Định nghĩa Cho hàm số yf x có đồ thị C, một điểm cố định thuộc C có hoành độ Với mỗi điểm thuộc C , khác ta ký hiệu là hoành độ , là hệ số góc của cát tuyến .Giả sử tồn tại giới h
Trang 1TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I Lý thuyết
1 Định nghĩa
Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C),
một điểm cố định thuộc (C) có
hoành độ
Với mỗi điểm thuộc (C) , khác
ta ký hiệu là hoành độ ,
là hệ số góc của cát tuyến
.Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn
Coi đi qua và có hệ số góc là vị trí giới hạn của cát tuyến , khi di chuyển dọc theo (C) dần đến
Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm , còn được gọi là tiếp điểm
2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( )
3 Định lý về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
*Định lý 1.
Đạo hàm của hàm số yf x( ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M T0
của (C) tại điểm M x f x0 ( ; ( )) 0 0 .
Chứng minh:
Giả sử M(x0 x f x; ( 0 x)) là điểm di chuyển trên (C) Ta có ;
f(x,u)
f()
O
T
y
Trang 2M H0 x HM, y.
Hệ số góc của cát tuyến M M0 là tan , trong đó là góc tạo bởi trục Ox và vectơ
0
M M
Ta có
0
tan
x
M H
Khi M dần tới M0(M M0) thì x 0và ngược lại
Theo giả thiết, ( )f x có đạo hàm tại x0 nên tồn tại giới hạn
0
'( ) lim lim tan
x
y
Vậy khi M M0thì cát tuyến M0M dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng M0T, có hệ số góc bằng
Đường thẳng M T0 là tiếp tuyến tại M0 của (C)
Vậy f x'( ) 0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại M0 của đồ thị (C)
*Định lý 2:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) cảu hàm số y=f(x) tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0 là
0 '( )(0 0)
y y f x x x , trong đó y0 f x( )0 .
4 Ghi nhớ
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( ) có phương trình :
II Hệ thống bài tập
"BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN
1 Dạng 1: Cho hàm số y f (x) có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm M o(x o;y o) (C).
Trang 3∗ Phương pháp giải:
- Tính f ' x( )
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k f' (x o)
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o(x o;y o) là:
) )(
( ' o o
o f x x x y
Bài 1: Cho hàm số ( ) 3 2 2 15 12
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)(C).
Giải
2 '( ) 3 4 15
'(2) 5
f
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
12 5
) 2 ( 5 2
x y
x y
Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên.
Bài 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
2
1 4
1 4 2
C x
x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng 47
Giải
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ta có 1 1
2
1 4
1 4
0
4
0
Với x o 1 f' ( 1 ) 2 phương trình tiếp tuyến tại
4
7
; 1
1
4
1 2 )
1 ( 2 4
7
y
Với x o 1 f' ( 1 ) 2 phương trình tiếp tuyến tại
4
7
; 1
2
4
1 2 )
1 ( 2 4
7
y
Bài 3: Cho hàm số
1
2 2 )
x
x x x f
(C) cắt trục hoành tại A và B Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B.
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
Trang 4- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
3 1 0
2 2 0
1
2
2
x x
x x
x x
(C) cắt Ox tại điểm A( 1 3 ; 0 )và B( 1 3 ; 0 )
) 3 2 ( 3 2 ) 3 1 ( ' ) 1 (
2
x
x x y
) 3 2 ( 3 2 ) 3 1 (
y
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
) 3 1 ( ) 3 2 ( 3
y
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
) 3 1 ( ) 3 2 ( 3
y
* Nhận xét: Qua bài 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình
tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1 nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên
Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip
Bài 4: Cho (E) có phương trình: 1
64 100
2 2
y
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm M( 5 ; 4 3 )
Giải
Nhận xét điểm M( 5 ; 4 3 ) (E)
2 2
2 2
100 5
4 ' 100
5
4 64
100
100
x
x y
x y
x y
3 5
4 )
5 (
vì M(5; 4 3)thuộc phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ dương nên
3 5
4 )
5 ( ' 100
5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M( 5 ; 4 3 ) là: 5 3y 4x 80 0
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số : tại giao
Trang 5điểm của nó với trục tung
Giải
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là nghiệm hệ:
(0,1) 1
1 0
y
M x
y x
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(0,1) có dạng:
1 '(0).( 0)
Ta có
2
2
( 1)
x
Do đó phương trình của tiếp tuyến cần tìm là:
Bài 6: Cho hàm số 1 4 1 2
y x x (C)
Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ tới đồ thị hàm số
Giải
Đường thẳng (d) đi qua O với hệ số góc K có pt: y kx
