TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.Kiến thức cơ bản : Trong mp Oxy cho đường tròn C tâm Ia; b bán kính R.. Ta tìm được A, B, C nhờ điều kiện Ω và điều kiện tiếp xúc của với đường tròn C.. Có 2 c
Trang 1TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
Kiến thức cơ bản : Trong mp Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R
Đường thẳng () : Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0
Điều kiện tiếp xúc (C) d(I,)R
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm Mo(C) :
Tiếp tuyến là đt qua Mo(xo;yo) và có vtpt IM 0
Phương trình :(xx0)(x0 a)(yy0)(y0 b)0
2) Viết pttt của đtròn thoả điều kiện Ω cho trước :
Gọi :AxByC0,A2 B2 0
Ta tìm được A, B, C nhờ điều kiện Ω và điều kiện tiếp xúc của với đường tròn (C)
Ví dụ 1: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 Lập pttt của (C) biết ttuyến tạo với đthẳng (d) : 2x + y – 4 = 0 một góc 45o
Giải : (C) có tâm I(1; -1) và bán kính R = 10
Giả sử tiếp tuyến có ptrình : Ax + By + C = 0
Điều kiện tiếp xúc : ( , ) 10 10 2 2 (1)
2
B A
C B A R I
tạo với (d) một góc 45o nên :
5
2 ( ) 2
2 (
5
2 2
2 2
B AB A
B A
B A B
A
B A
3
3
B A
B A
B C
B C B B
C B
B
C B B
6
14 10
4 10
) 3 (
3
2 2
+ C = 14B : Ta có ttuyến -3Bx + By + 14B = 0 3x y140
+ C = - 6B : Ta có ttuyến – 3Bx + By – 6B = 0 3xy60
(b) Với A =
3
B: ( tự giải )
Ví dụ 2 : Cho điểm M(-4; -6) và đường tròn (C) : x2 + y2– 2x – 8y – 8 = 0.Lập pttt của (C) đi qua M? Viết phương trình đthẳng đi qua 2 tiếp điểm
Giải : (C) có tâm I(1; 4) , bán kính R = 5
Giả sử Mo(xo;yo) là tiếp điểm vì Mo ( ) 2 2 0 8 0 8 0
0
2
C x y x y (1) Tiếp tuyến ( ) đi qua Mo, có vtpt IM0 (x0 1;y0 4)có ptrình :
(xo– 1)(x – xo) + (yo– 4)(y – yo) = 0
Tiếp tuyến qua M nên : (x0 1)(4x0)(y0 4)(6 y0)0
0 28 2
2 0
2
0 20 10
5 ) 8 8 2
0
2
Trang 20 4
2 0
x y (2) Giải (1) và (2) ta được :
0
4 x
; 4
4
0
0 0
0
y y
x
Với tiếp điểm M1(-4; 4) ta có tiếp tuyến x + 4 = 0
Với tiếp điểm M2(4; 0) ta có tiếp tuyến 3x – 4y – 12 = 0
Phương trình qua 2 tiếp điểm là : x + 2y – 4 = 0
Chú ý : Có thể giải bằng cách gọi : A(x + 4) + B(y + 6) = 0.Dùng điều kiện tiếp xúc để suy ra A, B
3) Viết pttt chung của 2 đường tròn :
Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1(a1; b1), bán kính R1 và (C2) có tâm I2(a2; b2), bán kính R2
Có 2 cách giải bài toán viết ptrình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C1), (C2)
Cách 1 : Gọi ( ) : Ax + By + C = 0
) ( tiếp xúc (C1) 1 2 1 2 1
1
1, )
B A
C B b A a R I
2 2 2 1 2
2, )
B A
C B b A a R I
C B b A a R
R C B b
2
1 1
1
Giải các hệ phương trình sau :
) (
) (
) (
) (
) (
) (
2 2 2
1 1
1
2 2 2 2 1
1
2 2 2
1 1
1
2 2 2 2 1
1
C B b A a R
R C B b A a
B A R C B b A a
C B b A a R
R C B b A a
B A R C B b A a
Ta được A, B, C suy ra phương trình các tiếp tuyến
Cách 2 : Viết phương trình tiếp xúc với (C1) tại điểm Mo(xo;yo)(C1)(ẩn số là xo, yo)
Từ điều kiện để tiếp xúc (C2) ta suy ra xo, yo và được phương trình Cách 3 :
(1) Nếu I1I2 > R1 + R2 thì (C1), (C2) ở ngoài nhau (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 ttuyến
chung trong
- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I ( I chia I1I2 theo tỉ số
2
1
R
R , gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với
một trong hai đường tròn
- Tiếp tuyến chung trong đi qua J ( J chia I1I2 theo tỉ số
2
1
R
R
, gọi là tâm vị tự trong) và tiếp xúc với một trong 2 đường tròn
