Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán “Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian”

Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán “Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian”

MỤC LỤC

Trang

ĐẶT VẤN ĐỀ……… 3

CƠ SỞ LÝ LUẬN……….4

CƠ SỞ THỰC TIỄN……….4

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI……… 5

A Các dạng bài toán về hình chiếu vuông góc……….5

Dạng 1:……….5

Dạng 2:……….6

Dạng 3:……….6

Dạng 4:……….7

Kết luận:……… 7

Một số bài tập tham khảo……… 8

B Các dạng bài toán về đối xứng:……….………8

Dạng 1:……….8

Dạng 2:……….9

Dạng 3:……….9

Dạng 4:……… 10

Kết luận:……….11

Một số bài tập tham khảo……… 11

C Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:……… 12

Bài toán 1:……… 12

Bài toán 2:……… 13

Bài toán 3:……… 14

Bài toán 4:……… 14

Bài toán 5:……… 15

1

Bài toán 6:……… 16

Bài toán 7:……… 17

Kết luận:……….18

Một số bài tập tham khảo……… 18

KIỂM NGHIỆM:……….19

PHẦN KẾT LUẬN:……….20

TÀI LIỆU THAM KHẢO:……… 21

ĐẶT VẤN ĐỀ

Năm học 2011 - 2012 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”; “ Hai không”; “ Mỗithầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; Năm học tiíep tụcvới chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùngvới phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghịquyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục

và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy chongười học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạyhọc " Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tíchcực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương phápdạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của họcsinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thựctế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Trong quá trình giảng dạy tại trung tâm tôi nhận thấy đa số học sinh còngặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phươngtrình đường thẳng trong không gian thỏa mãn tính chất nào đó; việc vận dụngcác quan hệ vuông góc, song song của đa số các em vào các bài toán còn nhiềuhạn chế Hơn nữa, kể từ khi học sinh chuyển sang học chương trình cải cách sáchgiáo khoa mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian

không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng" Tìm tọa độ các điểm Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử dụng phương trình

tham số của đường thẳng

Với suy nghĩ trên tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm của mình

vể việc sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ các điểm Viết phương trình các đường thẳng trong không gian"

3

nhằm trao đổi với các thầy, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tậptốt và nâng cao chất lượng học tập

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Ở phần phương pháp tọa độ trong không gian khi yêu cầu bài toán phải

đi “Tìm tọa độ một điểm hay viết phương trình một đường thẳng trong không gian ” Ngoài việc cần sử dụng các kiến thức đã được học ở sách giáo khoa ra ta

còn phải chú ý đến tính quan hệ vuông góc, song song và tính đối xứng của:

hai điểm, điểm và đường, đường và mặt rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường vào bài toán Khi đó ta áp dụng vào giải bài

toán hình học sẽ đơn giản và được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn

và cách giải bài toán gọn gàng hơn

CƠ SỞ THỰC TIỄN

Sau khi nghiên cứu và áp dụng thực tế vào các tiết dạy học cho họcsinh Tôi thấy học sinh rất hứng thú khi gặp những dạng toán này và đa số họcsinh biết cách vận dụng để giải các bài toán đó, đồng thời qua cách giải đó các

em còn có thể đưa ra các bài toán tương tự, các bài toán mới Qua đó bồi dưỡngcho các em niềm say mê học tập; khả năng tự học; phát huy được tính tích cựchọc tập, khả năng sáng tạo của học sinh

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Vận dụng phương trìnhn tham số của đường thẳng vào bài toán

“Tìm tọa độ của điểm Viết phương trình của đường thẳng trong không gian”

Trên cơ sở các kiến thức đã được trình bày ở SGK Hình học 12 và vậndụng tính chất: Trong không gian nếu một đường thẳng d có phương trình

bt y y

at x x

Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể đòi hỏi học sinh cần phải có một lượng kiến thức nhất định rồi kết hợp để giải quyết bài toán.

Dạng 1: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; - 2; 4) trên đường

t y

t x

1

2 2

3 2

Nhận xét: Đối với bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của

M trên đường thẳng d khi và chỉ khi u MH

Nhận xét: Thực chất của bài toán này là viết phương trình đường thẳng d

qua điểm M và vuông góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và

t y

t x

2 5 1

2 6

Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P),khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và songsong với d

Hướng dẫn giải:

Ta có: d qua điểm M(6; - 1; - 5), có VTCP u= (4; - 2; 3)

mp(P) có VTPT n= (2; 1; - 2)

u n = 0 và M(P) nên: d // (P)

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; - 3; - 1) (Theo dạng 2)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có

t y

t x

3 1

2 3

4 2

(P)

Dạng 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

t y

t x

5 5

2 1

5 6

)

(t  R trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M

d, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trênmp(P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH

Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6 - 5t; - 1 + 2t; - 5 + 5t)

Vì A (P)  2(6 - 5t) + (- 1 + 2t) - 2(- 5 + 5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; - 1; - 5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; - 3; - 1) (Theo dạng 2)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; 4; 1)

t y

t x

1

4 3

2

(t  R)

Kết luận: Từ các dạng bài toán đã nêu ra ở trên cho ta thấy, với các bài

toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trướcsau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng vớimặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên đường thẳng hay mặtphẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm hình chiếu) hoặc viết phương trình hìnhchiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trí tương đối của đường và mặt

7

A d

H M

(P)

Một số bài tập tham khảo và áp dụng:

Bài 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; - 1; 3) trên

đường thẳng d :

