Ba Huy 1 I. Phương pháp giải Cho đồ thị (C): y = f(x). Bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến của (C) có 3 dạng. Phương pháp giải từng dạng cụ thể như sau: Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M(x 0 ;y 0 ). B1. Tính f’(x 0 ). B2. Viết pttt dạng: y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 Chú ý: Trong thực hành giải toán, thường chúng ta gặp dạng này trong trường hợp tiếp điểm chưa biết một thành phần tọa độ nào đó. Khi đó, ta tìm thành phần tọa độ còn lại như sau: o Nếu cho x 0 thì tính y 0 bằng cách: y 0 = f(x 0 ). o Nếu cho y 0 thì tính x 0 bằng cách: x 0 là nghiệm của pt f(x) = y 0 . Đôi khi, tiếp điểm thỏa mãn một điều kiện gì đó. Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k. B1. Giải phương trình f’(x) = k (*) để tìm hoành độ tiếp điểm x 0 . B2. Tìm tung độ tiếp điểm y 0 = f(x 0 ). B3. Viết pttt dạng: y = k(x – x 0 ) + y 0 . Chú ý: o Phương trình (*) có thể cho nhiều hơn 1 hoành độ tiếp điểm. Do vậy bài toán có thể có nhiều hơn 1 tiếp tuyến. o Trong thực hành giải toán, thường ta gặp dạng này với giả thiết như là: tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường nào Ba Huy 2 đó; hay tiếp tuyến tạo với một đường thẳng nào đó một góc . Khi đó, việc làm trước tiên là tìm hệ số góc k. Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(a;b). Cách 1 B1. Viết dạng pt đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm A(a;b) y = k(x – a) + b (*) B2. Đặt điều kiện và giải điều kiện tiếp xúc: Hệ sau có nghiệm Chú ý rằng nghiệm x 0 của hệ (**) chính là hoành độ tiếp điểm. B3. Từ k tìm được ở hệ (**), thế vào phương trình (*) ta được pttt. Cách 2 B1. Gọi M(x 0 ;y 0 ) (C) là tiếp điểm y 0 = f(x 0 ) (1). Viết dạng pttt tại M y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 B2. Đặt điều kiện để tiếp tuyến qua A(a;b) b = f’(x 0 )(a – x 0 ) + y 0 (2) B3. Giải hệ (1), (2) tìm được x 0 và y 0 . Từ đó viết được pttt. II. Bài tập Dạng 1. Viết pttt khi biết tiếp điểm Bài 1. Viết pttt của đthị (C): y = x 3 + 4x 2 + 5x – 4 trong những trường hợp sau: a. Biết tiếp điểm là A(-3; -10). b. Biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1. c. Biết tiếp điểm có tung độ bằng -6. Bài giải Ba Huy 3 y’ = 3x 2 + 8x + 5 a. o y'(-3) = 3.(-3) 2 + 8.(-3) + 5 = 8 o Pttt tại A(-3;-10) là: y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 = 8(x + 3) – 10 = 8x + 14 . b. o y 0 = y(1) = 6 Tiếp điểm là B(1;6). o y'(1) = 16 o Vậy pttt tại B(1;6) là: y = 16(x – 1) + 6 = 16x – 10. c. o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: Có 2 tiếp điểm là M(-1;-6), N(-2;-6). o Tại điểm M(-1;-6) y'(-1) = 0 Tiếp tuyến là: y = 0(x + 1) – 6 = -6 o Tại điểm N(-2;-6) y'(-2) = 1 Tiếp tuyến là: y = 1(x + 2) – 6 = x – 4. Bài 2. Viết pttt của đồ thị (C) tại giao điểm giữa (C) với trục hoành. Với Bài giải Gọi M là giao điểm giữa (C) và trục hoành. Ba Huy 4 Tiếp điểm là M(2;0). Ta có 2 51 ' '(2) 5 (2x 1) yy Vậy pttt tại M là: 1 1 2 ( 2) 5 5 5 y x x Bài 3. Cho đồ thị (C m ): y = x 3 + mx 2 – m – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C m ) tại các điểm cố định mà m C đi qua. Bài giải Gọi M(x 0 ;y 0 ) là điểm cố định mà (C m ) đi qua Do đó có hai điểm cố định mà (C m ) đi qua là M 1 (1;0) và M 2 (-1;-2). Ta có y’ = 3x 2 + 2mx o Tại M 1 (1;0) y'(1) = 3 + 2m Pttt là: y = (3 + 2m)(x – 1) = (3 +2m)x – 3 – 2m. o Tại M 2 (-1;-2) y'(-1) = 3 – 2m Pttt là: y = (3 – 2m)(x + 1) – 2 = (3 – 2m)x 1 – 2m. Lời bình: Để giải được các bài toán thuộc dạng toán trên ta phải nắm vững phương pháp giải bài toán gốc (đã biết tiếp điểm). Nếu bài toán chưa cho biết tiếp điểm thì việc đầu tiên phải làm là tìm tiếp điểm để đưa về bài toán gốc. Ba Huy 5 Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Bài 1. Cho đồ thị (C): y = x 3 – 3x – 1. Viết pttt của (C): a. Biết tt có hệ số góc k = 9. b. Biết tt song song với đường thẳng (d): y = -3x + 1. c. Biết tt vuông góc với đường thẳng ( ): 6 2 0xy . Bài giải a. Ta có y’ = 3x 2 – 3 o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k 3x 2 – 3 = 9 21 23 xy xy Có hai tiếp điểm là A(2;1), B(-2;-3). o Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = 9(x – 2) + 2 = 9x – 16. Phương trình tiếp tuyến tại B là: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15. b. