tim gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua mot bieu thuc

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:  Xác định ẩn phụ t .  Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .  Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung Việc giải toán dạng gồm bước sau:  Xác định ẩn phụ t  Từ giả thiết, tìm miền giá trị t  Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm biến t miền giá trị t B Một số ví dụ Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S   x3  1 y  1 Giải Đặt t  xy , suy  x  y 0t   Ta có S   xy    x  y   x  y   3xy    t  42  3t    t  12t  63   Xét hàm f  t   t  12t  63 , với t   0; 4 Ta có f '  t   3t  12  t  0; 4  f  t  đồng biến  0; 4 Do  S  f  t   f    63 , đạt t0;4 x  y     xy    x; y    4;0  x; y    0;4  max S  max f  t   f    49 , đạt t0;4 x  y     xy   x; y    2;  Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S  x  y  xy Giải Đặt t  x  y  t  Ta có t   x  y    x2  y    t  , t   x  y   x  y  xy  x  y   t  Suy t   2; 2 Lại có xy   x  y   x2  y  1  t 1  S  f t    t  t  2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có f '  t   t   với t     2; , f    , f 1  Do x  y  x  S  f    , đạt     y 1 x  y    1 1 x   x  x  y    max S  f 1  , đạt       2 x  y   y  1  y  1   2 x y Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S   y 1 x 1 Giải Đặt t  x  y , ta có  x  y  x  y   x  y     16  t  ,  x  y  xy  x  y   t  2 Suy 2  t  Lại có x y   x  y   x2  y   t2  Ta có biến đổi sau 2 x  x  1  y  y  1  x  y    x  y   xy t  t   t   t 8   2 S   t 8 t  2t  x  y  xy   y  1 x  1 t 1 Xét hàm f  t   f ' t  t 8 với 2  t  Ta có t  2t  t  2  2t     t  8 2t   t  2t    t  16t  22 t  2t    , t : 2  t    Suy f nghịch biến  2; 4 Do f  t   f    max f  t   f 2  t 2;4 +) S   f  t   t 2;4  x2  y  4  x  y  Vậy S  , đạt , dấu xảy   3 x  y   x  y  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x  y   x   x  2 +) S   max f  t   , dấu xảy      t 2;4  y  2  x  y  2  y   x   x  2 Vậy max S  , đạt     y  2  y  Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN S x2 y2   y 1 x 1 x  y  Giải Đặt  xy   t   xy   t    t  x y   t2 2  t  3  t   Ta có x3  y  x  y  S    x  1 y  1 x  y   x  y  3xy  x  y    x  y   xy  xy   x  y   x y3 t  33  t  t  t  3  t  t 7t  t      t 3 4 t 3 3  t   t  Xét hàm f  t   Ta có f '  t   t 7t t    , t   2;3 4 t 3 3t  2t    , t   2;3  f 1 đồng biến  2;3 4  t  3 Do  S  f t   f  2   S   , Đạt  x  y  S  f  t   f  3   max S   x  y  xy  Dấu “  ” xảy    x  y 1 x  y   x  y  xy  x  x  35   Dấu “  ” xảy    x  y  y  y  x  x  35 , Đạt    y  y  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x2  xy  y  Tìm GTLN, GTNN S  x  xy  y Giải Cách Từ giả thiết suy   x  y   xy   x  y  t   x  y   x  y  3 x  y  Do đó, đặt   3 t  , hay t    ;  3   Ta có xy   x  y    t  , suy S   x  y   3xy  t   t  1  2t   3 ; Xét hàm f  t   2t  với t     Ta có f '  t   4t , f '  t  có nghiệm    3 t     ;  3   2 3  3 Ta có f    , f    f     3     Do S  , đạt chẳng hạn     x y   x  y   x  y     x; y    ;          3  x  y 2  xy   x  xy  y   xy      max S  , đạt  x  y  x  y  x  y       2  xy  1  x  xy  y   x  y   xy    x; y   1; 1  x; y    1;1 Cách Ta có S   x  xy  y x  xy  y Xét y  Khi S  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét y  Chia tử mẫu S cho y đặt t   S x , ta y t  t 1 2t  1 2 t  t 1 t  t 1  t  1 2t Xét hàm f  t    , ta có f '  t   2 t  t 1  t  t  1 Bảng biến thiên hàm f  t  : t -1 -∞ + f '(t) +∞ _   t lim f  t   lim 1  t  t  1  1  t t  + f(t)       1 Suy ra: +) S  , đạt x  y 1   x; y    ;   x; y     ;        3  3   x  xy  y   +) max S  Đạt x  y  1   x; y   1; 1  x; y    1;1   x  xy  y   Ví dụ [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  x  y   xy  Tìm GTNN A   x  y  x y    x  y   Giải Áp dụng bất đẳng thức  a  b2  ab   x  y  x2 y    a  b  với a  x2 , b  y ta 2 x  y   A   x2  y    x2  y    4 Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x  y   x  y 2   x  y  1  x  y    x  y   2   x  y   (do  x  y    x  y     x  y  1   x , y ) 2   x  y 2  t  2 Đặt t  x  y    A  f t  t  2t    1 Xét hàm f  t   t  2t  , t  Ta có f '  t   t   t   f  t  đồng biến 2 1  1  ;    f  t   f    16 t  Như S  , dấu “  ” xảy 16 x  y  1 1  1    x; y    ;   x; y     ;   2 2  2  x  y  1 1  1 , đạt   x; y    ;   x; y     ;   16 2 2  2 Ví dụ [ĐHB12] Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Vậy S  x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x5  y  z Giải Từ x  y  z  suy z    x  y  , thay z    x  y  vào đẳng thức thứ hai giả thiết, ta  x  y   x  y    x  y   xy   x  y   2 2 x  y  x  y 2 Do đó, đặt t  x  y ta có  6 2t  t   t   ; xy  ,  2 3   Biến đổi P  x5  y   x  y    x3  y3  x  y   x y  x  y    x  y  5   x  y   3xy  x  y   x  y   xy   x y  x  y    x  y      2t    2t  1  2t   5  t    t  t     t  t    2t  t   2      >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét hàm f  t    t  6 5 2t  t  , với t    ;   Ta có f '  t     6t  1 có hai nghiệm 4  3   6   ;   3     6  6 6 6 6 Ta có f   , f   , f  , f            36 36 36 36         6 , đạt chẳng hạn x  y  , z 36 Ví dụ Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức 1 S  x2  y  z    x y y z z x Vậy P   Giải Đặt t  xyz Ta có t   x  y  z  3 xyz  t  2  1 Suy t   0;   2 Lại có x  y  z  3 x y z  3t , 1 1 1 3    33     x y y z z x x y y z z x xyz t 1   S  3 t   t   2t   1  1 t  0; f ' t  t    t   0;  , suy f với Ta có    4  t t t  2  2  1   99 nghịch biến  0;  Vậy S  f    , đạt  2 2 Xét hàm f  t   t  x  y  z  3  x yz  xyz  Ví dụ [ĐHA03] Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x2  1  y   z   82 x y z 1  1 1  1  1  1 Giải Xét a  x;  , b  y;  , c  z;  , ta có a  b  c   x  y  z;    x y z  x  y  z  Từ a  b  c  a  b  c suy 1 x   y2   z2   x y z 1 1 x  y  z      x y z 2 Đến ta có hai cách tiếp: Cách Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x  y  z  3 xyz , 1 1    33 x y z xyz Do VT 1  9t  , với t  t   xyz Ta có  x yz 0t      Xét f  t   9t  với t   0;  Ta có t  9 f ' t     t   0;   f  t  nghịch biến t  9 1  f  t   f    82  VT 1  9  1  0;   9 f (t )  82 (ĐPCM) 2 1 1 1 1 2 Cách  x  y  z        81 x  y  z        80  x  y  z  x y z x y z 2 1 1  81 x  y  z       80  x  y  z  x y z >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 1  18  x  y  z       80  x  y  z   18.9 – 80  82 x y z Từ suy điều phải chứng minh C Bài tập Bài [ĐHD09] Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S   x  y  y  3x   25xy Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN x y  y 1 x 1 Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S S   x  1 y  1  x  y  Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN S x y   x  y  x  y 1 Bài Cho x , y thỏa mãn x2  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  x4  y  x y Bài Cho x , y thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  1 x  1 y Bài [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x     y    xy  32 Tìm GTNN 2 A  x3  y   xy  1 x  y   Bài [ĐHA06] Cho x  , y  thỏa mãn  x  y  xy  x  y  xy Tìm giá trị lớn biểu thức A  1  x3 y Bài [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy   xy  y Bài 10 Cho x , y thỏa mãn x2  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  x  xy  y Bài 11 Cho x , y thỏa mãn x2  y  xy  Tìm GTNN biểu thức S  x2  y Bài 12 Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1   x y z Bài 13 [ĐHB10] Cho a , b , c  thỏa mãn a  b  c  Tìm GTNN biểu thức S  x yz M   a 2b2  b2c  c a    ab  bc  ca   a  b2  a Bài 14 Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức x y x x5 y z P      y z z x x y y z x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10