Tiếp tuyến CỦA đường tròn

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN. Kiến thức cơ bản : Trong mp Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R. Đường thẳng (  ) : Ax + By + C = 0, A 2 + B 2 > 0. Điều kiện  tiếp xúc (C) .),( RId  1) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M o  (C) : Tiếp tuyến là đt  qua M o (x o; y o ) và có vtpt 0 IM . Phương trình 0))(())((: 0000  byyyaxxx 2) Viết pttt của đtròn thoả điều kiện Ω cho trước : Gọi .0,0: 22  BACByAx Ta tìm được A, B, C nhờ điều kiện Ω và điều kiện tiếp xúc của  với đường tròn (C). Ví dụ 1: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 10. Lập pttt của (C) biết ttuyến tạo với đthẳng (d) : 2x + y – 4 = 0 một góc 45 o . Giải : (C) có tâm I(1; -1) và bán kính R = .10 Giả sử tiếp tuyến  có ptrình : Ax + By + C = 0. Điều kiện tiếp xúc : )1(.1010),( 22 22 BACBA BA CBA RId      tạo với (d) một góc 45 o nên : Cos45 o = 0383) .5 2 () 2 2 ( .5 2 222 22 2 22       BABA BA BA BA BA        3 3 B A BA (a) Với A = -3B. Thay vào (1) :         BC BC BBC BB CBB 6 14 10410 )3( 3 22 + C = 14B : Ta có ttuyến -3Bx + By + 14B = 0 0143  yx . + C = - 6B : Ta có ttuyến – 3Bx + By – 6B = 0 063  yx . (b) Với A = 3 B : ( tự giải ) Ví dụ 2 : Cho điểm M(-4; -6) và đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 2x – 8y – 8 = 0.Lập pttt của (C) đi qua M? Viết phương trình đthẳng đi qua 2 tiếp điểm. Giải : (C) có tâm I(1; 4) , bán kính R = 5. Giả sử M o (x o; y o ) là tiếp điểm. vì M o 0882)( 00 2 0 2 0  yxyxC (1) Tiếp tuyến (  ) đi qua M o , có vtpt )4;1( 000  yxIM có ptrình : (x o – 1)(x – x o ) + (y o – 4)(y – y o ) = 0. Tiếp tuyến qua M nên : 0)6)(4()4)(1( 0000  yyxx 02823 00 2 0 2 0  yxyx 020105)882( 0000 2 0 2 0  yxyxyx 1 http://kinhhoa.violet.vn .042 00  yx (2) Giải (1) và (2) ta được :           0 4x ; 4 4 0 0 0 0 yy x Với tiếp điểm M 1 (-4; 4) ta có tiếp tuyến x + 4 = 0. Với tiếp điểm M 2 (4; 0) ta có tiếp tuyến 3x – 4y – 12 = 0. Phương trình qua 2 tiếp điểm là : x + 2y – 4 = 0. Chú ý : Có thể giải bằng cách gọi  : A(x + 4) + B(y + 6) = 0.Dùng điều kiện tiếp xúc để suy ra A, B. 3) Viết pttt chung của 2 đường tròn : Cho hai đường tròn (C 1 ) có tâm I 1 (a 1 ; b 1 ), bán kính R 1 và (C 2 ) có tâm I 2 (a 2 ; b 2 ), bán kính R 2 . Có 2 cách giải bài toán viết ptrình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C 1 ), (C 2 ). Cách 1 : Gọi (  ) : Ax + By + C = 0. )( tiếp xúc (C 1 ) 1 22 11 11 ),( R BA CBbAa RId     (1) (  ) tiếp xúc (C 2 ) 2 22 21 22 ),( R BA CBbAa RId     (2) CBbAa R R CBbA  22 2 1 11 a (3) Giải các hệ phương trình sau :                         )( )()( )( )()( 22 2 1 11 2222 11 22 2 1 11 2222 11 CBbAa R R CBbAa BARCBbAa CBbAa R R CBbAa BARCBbAa Ta được A, B, C suy ra phương trình các tiếp tuyến. Cách 2 : Viết phương trình  tiếp xúc với (C 1 ) tại điểm M o (x o; y o ) )( 1 C (ẩn số là x o , y o ) Từ điều kiện để  tiếp xúc (C 2 ) ta suy ra x o , y o và được phương trình . Cách 3 : (1) Nếu I 1 I 2 > R 1 + R 2 thì (C 1 ), (C 2 ) ở ngoài nhau  (C 1 ), (C 2 ) có 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 ttuyến chung trong. - Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I ( I chia I 1 I 2 theo tỉ số 2 1 R R , gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn. - Tiếp tuyến chung trong đi qua J ( J chia I 1 I 2 theo tỉ số 2 1 R R  , gọi là tâm vị tự trong) và tiếp xúc với một trong 2 đường tròn. (2) Nếu I 1 I 2 = R 1 + R 2 thì (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc ngoài  (C 1 ), (C 2 ) có 2 tiếp tuyến ngoài và 1 ttuyến trong. - Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn. - Một tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn. (3) Nếu 212121 RRIIRR  thì (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại 2 điểm (C 1 ), (C 2 ) chỉ có 2 ttuyến ngoài. Hai ttuyến ngoài qua I ( tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc một trong 2 đường tròn. (4) Nếu 2121 RRII  thì (C 1 ), (C 2 ) chỉ có một ttuyến chung. Ttuyến chung đi qua tiếp điểm và  với đường nối tâm ( tức trục đẳng phương) 2 http://kinhhoa.violet.vn 3 Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn : (C 1 ) : (x -1) 2 + (y – 1) 2 = 1, (C 2 ) : (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = 4. Giải : (C 1 ) có tâm I 1 (1; 1) , bán kính R 1 = 1. (C 2 ) có tâm I 2 (2; -1) , bán kính R 2 = 2. .5)2;1( 2121  IIII Vì : R 2 – R 1 = 1 < I 1 I 2 < 3 = R 1 + R 2 nên (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau  có 2 tiếp tuyến ngoài. Cách 1 : Gọi .0A,0: 22  BCByAx  tiếp xúc (C 1 ) (1)1R),( 22 11     BA CBA Id  tiếp xúc (C 2 ) (2)2 2 R),( 22 22     BA CBA Id Ta có :                       )4( 3 1 3 )( 22 222 22 BAC BC BACBA CBACBA BACBA + Với C = -3B : Ta có       BA B ABBBABBA 34 0 0)43()3( 222  B = 0 0 C , chọn A = 1 ta có tiếp tuyến x = 0  4A = 3B : Chọn A = 3, B = 4  C = -12 ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0. + Với C = )4( 3 1 BA  . Tương tự ta thấy hệ vô nghiệm. Cách 2 : Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến )( với (C 1 ) là M(x o ; y o )  Tiếp tuyến của (C 1 ) tại M có vtpt )1;1( 001  yxMI nên có phương trình :  : (x – x o )(x o – 1) + (y – y o )(y o - 1) = 0 (1)  Vì M(x o ; y o ) )( 1 C nên : (x o – 1) 2 + (y o – 1) 2 = 1 0122 00 2 0 2 0  yxyx (2)  Đường thẳng )( tiếp xúc (C 2 ) khi và chỉ khi : 2 )1()1( )122(2 2 )1()1( )1)(1()1)(2( ),( 2 0 2 0 00 2 0 2 000 2 0 2 0 0000 22         yx yxyxyx yx yyxx RId       (4)22 (3)22 22 00 00 00 yx yx yx Giải (2) và (3) ta thấy vô nghiệm. Giải (2) và (4) ta được :              ) 5 9 ; 5 8 ( )1;0( 5 9 y, 5 8 1y,0 2 1 00 00 M M x x + Với M 1 (0; 1) thay vào (1) ta có tiếp tuyến x = 0. + Với M 2 ( ) 5 9 ; 5 8 thay vào (1) ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0. Cách 3 : Gọi I là tâm vị tự ngoài. Ta có : 3 http://kinhhoa.violet.vn 4                           3 2 1 1 )1( 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2. 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 21 21 22 2 1 1 yy y xx x IIII R R II 3);0(I  qua I có vtpt (A; B) có phương trình : A(x – 0) + B(y – 3) = 0  tiếp xúc (C 1 )          BA B BABA BA Id 34 0 21 3)-B(10)-A(1 1),( 22 22 1 Tương tự như trên ta cũng có các tiếp tuyến x = 0 và 3x + 4y – 12 = 0. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯ KIỂM TRA (1) Xét vị trí tương đối và viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn : a. (C 1 ) : x 2 + y 2 – 10y = 0 , (C 2 ) : x 2 + y 2 – 4 = 0. ( HD : cắt nhau, có hai tiếp tuyến chung ngoài) b. (C 1 ) : x 2 + y 2 + 4x – 2y -4 = 0 , (C 2 ) : -x 2 – y 2 – 6x – 12y + 4 = 0 ( HD : ngoài nhau, có 4 tiếp tuyến chung) c. (C 1 ) : x 2 + y 2 – 1 = 0 , (C 2 ) : x 2 + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0 ( HD : cắt nhau và R 1 = R 2 ) (2) Cho 2 đường tròn (C) : x 2 + y 2 = 1 và (C m ) : x 2 + y 2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0. a. Cmr có 2 đường tròn ( ) 1 m C và )( 2 m C tiếp xúc với (C) ứng với 2 giá trị m 1 , m 2 của m. b. Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả 2 đường tròn )(C,) 21 mm C 4 http://kinhhoa.violet.vn . có 2 tiếp tuyến ngoài và 1 ttuyến trong. - Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn. - Một tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của. phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M o  (C) : Tiếp tuyến là đt  qua M o (x o; y o ) và có vtpt 0 IM . Phương trình 0))(())((: 0000  byyyaxxx 2) Viết pttt của tròn thoả điều. 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 ttuyến chung trong. - Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I ( I chia I 1 I 2 theo tỉ số 2 1 R R , gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với một trong hai đường tròn. - Tiếp