Chuyên đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho ( ) y f x = ( ) C . 1. Tiếp tuyến tại một điểm Tiếp tuyến với ( ) C tại ( ) ( ) 0 0 ;M x f x là đường thẳng ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : ' ∆ = − + y f x x x f x . Ta cũng nói rằng ∆ tiếp xúc với ( ) C hay ( ) C tiếp xúc ∆ , hoặc ∆ và ( ) C tiếp xúc nhau. Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của ( ) C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc ( ) C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. 2. Tiếp tuyến qua một điểm Tiếp tuyến qua M của ( ) C là tiếp tuyến với ( ) C tại một điểm N nào đó. Điểm M có thể thuộc ( ) C hoặc không, trong trường hợp thuộc ( ) C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới). Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua ( ) 1 1 ;M x y của ( ) C . Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của ( ) C : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y f x x x f x ∆ = − + . B2 ∆ đi qua M khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 'y f x x x f x = − + . Giải phương trình này để tìm 0 x . 1 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong B3 Thay mỗi 0 x tìm được ở bước 2 vào phương trình ∆ , ta được một tiếp tuyến qua M của ( ) C . B. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho 2 2 1 3 1 x x y x − + = + ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm M có hoành độ bằng 1 . Giải. Ta có ( ) 2 2 2 3 4 1 ' 3 1 x x y x − − = + . Lần lượt thay 1x = vào các biểu thức của y và 'y , ta được ( ) 1 ' 1 8 y = − và ( ) 1 1 4 y = . Suy ra phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại M là: ( ) 1 1 : 1 8 4 y x∆ = − − + ⇔ 1 3 : 8 8 y x∆ = − + . Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và 'y thay cho f và 'f trong trường hợp bài toán chỉ đề cập đến một hàm số. Ví dụ 2. Cho 3 2 4 5 2y x x x= + + + ( ) C . Viết phương trình các tiếp tuyến của ( ) C tại những giao điểm của ( ) C với trục hoành. Giải. Từ phương trình của ( ) C , cho 0y = ta được: 3 2 4 5 2 0x x x+ + + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 0x x+ + = ⇔ 2 1 x x = −   = −  . Suy ra ( ) C có hai giao điểm với trục hoành là ( ) 1 2;0M − và ( ) 2 1;0M − . Từ 2 ' 3 8 5y x x= + + suy ra ( ) ' 2 1y − = , ( ) ' 1 0y − = . Do đó phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại các điểm 1 M , 2 M lần lượt là: ( ) 1 : 1. 2 0y x ∆ = + + ⇔ 1 : 2y x∆ = + , ( ) 2 : 0. 1 0y x ∆ = + + ⇔ 2 : 0y∆ = . 2 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho ( ) 3 2 4 6 1y x x C = − + . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1; 9M − − của ( ) C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ 0 x là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y y x x x f x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 : 12 12 4 6 1y x x x x x x∆ = − − + − + . Điều kiện ∆ đi qua ( ) 1; 9M − − tương đương với ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 9 12 12 1 4 6 1x x x x x− = − − − + − + ⇔ 3 2 0 0 0 8 6 12 10 0x x x+ − − = ⇔ 0 0 5 4 1 x x  =   = −  . • 0 5 4 x = ⇒ ( ) ( ) 0 0 15 ' 4 9 16 y x y x  =     = −   ⇒ ⇒ 15 5 9 : 4 4 16 y x   ∆ = − −  ÷   ⇔ 15 21 : 4 4 y x∆ = − . • 0 1x = − ⇒ ( ) ( ) 0 0 ' 24 9 y x y x =   = −   ⇒ ( ) : 24 1 9y x ∆ = + − ⇔ : 24 15y x∆ = + . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của ( ) C là 15 21 : 4 4 y x∆ = − , : 24 15y x∆ = + . C. Bài tập Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết rằng: 1) ( ) C là đồ thị hàm số 4 2 2 3y x x= − − và hoành độ tiếp điểm bằng 2 ; 2) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 3 2y x x= − − và tung độ tiếp điểm bằng 2 ; 3) ( ) C là đồ thị hàm số 2 3 4 1 x x y x − − = − và tiếp điểm là giao điểm của ( ) C với trục tung; 4) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 2 3 5y x x= − + và tiếp tuyến đi qua 19 ;4 12 A    ÷   ; 5) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 3 2y x x= − + và tiếp tuyến đi qua ( ) 1;4A − . 3 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Bài 2. Cho 3 2 2 3 12 1y x x x= + − − ( ) C . Tìm những điểm thuộc ( ) C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1 24 43y x= − ; 2 2y = , 9 7y x= − ; 3 7 4y x= + ; 4 12 15y x= − , 21 645 32 128 y x= − + , 4y = ; 5 4y = , 9 7 4 4 y x= − + . Bài 2. ( ) 1;12M − . 