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau có nghiệm
3
(1)
x x k
Thay (2) vào (1) ta được x2 (3x 2 1) 0
0
1 3
x x
Với
0
x thay vào (2) k 0 Phương trình tiếp tuyến
1
( ) :d y 0
Với 1
3
x thay vào (2) 1
3
k
Trang 6Phương trình tiếp tuyến: 2
1 ( ) :
3 3
d y x
Với 1
3
x thay vào (2) 1
3
Phương trình tiếp tuyến: 3
1 ( ) :
3 3
Vậy qua O kẻ được 3 tiếp tuyến ( ) :d1 y 0; 2
1 ( ) :
3 3
d y x; 3 1
( ) :
3 3
2 Dạng 2: Cho hàm số y f (x) có đồ thị là (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước:
∗ Phương pháp giải:
- Tính f ' x( )
- Gọi M o(x o;y o) (C) tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k
xo là nghiệm phương trình f' (x o) k
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y y o k(x x o)
Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc là k1
đường thẳng D2 có hệ số góc là k2 Thì D1 // D2 k1 = k2
D1 D2 k1 k2 = - 1
D1 cắt D2 k1 k2
Bài 1: Cho hàm số 2 21
x
x
y Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của
hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)
Giải
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm (x o; y o)
3
1 5
) 2 (
5 5
) (
o o o
x x
x y
Với x o 1 y o 3 phương trình tiếp tuyến là y 5 x 2
Với x o 3 y o 7 phương trình tiếp tuyến là y 5 x 22
Bài 2: Cho hàm số
1
2 3 ) (
x
x x f
Trang 7Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng y 4 x 10
Giải
D = R \ {1}; ( 1 ) 2
1 '
x
Gọi M o(x o;y o) (C)tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 4 x 10, có
hệ số góc k:
4
1 1
4 k
xo là nghiệm phương trình
2 7 2 5 3
1 4
1 ) 1 (
1
2
o
o o
o
x y
x x
2
5
; 1
1
M có tiếp tuyến là
4
9 4
1
x
2
7
; 3
2
M có tiếp tuyến là y 41x174
* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp
tuyến dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau
Bài 3: Cho hàm số 4 3 2
4
y
x m
Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ vuông góc với tiệm cận đứng
Giải
Ta có:
2
2
'
y
x m
Tiệm cận đứng 4x m 0 vì
4
lim
m x
y
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại x 0 0 là k y'(0) m2 216
m
Tiếp tuyến vuông góc với tiện cận đứng thì k 0 m2 216 0 m 4
m
Trang 8Vậy tiếp tuyến tại vuông góc với tiện cận đứng khi m 4
Bài 4: Cho hàm số 2 2 2
1
y
x
Tìm trên đồ thị (C) các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm cận xiên của nó
Giải
1 ' 1 ( 1)
y
x
Tiệm cận xiên y x 1vì lim(x y x 1) 0
M là điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a 1
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
2 2
2 '( )
( 1)
a
Tiếp tuyến (d) vuông góc với tiệm cận xiên
2 22 1 1 2
a a
Vậy tồn tại hai điểm có hoành độ tương ứng là : 1 2
2
, 1 2
2
trên đồ thị thỏa mãn điều kiện
Bài 5: Cho hàm số 3 2
y x x x Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y kx
Giải
Điểm M x y( , ) 0 0 thuộc đồ thị ,ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là y x'( ) 0
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y kx
Trang 9Để tồn tại ít nhất 1 điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài thì phương trình (1) có nghiệm 3k 0 k 0
3 Dạng 3:
a) Bài toán: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm A(x A; y A)cho trước.
b) Cách giải:
* Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
d có phương trình: yk(x x A) y A(1)
- Hoành độ tiếp điểm x o và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương
trình:
k x f
y x
x k x
) ( '
) (
) (
Giải hệ phương trình tìm k thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến
* Cách 2:
- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm M o(x o; y o) d
có phương trình: y y o f' (x o)(x x o)
- Vì A (x A ; y A ) d y A y o f' (x o)(x x o)
) )(
( ' ) ( o o A o
A f x f x x x
- Giải phương trình (2) tìm x o
) ( 0
o o
x f
x f y
- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:
) )(
( ' 0 o
o f x x x y
Bài 1: Cho hàm số ( )
1
2 3
C x
x y
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
Giải
TXĐ: D = R \ {1}
2
) 1 (
1 '
x y
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là ).
2
(
k x
y
Trang 10- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương
trình:
2
0
( 2)
1 1
3
A A
x x
k x
k x
k
- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là
18 9
2
x y
x y
Bài 2: Cho hàm số 1 4 2 3
y x x C Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 3/2).
Giải
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là
2
3
kx
- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương trình:
k x x
kx x
x
6 2
2
3 2
3 3
2
1
3
2 4
2 2
0 2
2
0
k
k x
x x
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:
3 2
2
2
2
1 3
2
C x
x x y
CMR không có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.
