Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn

Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Lý do khách quan:

Trong bối cảnh hiện nay, chất lượng giáo dục đang là vấn đề được toàn xã hội quan tâm Giáo dục Việt nam cũng đã và đang nỗ lực đổi mới nhằm phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập của học sinh, tạo nên những thế hệ có khả năng hiểu biết sâu sắc về lí luận và từ đó vận dụng linh hoạt lí luận vào thực

tế Để đạt được mục tiêu trên thì ở cấp T.H.P.T, Vật lí là một trong những môn học đóng vai trò quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống của ngành, nó còn rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng như: Kỹ năng quan sát, kỹ năng dự đoán, kỹ năng phân tích, tổng hợp,

kỹ năng ứng dụng… Tuy nhiên, thực tế vẫn tồn tại những hạn chế về dạy và học

trong nhà trường, đó là mới chỉ dừng lại ở chỗ làm sao cho học sinh thuộc công thức để làm được một số bài tập dạng phổ biến trong các sách và đề thi Tất yếu xảy ra là các em hoàn toàn bế tắc khi gặp đề thi mang tính mở

2 Lý do chủ quan

Trong chương trình vật lí 12- Ban Khoa học tự nhiên, “Động lực học vật

rắn” là phần mới và khó (mới được đưa vào chương trình năm 2008) Nhưng

đây cũng là phần có nhiều bài tập hay có thể giúp học sinh khá, giỏi đào sâu suy nghĩ và phát triển tư duy logic Mấu chốt để giải bài toán về “vật rắn” là phải

tìm được tọa độ trọng tâm (điểm đặc biệt) và mô men quán tính (đại lượng giữ

nhiệm vụ quan trọng) trong chuyển động của vật rắn Tuy nhiên, lí thuyết về

hai vấn đề này trong sách giáo khoa Vật lí 12 ban nâng cao chưa được chú trọng nhiều lắm, chủ yếu thiên về trình bày để người đọc thừa nhận kết quả.Trong khi

đó, tài liệu tham khảo viết riêng cho “vật rắn” lại rất hiếm Thế nhưng, thực tế trong những năm gần đây, những vấn đề liên quan đến trọng tâm và mô men quán tính lại có mặt ở các câu “chốt” trong các đề thi tuyển sinh, học sinh giỏi các cấp… Nhận thức được tầm quan trọng của phần kiến thức này, xuất phát từ

thực tế học, thi môn Vật lí, qua quá trình giảng dạy, luyện thi đại học, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Vật lí tại trường T.H.P.T Bỉm Sơn, tôi đã đúc kết được một vài kinh nghiệm để giải bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán

tính của vật rắn Vì vậy tôi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm về việc :

“Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và

mô men quán tính của vật rắn” nhằm giúp các em học sinh khá, giỏi và một

số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo để học và phục vụ công tác giảng dạy.Với ý thức cầu thị, tôi mong muốn nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để đề tài này hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

1.Cơ sở lí luận của đề tài

2.Thực trạng của đề tài

3.Giải pháp thực hiện

4 Kết quả đạt được

III ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

Bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn

2 Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp khối A gồm 12A7; 12A4; 12A2 năm học 2010-2011; học sinh lớp 12A4; 12A8 ;12A9 năm học 2011-2012 trường THPT Bỉm sơn Thị xã Bỉm Sơn

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp nêu vấn đề trong giảng dạy

- Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

- Xây dựng một hệ thống kiến thức lý thuyết đầy đủ, gọn gàng, sâu sắc

- Các bài tập mang tính phổ biến, tổng quát được sắp xếp từ dễ đến khó

- Trong quá trình giảng dạy nên luôn luôn coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh từ vấn đề đơn giản đến vấn đề phức tạp để tập kĩ năng khái quát, phân tích, tổng hợp các vấn đề

- Chỉ ra sự liên hệ và ứng dụng lí thuyết vào thực tế cuộc sống

II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

* Đặc điểm tình hình của nhà trường:

Trường THPT Bỉm Sơn là trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích trong công tác giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng như ôn thi đại học với thế mạnh là các môn tự nhiên Trường có đội ngũ giáo viên giỏi, nhiệt tình, tâm huyết với công tác chuyên môn, các em học sinh đa phần là ngoan, chịu khó, thông minh với khả năng tư duy tốt

* Thực trạng của vấn đề : “Phát triển tư duy học sinh khá giỏi qua bài

toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn” tại trường

THPT Bỉm Sơn là:

- Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vững định nghĩa khối tâm, mô men quán tính, cách xây dựng công thức tính cho các trường hợp thường gặp và các dạng câu hỏi về phần này mà mới dừng lại ở mức độ thuộc vẹt một số công thức đơn giản

- Về kỹ năng: Học sinh chưa biết cách phân tích vi phân vật rắn, sử dụng linh hoạt các định nghĩa về khối tâm, mô men quán tính, các phép toán để giải quyết

- Trong một đơn vị lớp có nhiều đối tượng học sinh với các khả năng nhận thức, tư duy khác nhau nên không thể cho học sinh thảo luận để phát huy tối đa tính tích cực, chủ động trong học tập của mỗi em nhằm phát triển tư duy cho các em

- Thực tế, kết quả khảo sát chất lượng vật lí 12 đầu năm của 3 lớp khối A của trường T.H.P.T Bỉm sơn năm 2010 về phần vật rắn

Số

bài

kiểm

tra

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Trình bày cơ sở lí thuyết của vấn đề nghiên cứu

1.1 Định nghĩa khối tâm (tâm quán tính, trọng tâm)

* Ta xét một hệ gồm n chất điểm A1,A2,….,An có khối lượng m1,m2,….,mn

có toạ độ r1 ,r2 ,….,r n đối với một điểm gốc O lấy tuỳ ý Khối tâm hay tâm quán tính của hệ là điểm G xác định bởi đẳng thức:

G

r (m1 + m2 + …… + mn) = m1r1 + m2 r2 + ……+ mnr n

M

r m m

r m

i

i i





 (M là khối lượng toàn phần của hệ chất điểm)

- Nếu OG thì r G = 0  m i r i  0  m1GA1m2GA2  m n GA n  0

- Lưu ý: Nếu trọng trường là đều thì g i =g j nên khối tâm trùng với trọng tâm

* Xét với vật rắn có khối lượng M, khối lượng riêng  :

dm = dV= dxdydz thì khối tâm G được xác định bởi đẳng thức:

.

rdm rdxdydz

r dm r dm r

M dm





Nếu  const thì r G =

V

dxdydz r



- Lưu ý: Khi vật rắn đồng tính và có tâm đối xứng thì khối tâm của vật rắn

là tâm đối xứng

1.2 Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay cho trước

* Mô men quán tính của vật đối với một trục cho trước là đại lượng vô

hướng xác định bởi đẳng thức 2

i i

I m r với m i , r i lần lượt là khối lượng và khoảng cách của chất điểm i trên vật tới trục quay

- Lưu ý:

+ Từ công thức tính mô men quán tính ở trên trong các trường hợp cụ thể ta

có thể chuyển dấu  thành tích phân để tiện tính toán tương tự phần tọa độ trọng tâm ở trên

+ Mô men quán tính có tính chất cộng tức mô men quán tính của một hệ vật đối với một trục quay thì bằng tổng mô men quán tính của các vật trong hệ đối với trục quay ấy

+ Công thức định lí Steiner 2

G

I I md với I G là mô men quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối tâm G của vật; Ilà mô men quán tính của vật đối với trục  song song với trục đi qua khối tâm ở trên; m là khối lượng của vật ; d la khoảng cách hai trục kể trên

2 Các bài tập theo thứ tự từ tổng quát đến cụ thể, từ cơ bản đến ứng dụng và nâng cao

Bài 1: Xác định tọa độ trọng tâm.

Ví dụ 1: Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là

 trên một đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau

a Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc  Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn bán kính R

b Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc ở tâm  Áp dụng cho bản bán nguyệt bán kính R

c Hình quạt cầu bán kính R, góc ở tâm là 2 Áp dụng cho nửa hình cầu bán kính R

Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách phân

tích vi phân chiều dài dl; vi phân diện tích dS (xem như có dạng hình chữ nhật);

vi phân thể tích dV (xem như có dạng hình hộp chữ nhật) Nhận xét do khối lượng phân bố đều trên các vi phân tương ứng để chỉ ra vi phân dm nhằm giúp học sinh quen dần cách lập biểu thức tính tích phân

Giải tóm tắt:

a) Tọa độ trọng tâm của cung tròn

+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox

+ Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé

có độ dài và khối lượng tương ứng là

.

dl R d

dm R d













( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài)