4 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến A. Tóm tắt lý thuyết Xét bài toán sau đây. Bài toán. Cho đồ thị hàm số ( ) y f x = ( ) C . Tìm điều kiện của tham số để ( ) C có tiếp tuyến thỏa mãn một điều kiện nào đó. Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của ( ) C : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y f x x x f x ∆ = − + . B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng ∆ để nhận được một phương trình ẩn 0 x . Tiếp tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm 0 x . B. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho ( ) 1 1 x y x x − = + ( ) C . Chứng minh qua điểm ( ) 1; 1I − − không tồn tại tiếp tuyến của ( ) C . Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của ( ) C ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y f x x x f x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) 0 0 2 0 0 1 2 : 1 1 x y x x x x − − ∆ = − + + + . ∆ đi qua ( ) 1; 1I − − nghĩa là ( ) ( ) 0 0 2 0 0 1 2 1 1 1 1 x x x x − − − = − − + + + ⇔ 0 0 0 1 2 1 1 1 x x x − − = + + + ⇔ 0 0 3 1 1 x x − − = + ⇔ ( ) 0 0 0 1 3 1 0 x x x − + = −   + ≠   ⇔ 0 x ∈∅ . Vậy không tồn tại 0 x để ∆ đi qua I . Nói cách khác qua I không có tiếp tuyến của ( ) C . Ví dụ 2. Cho 2 4 3 6y x mx= + + ( ) C . Tìm m để ( ) C có tiếp tuyến đi qua ( ) 1; 2A − . Giải. Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại điểm có hoành độ 0 x là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y y x x x y x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) 2 0 0 0 0 : 8 3 4 3 6y x m x x x mx ∆ = + − + + + . ( ) C có tiếp tuyến đi qua ( ) 1; 2A − khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0 x : 5 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 8 3 1 4 3 6x m x x mx − = + − + + + . ( ) * Ta có ( ) * ⇔ 2 0 0 4 8 3 8 0x x m− − − = ( ' 12 48m ∆ = + ). Do đó ( ) * có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 ∆ ≥ ⇔ 12 48 0m + ≥ ⇔ 4m ≥ − . Vậy ( ) C có tiếp tuyến đi qua ( ) 1; 2A − khi và chỉ khi 4m ≥ − . Ví dụ 3. Cho 2 1 2 x y x + = − ( ) C . Tìm trên đường thẳng 3x = các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của ( ) C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ 0 x ( 0 2x ≠ ) là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y y x x x y x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 1 5 : 2 2 x y x x x x + − ∆ = − + − − . Điểm A nằm trên đường thẳng 3x = ⇔ tọa độ A có dạng ( ) 3;A a . Qua A có tiếp tuyến tới ( ) C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0 x : ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 1 5 : 3 2 2 x a x x x + − ∆ = − + − − . ( ) 1 Ta thấy ( ) 1 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 2 5 3 2 1 2 2 0 2 0 a x x x x x x  − = − − + + − ⇒ − ≠   − ≠   ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 5 3 2 1 2a x x x x− = − − + + − ⇔ ( ) ( ) 2 0 0 2 2 2 1 4 17 0a x a x a − − + + + = . ( ) 2 Trường hợp 1. 2 0a − = ⇔ 2a = . Khi đó ( ) 2 trở thành 6 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong 0 10 21 0x− + = ⇔ 0 21 10 x = . Trong trường hợp này ( ) 2 có nghiệm ⇒ ( ) 1 có nghiệm. Trường hợp 2. 2 0a − ≠ ⇔ 2a ≠ . Khi đó ( ) 2 là phương trình bậc hai có 5 35a ′ ∆ = − + . Do đó, trong trường hợp này ( ) 1 có nghiệm khi và chỉ khi ( ) 2 có nghiệm, tức là 0 ′ ∆ ≥ ⇔ 5 35 0a − + ≥ ⇔ 7a ≤ . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( ) { } 3; 7A a a ≤ . Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho ( ) 2 2 1 1 m x m y x − − = − ( ) C và :d y x= . Tìm m để ( ) C tiếp xúc với d . Giải. Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ 0 x ( 0 1x ≠ ) là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y y x x x y x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 1 1 : 1 1 m x m m y x x x x − −   − ∆ = − +  ÷ − −   ⇔ ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 : 1 1 1 m x m m m y x x x x x − −     − − ∆ = − +  ÷  ÷ − − −     . ( ) C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0 x sao cho hai đường thẳng ∆ và d trùng nhau. Tức là hệ sau đây có nghiệm đối với 0 x ( ) 2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 m x m x m m x x x    −  =  ÷ −     − −    − − + =  ÷  − −    . ( ) * Ta có ( ) * ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 2 1 m x m x m x x    −  =  ÷ −     − −  − + =  −  . 