(2) Nếu I1I2 = R1 + R2 thì (C1), (C2) tiếp xúc ngoài (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến ngoài và 1 ttuyến trong
- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn
- Một tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn
(3) Nếu R1 R2 I1I2 R1R2 thì (C1), (C2) cắt nhau tại 2 điểm (C1), (C2) chỉ có 2 ttuyến ngoài Hai ttuyến ngoài qua I ( tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc một trong 2 đường tròn
(4) Nếu I1I2 R1R2 thì (C1), (C2) chỉ có một ttuyến chung
Ttuyến chung đi qua tiếp điểm và với đường nối tâm ( tức trục đẳng phương)
Trang 3Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :
(C1) : (x -1)2 + (y – 1)2 = 1, (C2) : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4
Giải : (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 1
(C2) có tâm I2(2; -1) , bán kính R2 = 2
5 )
2
; 1
2
I
Vì : R2– R1 = 1 < I1I2 < 3 = R1 + R2 nên (C1), (C2) cắt nhau có 2 tiếp tuyến ngoài
Cách 1 : Gọi :AxByC 0, A2 B2 0
tiếp xúc (C1) ( , ) R 1 (1)
2 2 1
B A
C B A I
d
tiếp xúc (C2) ( , ) R 2 2 (2)
2 2 2
B A
C B A I
d
Ta có :
) 4 ( 3 1 3
) (
2 2
2 2 2 2
2
B A C
B C
B A C B A C
B A C B A
B A C B A
B A
B A
B B B A B B A
3 4
0 0
) 4 3 ( )
3
B = 0 C0, chọn A = 1 ta có tiếp tuyến x = 0
4A = 3B : Chọn A = 3, B = 4 C = -12 ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0
+ Với C = (4 )
3
1 AB
Tương tự ta thấy hệ vô nghiệm
Cách 2 : Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến ()với (C1) là M(xo; yo)
Tiếp tuyến của (C1) tại M có vtpt I1M (x0 1;y0 1)nên có phương trình :
: (x – xo)(xo– 1) + (y – yo)(yo- 1) = 0 (1)
Vì M(xo; yo)(C1) nên :
(xo– 1)2 + (yo– 1)2 = 1 2 2 0 2 0 1 0
0
2
Đường thẳng ()tiếp xúc (C2) khi và chỉ khi :
2 )
1 ( ) 1 (
) 1 2 2 (
2
2 )
1 ( ) 1 (
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
2 ( )
,
(
2 0
2 0
0 0
2 0
2 0 0 0
2 0
2 0
0 0 0
0 2
2
y x
y x y x y x
y x
y y x
x R
I
d
(4) 2
2
(3) 2
2 2
2
0 0
0 0 0
y x y
x
Giải (2) và (3) ta thấy vô nghiệm
Giải (2) và (4) ta được :
) 5
9
; 5
8 (
) 1
; 0 ( 5
9 y , 5 8
1 y , 0
2
1 0
0
0 0
M
M x
x
+ Với M1(0; 1) thay vào (1) ta có tiếp tuyến x = 0
+ Với M2( )
5
9
; 5
8 thay vào (1) ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0.
Cách 3 : Gọi I là tâm vị tự ngoài Ta có :
Trang 4
3 2
1 1
) 1 ( 2
1 1 2
1 1 2 1
0 2
1 1
2 2
1 1 2
1 1 2 1
2
1
2 1
2 1
2 2
2
1
1
y
y y
x
x x II
II
R
R
qua I có vtpt (A; B) có phương trình : A(x – 0) + B(y – 3) = 0
B A
B B
A B A B
A I
d
3 4
0 2
1 3) -B(1 0) -A(1 1
) ,
2 2 1
Tương tự như trên ta cũng có các tiếp tuyến x = 0 và 3x + 4y – 12 = 0
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯ KIỂM TRA
(1) Xét vị trí tương đối và viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :
a (C1) : x2 + y2– 10y = 0 , (C2) : x2 + y2– 4 = 0
( HD : cắt nhau, có hai tiếp tuyến chung ngoài)
b (C1) : x2 + y2 + 4x – 2y -4 = 0 , (C2) : -x2– y2– 6x – 12y + 4 = 0
( HD : ngoài nhau, có 4 tiếp tuyến chung)
c (C1) : x2 + y2– 1 = 0 , (C2) : x2 + y2– 2x – 2y + 1 = 0
( HD : cắt nhau và R1 = R2) (2) Cho 2 đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 và (Cm) : x2 + y2– 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0
a Cmr có 2 đường tròn (C m1) và (C m2) tiếp xúc với (C) ứng với 2 giá trị m1, m2 của m
b Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả 2 đường tròn C m1),(Cm2)