GIẢI TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ hc

SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I: Lí chọn đề tài Phần II: Kiến thức Phần III: Phương pháp giải toán I Hình đa diện có cạnh vng góc đỉnh Hình lập phương hình hộp chữ nhật Hình đa diện có đỉnh tam diện vuông II Khối đa diện 12 Hình chóp tam giác 12 Hình chóp tứ giác 13 Hình lăng trụ 16 III Khối đa diện 16 Gốc tọa độ trùng với chân đường cao 17 Gốc tọa độ trùng giao đường vng góc đáy 20 Bài tập tự luyện 23 Phần III: Kết thực nghiệm Kết luận 28 Kết thực nghiệm 28 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 PHẦN I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” Khi giải tốn, ngồi phương pháp học sinh học SGK phần giáo viên thường hướng dẫn cho học sinh nhìn nhận tốn theo nhiều hướng khác để học sinh có khả phân tích, xử lí tốn theo nhiều khía cạnh tìm cách giải tối ưu tốn đó, từ đưa phương pháp chung tối ưu số lớp toán HHKG môn học quan trọng chương trình hình học phổ thơng lại môn học mà đa số học sinh bị “dị ứng” phần khó, đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ tính tư cao Ngược lại học sinh lại học tương đối tốt phần “Phương pháp tọa độ khơng gian” phần thiên giải tích nhiều hơn, học trò quen thuộc Trong giai đoạn gần đây, câu HHKG thường gồm ý Ý thứ tính thể tích khối đa diện, ý dễ học sinh thường xác định nhanh đường cao đáy khối đa diện Nhưng đến ý thứ hai tính khoảng cách hay góc học sinh vất vả Một vấn đề đặt làm để sử dụng quan hệ đường cao đáy ý thứ để áp dụng vào ý thứ hai, làm để học sinh kẻ thêm đường phụ hình đồng thời giảm tính phức tạp xử lí vấn đề khơng gian? Để giải vấn đề này, hướng cho em nghĩ đến việc chuyển tốn sang ngơn ngữ giải tích xây dựng hệ tọa độ Oxyz giải tốn khơng gian vừa xây dựng Trước có số tài liệu đề cập đến vấn đề dừng lại mức độ đa diện có tính vng góc đặc biệt khối lập phương, khối hộp chữ nhật, tam diện vng … với đa diện không đặc biệt mà đề thi đại học chưa đề cập đến Để giải vấn đề này, tơi xin trình bày SKKN với đề tài “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” chủ yếu hướng dẫn cho học sinh cách xây dựng hệ tọa độ phù hợp với đa diện có giải tốn Từ có thêm hướng giải cho HHKG chương trình phổ thơng đề thi đại học Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Sáng kiến chia làm phần: Phần I: Lí chọn đề tài Phần II: Kiến thức Phần III: Phương pháp giải toán Phần IV: Kết thực nghiệm Kết luận Mặc dù cố gắng chắn viết nhiều thiếu sót hạn chế Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đồng nghiệp để viết hoàn thiện trở thành tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên Yên Thành, ngày 05/05/2015 Phan Anh Tuấn PHẦN II KIẾN THỨC CƠ BẢN Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Trước giải toàn HHKG phương pháp tọa độ, cần nắm cách diễn đạt số khái niệm HHKG “ ngơn ngữ” hình học giải tích Từ đó, ta chuyển tốn hình học tổng hợp thành tốn hình học giải tích, sử dụng cơng cụ hình học giải tích để giải tốn uuuu rr • Đường thẳng MN // mp(P) ⇔ MN.n(P) = uuuu r uuu r • Đường thẳng MN ⊥ PQ ⇔ MN.PQ = uuuu rr uuuu r r r  MN.a =   ⇔ MN;n(P) = rr • Đường thẳng MN ⊥ mp(P) ⇔  uuuu    MN.b = r r a, b véc tơ phương đường thẳng nằm mp(P) song song rvới rmp(P) • mp (P) ⊥ mp (Q) ⇔ n(P) n(Q) = uuur uuur • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB , AC uuur uuur r   AB;AC = phương hay   uuur uuur • Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng AB , AC , uuu r uuur uuur r  AB;AC AD =   • Khoảng cách từ điểm M 0(x0;y0;z0) đến mp( µ ): Ax + By + Cz + D uuur AD đồng phẳng hay = d(M 0,(µ )) = Ax0 + By0 +Cz0 + D A + B2 + C2 • Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua M 0(x0;y0;z0 ) uuuuur r  M M;u r   r có véc tơ phương u h(M 0,(d)) = u Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” • Khoảng cách h đường thẳng chéo d1đi qua điểm M1 , r có véc tơ phương u1 d2 qua điểm M , có véc tơ r r uuuuuur  u1;u2  M M r   r r phương u2 h(d1;d2 ) =  u1;u2    • Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P) song song với khoảng cách từ M nằm đường thẳng d đến mp(P) • Khoảng cách mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đến mặt phẳng • Khoảng cách đường thẳng song song với khoảng • • • • • cách từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng uuur uuur Diện tích tam giác ABC là: S =  AB;AC  2 uuur uuur Diện tích hình bình hành ABCD là: S =  AB;AD   uuur uuur uuuur Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: V =  AB;AD AA '   uuur uuur uuur Thể tích khối tứ diện ABCD là: V =  AB;AC AD  6 r Góc hai đường thẳng d1 có véc tơ phương u1 d2 có véc r tơ phương u2 xác định công thức r r u1.u2 r r · ;d ) = cos(u1;u2) = r r cos(d u1 u2 Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” r • Góc hai đường thẳng d có véc tơ phương u mp(P) có r véc tơ pháp tuyến n xác định công thức rr   u.n r r   · cos(d;P) = sin(u;n) = r r u n r • Góc hai mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n1 mặt phẳng r (Q) có véc tơ pháp tuyến n2 xác định công thức r r n1.n2 r r · cos(P;Q) = cos(n1;n2 ) = r r n1 n2 PHẦN III PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải toán HHKG phương pháp tọa độ cần chuyển đổi toán theo bước sau: Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Bước 1: Chọn hệ tọa độ Bước dễ dàng thực đa diện cho có sẵn quan hệ vng góc đặc biệt tam diện vng, cạnh bên vng góc đáy… trường hợp phức tạp vào chân đường cao hai đường vng góc đáy Đây bước quan trọng định cho việc giải tốn Bước 2: Tính tọa độ đỉnh đa diện, điểm đặc biệt theo yêu cầu toán hệ tọa độ chọn Việc vào hình vẽ theo kiện cho Bước 3: Thể kiện tốn theo cách thức Hình học giải tích phương trình đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách, góc… Bước 4: Giải kết luận toán theo cách thức Hình học giải tích chuyển trở lại hình học khơng gian cần Ưu điểm phương pháp tọa độ hóa toán HHKG cổ điển nhiều trường hợp làm cho toán đơn giản nhiều, lời giải ngắn gọn hơn, quan trọng khơng đòi hỏi nhiều đến khả tư duy, kỹ vẽ hình chứng minh hình học Giúp học sinh tránh khó khăn việc xác định quan hệ vng góc, góc, khoảng cách … theo cách hình học tổng hợp Cần ý tất tốn HHKG thể theo cách thức Hình học giải tích nhiên mức độ khó dễ khác Điều dẫn đến số toán chuyển sang lại phức tạp Vì phương pháp hữu hiệu khơng nên tuyệt đối hóa Trong nội dung sáng kiến tác giả giới thiệu lớp toán đặc trưng phương pháp hướng dẫn sử dụng phương pháp cho tốn có số quan hệ vng góc có sẵn, đặc biệt toán đề thi đại học Dựa vào đặc điểm dạng toán, phương pháp chia thành ba phần sau: Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” I Hình đa diện có cạnh vng góc đỉnh Hình lập phương hình hộp chữ nhật Phương pháp: Chọn gốc tọa độ đỉnh, trục tọa độ chứa cạnh xuất phát từ đỉnh VD: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N trung điểm AB, DD’ a Chứng minh: MN//(BDC’) Tính MN khoảng cách từ MN đến mp(BDC’) b Gọi P trung điểm C’D’ Tính thể tích khối chóp C.MNP góc MN BD c Tính bán kính r đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD Nhận xét: Đây toán đặc trưng phương pháp, dễ dàng nhận thấy dùng HHKG cổ điển việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc đường thẳng khơng đơn giản, Dựa vào tính chất hình lập phương để lập hệ trục tọa độ giải toán hệ tọa độ giúp tránh khó khăn Giải: Chọn hệ trục Oxyz cho O trùng A, Ox,Oy, Oz trùng tia AB, AD, AA’ Khi A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A’(0;0;2), B’(2;0;2), C’(2;2;2), N(0;2;1), P(1;2;2) uuuu r D’(0;2;2), M(1;0;0), uuur uuuu r a.+) Ta có MN = (−1;2;1) , BD = (−2;2;0) , BC' = (0;2;2) r uuur uuuu r ⇒ n(BDC') = [BD;BC'] = (4;4; −4) uuuu rr ⇒ MN.n(BDC') = ⇒ MN // (BDC’) +) MN = 1+ + = +) Phương trình (BDC’) là: x + y –z–2=0 Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” Do MN // (BDC’) nên khoảng cách MN mp(BDC’) d(MN; 1− (BDC’)) = d(M; (BDC’)) = = uuu3 uuuu r uuur r b MN = (−1;2;1) , MP = (0;2;2) , MC = (1;2;0) Thể tích khối chóp C.MNP là: VC.MNP r uuur uuur uuuu = [MN;MP].MC = uuuu r uuur uuuu r uuur MN.BD Góc MN BD : Cos(MN;BD) = Cos(MN;BD) = = MN.BD Vậy góc MN BD 300 c Gọi I, R tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lập phương nên I trung điểm AC’ AC’ = 2R ⇒ I(1;1;1) R = Phương trình ( A’BD): x y z + + = 1⇔ x + y + z = 2 2 ⇒ Khoảng cách từ I đến (A’BD) d = 3 Do A’, B, D ∈ (S) nên đường tròn ngoại tiếp (A’BD) = mp(A’BD) ∩ (S) Vậy r = R2 − d2 = Hình đa diện có đỉnh tam diện vng Phương pháp: Chọn đỉnh gốc tọa độ, trục tọa độ chứa cạnh xuất phát từ đỉnh VD1: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB = a, AD = a SA = a vng góc đáy Gọi M, N trung điểm AD, SC, I Phan Anh Tuấn THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải toán hình học khơng gian phương pháp tọa độ” giao điểm MB AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) (SMB) vng góc, tính thể tích khối ANIB Giải: Do I giao điểm MB AC nên I trọng tâm tam giác ABD Chọn hệ trục Oxyz cho O trùng A, Ox, Oy, Oz trùng tia AB, AD, AS Khi A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a ;0), M(0; a D(0;a ;0), ;0), a a a N( ; ; ), 2 a a I( ; ;0) 3 +) Ta S(0;0;a), có uuur a BM = (−a; ;0) , uuur uuur uuur AC = (a;a 2;0) ⇒ BM.AC = ⇒ BM ⊥ AC Mặt khác, SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BM Từ suy BM ⊥ (SAC) ⇒ (SBM) ⊥ (SAC) uuur uur a a uuur a a a +) Ta có AB = (a;0;0) , AI = ( ; ;0) , AN = ( ; ; ) 