THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Kiến thức Định nghĩa Cho biểu thức f(x,y…) Ta nói M giá trị lớn biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn : - Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) �M ( M số) - Tồn x0 ; y0 ; cho f ( x0 , y0 ) M Cho biểu thức f(x,y…) Ta nói m giá trị nhỏ biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn : - Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) � m ( m số) - Tồn x0 ; y0 ; cho f ( x0 , y0 ) m B.Bài tập Dạng I I.1 Biểu thức dạng f(x) = a.x b.x c ( a,b,c số, a �0 ) PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn a, Tìm GTLN Biến đổi hàm số y = f(x) = M g ( x) y M Do ymax M � g ( x ) 2n n �Z b Tìm GTNN Biến đổi hàm số y = f(x) = m h( x) y 2k k �Z m Do ymin m � h( x) c, Tam Thức bậc hai 2 �2 b b2 � b2 � b � b 4ac f ( x) a.x b.x c a �x x � c a �x � 2a 4a � 4a 4a � 2a � � Nếu a> 0, GTNN f(x) b 4ac Nếu a < 0, GTLN f(x) b 4ac 4a 4a �x b khơng có GTLN 2a �x b khơng có GTNN 2a Ví dụ 1a Tìm GTNN tam thức f(x) = 5x 2x b.Tìm GTLN tam thức f(x) = 3x x Giải � �2 � = �x x � a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + � 2 �2 �1 � �1 �� 5� x x � � � �� �5 � �5 �� � 2 � 1� � 1� �x � �x � 5 � � � 5� � 1� Vì với x, x�R �x ��0 nên ta có: � 5� Vậy f(x) có giá trị nhỏ Kl: f(x) đạt GTNN b/ f(x) = - 3x2 + x – khi x = 5 2 � 1� 4 f ( x ) �x � � ; � 5� 5 � 1� �x �= => x = � 5� với x, x �R � � 3 �x x � � � 2 �2 �1 � �1 �� 3 � x x � � � �� �6 � �6 �� � � � 23 3 �x � � � 12 2 23 � 1� � � 23 Vì �x ��0 với x, x �R nên 3 �x � � 12 � 6� � � 12 f(x) � 23 với x, x �R 12 Vaäy f(x) 23 1 � 1� 3 �x � � x � x 12 6 � 6� f(x) có giá trị nhỏ 23 x 12 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trò nhỏ của: a/ P( x) 3x x b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN của: a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – Bài 3: Tìm GTLN 2 a/ P(x) = 3x 3x b/ Q(x) = x – x2 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trò nhỏ của: a/ P( x) 3x x b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN cuûa: a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – Baøi 3: Tìm GTLN 2 a/ P(x) = 3x 3x b/ Q(x) = x – x2 I.2 Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = x2 – 7x + = x1 = 1, x2 = Ví dụ 3: Với giá trị biến x biểu thức P(x)= (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) có GTNN? Tìm GTNN Giải P(x) = (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) = (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3) 2 = x 5x 6 x 5x 6 Ta có hai cách giải Cách 1: � x 5x 6� x x 6� Ta có P(x) � � �� � x x 36 Vì x2 + 5x �0, với x, x �R nên P(x) �-36 P(x) đạt GTNN – 36 với x2 + 5x = x = x = - Cách 2: Xét biểu thưc đối P(x) – P(x) : 2 P(x) = - x x x x 2 = x 5x 6 x 5x Nếu đặt X = x2 5x ; Y = x2 5x Thì ta có X + Y = - 12 khơng đổi Vậy tích X.Y lớn X = Y => - P(x) lớn khi: x x = x x 2x2 + 10 = x = x = - Vậy P(x) đạt GTNN 36 x = x = - II Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai: 6x 9x2 Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = = 6x 9x2 = (3x 1)2 9x 6x Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) +4 1 theo tính chất a (3x 1) 4 b 1 A với a, b dấu) Do (3x 1) a b minA = - 3x – = x = BT tự luyện: Tìm GTLN BT : A x 4x HD giải: A 1 1 � max A= � x x 4x x 5 2 Tìm GTLN BT : A HD Giải: A x 6x 17 1 1 � max A= � x x 6x 17 x 3 8 b/ Phân thức có mẫu bìmh phương nhị thức Ví dụ 5: Tìm GTNN A = 3x 8x x2 2x Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm ( x 2) (2 x x 2) ( x x 4) A = = + ( x 1) x2 2x minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 1 3( y 1) 8( y 1) A = = - y + y = ( y -1)2 + 2 y minA = y = x – = x = Bài tập luyện tập: 1, Tìm GTNN GTLN bt: P 2, Tìm GTNN bt : B x2 x2 x x x 2006 x2 3, Tìm GTNN GTLN bt: C x2 x 5x 4, Tìm GTNN bt : a, D x2 x x2 x b, E x2 x 1 2x2 4x c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ 6: Tìm GTNN GTLN A = 4x x2 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2 x x2 ( x 2) A = = - -1 x2 x2 1 minA = -1 x = Tìm GTLN A = x2 x2 x ( x 1) = x2 x2 Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN P(x) = x2 x x2 x 3x 17 b/ Tìm GTLN Q(x) = x 4 Giải: a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) dạng: P(x)= P(x) đạt GTNN x x2 đạt GTLN x x2 2 2 �1 � �1 � � 