Chuyên đề Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.. 4 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số.. Đây là phương pháp chu

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I Lý thuyết

1) Định nghĩa :

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D⊆ ¡ )

a) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈D sao cho

0

( ) ( ) x D

f x ≤ f x ∀ ∈ thì số M = f x( )0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D

Kí hiệu: M=Max f x x D∈ ( )

b) Nếu tồn tại một điểm x D∈ sao cho f x( ) ≥ f x( ) 0 ∀ ∈x D thì số m= f x( )0 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D

Kí hiệu m=min ( )x D∈ f x

2) Quy ước

Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số f ( mà không nói “trên tập D” ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f trên tập xác định của nó

3) Cách tính GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

* Định lí:

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

4) Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số Đây là phương pháp chung cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Ta làm theo các bước sau:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tìm y', cho y' = 0 giải nghiệm

 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận

VD1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x= − x−4

Giải

Tập xác đinh: D = [4;+∞)

1

' 1

y

x

= −

− ' 0

2 x 4

−

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số

là 154 và không có giá trị lớn nhất vì hàm số tăng lên +∞.

Vậy

[4, )

15 min

4

y

+∞ = tại 17

4

x= Hàm số không có giá trị lớn nhất

Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số y = f(x) trên [a, b] Ta làm theo các bước sau:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tìm y'

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n thuộc khoảng ( , )a b mà tại đó y' 0 = hoặc y'

không xác định

 Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) 1 f x2 f x n

Kết luận: [ , ] ( ) max{ ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )}1 2 n

a b

[ , ]

min ( ) min{ ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )}n

a b f x = f a f b f x f x f x

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) x 4

x

= + trên đoạn [1,3] (THPT Quốc gia 2015)

Giải

Tập xác định: D = ¡ \{0}

2

4

( ) 1

f x

x

′ = −

2

4

f x

x

( )

2 1,3

x

⇔ = ∈ hoặc ⇔ = − ∉x 2 ( )1,3

(1) 5

f = ; f(2) 4= ; 13

(3)

3

Vậy Max f x[1,3] ( ) 5= tại x = 1;

[1,3]

min ( ) 4f x = tại x = 2.

Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số mà không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là một đoạn thì ta vẫn có thể sử dụng phương pháp 2

II Bài tập

BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải:

1) Dùng định nghĩa

2) Áp dụng bất đẳng thức

2 1 2

(a b +a b ) ≤ (a +a )(b +b )

3) Miền giá trị

4) Phương pháp Hàm số

Dạng 1 Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( ) trên khoảng ( , )a b ; nửa khoảng (a, b ]; [ ; b)a hoặc a= −∞, hoặc b= +∞

Phương pháp: Sử dụng đạo hàm (Phương pháp hàm số)

- Lập bảng biến thiên

- Nhận xét

VD Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) x= −2 4x+5

- Tập xác định D= ¡

f x = x−

f x = ⇔ =x

f’(x) - 0 + f(x)

+∞ +∞

1

¡

Hàm số không có giá trị lớn nhất

BÀI TẬP Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau

f x = +x −x trên [1,2)

[1, 2)

x

4 '( ) 1

f x

2

f x = ⇔ −x =

2 2

0 0

2 [1, 2)

x x

x

≥



≥

BBT

f’(x) + 0

-f(x)

2 2

1 + 3 2 [1,2) ( ) 2 2 2

1 (x) x

f

x

+

=

TXD: D= ¡

Ta có

'( )

f x

2

f x = ⇔ x − = ⇔ = ±x

'( )

f x + 0 - 0 +

( )

f x 2

3

1

Max f x = ⇔ = −x

¡

2

3

f x = ⇔ =x

¡

3 ( ) 3 22 1

1

x x

f x

x x

− +

=

− +

TXĐ: D= ¡

2

'( )

f x

− +

=

− +

'( ) 0 2 4 0

2

x

x

=





'( )

f x - 0 + 0

-( )

f x 3

1

11

3

2 11

3 min ( ) 1 0

Max f x x

= ⇔ =

¡

¡

4 ( )

2

x

f x

x

=

+ trên ( 2, 4] −

( 2)

x

= > ∀ ∈ − +

BBT:

( 2,4]

2

3

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất

5 f x( ) =x4 − 8x2 + 16 trên [-1.3]

3

'( ) 4 x 16

2 2 [ 1,3]

'( ) 0

f x

 = ±  = ∈ −



x −∞ 0 2 +∞

'( ) f x + 0 - 0 +

( ) f x 16

9

0

25

[ 1,3] [ 1,3] ( ) 25 3 ( ) 0 2 Max f x x Min f x x − − = ⇔ = = ⇔ = 6. ( ) 1 4 2 f x x x = − + + trên (-1;+∞) 2 4 '( ) 1 ( 2) 0 '( ) 0 0 ( 1, ) 4 f x x x f x x x = − + =  ⇒ = ⇔ = − ⇒ = ∈ − +∞ x -1 0 +∞

'( ) f x - 0 + ( ) f x 2 +∞

1

− +∞ = ⇔ = Hàm sô không có GTLN

( ) 2

f x = x x−

TXĐ: D= [0, 2]

2

1

2

x

x x

−

−

x 0 1 2

'( )

-( )

f x 1

0 0

[0,2]

[0,2]

( ) 1 1

0 min ( ) 0

2

Max f x x

x

f x

x

= ⇔ =

=



= ⇔  =

Dạng 2 Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [a,b]

Cách 1 Lập bảng biến thiên

Cách 2

 Tính f x'( )