+Tọa độ khối tâm G

2

2 sin

G

R R





+ Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn G 2

R x

 



b) Tọa độ trọng tâm của hình quạt

+ Biện luận như câu a Trọng tâm nằm trên trục Ox

+ Xét phần tử vi phân diện tích dS

giới hạn bởi hai đường tròn bán kính

r và (r + dr) có góc ở tâm là d có

khối lượng tương ứng là dm với

dS dl dr r d dr

dm dS r d dr









( Vì khối lượng phân bố theo diện tích)

+ Tọa độ khối tâm G

2 2 0

2

4 sin

os

3

R

G

R

m











    (với m12R2)

+ Áp dụng cho hình bán nguyệt 4

3

G

R x

 



c) Tọa độ trọng tâm của hình quạt cầu

+ Biện luận như câu a Trọng tâm nằm trên trục Ox

d α R α

O

r dr dφ

+ Xét phần tử vi phân thể tích dV dạng

hình hộp chữ nhật tâm M ở cách O một

khoảng r, độ dài ba cạnh của hộp theo tọa

độ cực lần lượt là

dr ; r d  ; rcos  d , có khối lượng

tương ứng dm với

2

2

os

dV r c dr d d

dm dV r c dr d d







+ Tọa độ khối tâm G

4

0

3 2

0

sin 2

3 sin 2

16 2sin 2

os

3

R

R

r dr c d c d

R x

R

r dr c d d







 

  



+ Áp dụng cho nửa hình cầu 3

8

G

x  R

Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm của các vật có hình dạng sau

a) Một tấm bìa mỏng đồng chất hình chữ nhật kích thước a.2a bị cắt đi một hình vuông ở góc tấm bìa cạnh a/2

b) Một đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét đi một lỗ tròn bán kính r, biết khoảng cách giữa hai tâm là a

c) Gồm hai khối đồng chất một bán cầu và một khối trụ ghép với nhau Biết bán kính mặt cầu là R, khối trụ bán kính R độ cao h

Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử dụng

linh hoạt công thức tính tọa độ trọng tâm( Hình nào cần tìm công thức tọa độ trọng tâm tổng, hình nào cần tìm công thức tính tọa độ trọng tâm thành phần).

Giải tóm tắt:

a Tấm bìa mỏng hình chữ nhật …

+ Nhận thấy miếng bìa còn lại là sự ghép

của một hình chữ nhật kích thước a.1,5a

và một hình vuông cạnh a/2 với trọng tâm

tương ứng lần lượt là G1 và G2

+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ Tọa độ trọng tâm của miếng bìa còn lại

(0,5 ) ( ) (0,5 ) 5

0,16 1,5 (0,5 ) 14

G

m x m x S x S x



b Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét…

+ Nhận thấy miếng bìa tròn ban đầu là sự

ghép bởi miếng bìa còn lại và miếng bìa tròn

bán kính r với trọng tâm ứng lần lượt là G1 và

G2

+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ Tọa độ trọng

tâm của miếng bìa tròn bán kính R

1

0

G



( Do khối lượng phân bố đều trên diện tích nên m i S i)

c Khối đồng chất một bán cầu và một khối trụ ghép với nhau …

+ Nhận thấy để hệ đứng ổn định thì trọng tâm của các khối

đó phải có vị trí thấp hơn vị trí tâm O của khối cầu

+ Trục đối xứng là trục OM  Ox

Tọa độ trọng tâm của hệ thống

;

V  R x  R; 2

1

; 2

V  R h x  hvà m i V i

Thay số

3( 2 ) 4(2 3 )

G

m x m x V x V x R h x

Bài 2: Xác định mô men quán tính

Ví dụ 1: Chứng minh các công thức sau

a Định lí Steiner 2

G

I I md

b Công thức tính mô men quán tính của thanh dài đồng chất tiết diện đều

với trục quay qua trọng tâm 1 2

12

G

I  ml với m là khối lượng của vật, l là chiều

dài của thanh

G 1

O

x

c Công thức tính mô men quán tính của vành tròn với trục quay qua trọng

G

I mR với m là khối lượng của vật, R là bán kính của vành.

d Công thức tính mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất tiết diện đều với

trục quay qua trọng tâm 1 2

2

G

I  mR với m là khối lượng của vật, R là bán kính

của đĩa

e Công thức tính mô men quán tính của khối cầu đồng chất với trục quay

qua trọng tâm 2 2

5

G

I  mR với m là khối lượng của vật, R là bán kính khối cầu.