1� Xét biểu thức x x x x � � � � �x � �2 � �2 � � 2� 2 � 1� Vì �x ��0 với x, x �R nên x x � với � 2� 1 Suy đạt GTLN x = GTLN 3 x x2 x, x �R Vậy P(x) đạt GTNN : �� Kết quả: P � � �� 5 x 17 b/ Ta có: Q(x) = =3+ ; Q(x) lớn lớn x 4 x 4 x 4 lớn x2 + đạt GTNN x 4 Vì x2 + �4, với x, x �R nên x2 + đạt GTLN x = Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN + 4 4 Bài tập luyện tập: 1, Tìm GTLN bt: x a, A x 2 x2 4x Với x > 0; x 3, Tìm GTNN bt: a, C 4, Tìm GTNN bt: a, E x với x > 0; x3 b, B x2 x 2 b, D x5 Với x > x3 b, F x3 Với x > x2 x x 17 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Q x Với x > 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: R x x 34 Với x > x 3 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: S x 2000 Với x > x 9, Với giá trò dương x biểu thức sau đạt GTNN: a/ P( x) x2 x b/ Q( x) 3x 9x2 III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ 8: Tìm GTNN x3 + y3 + xy biết x + y = Xử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = x2 + 2xy + y2 = Mà (x – y) x2 - 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) x2 + y2 minA = (1) 1 x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 1 ) + 2 1 x = y = 2 Cách 3/ Sử dụnh điều kiện cho để dưa biến Đặt x = + a y = x2 + y = ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : 1 + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 minA = a = x=y= Ví dụ 9: Tìm Min A = a ab b 3a 3b 2014 Cách Ta có: A= a 2a b 2b ab a b 2011 = a 2a b 2b ab a b 2011 = = a 1 a 1 a 1 b 1 a b 1 b 1 2011 b 1 a 1 b 1 2011 a 1 b 1 b 1 2 b 1 b � b 1 � a 1 2011 2011 = � �+ � � 2 b 1 � a 1 0 � � a b 1 Min A = 2011 � � b 1 � Cách 2: 2A a ab b 3a 3b 2014 = a 2a b 2b a 2ab b 2.2 a b 4022 = a 1 b 1 a b 4022 2 a 1 � � b 1 � a b => Min A = 2011 Min 2A = 4022 � � ab2 � Bài tập luyện tập Tìm GTNN a) A=a 5b 4ab 2b b) B = x y xy x y 2029 ( Gợi ý A = a - 2b b 1 ) 2 ( Gợi ý B = x-y y 3 x 3 2011 ) 2 c) C x y z x 12 y 24 z 30 ( Gợi ý C = x+2 y 3 z ) d) D= 20x 18 y 24 xy x 12 y 2016 ( Gợi ý D= 4x-3y x 1 y 2011 ) 2 2 IV Các ý tìm tốn cực trị : 1- Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1) + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +2 minA = y = x = 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn A nhỏ lớn B nhỏ với B > B Ví dụ 10: Tìm GTLN A x4 ( x 1) Chú ý A>0 nên A lớn nhỏ ngược lại A 1 ( x 1) x x 2x2 = Vậy 4 A A x 1 x 1 x i = x = Do maxA =1 x = A 3/ Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết 3.1 Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > a.c > b.d b) a > b c >0 a.c > b.c c) a > b c b a,b,n >0 an > bn e ) A B �A+B 3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Với a �0, b �0 - a>0 ; b>0 ab � ab hay a b �2 ab � ab a b 3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki Cho hai cặp số ( a1 ; a2 ; b1; b2 ta có a1.b1 a2 b2 � a12 a2 b12 b2 a a Dấu ’’=’’ xảy b b Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y x + y2 thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = b = ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2x + 3y 26 Vậy max A = 26 { 3x = 2y 2x +3y Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy max A 26 x =4 , y = Ví dụ 12a/ Tìm giá trò lớn biểu thức P(x)= 2x – x với < x < b/ Tìm GTNN Q(x)= x2 ,x>0 x Giải: a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với < x < =>x > 0; – x > Xét tổng x + (2 - x) = = không đổi Vậy tích x(2 - x) lớn x = – x => x = GTLN cuûa P(x) với < x < là: P(1) = +1 = 2, ứng với giá trò x =1 b/ Ta có Q(x)= Xét tích x Vậy tổng x + x2 4 x ; x > x x = = không đổi x 4 đạt giá trò nhỏ x = x x => x2 = => x = Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 �2 x y 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 � �2 x y �0 Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 x =4 , y = 1 Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk x y Tìm GTNN bt: A = x y 1 1 Giải Do x > 0, y > nên x 0, y áp dụng bất đẳng thức côsi cho số x , y ta có: 1 �1 � 1 � �� �x y � x y Hay � xy => xy �4 Mặt khác ta có: x > 0, y > => x �0, y �0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: x y �2 xy �2 �x y � Vậy: Min A = : �1 � x y �x y � Ví dụ 15 : Tìm GTNN của biểu thức : A x x x x � 1� 3 Giải Ta có: x x �x � � x � R � 2� 4 2 � 1� 3 x x 1 � x � � x � R � 2� 