1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tiếp tuyến CỦA đường tròn

4 201 1

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 2,43 MB

Nội dung

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.Kiến thức cơ bản : Trong mp Oxy cho đường tròn C tâm Ia; b bán kính R.. Ta tìm được A, B, C nhờ điều kiện Ω và điều kiện tiếp xúc của với đường tròn C.. Có 2 c

Trang 1

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

Kiến thức cơ bản : Trong mp Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R

Đường thẳng () : Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0

Điều kiện  tiếp xúc (C) d(I,)R

1) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm Mo(C) :

Tiếp tuyến là đt  qua Mo(xo;yo) và có vtpt IM 0

Phương trình :(xx0)(x0 a)(yy0)(y0 b)0

2) Viết pttt của đtròn thoả điều kiện Ω cho trước :

Gọi :AxByC0,A2 B2 0

Ta tìm được A, B, C nhờ điều kiện Ω và điều kiện tiếp xúc của với đường tròn (C)

Ví dụ 1: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 Lập pttt của (C) biết ttuyến tạo với đthẳng (d) : 2x + y – 4 = 0 một góc 45o

Giải : (C) có tâm I(1; -1) và bán kính R = 10

Giả sử tiếp tuyến  có ptrình : Ax + By + C = 0

Điều kiện tiếp xúc : ( , ) 10 10 2 2 (1)

2

B A

C B A R I

 tạo với (d) một góc 45o nên :

5

2 ( ) 2

2 (

5

2 2

2 2

B AB A

B A

B A B

A

B A

3

3

B A

B A

B C

B C B B

C B

B

C B B

6

14 10

4 10

) 3 (

3

2 2

+ C = 14B : Ta có ttuyến -3Bx + By + 14B = 0 3xy140

+ C = - 6B : Ta có ttuyến – 3Bx + By – 6B = 0 3xy60

(b) Với A =

3

B: ( tự giải )

Ví dụ 2 : Cho điểm M(-4; -6) và đường tròn (C) : x2 + y2– 2x – 8y – 8 = 0.Lập pttt của (C) đi qua M? Viết phương trình đthẳng đi qua 2 tiếp điểm

Giải : (C) có tâm I(1; 4) , bán kính R = 5

Giả sử Mo(xo;yo) là tiếp điểm vì Mo ( ) 2 2 0 8 0 8 0

0

2

C x y x y (1) Tiếp tuyến ( ) đi qua Mo, có vtpt IM0 (x0 1;y0 4)có ptrình :

(xo– 1)(x – xo) + (yo– 4)(y – yo) = 0

Tiếp tuyến qua M nên : (x0 1)(4x0)(y0 4)(6 y0)0

0 28 2

2 0

2

0 20 10

5 ) 8 8 2

0

2

Trang 2

0 4

2 0

x y (2) Giải (1) và (2) ta được :

0

4 x

; 4

4

0

0 0

0

y y

x

Với tiếp điểm M1(-4; 4) ta có tiếp tuyến x + 4 = 0

Với tiếp điểm M2(4; 0) ta có tiếp tuyến 3x – 4y – 12 = 0

Phương trình qua 2 tiếp điểm là : x + 2y – 4 = 0

Chú ý : Có thể giải bằng cách gọi : A(x + 4) + B(y + 6) = 0.Dùng điều kiện tiếp xúc để suy ra A, B

3) Viết pttt chung của 2 đường tròn :

Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1(a1; b1), bán kính R1 và (C2) có tâm I2(a2; b2), bán kính R2

Có 2 cách giải bài toán viết ptrình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C1), (C2)

Cách 1 : Gọi ( ) : Ax + By + C = 0

) ( tiếp xúc (C1) 1 2 1 2 1

1

1, )

B A

C B b A a R I

2 2 2 1 2

2, )

B A

C B b A a R I

C B b A a R

R C B b

2

1 1

1

Giải các hệ phương trình sau :

) (

) (

) (

) (

) (

) (

2 2 2

1 1

1

2 2 2 2 1

1

2 2 2

1 1

1

2 2 2 2 1

1

C B b A a R

R C B b A a

B A R C B b A a

C B b A a R

R C B b A a

B A R C B b A a

Ta được A, B, C suy ra phương trình các tiếp tuyến

Cách 2 : Viết phương trình  tiếp xúc với (C1) tại điểm Mo(xo;yo)(C1)(ẩn số là xo, yo)

Từ điều kiện để  tiếp xúc (C2) ta suy ra xo, yo và được phương trình  Cách 3 :

(1) Nếu I1I2 > R1 + R2 thì (C1), (C2) ở ngoài nhau  (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 ttuyến

chung trong

- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I ( I chia I1I2 theo tỉ số

2

1

R

R , gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với

một trong hai đường tròn

- Tiếp tuyến chung trong đi qua J ( J chia I1I2 theo tỉ số

2

1

R

R

 , gọi là tâm vị tự trong) và tiếp xúc với một trong 2 đường tròn

(2) Nếu I1I2 = R1 + R2 thì (C1), (C2) tiếp xúc ngoài  (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến ngoài và 1 ttuyến trong

- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn

- Một tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn

(3) Nếu R1 R2  I1I2 R1R2 thì (C1), (C2) cắt nhau tại 2 điểm (C1), (C2) chỉ có 2 ttuyến ngoài Hai ttuyến ngoài qua I ( tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc một trong 2 đường tròn

(4) Nếu I1I2  R1R2 thì (C1), (C2) chỉ có một ttuyến chung

Ttuyến chung đi qua tiếp điểm và  với đường nối tâm ( tức trục đẳng phương)

Trang 3

Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :

(C1) : (x -1)2 + (y – 1)2 = 1, (C2) : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

Giải : (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 1

(C2) có tâm I2(2; -1) , bán kính R2 = 2

5 )

2

; 1

2

I

Vì : R2– R1 = 1 < I1I2 < 3 = R1 + R2 nên (C1), (C2) cắt nhau  có 2 tiếp tuyến ngoài

Cách 1 : Gọi :AxByC 0, A2 B2 0

 tiếp xúc (C1) ( , ) R 1 (1)

2 2 1

B A

C B A I

d

 tiếp xúc (C2) ( , ) R 2 2 (2)

2 2 2

B A

C B A I

d

Ta có :



) 4 ( 3 1 3

) (

2 2

2 2 2 2

2

B A C

B C

B A C B A C

B A C B A

B A C B A

B A

B A

B B B A B B A

3 4

0 0

) 4 3 ( )

3

 B = 0 C0, chọn A = 1 ta có tiếp tuyến x = 0

 4A = 3B : Chọn A = 3, B = 4  C = -12 ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0

+ Với C = (4 )

3

1 AB

 Tương tự ta thấy hệ vô nghiệm

Cách 2 : Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến ()với (C1) là M(xo; yo)

 Tiếp tuyến của (C1) tại M có vtpt I1M (x0 1;y0 1)nên có phương trình :

 : (x – xo)(xo– 1) + (y – yo)(yo- 1) = 0 (1)

 Vì M(xo; yo)(C1) nên :

(xo– 1)2 + (yo– 1)2 = 1 2 2 0 2 0 1 0

0

2

 Đường thẳng ()tiếp xúc (C2) khi và chỉ khi :

2 )

1 ( ) 1 (

) 1 2 2 (

2

2 )

1 ( ) 1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 )(

2 ( )

,

(

2 0

2 0

0 0

2 0

2 0 0 0

2 0

2 0

0 0 0

0 2

2

y x

y x y x y x

y x

y y x

x R

I

d

(4) 2

2

(3) 2

2 2

2

0 0

0 0 0

y x y

x

Giải (2) và (3) ta thấy vô nghiệm

Giải (2) và (4) ta được :

) 5

9

; 5

8 (

) 1

; 0 ( 5

9 y , 5 8

1 y , 0

2

1 0

0

0 0

M

M x

x

+ Với M1(0; 1) thay vào (1) ta có tiếp tuyến x = 0

+ Với M2( )

5

9

; 5

8 thay vào (1) ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0.

Cách 3 : Gọi I là tâm vị tự ngoài Ta có :

Trang 4

3 2

1 1

) 1 ( 2

1 1 2

1 1 2 1

0 2

1 1

2 2

1 1 2

1 1 2 1

2

1

2 1

2 1

2 2

2

1

1

y

y y

x

x x II

II

R

R

 qua I có vtpt (A; B) có phương trình : A(x – 0) + B(y – 3) = 0

B A

B B

A B A B

A I

d

3 4

0 2

1 3) -B(1 0) -A(1 1

) ,

2 2 1

Tương tự như trên ta cũng có các tiếp tuyến x = 0 và 3x + 4y – 12 = 0

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯ KIỂM TRA

(1) Xét vị trí tương đối và viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :

a (C1) : x2 + y2– 10y = 0 , (C2) : x2 + y2– 4 = 0

( HD : cắt nhau, có hai tiếp tuyến chung ngoài)

b (C1) : x2 + y2 + 4x – 2y -4 = 0 , (C2) : -x2– y2– 6x – 12y + 4 = 0

( HD : ngoài nhau, có 4 tiếp tuyến chung)

c (C1) : x2 + y2– 1 = 0 , (C2) : x2 + y2– 2x – 2y + 1 = 0

( HD : cắt nhau và R1 = R2) (2) Cho 2 đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 và (Cm) : x2 + y2– 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0

a Cmr có 2 đường tròn (C m1) và (C m2) tiếp xúc với (C) ứng với 2 giá trị m1, m2 của m

b Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả 2 đường tròn C m1),(Cm2)

Ngày đăng: 30/05/2015, 20:33

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w