SKKN Một số bài Toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN" MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng được xuyên suốt từ THCS đến THPT. Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng về phương pháp cũng như tính toán. Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về một số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề tài "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn". II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ - Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh. - Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. III. CƠ SỞ LÍ LUẬN Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra. IV. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy giải các bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường lúng túng về phương pháp cũng như tính toán. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng học sinh bắt đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về dạng này, nhưng học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. Số lượng bài toán thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây V. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán và phương pháp giải theo các dạng VI. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán. VII. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan đến đường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2, 11A3 trường THPT Tiên Lữ. NỘI DUNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) a = (a 1 ; a 2 ) <=> a = a 1 i +a 2 j 2) Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ) 3) Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = 2 2 2 1 aa + ; cos( a , b ) = ba ba . . 2. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) ( ) ( ) ; ; M M M M M x y OM x y⇔ = uuuur 2) Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ). Ta có: AB = (x B -x A ; y B -y A ) và AB = 22 )()( ABAB yyxx −+− 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1≠ ) MA kMB⇔ = uuur uuur thì      − − = − − = k kyy y k kxx x BA M BA M 1 1 Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì      + = + = 2 2 BA M BA M yy y xx x Nếu G là trọng tâm ∆ ABC thì      ++ = ++ = 3 3 CBA G CBA G yyy y xxx x 3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ a . b = 0 ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 2) a cùng phương với b ⇔ a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0 1 2 1 2 1 2 0 0 a a b b b b   ⇔ = ≠ ≠  ÷   nÕu vµ 3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi uuur uuur AB v ACµ cùng phương Nhắc lại: 1. Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Khoảng cách từ đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng 2 3 độ dài trung tuyến. 2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao. H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC . 0 . 0 AH BC BH AC  =  ⇔  =   uuur uuur uuur uuur 3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó. I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC IA IB IA IC  = ⇔  =  Hoặc 1 2 I d d= ∩ với d 1 , d 2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC 4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó 5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì = = DB EB AB DC EC AC ( ) ,D E BC∈ Chú ý: a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác trùng nhau. b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác trong của tam giác trùng nhau A. ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ = + ≠ − + − = g r g g 0 0 0 2 2 0 0 ; ; : 0 : 0 M x y d VTPT n A B A B PTTQ A x x B y y ®iÓm 2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ chỉ phương cho trước ( ) ( ) ( ) ∈ =  = +  ∈  = +   g r g g 0 0 0 1 2 0 1 0 2 ; ( ) ; M x y d VTCP u a a x x a t PTTS t R y y a t ®iÓm Và phương trình chính tắc là 0 1 x x a − = ( ) µ 0 1 2 2 0 0 y y a v a a − ≠ ≠ 3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với ( ) ( ) ; , ; A A B B A x y B x y là A A B A B A x x y y x x y y − − = − − 4) Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 0 0 0 ;M x y và vuông góc với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 - d vuông góc với ∆ : Ax + By + C = 0 nên phương trình d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0 - ( ) ∈ ⇒ = − 0 0 0 0 0 ; 'M x y d C Bx Ay 5) Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và song song với ∆ : Ax + By+ C = 0 - d song song với ∆ : Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’ C≠ ) - ( ) 0 0 0 0 0 ; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − − 6) Phương trình đường thẳng d đi qua ( ) ( ) ( ) vµ; 0 , 0; 0 0A a B b a b≠ ≠ là 1 x y a b + = (phương trình đoạn chắn). 