SKKN Một số bài Toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn

Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về một số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề tài "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

VÀ ĐƯỜNG TRÒN"

MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp cácdạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Đó là những dạng toánkhó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải được nhưnggặp nhiều khó khăn, phức tạp Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng được xuyên suốt

từ THCS đến THPT Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng về phươngpháp cũng như tính toán Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về một số dạng toán

có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề tài "Phương pháp toạ

độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quan đến đường thẳng vàđường tròn"

II PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ

- Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học, Caođẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

III CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ độngsáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh,điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợptác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh Quá trình dạy học với cácnhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức,hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa

thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằmthực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra

V CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán

và phương pháp giải theo các dạng

VI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại hiệuquả rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng vàkhả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán

VII ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan đếnđường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2, 11A3trường THPT Tiên Lữ

NỘI DUNG

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1) a= (a1; a2) <=> a= a1i +a2 j

2) Cho a = (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a ± b = (a1 ±b1; a2 ±b2)3) Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

2 Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

k

kx x x

B A M

B A M

1 1

Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

B A M

y y y

x x x

Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì

=

+ +

=

3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

3 Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương

1 Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến Khoảng cách từ

đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng 2

3 độ dài trung tuyến

2 Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao

H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC . 0

3 Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trựccủa 3 cạnh tam giác đó

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC  =IA IB IA IC



Hoặc I d= ∩ 1 d2 với d1, d2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC

4 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tamgiác đó

5 Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

- d song song với∆: Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng:

2 1

1 1 1

B A

C y B x A

+

+ +

2

2 2

2 2 2

B A

C y B x A

+

+ +

8) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và tạo với đường thẳng

AA BB c

B

B

= 2

1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng ∆1 và ∆2cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và2

n

Gọi ϕ là góc hợp bởi ∆1 và ∆2, ta có: cosϕ =

2 1

2 1

.

n n

n n

(0 ≤ϕ≤900)

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Ax + By + C = 0 được cho bởi:

d(M0; ∆) = 0 2 0 2

B A

C By Ax

+

+ +

Lưu ý:

1 Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải

2 Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồigiải

3 Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn số

4 Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phương trình

TH1: A∈ ∆ :y f x= ( ) ⇒ A x y f x( ; = ( ) ) (đã loại bớt ẩn y của điểm A)

TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tínhđược tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b)

TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ cácđiểm A, C và G.

5 Phương pháp khai thác giả thiết khi bài toán cho đường phân giác trong củamột góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ

B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A Từ đó nếubiết được phương trình At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’ thuộc đườngthẳng AC như sau:

B1: Viết phương trình đường thẳng By: B By By∈⊥At

phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = A2 +B2 −C

* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằmtrên đường tròn tâm I bán kính R (suy từ định nghĩa)

II Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R

Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆

• Nếu d > R thì ∆ và (C) không có điểm chung.

• Nếu d = R thì ∆ và (C) có một điểm chung duy nhất Khi đó ∆ gọi là tiếptuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm

• Nếu d < R thì ∆ và (C) có hai điểm chung

III Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:

- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính

• Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viếtphương trình tiếp tuyến chính là bài toán viết phương trình đường thẳng

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho A( 2;-1), B( -2;2)

a Viết phương trình đường tròn đường kính AB

b Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A

b Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến là: uuurAB= (-4;3)

Phương trình tiếp tuyến là: -4x +3y + 11 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2 ; 3) và đường thẳng ∆: x - 2y -1 = 0

a Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆

b Tìm tọa độ tiếp điểm

Vậy tiếp điểm H(3;1)

Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x2 +y2 -6x +2y = 0 vuônggóc với đường thẳng 3x – y +6 = 0

Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 10

Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trìnhđường thẳng ∆ có dạng: x +3y +C = 0

Do ∆ tiếp xúc với (C) nên d(I; ∆) = R 3 3 10 10

Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0

Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x2+y2 - 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) Viết phương trình tiếptuyến với đường tròn ( C) và qua A

Giải: Gọi ∆: Ax +By + C = 0 (A2 +B2 > 0)

Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 2

Do ∆ qua A(1;3) nên: A +3B +C = 0

Và ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C) nên: d(I; ∆) = R 3A B C2 2 2

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết

các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0+ − = ,

d1: x 1 0+ = , d2: y 2 0+ = Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2

Hướng dẫn

d 1 ⊥ d 2 và ∆ABC vuông cân tại A nên A cách đều d 1 , d 2 ⇒ A là giao điểm của d

và đường phân giác của góc tạo bởi d 1 , d 2 ⇒ A(3; 2)

Giả sử B(–1; b) ∈ d 1, C(c; –2) ∈ d 2 AB uuur= − ( 4;b− 2),uuur AC= − − (c 3; 4)

A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y –8 = 0 Viếtphương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

Hướng dẫn

1

; 2

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32,

A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung

điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng

d 1: x y 2 0+ − = và d 2: 2x+6y+ =3 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

Hướng dẫn

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:  + − = + + =2x y x 6y2 03 0 ⇒ A 15 7;

1 2

3 2 2

6 12

• b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0;

Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2)

