Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: Xác định ẩn phụ t . Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung Việc giải toán dạng gồm bước sau: Xác định ẩn phụ t Từ giả thiết, tìm miền giá trị t Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm biến t miền giá trị t B Một số ví dụ Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S x3 1 y 1 Giải Đặt t xy , suy x y 0t Ta có S xy x y x y 3xy t 42 3t t 12t 63 Xét hàm f t t 12t 63 , với t 0; 4 Ta có f ' t 3t 12 t 0; 4 f t đồng biến 0; 4 Do S f t f 63 , đạt t0;4 x y xy x; y 4;0 x; y 0;4 max S max f t f 49 , đạt t0;4 x y xy x; y 2; Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S x y xy Giải Đặt t x y t Ta có t x y x2 y t , t x y x y xy x y t Suy t 2; 2 Lại có xy x y x2 y 1 t 1 S f t t t 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có f ' t t với t 2; , f , f 1 Do x y x S f , đạt y 1 x y 1 1 x x x y max S f 1 , đạt 2 x y y 1 y 1 2 x y Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S y 1 x 1 Giải Đặt t x y , ta có x y x y x y 16 t , x y xy x y t 2 Suy 2 t Lại có x y x y x2 y t2 Ta có biến đổi sau 2 x x 1 y y 1 x y x y xy t t t t 8 2 S t 8 t 2t x y xy y 1 x 1 t 1 Xét hàm f t f ' t t 8 với 2 t Ta có t 2t t 2 2t t 8 2t t 2t t 16t 22 t 2t , t : 2 t Suy f nghịch biến 2; 4 Do f t f max f t f 2 t 2;4 +) S f t t 2;4 x2 y 4 x y Vậy S , đạt , dấu xảy 3 x y x y >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x y x x 2 +) S max f t , dấu xảy t 2;4 y 2 x y 2 y x x 2 Vậy max S , đạt y 2 y Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x y xy Tìm GTLN, GTNN S x2 y2 y 1 x 1 x y Giải Đặt xy t xy t t x y t2 2 t 3 t Ta có x3 y x y S x 1 y 1 x y x y 3xy x y x y xy xy x y x y3 t 33 t t t 3 t t 7t t t 3 4 t 3 3 t t Xét hàm f t Ta có f ' t t 7t t , t 2;3 4 t 3 3t 2t , t 2;3 f 1 đồng biến 2;3 4 t 3 Do S f t f 2 S , Đạt x y S f t f 3 max S x y xy Dấu “ ” xảy x y 1 x y x y xy x x 35 Dấu “ ” xảy x y y y x x 35 , Đạt y y >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x2 xy y Tìm GTLN, GTNN S x xy y Giải Cách Từ giả thiết suy x y xy x y t x y x y 3 x y Do đó, đặt 3 t , hay t ; 3 Ta có xy x y t , suy S x y 3xy t t 1 2t 3 ; Xét hàm f t 2t với t Ta có f ' t 4t , f ' t có nghiệm 3 t ; 3 2 3 3 Ta có f , f f 3 Do S , đạt chẳng hạn x y x y x y x; y ; 3 x y 2 xy x xy y xy max S , đạt x y x y x y 2 xy 1 x xy y x y xy x; y 1; 1 x; y 1;1 Cách Ta có S x xy y x xy y Xét y Khi S >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét y Chia tử mẫu S cho y đặt t S x , ta y t t 1 2t 1 2 t t 1 t t 1 t 1 2t Xét hàm f t , ta có f ' t 2 t t 1 t t 1 Bảng biến thiên hàm f t : t -1 -∞ + f '(t) +∞ _ t lim f t lim 1 t t 1 1 t t + f(t) 1 Suy ra: +) S , đạt x y 1 x; y ; x; y ; 3 3 x xy y +) max S Đạt x y 1 x; y 1; 1 x; y 1;1 x xy y Ví dụ [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn x y xy Tìm GTNN A x y x y x y Giải Áp dụng bất đẳng thức a b2 ab x y x2 y a b với a x2 , b y ta 2 x y A x2 y x2 y 4 Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy x y , ta có >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x y x y 2 x y 1 x y x y 2 x y (do x y x y x y 1 x , y ) 2 x y 2 t 2 Đặt t x y A f t t 2t 1 Xét hàm f t t 2t , t Ta có f ' t t t f t đồng biến 2 1 1 ; f t f 16 t Như S , dấu “ ” xảy 16 x y 1 1 1 x; y ; x; y ; 2 2 2 x y 1 1 1 , đạt x; y ; x; y ; 16 2 2 2 Ví dụ [ĐHB12] Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện x y z Vậy S x2 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x5 y z Giải Từ x y z suy z x y , thay z x y vào đẳng thức thứ hai giả thiết, ta x y x y x y xy x y 2 2 x y x y 2 Do đó, đặt t x y ta có 6 2t t t ; xy , 2 3 Biến đổi P x5 y x y x3 y3 x y x y x y x y 5 x y 3xy x y x y xy x y x y x y 2t 2t 1 2t 5 t t t t t 2t t 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét hàm f t t 6 5 2t t , với t ; Ta có f ' t 6t 1 có hai nghiệm 4 3 6 ; 3 6 6 6 6 6 Ta có f , f , f , f 36 36 36 36 6 , đạt chẳng hạn x y , z 36 Ví dụ Cho x , y , z thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức 1 S x2 y z x y y z z x Vậy P Giải Đặt t xyz Ta có t x y z 3 xyz t 2 1 Suy t 0; 2 Lại có x y z 3 x y z 3t , 1 1 1 3 33 x y y z z x x y y z z x xyz t 1 S 3 t t 2t 1 1 t 0; f ' t t t 0; , suy f với Ta có 4 t t t 2 2 1 99 nghịch biến 0; Vậy S f , đạt 2 2 Xét hàm f t t x y z 3 x yz xyz Ví dụ [ĐHA03] Cho x , y , z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x2 1 y z 82 x y z 1 1 1 1 1 1 Giải Xét a x; , b y; , c z; , ta có a b c x y z; x y z x y z Từ a b c a b c suy 1 x y2 z2 x y z 1 1 x y z x y z 2 Đến ta có hai cách tiếp: Cách Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x y z 3 xyz , 1 1 33 x y z xyz Do VT 1 9t , với t t xyz Ta có x yz 0t Xét f t 9t với t 0; Ta có t 9 f ' t t 0; f t nghịch biến t 9 1 f t f 82 VT 1 9 1 0; 9 f (t ) 82 (ĐPCM) 2 1 1 1 1 2 Cách x y z 81 x y z 80 x y z x y z x y z 2 1 1 81 x y z 80 x y z x y z >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 1 18 x y z 80 x y z 18.9 – 80 82 x y z Từ suy điều phải chứng minh C Bài tập Bài [ĐHD09] Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S x y y 3x 25xy Bài Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN x y y 1 x 1 Bài Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S S x 1 y 1 x y Bài Cho x , y thỏa mãn x y xy Tìm GTLN, GTNN S x y x y x y 1 Bài Cho x , y thỏa mãn x2 y xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức S x4 y x y Bài Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức S 1 x 1 y Bài [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn x y xy 32 Tìm GTNN 2 A x3 y xy 1 x y Bài [ĐHA06] Cho x , y thỏa mãn x y xy x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức A 1 x3 y Bài [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức P x xy xy y Bài 10 Cho x , y thỏa mãn x2 y xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức S x xy y Bài 11 Cho x , y thỏa mãn x2 y xy Tìm GTNN biểu thức S x2 y Bài 12 Cho x , y , z thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 x y z Bài 13 [ĐHB10] Cho a , b , c thỏa mãn a b c Tìm GTNN biểu thức S x yz M a 2b2 b2c c a ab bc ca a b2 a Bài 14 Cho x , y , z thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức x y x x5 y z P y z z x x y y z x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10