7 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong ( ) 1 ⇔ 0 0 0 1 1 1 1 1 x x m x m ≠   − = −     − = −   ⇔ 0 0 0 1 2 x x m x m ≠   =     = −   . • 1m = ⇒ 2 1m m = − = ⇒ ( ) 1 vô nghiệm ⇒ ( ) * vô nghiệm. • 1m ≠ : ( ) 1 ⇔ 0 0 2 x m x m =   = −  . Thay 0 x m= vào vế trái của ( ) 2 ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 0 1 m m m VT m m − − = − + = − ⇒ 0 x m= là một nghiệm của ( ) * ⇒ ( ) * có nghiệm. Vậy ( ) C tiếp xúc với d khi và chỉ khi 1m ≠ . Ví dụ 5. Cho 4 2 8 7y x x= − + ( ) C . Tìm m để đường thẳng : 60d y x m= + tiếp xúc với ( ) C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và ( ) C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ 0 x là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 'y y x x x y x ∆ = − + ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 : ' 'y y x x x y x y x ∆ = − + . ( ) C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0 x sao cho ∆ và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ sau đây có nghiệm đối với 0 x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 60 ' y x x y x y x m =   − + =   ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 60 1 60 2 y x m x y x =   = − +   . ( ) 1 ⇔ 3 0 0 4 16 60x x− = ⇔ 0 3x = . Thay 0 3x = vào ( ) 2 ta có 164m = − . Vậy d tiếp xúc với ( ) C khi và chỉ khi 164m = − . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0 3x = . C. Bài tập Bài 1. Cho 1 x y x = − ( ) C . Chứng minh rằng qua ( ) 1;1I của ( ) C , không tồn tại tiếp tuyến nào của ( ) C . 8 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Bài 2. Tìm m sao cho đồ thị hàm số 1 x m y x m − = + − có tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 0; 2A − . Bài 3. Cho 4 2 2y x x= − ( ) C . 1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ( ) C ; 2) Tìm những điểm trên đường thẳng 3y = mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ( ) C . D. Hướng dẫn và đáp số Bài 2. 2 1 3 m≤ ≠ . Bài 3. 1 Những điểm cần tìm có dạng ( ) 0;A a với 1 3 a ≤ ; 2 Những điểm cần tìm có dạng ( ) ;3A a với ( ) ; 3 3;a   ∈ −∞ − ∪ +∞   . 9 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §3. Hệ số góc của tiếp tuyến A. Giới thiệu Ta biết rằng ( ) 0 'f x là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x = tại điểm có hoành độ 0 x . Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. B. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho 3 2 2 2 2 3 y x x x= − − + ( ) C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của ( ) C . Giải. Ta có ( ) 0 ' 2y x = ⇔ 2 0 0 2 2 2 2x x− − = ⇔ 2 0 0 2 0x x− − = ⇔ 0 0 1 2 x x = −   =  . Ta có ( ) 7 1 3 y − = , ( ) 2 2 3 y = − . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ( ) 1 7 : 2 1 3 y x∆ = + + ⇔ 1 13 : 2 3 y x∆ = + , ( ) 2 2 : 2 2 3 y x∆ = − − ⇔ 2 14 : 2 3 y x∆ = − . Ví dụ 2. Cho 3 2 3 12 5y x x x= − − + ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( ) C . Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x của ( ) C là: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 ' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x= = − − = − − ≥ − ⇒ 15k ≥ − . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 0 1x = . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 − , đạt được khi và chỉ khi 0 1x = . Ta có ( ) 1 9f = − , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( ) C là: ( ) : 15 1 9y x ∆ = − − − ⇔ : 15 6y x∆ = − + . Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho 4 2 6y x x= − − + ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 : 1 6 d y x= − của ( ) C . 10 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc [...]