2 3 2

t y

t x

2 3

4

8 và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0 Viết

phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) có phương trình: d:

5

1 3

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; - 1; - 5) quamp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0

Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và

vuông góc với mp(P), lấy M '  d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P)khi và chỉ khi d(M/(P)) = d(M '/(P))

Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có

t y

t x

2 5 1

2 6



3

18 9 3

 t = - 4 t = 0 (loại)

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(- 2; - 5; 3) ( Theo dạng 1)

Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình:

t y

t x

3 3

2 5

4 2

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M

d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và cóVTCP AM'

Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6 - 5t; - 1 + 2t; - 5 + 5t)

9

d' M'

d' (P)

A  (P)  2(6 - 5t) + (- 1 + 2t) - 2(- 5 + 5t) - 3 = 0

 t = 1 Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; - 1; - 5)  d

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(- 2;- 5; 3) ( bài toán5)

Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP AM' = (- 3; - 6; 3) = 3(- 1; - 2; 1) nên có

t y

t x

3

2 5

t y

t x

2 1

2 1

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đườngthẳng d khi và chỉ khi u AH

= 0 (u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của

AA/ từ đó suy ra tọa độ của A/

Ta có H là trung điểm của AA/ nên:

/ / /

A A A

z y

Kết luận: Từ 4 dạng bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta

lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểmđối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bàitoán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vàođiểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường và mặt, đường vàđường

Một số bài tập tham khảo và áp dụng:

Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng  :

t y

t x

2 1

2

a Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng 

b Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và hai

a Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1

b Viết phương trình đường thẳng  qua A vuông góc với đườngthẳng d1 và cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)

Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : x + 3y - z - 27 = 0 Tìm

tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ).

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

a Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2.

b Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2

Bài toán 1: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:

a Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P)

b Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) vàvuông góc với d

Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A

t y

t x

4 3 2

2 1

Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

d :

1

3 2

3 1

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viếtphương trình đường thẳng  nằm trong mp(P), biết  đi qua A và vuông góc

Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy Id và sử dụng công thứckhoảng cách, câu b cùng cách làm của bài toán 1

t y

t x

3

2 3 1

Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)

Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:

2 3

9 ) 3 ( 2 ) 2 3

4

t t

t x

4 1

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng  qua I(- 1; - 2; 4) vuông

t y

t x

1

2 2

3 2

) (t  R

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H khi và chỉ khi u.IH

Đường thẳng qua I và có VTCP IH = (2; 2; - 2) nên có phương trình :

t y

t x

4

2 1

3

) (t  R và vuông góc với đường thẳng d2:

t y

t x

5 3

4 1

d2

d1

H A



t y

t x

2 3

2 1

4

3 1

2 1

t z

t y

t x

và song song với đường thẳng d: x312y z14

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ

khi hai vectơ u, AB

cùng phương ( ulà VTCP của d), đường thẳng qua A và

1 3 3 3

8 2 5

/ /

t t

t t

t y

t x

2 1

3 1

Bài toán 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1:

1

2 1

2 1

z

t y

t x

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0

và cắt2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007) Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy

tương tự bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó

2 1 2

t z

t y

t x

Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; - 2 + t/ )

1 2

5

5 3

4

/ /

t t

t t

Bài toán 7: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường

t y

t x

2

3 5

) (t  R và d/ :

4

3 7 2

t z

t y

t x

) (t / R

Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông

góc chung của d và d/ khi và chỉ khi . 0

) 9 3

( 3 ) 7 3 (

0 ) 4 (

) 9 3

( ) 7 3 ( 3

/ /

/

/ /

/

t t t

t t

t

t t t

t t

26 11 5

/ /

t t

t t

=(- 1; 1; 2) Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB= (- 1; 1; 2) nên có

t y

t x

2 1 1

2

) (t  R

17

d '

d A

B

Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ "

khó" hơn Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểmhoặc các điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt(cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số Từ

đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán

Một số bài tập tham khảo:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(- 4; - 2; 4) và

t y

t x

4 1 1

2 3

, Viết phương trình đường thẳng



đi qua A, cắt vàvuông góc với đường thẳng d

(Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)

Bài 2: Cho hai đường thẳng: d 1:

t y

t x

8

2 5 8

và d2: 3

1 2

1 7

Bài 3: Cho hai đường thẳng: d: 3

6 2

1 1

t y

t x

3 2 1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'

b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d'

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng tọa

t y

t x

5 4 3

2 1

t z

t y

t x

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1 1

đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 

(Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)

KIỂM NGHIỆM

Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở

2 dạng A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 45' các lớp giảng dạy như sau:

Lớp sử dụng phương pháp khác (2 lớp với 72 em)

Lớp sử dụng phương pháp được trình bày ở trên (2 lớp với 77 em)

độ của điểm theo tham số ta có thể giải được nhiều dạng bài toán, hơn nữa chúng

ta đã đơn giản được bài toán, hạn chế việc " sợ " các bài toán hình học khônggian ở học sinh, tạo được sự hứng thú cho các em trong quá trình học tập, góp

19

phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và phát huy được tính tíchcực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giảimột bài toán

Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân tôi qua nhiều nămgiảng dạy môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tàinày tôi hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệvuông góc, song song, các tính chất đối xứng vào giải toán và cải tiến phươngpháp học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp

đỡ tôi hoàn thành đề tài này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)

5 Bộ đề thi tuyển sinh đại học - Môn Toán của Bộ GD & ĐT.(Doãn

Nội năm 2007)

21