Chuyên đề Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Lý thuyết 1) Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định tập hợp D ( D ⊆ ¡ ) a) Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f ( x) ≤ f ( x0 ) ∀ x ∈ D số M = f ( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f D f ( x) Kí hiệu: M = Max x∈D b) Nếu tồn điểm x ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x0 ) ∀x ∈ D số m = f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f D Kí hiệu m = f ( x) x∈D 2) Quy ước Khi nói giá trị lớn hay nhỏ hàm số f ( mà không nói “trên tập D” ) ta hiểu giá trị lớn hay nhỏ f tập xác định 3) Cách tính GTLN, GTNN hàm số đoạn * Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn 4) Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số Đây phương pháp chung cho toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ta làm theo bước sau: Tìm tập xác định hàm số  Tìm y', cho y' = giải nghiệm  Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận VD1:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − x −  Giải Tập xác đinh: D = [4;+∞) y ' = 1− x−4 y ' = ⇔ 1− =0 x−4 Bảng biến thiên: Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ hàm số 154 giá trị lớn hàm số tăng lên +∞ 17 15 x= y = Vậy [4, +∞ ) 4 Hàm số giá trị lớn Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) [a, b] Ta làm theo bước sau:  Tìm tập xác định hàm số  Tìm y'  Tìm điểm x1 , x2 , , xn thuộc khoảng (a, b) mà y ' = y' không xác định  Tính giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) Kết luận: Max f ( x ) = max{ f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ,b ] f ( x) = min{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ,b ] Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + x đoạn [1,3] (THPT Quốc gia 2015) Giải Tập xác định: D = ¡ \{0} f ′( x ) = − x f ′( x) = ⇔ − =0 x2 ⇔ x = ∈ ( 1,3) ⇔ x = −2 ∉ ( 1,3 ) 13 f (1) = ; f (2) = ; f (3) = f ( x) = x = 1; f ( x) = x = Vậy Max [1,3] [1,3] Lưu ý: số toán yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số mà không nói đoạn tập xác định hàm số đoạn ta sử dụng phương pháp II Bài tập BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải: 1) Dùng định nghĩa 2) Áp dụng bất đẳng thức ( a1b1 +a2b2 ) ≤ (a12 +a2 )(b12 +b2 ) BĐT Bunhiacopxki: 3) Miền giá trị 4) Phương pháp Hàm số Dạng Bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) khoảng (a, b) ; nửa khoảng (a, b ] ; [a; b) a = −∞ , b = +∞ Phương pháp: Sử dụng đạo hàm (Phương pháp hàm số) - Lập bảng biến thiên - Nhận xét VD Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x − x + - Tập xác định D = ¡ f '( x) = x − f '( x) = ⇔ x = x f’(x) −∞ - +∞ +∞ + +∞ f(x) ⇒ Min f ( x ) = ⇔ x = ¡ Hàm số giá trị lớn BÀI TẬP Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau f ( x) = x + − x [1,2) ∀x ∈ [1, 2) ta có f '( x) = − x − x2 = − x2 − x − x2 f '( x ) = ⇔ − x =  x ≥  x≥0 ⇔ ⇔ ⇔ x = ∈ [1, 2)  2 − x = x x = ±   BBT x 2 f’(x) + - 2 f(x) 1+ ⇒ Max f ( x) = 2 ⇔ x = [1,2) f (x) = x2 + x2 TXD: D = ¡ Ta có f '( x) = x( x + x + 1) − ( x + 1)(2 x + 1) x2 − = ( x + x + 1)2 ( x + x + 1)2 f '( x ) = ⇔ x − = ⇔ x = ±1 −∞ x f '( x ) f ( x) + -1 - +∞ + 1 Max f ( x) = ⇔ x = −1 ¡ f ( x) = ⇔ x =1 3 3x − x + x2 − x +1 ¡ f ( x) = TXĐ: D = ¡ −2 x + x f '( x) = ( x − x + 1) x = f '( x) = ⇔ −2 x + x = ⇔  x = −∞ x f '( x ) f ( x) - 0 11 ⇔x=2 ¡ f ( x ) = ⇔ x = Max f ( x) = ¡ + 11 +∞ - f ( x) = x x+2 ( −2, 4] > ∀x ∈ (−2, 4] ( x + 2) Ta có f '( x) = BBT: Max f ( x ) = ( −2,4] ⇔x=4 Hàm số giá trị nhỏ f ( x ) = x −8 x +16 [-1.3] f '( x) = x − 16 x  x = ±2  x = ∈ [ − 1,3] f '( x) = ⇔  ⇒  x = ∈ [ − 1,3]  x=0 −∞ x f '( x ) + f ( x) 16 - +∞ + 25 Max f ( x) = 25 ⇔ x = [ −1,3] Min f ( x) = ⇔ x = [ −1,3] f ( x) = x −1 + f '( x) = − x +2 (-1;+ ∞ ) ( x + 2)  x=0 ⇒ f '( x) = ⇔  ⇒ x = ∈ (−1, +∞)  x = −4 x -1 f '( x ) f ( x) f ( x) = ⇔ x = Hàm sô GTLN ( −1, +∞ ) f ( x) = x − x TXĐ: D = [0, 2] f '( x ) = 1− x x − x2 ; f '( x) = ⇔ x = +∞ + +∞ BBT: x f '( x ) f ( x) + - Max f ( x ) = ⇔ x = [0,2] x = f ( x) = ⇔  [0,2] x = Dạng Bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) đoạn [a,b] Cách Lập bảng biến thiên Cách  Tính f '( x)  Tìm điểm x1 , x2 , , xn ∈ [a, b] mà f '(x i ) = f '( xi ) không xác định  Tính giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) Kết luận: Max f ( x) = max{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ,b ] f ( x) = min{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ,b ] VD Tìm GTLN, GTNN Có  x = ∈ [ − 1,3] f '( x) = ⇔  x = ∈ [ − 1,3]  x = −2 ∉ [ − 1,3] BÀI TẬP Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau Đặt Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN 1 f '(t ) = t − ; f '(t ) = ⇔ t = ∈ [ − 1,1] 2 1 f ( −1) = ; f (1) = ; f ( ) = 2 ⇒ max f (t ) = max{f (−1), f (1), f ( )}= ⇒ t = −1 [ −1,1] [ −1,1] 2 1 f (t ) = min{f ( −1), f (1), f ( )}= ⇒ t = [ −1,1] [ −1,1] 2 π ⇒ max y = ⇒ t = −1 ⇒ cos x = −1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) ¡ 2 ⇒ y = ⇒ t = ⇒ cos x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) ¡ 2 TXĐ Đặt Bài toán trở thành tìm Max, Min y = cos x + cos ( π π π y = cos x + cos ( + x) − cos x.cos( + x) 3 π π = [ cos x + cos( + x)]2 − 3cos x.cos( + x) 3 π π π π = [2 cos( + x).cos ]2 − .[cos(2 x + ) + cos ] 6 3 π π = 3cos ( x + ) − cos 2( x + ) − 6 π π 3 = 3cos ( x + ) − [2 cos ( x + ) − 1] − = 6 4 3 ⇒ Max y = ; y = R ¡ 4 y =cos x −6 cos x +9 cos x +5 Đặt cos x = t , t ∈ [ − 1,1] f (t ) = t − 6t + 9t + / [ −1,1] Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN f(t) [-1,1] + x ) − cos x.cos( π + x) f '(t ) = 3t − 12t +  t = 1∈ [ − 1,1] f '(t ) = ⇔  t = ∉ [ − 1,1] f (1) = 9; f (−1) = −11 ⇒ Max f (t ) = ⇔ t = [ −1,1] Min f (t ) = −11 ⇔ t = −1 [ −1,1] ⇒ Max y = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π ¡ y = −11 ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ¡ y =sin x −cos x +sin x +2 ⇔ y = sin x + − cos x + sin x + ⇔ y = sin x + 2sin x + sin x + Đặt t = sin x; t ∈ [ − 1,1] ⇒ y = t + 2t + t + Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN f (t ) = t + 2t + t + 1/ [ − 1,1] f '(t ) = 3t + 4t +  t = −1 f '(t ) = ⇔  t = −  Max f (t ) = ⇔ t =  [ −1,1]  f (1) =  ⇒ 23 f ( t ) = ⇔ t = −  23  [ −1,1] 27 f (− ) = 27 Ta π Max y = ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π ¡  x = arcsin( − ) + k 2π  23 y = ⇔ sin x = − ⇔  ¡ 27  x = π − arcsin(− ) + k 2π  f (−1) = ® Một số tập khác Bài 1: Tùy theo giá trị tham số a Tìm GTLN GTNN hàm số: f ( x) = sin x + cos6 x − a.sin x.cos x Giải TXD: D= R f ( x) = (sin x + cos x) − 3sin x.cos x + a.sin x.cos x a = − sin 2 x + sin x Đặt sin x = t , t ∈ [ − 1,1] Bài toán trở thành tìm theo a GTLN, GTNN hàm số a f (t ) = − t + t f '(t ) = −3 a t+ 2 f '(t ) = ⇔ t = TH1: Nếu / [-1;1] a a ≤ −1 ⇔ a ≤ −3 ⇒ f '(t ) ≤ / [ -1;1]  hàm số f(t) nghịch biến / [-1;1] a  max f (t ) = f ( −1) = − ⇒ t = −1 [ −1,1] a f (t ) = f (1) = + ⇒ t = [ −1,1] TH2: Nếu a ≥1⇔ a ≥ 3 ⇒ f '(t ) ≥ / [ -1;1]  hàm số f(t) đồng biến / [-1;1] a f (t ) = f ( −1) = − ⇒ t = −1 [ −1,1]  a max f (t ) = f (1) = + ⇒ t = [ −1,1] TH3: −1 < a < ⇔ −3 < a < BBT t + f’(t) a 1+ f(t) - a2 12 a − a + a2 a  max f (t ) = f (1) = + ⇒ t = [ −1,1] 12 a a − ≥ + ⇔a≤0 4 a ⇒ f (t ) = + ⇔ t = [ −1,1] a a − ≤ + ⇔a>0 4 • Nếu a ⇒ f (t) = − ⇒ t = −1 [ −1,1] • Nếu a≥3 −3 < a ≤ Kết luận : 0