Chuyên đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểmA... Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến... Viết phương trình các tiếp tuyến đó... Một s

Trang 1

§1 Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A Tóm tắt lý thuyết

Cho yf x   C

1 Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với  C

tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C

và M là nơi xảy

ra sự tiếp xúc

2 Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của  C

là tiếp tuyến với  C

tại một điểm N nào đó Điểm M có thể

thuộc  C hoặc không, trong trường hợp thuộc  C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không

(xem các hình vẽ ở dưới)

B2  đi qua M khi và chỉ khi y1f x'  0 x1 x0 f x 0

Giải phương trình này để tìm x 0

Trang 2

B3 Thay mỗi x tìm được ở bước 2 vào phương trình  , ta được một tiếp tuyến qua M của0

1

x x y

x

 



  C

Viết phương trình tiếp tuyến của  C

tại điểm M có hoành độ

bằng 1

Giải Ta có  

2 2 2

'

x x y

x

 



 Lần lượt thay x  vào các biểu thức của y và '1 y , ta được

x x

Trang 3

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x là:0

tương đương với

541

x x

4916

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng:

1)  C là đồ thị hàm số y x 4 2x2 3 và hoành độ tiếp điểm bằng 2 ;

x

 



 và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung;

4)  C là đồ thị hàm số y2x3 3x2 và tiếp tuyến đi qua 5

19

; 412

A 

  ;5)  C là đồ thị hàm số y x 3 3x22 và tiếp tuyến đi qua A  1; 4.

Bài 2 Cho y2x33x212x 1  C Tìm những điểm thuộc  C

mà tiếp tuyến tại đó đi quagốc tọa độ

D Hướng dẫn và đáp số

Trang 5

§2 Điều kiện tồn tại tiếp tuyến

Xét bài toán sau đây

Bài toán Cho đồ thị hàm số yf x   C

Tìm điều kiện của tham số để  C

có tiếp tuyếnthỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x của 0  C

B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng  để nhận được một phương trình ẩn x Tiếp0

tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm x 0

Chứng minh qua điểm I   1; 1

không tồn tại tiếp tuyến của

2

0 0

12

:

11

x

x x

2

0 0

12

11

x x

31

1

x x

Giải Phương trình tiếp tuyến với  C

tại điểm có hoành độ x là:0

có tiếp tuyến đi qua A1; 2 

khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x :0

Trang 6

x y x

0 0

5:

22

x

x x

Điểm A nằm trên đường thẳng x   tọa độ A có dạng 3 A3;a

Qua A có tiếp tuyến tới  C

khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x : 0

0 0 2

0 0

5

22

x

x x

Trang 7

10x 21 0

    0

2110

x 

Trong trường hợp này  2

x

 



  C và :d y x  Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x (0 x  ) là:0 1

2 11

:

m x m m

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x sao cho hai đường thẳng 0 và d trùng nhau Tức là

hệ sau đây có nghiệm đối với x0

111

2 11

0

m x

m x m m

m x m x

Trang 8

 1 

0 0 0

12

  x0  là một nghiệm của m  *   *

có nghiệm Vậy

 C

tiếp xúc với d khi và chỉ khi m  1

Ví dụ 5 Cho y x 4 8x2 7  C Tìm m để đường thẳng : d y60x m tiếp xúc với  C

Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C

tại điểm có hoành độ x là:0

  0 0  0

:y y x' x x y x

     :yy x x x y x' 0  0 ' 0 y x 0

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ0

sau đây có nghiệm đối với x0

Vậy d tiếp xúc với  C

khi và chỉ khi m 164 Khi đó hoành độ tiếp điểm là x  0 3

C Bài tập

x y

Trang 9

Bài 3 Cho y x 4 2x2  C .

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C

;2) Tìm những điểm trên đường thẳng y  mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới 3  C

3m Bài 3 1 Những điểm cần tìm có dạng A0;a với a 13; 2 Những điểm cần

tìm có dạng A a ;3 với a    ; 3 3;

Trang 10

§3 Hệ số góc của tiếp tuyến

A Giới thiệu

Ta biết rằng f x' 0

là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x 

tại điểm có hoành độ x0

Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến

12

x x

Trang 11

Gọi M là điểm thuộc C m

có hoành độbằng 1 Tìm m để tiếp tuyến tại M của C m

song song với đường thẳng : 5d x y  0

Giải Phương trình tiếp tuyến tại M của C m

m m

Vậy tiếp tuyến tại M của C m

song song với đường thẳng d  m  4

Trang 12

Tìm m để các tiếp tuyến của C m

tại A và B vuông góc với nhau.