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho số x x x x �2 x x 1, x x ta có : x x x x x x �2 � �x x �x0 Max A = � 2 � x x 1 x x 1 Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ : A x y z với x, y, z > y z x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: A x y z x y z �3 y z x y z x �x y z� x y z Do � � � � x y z y z x �y z x � Cách : Ta có : x y x y z �x y � �y z y � � � � � Ta có �2 (do x, y > 0) y x y z x �y x � �z x x � nên để chứng minh x y z y z y �3 ta cần chứng minh : �1 y z x z x x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z y z x VD 17: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Giải Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x y)(y z)(z x) (2) �2 � Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ � � �9 � 3 �2 � max A = � � x = y = z = �9 � VD 18 Tìm GTNN A xy yz zx với x, y, z > , x + y + z = z x y Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz �2 2y z x z x yz zx zx xy �2z ; �2x Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = x y y z Tương tự : A = với x = y = z = VD 19 Tìm GTNN A 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < x y xy Giải Ta có: �x y � � xy � x y �4 xy �1 � 1 � � x y � ��2 xy 4� � � xy x y x y �x y � �1 �2 � xy �x y Ta có: A � 1 �� � 4xy � 4xy � � � 2 x y xy x y 2xy 4xy � �� � 4xy 5 11 2 �11 => A �x 2xy y 4xy 4xy 2 2 x y x y x y x y VD 20 : Cho x � , Tìm GTLN A = 2x x + x+3 - 2x 2 Giải : Ta có : A = 2x x + x+3 - 2x = 2x 1 x + x+3 - 2x Với x � ta có: �2x �0 � �x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2 Ta có: Hay : 3x � 2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy 2x x+2 � x=1 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3, Ta có: Hay : 2x x+2 � 2x 1 x+2 x7 �2 x x 3 � x 3 x Dấu “ = ” xảy x � x=1 x7 3x - 2x = Dấu “ = ” xảy x=1 2 Do đó: A � VD 21: Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z �1 9� �y x � �4 z y � 9x z � � Giải Ta có: S = x + y + z � �= 1+4+9+ � � � � � � z � �z x � �x y z � �x y � �y y 4x y 4x y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x , y ta có : �2 x y x y Tương tự ta có : 4z y 4z y �2 12 ; y z y z S �1 + + + + 12 + =36 9x z 9x z �2 6 z x z x �y x � �x y �y x �y � y x � � � �4 z y � �4 z y � � �� � �z x � �x z Dấu “=” sảy : �y 9x2 z �9 x z � �x y z � � �x y z � � � x �z �z � � �x y z 1 Vậy Min S = 36 y , x , z VD 22: Tìm GTNN hàm số : y x x x x Cách 1: y x x x x x x Nếu: x < -1 y x x x x 2 x Nếu: -1 �x �1 y x x x x Nếu: x > y x x x x x Vậy y nhỏ -1 �x �1 Cách : áp dụng BĐT a b �a b ( Dấu “=” sảy a.b �0 ) Ta có : y x x �x x Vậy y nhỏ -1 �x �1 Bài 23: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : �x x 2 � A = x(4 -2x ) = – � = 2 x 2 � � � �x �x �� x xy �y � => Max A = � 2 Cách 2: Ta có : A = x.xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 x xy cho số 2x, xy ta có: �۳۳ x.xy 2 �2 x xy � � � x.xy � � x xy 4.2 x y Thay số ta có : �x y =A �2 x xy �x �� �2 x xy �y Vậy Max A =2 � BÀI TẬP TỰ LUYÊN Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y x x x 12 x b, y x2 x x2 x Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y x 20 x 25 x 8x 16 b, y 25 x 20 x 25 x 30 x Bài Tìm giá trị nhỏ A x x x x 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau -Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ 13: Tìm GTLN GTNN tích xy , biết x,y số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn x – y nhỏ ; xy nhó x – y lớn giả sử x > y ( xãy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = VI Một số sai lầm giải toán cực trị ( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán tập 1- Vũ Hữu Bình) VII Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập Sách nâng cao phát triển Toán tập – Vũ Hữu Bình (Trang 56 – 73) Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán –Bùi Văn Tuyên (Trang 23-29) ... x = 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn A nhỏ lớn B nhỏ với B > B Ví dụ 10:... tích X.Y lớn X = Y => - P(x) lớn khi: x x = x x 2x2 + 10 = x = x = - Vậy P(x) đạt GTNN 36 x = x = - II Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai: 6x 9x2... lớn nhỏ ngược lại A 1 ( x 1) x x 2x2 = Vậy 4 A A x 1 x 1 x i = x = Do maxA =1 x = A 3/ Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết 3.1 Bất đăng thức
Ngày đăng: 24/02/2020, 20:48
Xem thêm: