1  Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ... đến đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3 2  Đ/s: y = 8 x − 8 x +1 Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −6 ) đến đồ thị hàm số y = x+2 Đ/s: y = −3x − 3 2x − 3 Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số y = x−2 Đ/s: y = − x + 4 Hướng dẫn giải: Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: 2  a) Biết tiếp tuyến đi qua A  ; −1  đến đồ thị hàm. .. Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y = 2x − 1 Gọi d là đường thẳng qua A(1; −2) và có hệ số góc k  d : y = k ( x − 1) − 2 → 3 Học trực tuyến tại: www.moon.vn 2 VINAMATH.COM Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng  x+2  2 x − 1 = k ( x − 1) − 2, x+2  Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = thì hệ sau có nghiệm:... tìm k, từ đó ta được phương trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 − x − 6 Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0 b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0 c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số // câu c khi giảng thầy chép nhầm đề bài, đang lúc nhìn ví dụ 1 thì có con gì bay vào...  x−3 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục x +1 hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB Hướng dẫn giải: OB 1 1 Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có tan A = = ⇒ tiếp tuyến AB có hệ số góc là k = ± OA 4 4  x=3 4 1 Phương trình y ' = k ⇔ = ⇔ ⇔  2 4 ( x + 1)  x = −5 Bài 8: Cho hàm số y = 1 ( x − 3) 4 1 1 13 + với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có...  3   2 1 Vậy kết quả của bài toán là m < −3 và −1 < m < − 3 Bài 7: Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) với m là tham số Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α = 1 26 Hướng dẫn giải: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ; −1) Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là n2 = (1;1) 3 ...VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Hướng dẫn giải : Phương trình đường thẳng (d): y = k(x − 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x3 − 3 . liu bài ging: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn. liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường