Giải toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
Trang 1
MỞ ĐẦU
- - -
-I - Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phương pháp nào chung để giải các bài toán Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phương pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất Sự ra đời của phương pháp toạ độ
đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học không gian Thông qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số
Với học sinh lớp 12 hiện nay nói chung và học sinh ban cơ bản nói riêng, thì việc giải các bài boán hình học không gian sơ cấp đang là vấn đề nan giải Các em rất vất vả trong việc xác định khoảng cách và góc Đa số các
em đều bỏ qua bài toán hình học không gian trong đề thi Vì vậy tôi quyết định đưa ra giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Ở học
kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện
II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Khách thể: Học sinh lớp 12
- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chương trình PTTH
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm học 2011 – 2012
III Quá trình thực hiện đề tài:
1- Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:
Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ:
• Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa
hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD)
30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện
10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu
Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
2- Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức
Trang 2Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một
số bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển,
mở rộng
3 - Kết quả thực hiện đề tài:
Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ
độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB dựng
SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và
(ABCD) có số đo bằng 60 0
a Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD)
b Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CKSD và tính số
đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD)
c Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu
IV– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thường không chú ý đến phương pháp toạ độ
và tính ưu việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ
Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy, cô giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp
- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện
- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ
độ và ngược lại
Trang 3NỘI DUNG
- - - - - -
Chương I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Hệ trục toạ độ
Cho ba trục toạ độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm O Gọi , , i j k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz
Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ toạ độ Oxyz
+ Trục Ox gọi là trục hoành
+ Trục Oy gọi là trục tung
+ Trục Oz gọi là trục cao
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ
độ
2/ Vectơ đối với hệ toạ độ
+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một
vectơ tuỳ ý v Vì ba vectơ , , i j k không đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số
x, y, z sao cho: v xi y j zk
Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v, kí hiệu là ( ; ; )v x y z hoặc
( ; ; )
v x y z
Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
vectơ v
+ Với hai điểm M x y z và 1 1, ,1 1 M x y z thì:2 2, ,2 2
1 2 2 1, 2 1, 2 1
M M x x y y z z
+ Nếu có hai vectơ v1 ( , , )x y z1 1 1
và v 2 ( , , )x y z2 2 2
thì:
(i) v1v2 x1x y2, 1 y z2, 1z2
(ii) v 1v2 x1 x y2, 1 y z2, 1 z2
(iii) kv1(kx ky kz1, 1, 1)
(iv) v v1 2 x x1 2 y y1 2 z z1 2
(v) v1 v2 x x1 2 y y1 2 z z1 2 0
x
O
y
z
j
k
i
Trang 4(vi) Tích có hướng của hai vectơ v 1 ( , , )x y z1 1 1
và
2 ( , , )2 2 2
v x y z
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
v v v
3/ Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm M x y z và 1 1, ,1 1 M x y z , thì khoảng cách d giữa2 2, ,2 2
1
M và M là độ dài của vectơ 2 M M 1 2
:
2 2 2
d M M x x y y z z
4/ Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước
Điểm M x y x chia đoạn thẳng , , M M theo tỉ số k: 1 2 MM1k MM2
được xác định bởi công thức:
1 2
1 2
1 2
1 1 1
x kx x
k
y ky y
k
z kz z
k
Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M M , khi đó toạ độ của M là:1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 2
x x x
y y y
z z z
5/ Góc giữa hai vectơ
Góc giữa hai vectơ v 1( , , )x y z1 1 1
và v2 ( , , )x y z2 2 2
xác định bởi:
1 2 1 2 1 2
cos
x x y y z z
6/ Hai vectơ cùng phương
Hai vectơ v1( , , ) 0x y z1 1 1
và v2 ( , , ) 0x y z2 2 2
cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
Trang 52 1
v kv
2 2 2 2 2 2
7/ Phương trình mặt phẳng
a Khái niệm
Một vectơ n 0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với ( )
Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M0( ) và một vectơ pháp tuyến của nó
b Định lý
Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng:
Ax By Cz D A B C
và ngược lại mỗi phương trình dạng đó là phương trình của một mặt phẳng
8/ Phương trình đường thẳng
a Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)
0 / /( )
a
b Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Vì đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tổng quát của (d) có dạng:
( ) :
0 2
A x B y C z D
d
A x B y C z D
với điều kiện A B C1: 1: 1A B C2: 2: 2 trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)
9/ Phương trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm I a b c( , , ) cho trước một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phương trình:
(x a ) (y b ) (z c ) R
Trang 6Chương II
GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì
ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó Với bài toán đại số này chúng ta có
sự định hướng rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn Để thực hiện được điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp
Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp
Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ
độ
Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán
Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học
Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết,
ở bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán Bước 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán này Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố định đã biết, dựa vào các đường thẳng vuông góc để gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi
II/Giải bài toán định lượng trong hình học không gian
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phương pháp toạ
độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phương pháp toạ độ ta mới biểu diễn được khoảng cách một cách đơn giản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết
Trang 7Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông
thường bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng
- Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- Tính độ dài đoạn thẳng
1 Các hình chóp và lăng trụ có sẵn ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm
lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba cạnh đó
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh bằng a
a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’
b Gọi K là trung điểm DD’ Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường
thẳng CK và A’D’
c Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai
góc bằng nhau Tính các góc này
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
,
B Ax D Ay và AAz, khi đó:
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0
0;0; , ;0; , ; ; , 0; ;
A a B a a C a a a D a a
a Ta có A B a ;0;a& AC a a a ; ;
Gọi là góc tạo bở A’B và AC’ ta có:
2
A B AC
A B AC
Gọi d1 là khoảng cách giữa A’B và AC’ ta có:
1
6 ' , '
A B A C AA a d
A B A C
b Ta có: 0; ; , ;0; & ' 0; ;
K a KC a A D a a
Gọi là góc tạo bởi CK và A’D, ta có:
cos
10 '
KC A D
KC A D
Gọi d 2 là khoảng cách giữa CK và A’D, ta có:
A’
C’
D’
B’
x
y z
B A
C D
Trang 83 , '
d
KC A D
c Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên:
' : 0 ' : 0
0
Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng:
P x a my: 0 P x my a: 0 vtpt n1; ;0m
Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp là u10;1;1 và u21; 1;1
) hai góc bằng nhau ( giả sử là ) nên:
2
1
m
Với m 2 6 ta được:
sin
5
Với m 2 6 ta được:
sin
5
Bài 2 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc , OA= a.
OB= b, OC= c Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần
lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ ta có:
(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
d M OAB z
Tương tự M1;2;3
: x y z 1
PT ABC
a b c
1 2 3 1 1
a b c
Trang 9
1
2 6
OABC
1
27
6abc
min
3
3
9
OABC
a
c
2 Các dạng toán khác : Ta xác định chân đường cao, lấy chân đường cao
làm gốc O, trục Oz chính là đường cao, từ O trong mặt phẳng đáy dựng hai trục còn lại vuông góc với nhau.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáyvà tam giác ABC
vuông tại C Độ dài các cạnh là SA4,AC3,BC 1 Gọi M là trung điểm
AB, H là điểm đối xứng của C qua M Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBH) và (SBC)
Giải
Trong mp(ABC) dựng tia Ax vuông góc với AC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó : A0;0;0 , B1;3;0 , C0;3;0
0;0;4 1;0;0 , 1;3; 4
0;3; 4 , 1;0; 4
1 2
85
n n
n n
Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra O là trọng tâm tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC khi đó :
y
z
S
M
x
A
B
C
H
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung
điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với
mp(SBC).
Trang 10Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO=h, chon hệ trục tọa
độ như hình vẽ ta có :
0;0;0 , 0;0; , 3;0;0 ,
3
a
I B C
M N
2
AMN
n AM AN
2 3
6
SBC
a
n SB SC ah
2
2 5 12
a AMN SBC h
2
,
AMN
a
S AM AN
*Bài tập làm thêm
Giải
Vì tam giác ABC đều nên HC AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó
H A B C o
2
a
S a BA CD Da
a a
a Mặt phẳng (SBC) có phương trình là :
3
19
a
d O SBC
x
A
y O
B A I
M S
z
N
C
h
a
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a Từ trung điểm H của cạnh
AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a.
a Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
b Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
x
y
A
O H
B
C
D S
z
Trang 11b Theo câu trên thì n SBC 2 3;2; 3
, còn
2
2
a
SCD 0;2; 3
n
19
Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ đường cao h Mặt phẳng
(A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) một góc Tính thể tích và diện tích xung
quanh hình lăng trụ
Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh
bằng a, góc A 600, B’O vuông góc với đáy ABCD, cho BB’=a
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB
dựng SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) có số đo bằng 60 0
d Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD)
e Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CKSD và tính số
đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD)
f Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)
III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 ; O là tâm hình vuông
BCC1B1, M là một điểm thuộc đoạn C1O Mặt phẳng (MA1D) cắt B1D1 ở I
và cắt AC tại J Chứng minh I, M, J thẳng hàng
Giải : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giã sử cạnh của hình lập phương bằng 1
Ta có :
0;0;0 , 1;0;0 , 1;1;0 , 0;1;0
B
D y
D1
C1
A
O
B
1
A
1
z
M