Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này. Giúp cho quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo sáng kiến trên.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GTNN – GTLN CỦA MỘT BIỂU THỨC Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thông. Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số ). Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến. Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên Toán của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học. Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu. Đề tài này xuất phát từ những lí do sau: Giúp học sinh có thêm kiế n thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này. Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Và qua chuyên đề này tôi hy vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn trong việc giảng dạy chuyên đề này. Thực tế một số Thầy, Cô không thích dạy, và kể cả những Thầy, Cô nhiều năm luyện thi Đại học cũng không đi sâu lắm về chuyên đề này. Phần mở đầu 1. B ốicảnh của đề t ài 2. L ý do ch ọ n đề tài - Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đằng. - Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: + Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ. + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại. + Hệ th ống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng txy=+, 22 tx y=+ hoặc txy= . + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp x t y = + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại. Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích: - Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học. - Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nh ằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. - Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu. Sáng kiến được chia thành ba phần : Phần mở đầu Phần nội dung: gồm 3 chương Chương 1. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Chương 2. Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức Chương 3. Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại học Phần kết luận 3. Ph ạ m vi và đối t ư ợ n g n g hiên cứu 4. M ụ c đích n g hiên cứu 5. Cấu trúc SKKN Chương I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số công thức về đạo hàm. 1.1 Định lí. Giả sử D là một khoảng hay hợp các khoảng. Nếu hai hàm số ( ) uux= và () vvx= có đạo hàm trên D thì () ;uv u v ¢ ¢¢ +=+ () ;uv u v ¢ ¢¢ -=- () ;uv u v uv ¢ ¢¢ =+ () ;ku ku ¢ ¢ = () 2 uuvuv v v ¢¢ - ¢ = , với () 0vx ¹ 1.2.Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp () 0c ¢ = (c là hàng số) () 1x ¢ = () () 1nn xnxx - ¢ =Ρ () 1nn unuu - ¢ ¢ = () 2 11 x x ¢ =- () 2 1 u u u ¢ ¢ =- () () 1 2 0 x xx ¢ => () 2 u u u ¢ ¢ = () x x ee ¢ = () uu eeu ¢ ¢ = () () 1 ln 0 x xx ¢ => () ln u u u ¢ ¢ = () sin cos x x ¢ = () sin cosuuu ¢ ¢ = () cos sin x x ¢ =- () cos sinuuu ¢ ¢ =- () () 2 2 tan 1 tan x xx k p p ¢ =+ ¹ + () () 2 tan 1 tanuu u ¢ ¢ =+ () () () 2 t1cotco x x x k p ¢ =- + ¹ () () 2 t1tco u u co u ¢ ¢ =- + 1.3 Nhận xét. Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Phần nội dung I.1. Một số kiến thức cơ sơ về đạo hàm 1. Cho hàm số ax b y cx d + = + với .0, 0ac ad cb¹-¹. Ta có () 2 ad cb cx d y - + ¢ = . 2. Cho hàm số 2 ax bx c y mx n ++ = + với .0am ¹ . Ta có () 2 2 2 bc amx anx mn mx n y ++ + ¢ = . 3. Cho hàm số 2 2 ax bx c y mx nx p ++ = ++ với .0am ¹ . Ta có () 2 2 2 2 ab ac bc xx mn mp np mx nx p y ++ ++ ¢ = . Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. 2.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D Ì¡ . a) Nếu tồn tại một điểm 0 x DÎ sao cho () ( ) 0 f xfx£ với mọi x DÎ thì số ( ) 0 M fx= được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là ( ) max xD M fx Î = . b) Nếu tồn tại một điểm 0 x DÎ sao cho () ( ) 0 f xfx³ với mọi x DÎ thì số ( ) 0 mfx= được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là () min xD mfx Î = . 2.1 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m ) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ : a) () f xM£ (hoặc () f xm³ ) với mọi x DÎ ; b) Tồn tại ít nhất một điểm 0 x DÎ sao cho () 0 f xM= (hoặc () 0 f xm= ). 