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng d có hệ số góc là k d = -3. o Do tiếp tuyến song song với d nên k = k d = -3. o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: y’ = k 2 3 3 3 0 1x x y Tiếp điểm là M(0;-1). o Phương trình tiếp tuyến tại M: y = -3(x – 0) – 1 = -3x – 1. c. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng có hệ số góc là 1 6 k . o Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên Ba Huy 6 1 . 1 . 1 6 6 k k k k o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k 2 3 3 6 3xx x 3 1 31 y xy Có hai tiếp điểm là ( 3; 1), ( 3; 1)MN o Phương trình tiếp tuyến tại M: 6( 3) 1 6x 6 3 1yx . Phương trình tiếp tuyến tại N: 6( 3) 1 6x 6 3 1yx Bài 2. Cho đồ thị 32 13 ( ): 1 32 C y x x x . Viết pttt của (C) hợp với trục Ox góc 45 0 . Bài giải Ta có y’ = x 2 – 3x + 1. Có 2 khả năng xảy ra: +) KN1: Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k 2 01 3x 1 1 1 3 2 xy x xy Có hai tiếp điểm A(0;1), B(3;-1/2). Tiếp tuyến tại A: y = 1(x – 0) + 1 = x + 1 Tiếp tuyến tại B: 17 1( 3) 22 y x x +) KN2. Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1. Ba Huy 7 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k 2 5 1 6 3x 1 1 1 2 3 xy x xy Có hai tiếp điểm 51 (1; ), (2; ) 63 MN . Tiếp tuyến tại M: 5 11 1( 1) 66 y x x Tiếp tuyến tại N: 15 1( 2) 33 y x x Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm Bài 1. Cho đồ thị (C): y = x 3 – 2x + 6. Viết pttt của (C) qua A(1;4). Bài giải Phương trình đường thẳng (d) có hsg k và qua A có dạng: y = k(x – 1) + 4. (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 3 2 2x 6 ( 1) 4 32 x k x xk 3 2 3 2 2x 6 (3 2)( 1) 4 2 3 0 02 3 19 24 x x x x x xk xk Vậy có hai tiếp tuyến là: 19 19 3 2( 1) 4 2x 6; ( 1) 4 4 4 4 y x y x x Bài 2. Cho đồ thị (C): y = x 3 – 3x + 2. Tìm những điểm M trên đường thẳng (d): y = 4 sao cho từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Ba Huy 8 Bài giải ( ) ( ;4)M d M a Đường thẳng qua M có dạng y = k(x – a) + 4. là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 3 32 2 3 2 2 2 3x 2 ( ) 4 (1) 3x 2 (3 3)( ) 4 3 3 (*) 2 3a 3a 2 0 ( 1)(2 (2 3a)x 2 3a) 0 10 ( ) 2 (2 3a)x 2 3a 0 (2) x k x a x x x a xk x x x x xk f x x Để qua M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến (C) thì hệ (1) phải có 2 nghiệm k 1 , k 2 thỏa mãn k 1 .k 2 = -1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm x 1 , x 2 khác -1 và thỏa mãn k 1 .k 2 = -1 (k xác định theo x trong (*)). 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 (2 3a) 8(2 3a) 0 ( 1) 0 6a 6 0 (3 3)(3 3) 1 9( ) 9( ) 9 1 f x x x x x x 22 (2 3a)(3a 6) 0 1 2 3a 2 3a 2 3a 9 9 2. 10 0 2 2 2 a 2 2 3 28 28 1 ;4 27 27 28 27 aa a a M a . Có hai tiếp điểm A(0;1), B(3;-1/2). Tiếp tuyến tại A: y = 1(x – 0) + 1 = x + 1 Tiếp tuyến tại B: 17 1( 3) 22 y x x +) KN2. Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1. Ba Huy 7 Hoành độ tiếp điểm. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: y’ = k 2 3 3 3 0 1x x y Tiếp điểm là M(0;-1). o Phương trình tiếp tuyến tại M: y = -3(x – 0) – 1 = -3x – 1. c. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần. 9x – 16. Phương trình tiếp tuyến tại B là: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15. b. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng d có hệ số góc là k d = -3. o Do tiếp tuyến song song với d