m m

y x  mx  x m   C Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

nhất của đồ thị là 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của  C

biết rằng 1) [ĐHB06]  C là đồ thị hàm số

2

x x y

Trang 13

Bài 4 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C

D Hướng dẫn và đáp số

Bài 1 1 y2x ; 2 2

763

y x

Bài 4 2;0

và

42;3

m 

Trang 14

§4 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

2 Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho y2x3 4x2x  C Viết phương trình các tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến

tạo với Ox góc 45

Giải Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hoành độ x của 0  C là:

k k

043

x x

 : y x 

+) 0

43

x 

  0

2827

y x 



4 28: 1

27

y x

  

Trang 15

 k   1 6x02 8x0   1 1

0 0

113

x x

 :y x1 1  : y  x

+) 0

13

x 

  0

127

y x 

, yx,

827

x





  C

biết tiếp tuyến cách

tại điểm có hoành độ x (0 0

12

2

0 0

13

10

x x

0112

x x x x

Trang 16

 x   0 0

 

0 0

1'

30

1'

31

x y

x





  C

.Viết phương trình tiếp tuyến của  C

biết tiếp tuyến cách đều cácđiểm A  7;6

và B  3;10

tại điểm có hoành độ x (0 x  ) là:0 1

  0 0  0

:y y x' x x y x

0 0

2

0 0

3 25

:

11

x

x x

Trang 17

x x

412

x y x





  C

Tìm tọa độ điểm M C

sao cho khoảng cách từ điểm I1; 2

tới tiếp tuyến của  C

x x

2 0 2 0

Trang 18

Vậy khoảng cách d I  ;  lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi x  0 1 3 

x y x



  C Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C

tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1

4

Giải Ta có  2

2'

, M có hoành độ x Ta có phương trình tiếp tuyến0

2

0 0

22

:

11

x

x x

22

:

x x

:

22

0

A

x x

y

x y

:

22

0

B

x x

y

x x

21

x OB

x



14

OAB

S 

  

4 0 2 0

141

1

x x

M M

Trang 19

Tìm m để tiếp tuyến của C m

tại các điểm cóhoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng

3

13

Bài 2 Cho

34

x y

x





  C

biết tiếp tuyến cách

  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 [ĐHA09] Cho

2

2 3

x y x





  C

biết tiếp tuyến cắt

các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O

3

x y

x





  C

biết tiếp tuyến cắt các trục

tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O

Bài 6 Cho

22

x y

x



  C

biết rằng tiếp tuyến cắt các

trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2

D Hướng dẫn và đáp số

Bài 1

148

m 

hoặc

7240

Bài 3 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu

cầu bài toán là:y x  , 1

73

y x 

Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài

toán là y x 2 Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là

32

yx

,

52

yx

Bài 6 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y  x 4

Trang 20

§5 Điều kiện tiếp xúc

tiếp xúc với nhau tại điểm M x y 0; 0

nếu cả hai điềukiện sau đây thỏa mãn:

 M là một điểm chung của  C và C';

 Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau.

Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

y

x O

y0

x0 M

tiếp xúc nhau  hệ  *

có nghiệm đối với x ;

 Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm;

 x là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của 0  C và C' tại điểm có hoành độ x0

Trang 21

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho

24

y x  x  C

và y x 2 x 2 C'

Chứng minh  C

và C'

tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung

Giải Ký hiệu   3 5

05

2 4

y x 

  hay

924

Do đó:  1 có nghiệm kép     0 b k 2 4a c m   0

Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x

ax b k x c m

k b x

Trang 22

 I

có nghiệm  2

k b x

Ví dụ 3 [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm A1; 2 

và tiếp xúc với parabol

y x  x

Giải Phương trình đường thẳng qua A1; 2 

có hệ số góc k có dạng :y k x  1 2

:y kx k 2

k k

Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y2x và y2x 4

Ví dụ 4 [ĐHB08] Cho y4x3 6x2 1  C Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

 1; 9

M   của  C .

Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng :y k x  1 9

 là tiếp tuyến của  C

khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

Trang 23

x x

có nghiệm  x  là nghiệm của 54  2

hoặc x  là nghiệm của 1  2

 Thay

54

x 

vào  2

ta có

154

m x m

x x

m x

là nghiệm của

m

m m

Trang 24

1) y x 2 3x và 1

1

x x y

x y x

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị  C

trong các trường hợp sau:

Bài 4 Chứng minh rằng qua A1;0 có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số

Trang 25

Chứng minh tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho hệ

2

' 2

2 2

11

2 21

x x

k x x

x x

k x

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,71 MB