 Tìm các điểm x x1 , , , 2 x n∈ [ , ]a b mà tại đó f '(x ) 0i = hoặc f x'( )i không xác định

 Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) 1 f x2 f x n

Kết luận: Max ( ) max{ ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )}[ , ] 1 2 n

a b f x = f a f b f x f x f x

1 2 [ , ]

a b f x = f a f b f x f x f x

VD Tìm GTLN, GTNN của

Có

0 [ 1,3]

'( ) 0 2 [ 1,3]

2 [ 1,3]

x

x

= ∈ −





= ⇔  = ∈ −

 = − ∉ −



BÀI TẬP Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau

1

Đặt

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của

f t = −t f t = ⇔ = ∈ −t

( 1) ; (1) ; ( )

[ 1,1] [ 1,1]

[ 1,1] [ 1,1]

max ( ) max{ ( 1), (1), ( )}= 1

min ( ) min{ ( 1), (1), ( )}= 1

3

⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇔ = + ∈

1

2

2

TXĐ

Đặt

Bài toán trở thành tìm Max, Min của

2

2

2

R

cos cos ( ) cos cos( )

[ cos cos( )] 3cos cos( )

1 [2cos( ).cos ] 3 .[cos(2 ) cos ]

3cos ( ) cos 2( )

3cos ( ) [2cos ( ) 1]

Max ; min

¡

4

Đặt cos 3, [ 1,1]2

x t t

f t t t t

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của f(t) trên [-1,1]

'( ) 3 12 9

1 [ 1,1]

'( ) 0

3 [ 1,1]

f t t t

t

f t

t

= ∈ −



= ⇔  = ∉ − 

[ 1,1]

[ 1,1]

−

−

= − = −

= − ⇔ = −

π

= − ⇒ = − ⇔ = +

¡

¡

5 y = sin 3 x− cos 2x+ sinx+ 2

3

Đặt sin ;3 [ 1,1]2

t x t

y t t t

Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của f t( ) = +t3 2t2 + +t 1/ [ 1,1] −

2

'( ) 3 4 1

1

3

f t t t

t

f t

t

= −





= ⇔

 = −



[ 1,1]

[ 1,1]

( 1) 1

min ( )

( )

3 27

f

f

f

−

−

= ⇔ =

− = 



= ⇒

= ⇔ = −



− =

Ta được

2

1 arcsin( ) 2

1

arcsin( ) 2

3

π

= ⇔ = ⇔ = +

 = − +



= ⇔ = − ⇔ 

 = − − +



¡

¡

® Một số bài tập khác

Bài 1: Tùy theo các giá trị của tham số a Tìm GTLN và GTNN của hàm

số: f x( ) sin= 6 x+cos6 x a− sin cosx x

Giải TXD: D= R

2

( ) (sin cos ) 3sin cos sin cos 3

a

Đặtsin 2x t t= , ∈ −[ 1,1]

Bài toán trở thành tìm theo a GTLN, GTNN của hàm số

2 3 ( ) 1

a

f t = − t + t / [-1;1]

3 '( )

'( ) 0

3

a

a

−

= ⇔ =

3

a

a

≤ − ⇔ ≤ −

'( ) 0

f t

⇒ ≤ / [ -1;1]

 hàm số f(t) nghịch biến / [-1;1]



[ 1,1]

1

4 2

a

[ 1,1]

1

4 2

a

3

a

a

≥ ⇔ ≥ '( ) 0

f t

⇒ ≥ / [ -1;1]

 hàm số f(t) đồng biến / [-1;1]

 [ 1,1]

[ 1,1]

1

4 2 1

4 2

a

a

−

−

= − = − ⇒ = −

3

a

a

− < < ⇔ − < < BBT

t 1

-3

a

1

f ’ (t)

f(t)

+ 0

1 2

12

a

+

1

4 2

a

4 2

a

+



[ 1,1

2

]

max ( ) (1) 1

• Nếu 1 1

0

a

− ≥ + ⇔ ≤ [ 1,1]

1

4 2

a

−

• Nếu

[ 1,1]

0

1

4 2

a a

−

− ≤ + ⇔ >

Kết luận :

3

3

a a a a

≥

− < ≤

< <

≥

Bài 2 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau :

(4 3 )(4 3 ) 25

Biết x,y là các số thực không âm và thỏa mãn: x y + = 1

Giải

Có

2 2 3 3

2 2

16x y 12(1 3 ) 34xy xy

= 16 x y2 2 − 2 xy + 12

4

x y+ ≥ xy ⇔ ≤xy≤

Đặt xy a= , điều kiện [0, ]1

4

a∈

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của

( ) 16 2 12 / [0, ]

4

f a = a − a+

'( ) 32 a 2

1 '( ) 0

16

f a

= −

= ⇔ =

1 25 1 191 (0) 12; ( ) ; ( )



1

[0, ]

4

1

[0, ]

4



[0,1]

[0,1]

1

4 1

x xy

A

xy

x y

 ±

=

 + = 

 =



 + =



m

Bài 3 : Tìm GTNN và GTLN của hàm số

(1)

y

+

=

TXĐ : D = ¡

, (1) (sin 2 cos 3) sin cos

sin ( 1) cos (2 1) 3 (2)

¡

Để tồn tại GTLN,NN của hàm số y ⇔ (2) có nghiệm x

2 2 2

2

( 1) (2 1) ( 3 )

1

1 2

y

⇔ − + − ≥ −

⇔ + − − + + ≥

⇔ − − ≤

⇔ − ≤ ≤

min

2

y

+

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − +

¡

sin cos

sin cos sinx 2 cosx 3

Max y

π

+

= ⇔ =

¡