Giả sử I(a; a – 1) ∈ d (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên

Hướng dẫn

(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 Gọi M(0; m) ∈ Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ⇒ · ·

0 0

Vì MI là phân giác của ·AMB nên:

(1) ⇔ ·AMI = 300

0 sin 30

m

(Vô nghiệm)

Vậy có hai điểm M1(0; 7) và M2(0;− 7)

Bài 9

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x− 1)2+ + (y 2)2 = 9 và đường

thẳng d: x y m 0+ + = Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó

kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C

là hai tiếp điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương

trình d1: x y+ + = 1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B là

d2: x−2y− =2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình các cạnh

bên của tam giác ABC

AB ⊥ CM ⇒ phương trình đường thẳng AB: x+2y+ =2 0

AC ⊥ BN ⇒ phương trình đường thẳng AC: 6x+3y+ =1 0

Bài 12

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 vàđiểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt saocho MA = 3MB

Hướng dẫn

M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5

Mặt khác: MA MB uuur uuur =3MB2 ⇒MB =3 Gọi H là hình chiếu của I lên AB

Hướng dẫn

Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có:

1 1 ( ) : 1 0, ( ) ( ) ; ( 1; 0)

AB = 2AM ⇒AB = 2AN ⇒N là trung điểm AB ⇒B(− − 3; 1)

1 ( ) : 2 1 0, ( ) ( ) ; 2

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x− 7y+ 17 0 = ,

d2: x y+ − =5 0 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2

một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng

d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là

5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó,biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O

Hướng dẫn

Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 ⇒ A(0;3)

Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 ⇒ B(–4; –7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy ⇒ BC: y + 7 = 0

Bài 20

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 3y – 4 = 0 và đườngtròn (C): x2 + y2 – 4y = 0 Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng quađiểm A(3;1)

• a = 0: chọn b = 1 ⇒ Đường thẳng d: y – 2 = 0

• a = −34b: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ Đường thẳng d: 3x – 4 y + 5 = 0

Bài 22

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x y− + =5 0.

d2: 3x + 6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao

điểm của hai đường thẳng d1, d2

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x: − 3y− = 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x y+ − = 5 0;

: − 3 − = 5 0

d x y

Bài 23

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho∆ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đườngtrung tuyến BM: 2x y+ + = 1 0 và phân giác trong CD: x y+ − = 1 0 Viết phương trìnhđường thẳng BC.

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K(− 1;0)

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0,

d2: x + 2y – 7= 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc

d1 vàđiểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

⇒ phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC: 2 2 83 17 338

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Ta có: I I1 2 = = 3 R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

⇒ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là

x = 3 song song với Oy

* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : ∆ y ax b= + ⇔ ( ) : ∆ ax y b− + = 0 ta có:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; −1) và đường thẳng ∆:

x − 2y −1 = 0 Tìm điểm C thuộc đường thẳng ∆ sao cho diện tích tam giác ABC bằng

6

Hướng dẫn

Phương trình AB: x + 2y − 1 = 0 ; AB= 5

Gọi h c là đường cao hạ từ C của ∆ABC 12 . 6 12

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,

tâm I thuộc đường thẳng ( ) :d x y− − = 3 0 và có hoành độ 9

Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4).

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

Bài 29

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4y – 5 = 0 Hãy viết

phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2;

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R= 5

Gọi A, B là hai tiếp điểm Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thìIAM là nửa tam giác đều suy ra IM = 2R=2 5

Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: (x− 2) 2 + − (y 1) 2 = 20

Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng ∆, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệphương trình:

25 5 5.

• 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3 Suy ra ∆3 : 4x+3y− =4 0 (trùng với ∆ 1).

Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0

Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: 4 0 5 ( )5;4

Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(–3;–1)

Vì · ABC= 90 0 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm Aqua tâm I của đường tròn Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4)

Bài 33

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 1 = 0, d2:2x – y – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1;–1) cắt d1 và d2 tươngứng tại A và B sao cho 2uuur uuur r MA MB+ = 0

Hướng dẫn

Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)

Từ điều kiện 2uuur uuur r MA MB+ =0

Tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra Đường thẳng d: x – 1 = 0

Bài 34

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 vàđường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực Gọi I là tâm của đườngtròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích ∆IAB lớnnhất

Hướng dẫn

(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2

Giả sử ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH của ∆ABI, ta có

S∆ABI = 1IA.IB.sin AIB·

⇔ 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 ⇔ 15m2 – 8m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 158

Bài 35

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giaođiểm của 2 đường chéo AC và BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trungđiểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0 Viết phương trình đườngthẳng AB

Hướng dẫn

I (6; 2); M (1; 5)

∆: x + y – 5 = 0, E ∈ ∆⇒ E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB

+ m = 6 ⇒ uuuur MN = (5; 0) ⇒ phương trình (AB) là y = 5

+ m = 7 ⇒ uuuur MN = (4; 1) ⇒ phương trình (AB) là x – 1 – 4(y – 5) = 0

X

H Y

Ta có I là trọng tâm tam giác ABC vì ∆ABC là tam giác đều

Phương trình (BC) đi qua H và vuông góc với AI là: 1. 3 3. 7 0