7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau (∆ 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ( ) 2 2 1 1 0A B+ ≠ (∆ 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ( ) 2 2 2 2 0A B+ ≠ Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là: 2 1 2 1 111 BA CyBxA + ++ = ± 2 2 2 2 222 BA CyBxA + ++ 8) Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và tạo với đường thẳng ∆ : Ax + By+ C = 0 một góc α Gọi ( ) '; 'n A B= r ( ) '2 '2 0A B+ ≠ là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng ( ) ( ) 0 0 ' ' 0A x x B y y− + − = d tạo với ∆ một góc α nên os 2 2 2 2 ' ' . ' ' AA BB c A B A B α + = + + 9) Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và cách điểm N ( ) ; N N x y một khoảng k cho trước Gọi ( ) ;n A B= r ( ) 2 2 0A B+ ≠ là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng ( ) ( ) 0 0 0A x x B y y− + − = 0 0 0Ax By A x By ⇔ + − − = d cách điểm N một khoảng k nên ( ) + − − = ⇔ = + 0 0 2 2 , N N Ax By A x By d N d k k A B II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho 2 đường thẳng: (∆ 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (1) ( ) 2 2 1 1 0A B+ ≠ (∆ 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 (2) ( ) 2 2 2 2 0A B+ ≠ Toạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 , nếu có là nghiệm của hệ 2 phương trình (1) và (2) Ta có kết quả sau: - Nếu 2 1 A A ≠ 2 1 B B thì ∆ 1 cắt ∆ 2 - Nếu 2 1 A A = 2 1 B B ≠ 2 1 C C thì ∆ 1 // ∆ 2 - Nếu 2 1 A A = 2 1 B B = 2 1 C C thì ∆ 1 ≡ ∆ 2 Lưu ý: ∆ 1 ⊥ ∆ 2 <=> A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1. Góc giữa hai đường thẳng Cho 2 đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là 1 n và 2 n Gọi ϕ là góc hợp bởi ∆ 1 và ∆ 2 , ta có: cosϕ = 21 2 1 . . nn nn (0 ≤ ϕ ≤ 90 0 ) 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 được cho bởi: d(M 0 ; ∆) = 22 00 BA CByAx + ++ Lưu ý: 1. Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải. 2. Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồi giải. 3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn số x và y rồi giải. Cho d: y = f(x); d’: y = g(x) Nếu A = d ∩ d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ ( ) ( )y f x y g x  =   =   4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phương trình TH1: ( ) ( ) ( ) ∈∆ = ⇒ =: ;A y f x A x y f x (đã loại bớt ẩn y của điểm A) TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d- b) [...]... trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = A2 + B 2 − C * Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm trên đường tròn tâm I bán kính R (suy từ định nghĩa) II Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ • Nếu d > R thì ∆ và (C) không có điểm chung • Nếu d = R thì ∆ và (C)... (C) có một điểm chung duy nhất Khi đó ∆ gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm • Nếu d < R thì ∆ và (C) có hai điểm chung III Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn: - Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm - Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính • Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán. .. ⇒ Đường thẳng d: y – 2 = 0 •a= 3 − b: 4 chọn a = 3, b = – 4 ⇒ Đường thẳng d: 3x – 4 y + 5 = 0 Bài 22 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0 d2: 3x + 6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 Hướng dẫn r r d1 có. .. B = −3 A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − 5 = 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − 3 y − 5 = 0 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3x + y − 5 = 0 ; d : x − 3y − 5 = 0 Bài 23 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: 2x + y +1 = 0 và phân giác trong CD: x + y −1 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC Hướng dẫn Điểm... 0 vuông góc với đường thẳng 3x – y +6 = 0 Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 10 Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trình đường thẳng Do ∆ ∆ có dạng: x +3y +C = 0 tiếp xúc với (C) nên d(I; ∆ ) = R ⇔ 3−3+C 10 = 10 ⇔ C = 10 Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0 Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x 2+y2 - 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) Viết phương... trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0 y − 4 = 0 x = 5 ⇔ ⇒ C ( 5;4 ) x − y −1 = 0 y=4   Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:  Bài 32 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 8 = 0 Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C)... 3 3 R⇔ m2 + 9 = 4 3 3 (Vô nghiệm) Vậy có hai điểm M1(0; 7) và M2(0; − 7 ) Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): thẳng d: x+y+m = 0 ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm) Hướng dẫn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 Vì các... tiếp tuyến chính là bài toán viết phương trình đường thẳng Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho A( 2;-1), B( -2;2) a Viết phương trình đường tròn đường kính AB b Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A Giải: a.Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I(0;1/2) Bán kính R = AB 16 + 9 5 = = 2 2 2 1 2 Phương trình đường tròn là: x2 + ( y − ) 2 = 25 4 ur b Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến... B(1;1) suy ra Đường thẳng d: x – 1 = 0 Bài 34 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất Hướng dẫn (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 Giả sử ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH... –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0 Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: có phương trình: (C1): x − y −1 = 0 và hai đường tròn ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y − 4)2 = 32 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2) Hướng dẫn Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2) Giả sử I(a; a . tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ • Nếu d > R thì ∆ và (C) không có điểm chung. •. Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng về phương pháp cũng như tính toán. Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về một số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin. TÀI: "MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN" MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán trong