Hướng dẫn: Với bài toán này, GV nên yêu cầu và hướng dẫn học sinh

cách sử dụng phép tính tổng và cách phân tích các vi phân để sử dụng định nghĩa tích phân trong tính toán.

Giải tóm tắt:

a Chứng minh định lí Steiner

+Từ định nghĩa mô men quán tính

đối với trục quay cho trước

2 '2

G k k

k k

I m r

 













+ Từ hình vẽ

r r d  r d  r d  dy

+ Mặt khác do khối tâm G là gốc hệ tọa độ nên tọa độ khối tâm yG =0 nênm y k. k m y. G  0 I m r k( k2 d2 )  2

G

I I md (đpcm)

b Chứng minh công thức mô men quán tính của thanh 1 2

12

G

I  ml

+ Gọi dx là một nguyên tố thanh có khối

lượng d m  dx đặt cách trọng tâm G

của thanh một đoạn x thì mô men quán

tính của nguyên tố này đối với trục

X

rk

Xk

r ' k

y

k

y

Z ΔC

α

rk r'k

O

x

vuông góc với thanh và đi qua G

là dI x dm x dx2  2 

+ Mô men quán tính của thanh

I  dI  x dx l l  ml (đpcm) ( với ml)

c Chứng minh công thức mô men quán tính của vành tròn 2

G

I mR

+ Xét vành tròn đồng tính có bề dày không

đáng kể, tỉ trọng dài  m 2 R 

+ Gọi dx là một nguyên tố vành

có khối lượng dm dx đặt cách trọng

tâm G của vành một đoạn R thì mô

men quán tính của nguyên tố này đối

với trục vuông góc với mặt phẳng vành

và đi qua trọng tâm G là

dI r dm r dx 

+ Mô men quán tính

2

d Chứng minh công thức mô men quán tính của đĩa tròn 1 2

2

G

I  mR

Xét đĩa tròn đồng tính có bề dày

không đáng kể, tỉ trọng mặt

2

.

    

+ Gọi dS là một nguyên tố đĩa

có khối lượng dm dS r dr d 

đặt cách trọng tâm G của đĩa một

đoạn r thì mô men quán tính của

φ d φ

dr ds

r M

C O

x

z

x

G G

nguyên tố này đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua trọng tâm G

dI r dm r dr d

+ Mô men quán tính

2

.

R



e Chứng minh công thức mô men quán tính của khối cầu 2 2

5

G

I  mR

+ Xét khối cầu đồng tính, tỉ trọng (khối lượng riêng) 4 3

3

    

+ Gọi dV là một nguyên tố thể tích có

khối lượng dm dV r2 sin  dr d d  (vì tọa

độ của vị trí đặt dV trong tọa độ cầu là

sin os

.sin sin

cos

y r

z r













 



đặt cách trọng tâm G của khối cầu một đoạn r

thì mô men quán tính của nguyên tố này đối

với trục của khối cầu và đi qua trọng tâm G là

( sin ) sin

dI  r  dm r  dr d d 

+ Mô men quán tính

R

R

Ví dụ 2: Xác định mô men quán tính của các vật có hình dạng, trục quay tương ứng như sau

a Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét đi lỗ tròn bán kính r, tâm cách tâm đĩa lớn đoạn a với trục quay vuông góc với đĩa và đi qua tâm đĩa lớn, khối lượng m

b Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m, bán kính R với trục qua tâm

c Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai tâm Từ đó suy ra mô men quán tính của vật rắn hình trụ rỗng đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai tâm

y

Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử

dụng linh hoạt công thức tính, tính chất cộng mô men quán tính, định lí Steiner

để xác định mô men quán tính của các vật rắn không có hình dạng cơ bản nhưng được tạo ra từ các hình cơ bản.

Giải tóm tắt:

a Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị

khoét đi lỗ tròn bán kính r…

+ Mô men quán tính của đĩa lớn

I  m R  R

+ Mô men quán tính của đĩa nhỏ

I  m r m a  r  r a

+ Mô men quán tính của phần còn lại

I  I I  R  r  r a   R  r  r a

mr a

R r



b Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m…

+ Từ công thức tính mô men quán tính của quả cầu đặc

I  m R   R

+ Mô men quán tính của quả cầu rỗng giới hạn bởi hai mặt cầu bán kính R và r

I  m R  m r    R  r

4

3

m m  m    R  r

+



+ với quả cầu mỏng R= r thay vào trên được 2

2

2 3

I  mR

c Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m…

G

G

x

x