2.2 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn ;ab é ù ë û như sau : 1. Tìm các điểm 12 , , , n x xx thuộc khoảng () ;ab mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. I.2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số t 2- 2 2 () f t ¢ + 0 - () f t 22 2- 2 2. Tính ()() ()() 12 , , , , n f xfx fxfa và ( ) f b . 3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn ;ab é ù ë û , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn ;ab é ù ë û . Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số () 2 4 f xx x=+ - Lời giải. Tập xác định 2; 2D é ù =- ë û , () 2 1 4 x fx x ¢ =- - , () 02fx x ¢ =Û= Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có () ( ) 2;2 min 2 2 x fx f éù Î- ëû =-=- và () ( ) 2;2 max 2 2 2 x fx f éù Î- ëû ==. Thí dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 ln x y x = trên đoạn 3 1; e é ù ë û Lời giải. Ta có () 2 22 1 2ln . . ln ln 2 ln xx x x x x y x x - - ¢ == Từ đó có bảng biến thiên : Vậy () 2 3 22 4 1; max e e yye xe éù êú ëû ==Û= và () 3 1; min 1 0 1 e yy x éù êú ëû ==Û= x 1 2 e 3 e y ¢ 0 + 0 - y 0 2 4 e 3 9 e I.3. Một số thí dụ tìm GTNN, GTLN của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1) () () 2 22 3 121fx x x=-+ - 2) () 5cos cos5 f xxx=- với 44 x p p -££ 3) () 422 22 21 1 1 3 111 xxx fx xx -+++-+ = ++- + Hướng dẫn. Đặt 22 11tx x=++- , với 22t££ . CHƯƠNG II KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Từ kết quả của Chương I chúng ta thấy rằng việc tìm GTNN, GTLN của hàm số khá đơn giản. Việc chuyển bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến sẽ giúp chúng ta giả được bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức. Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại. Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1. Cho ,0 x y > thỏa mãn 5 4 xy+= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 41 4 P x y =+ Lời giải. Từ giả thiết 5 4 xy+= ta có 5 4 yx=- . Khi đó 41 54 P x x =+ - . Bài tập tương tự II.1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức bằn g p hươn g p há p thế Xột hm s () 41 54 fx x x =+ - vi 5 0; 4 x ổử ữ ỗ ẻ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ . Ta cú () () 22 44 54 fx x x  =- + - . Bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú ( ) ( ) 5 0; 4 min 1 5 x fx f ổử ữ ỗ ữ ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ==. Do ú min 5 P = t c khi 1 1, 4 xy== . Thớ d 2. Cho ,xyẻĂ tha món 2 0, 12yxxyÊ+=+ . Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc 217Pxyx y=+++. Li gii. T gi thit 2 0, 12yxxyÊ+=+ ta cú 2 12yx x=+- v 2 12 0xx+- Ê hay 43x-Ê Ê. Khi ú 32 397Px x x=+ Xột hm s () 32 397, 4;3fx x x x x ộ ự =+ ẻ- ở ỷ . Ta cú () () 2 '323fx x x=+- . Ta cú bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú () () 4;3 min 1 12 x fx f ộự ẻ- ởỷ ==- , () ( ) () 4;3 max 3 3 20 x fx f f ộự ẻ- ởỷ =-= = . Do ú min 12 P =- t c khi 1, 1 0xy==- v max 20 P = t c khi 3, 6xy=- =- hoc 3, 0xu== . Thớ d 3. Cho ,0 x y > tha món 1xy+=. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 11 x y P x y =+ Li gii. T gi thit ,0 x y > , 1xy+= ta cú 1,0 1yxx=- < < . Khi ú ta cú 1 1 x x P x x - =+ - . Xột hm s () 1 1 x x fx x x - =+ - , () () 21 21 1 2 xx fx x xxx -+  =- . x 0 1 5 4 () f x  - 0 + ( ) f x +Ơ +Ơ 5 x 4- 3- 1 3 ( ) f x  + 0 - 0 + () f x 20 20 13- 12- x 0 1 2 1 () f x  - 0 + +Ơ +Ơ Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra () () 0;1 1 min min 2 2 x Pfxf Î æö ÷ ç === ÷ ç ÷ ÷ ç èø đạt được khi 1 2 xy== . Nhận xét. Qua ba thí dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến bị chặn. 1/ Cho ,3;2xy é ù Î- ë û thỏa mãn 33 2xy+= . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 22 P xy=+ . 2/ Cho ,0 x y ³ thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 11 x y P yx =+ ++ 3/ Cho ,0 x y > thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 22 11 Px y x y =+++ 4/ Cho 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) () 33 22 33 P xy xy xy=++ - + + 5/ Cho ,,,abxyΡ thỏa mãn 0, 4ab<£, 7ab+£ và 23 x y£££. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức () 22 22 22 x yxy P xy a b +++ = + Hướng dẫn. Tìm giá trị lớn nhất của 22 Qa b=+ là M , xét hàm số () ( ) 22 22 , . x yxy gy f xy xy M +++ == với ẩn y và x là tham số, tìm giá trị nhỏ nhất của () g y là () hx . Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) hx với 2; 3x é ù Î ë û . 6/ Cho ,xyΡ thỏa mãn 3 x y£ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 816Px y x=+- +. Hướng dẫn. Nếu 0 x > thì 62 x y£ từ đó xét hàm số () 62 816fx x x x=+- +. Nếu 0 x £ thì 22 81616xy x+- +³ với mọi 3 0, x xy££. 7/ Cho () ,0;1xyÎ thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P xy=+. Bài t ập tươn g t ự Hướng dẫn. Xét hàm số () ( ) ,0;1 x fx x x=Î . Chứng minh () () 22 fx fy x y f æö + + ÷ ç ³ ÷ ç ÷ ÷ ç èø . Ta có () ()() 1 1 1122 2 x x Px x fx f x f - æö ÷ ç =+- = + -³ = ÷ ç ÷ ÷ ç èø . 8/ Cho ,0 x y > thỏa mãn 2xy+= . Chứng minh rằng x y x yxy£ Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng. Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số. Thí dụ 1. Cho 22 x yxy+=+. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 332 2 P xyxyxy=++ + Lời giải. Đặt txy=+, từ giả thiết 22 x yxy+=+ ta có ()() 2 2 2 x yxy xytt=+ -+=- hay 2 2 tt xy - = . Áp dụng bất đẳng thức () () () 2 22 22 x yxyxy+£ += + hay 2 2tt£ suy ra 02t££. Khi đó biểu thức () () 3 2 2 P xy xyxy t=+ - +=. Do đó ta có max 4 P = đạt được khi 2t = hay 2xy+= và 1xy = suy ra 1 x = và 1y = , ta có min 0 P = đạt được khi 0t = hay 0 x y==. Nhận xét. Bài toán này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng với hai biến. Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến txy=+. Nhưng để giải bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t . Sau đây là một số bài toán với định hướng tương tự. Thí dụ 2. Cho ,0 x y > thỏa mãn 22 1xxyy++=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 xy P xy = ++ Lời giải. Đặt txy=+. Từ giả thiết ,0 x y > và 22 1xxyy++= suy ra 2 1xy t=- . Áp dụng bất đẳng thức () 2 4 x yxy+³ suy ra 1 0 3 t<£ . Khi đó 33 1 3 Pt - =- £ . II.2. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức có tính chất đối xứn g [...]... + 3 2 t c khi ( t ẻ 1; 2 ỳ ỷ x = y = 1 2 Nhn xột Qua cỏc thớ d trờn, cho ta mt k thut gim bin ca bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc hai bin cú tớnh i xng: Do tớnh i xng nờn ta luụn cú th bin i a v mt trong cỏc dng t t = x + y , t = x 2 + y 2 hoc t = xy , t ú a v tỡm GTNN, GTLN ca hm s Bi tp tng t 1/ Cho x , y > 0 tha món x + y + 1 = 3xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 3x 3y 1 1 + - 2- 2 y (x + 1... 2 + y 2 - xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 1 1 + 3 3 x y 6/ Cho x , y ẻ Ă tha món x 2 + xy + y 2 Ê 2 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x 2 - xy + y 2 II.3 Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc cú tớnh ng cp Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc cha hai bin m gi thit hoc biu thc ú th hin tớnh ng cp T ú xột hm s v tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm... y 0 Chng minh rng x 4 + y 4 x 3y + xy 3 ổx 2 y2 ử ổx yử ỗ ữ 4/ Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3 ỗ 2 + 2 ữ- 8 ỗ + ữ vi x , y ạ 0 ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗy ốy x ữ ứ x ứ ố II.4 Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc ba bin Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin qua mt bin cũn li T ú, chuyn c bi toỏn v bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht,... (1 - t 2 2 ) , T bng bin thiờn ta cú Vỡ vy P 1 3 3 "t ẻ 2 2 t (1 - t ) (0;1 ) 3 3 2 3 3 3 3 (x + y 2 + z 2 ) 2 (xy + yz + zx ) = 2 2 Do ú min P = 3 3 t c khi x = y = z = 2 1 3 Chng III MT S BI TON TRONG CC THI I HC Bi 1 ( thi tuyn sinh i hc A 2011) ộ Cho x , y , z l ba s thc thuc on ở1; 4 ự v x y , x z Tỡm giỏ tr nh nht ỷ ca biu thc P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x Li gii Trc ht ta chng minh... ng bin ỗ ữ ỗ3 ữ 3 ờ 3ỳ ố ứ ở ỷ ộ ự ờ 3ỳ ở ỷ ộ 1ự M f (t ) 2, " t ẻ ờ0; ỳ ờ 3ỳ ở ỷ 1 Do ú : f (t ) f (0 ) = 2, " t ẻ ờ0; ỳ Vỡ th : a + b+ c = 1 M = 2 ab = bc = ca, ab + bc + ca = 1 v (a;b;c ) l mt trong cỏc b s : (1; 0; 0 ), (0;1; 0 ), (0; 0;1 ) Do ú giỏ tr nh nht ca M l 2 Bi 4 ( thi tuyn sinh i hc khi B 2009) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = 3 (x 4 + y 4 + x 2y 2 ) - 2 (x 2 + y 2 ) + 1 vi x , . Phần kết luận 3. Ph ạ m vi và đối t ư ợ n g n g hiên cứu 4. M ụ c đích n g hiên cứu 5. Cấu trúc SKKN Chương I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Trong mục này chúng tôi