Giải
Có x = 2 Là tiệm cận đứng
y = x - x Là tiệm cận xiên Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận I (2; 1)
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm 3 2 1
2
o
o o o
x
x x
2
) 2 (
5 4 )
( '
o
o o o
x
x x x
Phương trình tiếp tuyến tại (xo; yo) dạng
Trang 11) ( ) 2 (
5 4 2
1 3
2
2 2
o o
o o o
o
x
x x x
x x
Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:
) 2 ( ) 2 (
5 4 2
1 3
2 2
o o
o o o
o
x
x x x
x x
(2)
2
) 2 )(
5 4 ( ) 2 )(
1 3 ( ) 2
o
o o
o o
o o o
x
x x
x x
x x x
vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của các đường tiệm cận
Bài 4: Cho hàm số (C) 1 2
1
y
x
Tìm những điểm trên trục tung mà cứ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Giải
Các điểm thuộc Ox có dạng A(0, )b
Phương trình đường thẳng đi qua A(0, )b có dạng ( ) :d y kx b
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:
2
k b
k b
(*)
Phương trình (*) f x( ) k2 2(b 3)k b 2 2b 1 0 (1)
Từ A có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số khi phương trình (1)
có nghiệm kép khác 1 b hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 b
® Một số bài tập khác
Bài 1: Cho hàm số 2 2 2
1
y
x
a) M là điểm trên đồ thị có hoành độ x M a Viết phương trinh tiếp tuyến ta của
đồ thị tại M
Trang 12b) Xác định a để ta đi qua điểm (0,1) Chứng tỏ rằng có 2 giá trị của a thỏa mãn điều kiện của bài toán và 2 tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau
Giải
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ có dạng:
( ) :t a y y a y a x a'( )( )
Ta lần lượt có:
2
1
y a
a
Do đó phương trình của tiếp tuyến (d) là
2
( ) : y
a
a
b) Tiếp tuyến ta đi qua điểm (1,0) khi:
2 2
2
Và theo Viet ta có: 1 2 1 2
3
2
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn điều kiện bài toán
Các tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng: 2 2
;
Và ta có:
2
2 1
2
k k
Chứng tỏ rằng 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Trang 13Bài 2: Cho hàm số 1 4 2 5
3
x x x Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M
có hoành độ
Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm của phương trình: (x a ) ( 2 x2 2ax 3a2 6) 0
Giải
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ có dạng:
( ) '( )( )
y y a y a x a
Do đó phương trình của tiếp tuyến (d) là:
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm phương trình:
2a a 2 a a x 2a a 2 x x a a x a a
(x a) (x 2ax 3a 6) 0
Bài 3: Cho hàm số y x 4 4x3 3 Chứng minh rằng:
Tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt khi phương trình x4 3x3 3 kx m có 2 nghiệm phân biệt
x x kx m x a x b x a b( )
4 3 3 3 ( ) ( 2 ) 2
x x kx m x a x b EMBED Equation.DSMT4 x a b( )
2 2
2 2
Trang 14Vậy có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt: ( ) :d y 8x 1 Hoành độ 2 tiếp điểm là: x1 1 3;x2 1 3
Bài 4: Cho hàm số y x 3 3x2 1( )C Cho điểm A x y( , ) ( ) 0 0 C , tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại điểm B khác A Tìm hoành độ điểm B theo x0
Giải
Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng: y y x0 y x'( )( 0 x x 0 ) (1)
Do đó phương trình của tiếp tuyến là:
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C) là nghiệm phương trình:
0 0
3 2
x x
Vậy hoành độ điểm là x B 3 2x0
Bài 5: Hãy tìm phương trình tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x3 1
x
biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn 1 tam giác
có diện tích bằng 1
2
Giải
Ta có y' 2x32 1
x
M là điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a 0, khi đó và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
2
( ) :d y y a( ) y a x a'( )( ) ( ) :d y a x a
Trang 15Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm hệ:
3
2
0
2
x
a A
Tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm hệ
3
3 2
0
( 2)
y
a a B
Diện tích tam giác OAB được cho bởi:
3 2 3
| | | |
a
a
Suy ra
1
1
a
Với , thay vào (1) ta được ( ) :d1 y x 1
Với a 3 5, thay vào (1) được 2 3 3
( ) :
Vậy tồn tại 2 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu bài
Bài 6 Cho hàm số (C): 2 2 1
1
y x
Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
4
Giải
Các điểm trên đường thẳng y 7có dạng A a( ,7)
Phương trình tiếp tuyến đi qua A a( ,7)có dạng ( ) :d y k x a ( ) 7
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm
Trang 162 2
2 2
x
Phương trình (*) f k( ) ( a 1) 2k2 8(a 2)k 0(1) Từ A có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến với nhau một góc
4
khi (1) có hai nghiệm phân biệt k k khác 1, 2 4
1
a
thỏa mãn
1 2
1 2
k k
tg
k k
2
2
2
1 0 16( 2) 0
1, 2
4
1
( 1) 8( 2)
1 ( 1)
a a
a
a a
a
Vậy có bốn điểm A1(5 8,7); A (52 8, 7);A ( 33 24,7); A ( 34 24,7)
Bài 7 Cho hàm số (C) : 1 1
1
y x
x
Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
Giải
1 ' 1 ( 1)
y
x
Tiệm cận đứng x 1vì limx1 y
Tiệm cận xiên: y x vì 1 lim( 1) 0
x y x