... trình tiếp tuyến của ( C) biết ( C) 3 2 là đồ thị hàm số y = x − 3 x + 5 x + 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 1 y = − x3 − x 2 + 5 x + 2 C) ( là đồ thị hàm số 3 2) , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất 1 y = x3 − mx 2 − x + m − 1 ( C ) 3 Bài 2 Cho Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 1) nhất của đồ thị là −10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của. .. minh có hai tiếp tuyến của parabol y = x − 3 x đi qua điểm  2 2  và chúng vng góc với nhau ( C ) trong các trường hợp sau: Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị  23  A  ; −2 ÷ 3 2  , ( C ) là đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 1)  9 x+2 y= A ( −6;5 ) ( C ) x−2 2) , là đồ thị hàm số 2 Bài 4 Chứng minh rằng qua A ( 1; 0 ) có hai tiếp tuyến vng góc với nhau của đồ thị hàm số x2 + 2 x... = x −1 ( C) 2) ( C) là đồ thị hàm số là đồ thị hàm số 12 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc y= ( C) y= biết rằng x2 + x − 1 x+2 và tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 − 2x 2 x + 1 và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x + y − 1 = 0 Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương ( C ) là 3) đồ thị hàm số d : x + 3 y − 1 = 0 góc 45o y= Phạm Hồng Phong 1 3 1 2 x + x − 2x + 1 2 2 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng... ') ; • M là một điểm chung của • Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho Hình 2 Điều kiện tiếp xúc Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số y = f ( x) ( C) và y = g ( x) ( C ') , ta xét hệ:  f ( x) = g ( x)    f '( x) = g '( x)  ( *) Ta có: • ( C) • Nghiệm của • x0 là hồnh độ tiếp điểm ⇒ tiếp tuyến chung của ( C ) và ( C ') tại điểm... phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O x+3 y= 2 ( x + 1) ( C ) ( C ) biết tiếp tuyến cắt các trục Bài 5 Cho Viết phương trình tiếp tuyến của tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O y= Bài 6 Cho 2x x−2 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết rằng tiếp tuyến cắt các... trên đồ thị ( C) của hàm số y= 1 3 2 x −x+ 3 3 mà tiếp tuyến tại đó 1 2 d : y = − x+ 3 3 vng góc với đường thẳng 1 y = mx3 + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 1 ( C ) ( C m ) có tiếp m 3 Bài 5 Cho Tìm điều kiện của m để tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 2012 D Hướng dẫn và đáp số Bài 1 1 y = 2 x + 2 ; 2 y = 6x + 7 3 Bài 2 m = ±3 , m = 3 thì tiếp tuyến là d1 : y = −10 x + 11 , m = −3 thì tiếp tuyến. .. đáp số m= 1 7 m=− 48 hoặc 240 Bài 2 Các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là: y = −7 x − 15 , y = −7 x − 43 , cầu bài tốn là: y = x + 1 , 19 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 1 3 1 25 y = − x+ y =− x− 7 7, 7 7 Bài 3 Các tiếp tuyến thỏa mãn u y = x+ 7 3 Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong y = −x + tốn là y = − x − 2 Bài 5 Các tiếp tuyến. .. by0 + c a2 + b2 2 Giao điểm của hai đường thẳng Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng B Một số ví dụ 3 2 ( C ) Viết phương trình các tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến tạo Ví dụ 1 Cho y = 2 x − 4 x + x o với Ox góc 45 ( C ) là: Giải Hệ số góc của tiếp tuyến ∆ tại điểm có hồnh độ x0 của 2 k = y ' ( x0 ) = 6 x0 − 8 x0 + 1 Ta có k = 1 ( ∆, Ox ) =... ( C ') tại điểm có hồnh độ x0 là: và ( C ') ( *) có nghiệm đối với x ; tiếp xúc nhau ⇔ hệ ( *) chính là hồnh độ tiếp điểm; y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) y = f ( x) Hệ quả Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  f ( x ) = kx + m    f '( x) = k hệ  có nghiệm đối với x B Một số ví dụ 21 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc ( C) khi và chỉ khi Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng... 1 Cho ( Cm ) Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại các điểm có 3 13 hồnh độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cơ-sin bằng 3− x y= x + 4 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến cách A ( −4; −1) Bài 2 Cho 7 2 một khoảng bằng 5 x +1 y= 3x + 4 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết khoảng cách từ điểm Bài 3 Cho  4 1 I − ; ÷  3 3  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất . trình tiếp tuyến của ( ) C biết 1) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 3 5 1y x x x= − + + , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 1 5 2 3 y x x x= − − + + , tiếp tuyến.  . 9 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §3. Hệ số góc của tiếp tuyến A. Giới thiệu Ta biết rằng ( ) 0 'f x là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số. là đồ thị hàm số 3 2 2 3 5y x x= − + và tiếp tuyến đi qua 19 ;4 12 A    ÷   ; 5) ( ) C là đồ thị hàm số 3 2 3 2y x x= − + và tiếp tuyến đi qua ( ) 1;4A − . 3 Tiếp tuyến và sự tiếp