3 2 uuur uuur uur a3 Vậy thể tích khối tứ diện ANIB V = [AB;AN].AI = 36 VD2(D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng với BA = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ khoảng cách đường thẳng AM B’C Nhận xét: Việc tính khoảng cách đường chéo theo HHKG cổ điển phức tạp, phải dựng thêm đường, mặt phụ, phải xác định hình chiếu điểm đường, mặt Đó lí ta nên dùng phương pháp tọa độ hóa, vận dụng đặc điểm thuận lợi hình để giải toán Phan Anh Tuấn 10 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” cho việc dựng hệ trục tọa độ hợp lí Nhưng ý đặc điểm toán, đặc biệt dấu hiệu chân đường cao ( liên quan đến thể tích) quan hệ vng góc đáy ( liên quan đến diện tích đáy) ta dựng hệ trục tọa độ hợp lí, qua giải tốn dễ dàng nhiều Dựa vào đặc điểm đa diện, chọn gốc tọa độ trùng với chân đường cao đa diện ( có dễ xác định), từ xây dựng trục Ox, Oy theo đặc điểm đáy trục Oz chứa đường cao đa diện ngược lại chọn gốc tọa độ trùng với giao điểm đường vng góc đặc biệt đáy trục Ox, Oy chứa đường trục Oz đường thẳng qua gốc tọa độ song song với đường cao đa diện Căn vào ta chia thành trường hợp: Gốc tọa độ trùng với chân đường cao: Một số đa diện có chân đường cao có dễ xác định ( dựa vào ý tính thể tích tốn ), vào đặc điểm đáy để từ xây dựng hệ trục Oxyz VD1: (A–2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 3a , hình chiếu vng góc S lên (ABCD) trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến (SBD) Nhận xét: gọi O trung điểm AB, SO vng góc đáy Gọi I tâm đáy, dễ dàng nhận thấy OS, OA, OI đơi vng góc nên chọn hệ trục tọa độ gốc O, trục OA, OI, OS Giải: Ta dễ dàng tính SO = SD − DO = a nên thể tích khối chóp V = SO.dt(ABCD) = a 3 Phan Anh Tuấn 18 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Dựng hệ trục tọa độ có gốc O, trục Ox, Oy, Oz trùng với a a a tia OA, OI, OS Khi O(0;0;0), A( ;0;0) , B(− ;0;0) , I(0; ;0) , S(0;0;a) , 2 a D( ;a;0) Phương trình mặt phẳng (SBD) là: − 2x 2y z + + =1 a a a ⇔ −2x + 2y + z − a = Khi khoảng cách từ A đến mp(SBD) d(A,(SBD)) = −a + + − a = 2a VD2: (B–2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trung điểm AB Góc A’C đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’) Nhận xét: Gọi O trung điểm AB, theo ta có OA’, OA, OC đơi vng góc, vào ta chọn hệ trục gốc O, trục OA, OC, OA’ 3a · Giải: Do góc A'CO = 600 nên tính A’O = CO.tan60 = Khi thể tích khối lăng trụ V = A’O.dt(ABC) = Phan Anh Tuấn 19 3a a 3 3a = THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải toán hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Dựng hệ trục tọa độ có gốc O, trục Ox, Oy, Oz trùng với tia OA, OC, OA’ Khi O(0;0;0), a 3a a A( ;0;0) , C(0; ;0) , A’ (0;0; ) , 2 a B(− ;0;0) Phương trình (ACC’A’) là: 2x 2y 2z + + =1 a a 3a ⇔ 6x + 3y + 2z − 3a = Khi khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’) d(B,(ACC’A’)) = −3a + + − 3a 36 + 12 + = 3a 13 VD3: (A–2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S lên (ABC) điểm H thuộc đoạn AB cho HA = 2HB Góc SC mp(ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách SA BC theo a Nhận xét: Gọi I trung điểm AB, AB, CI, SH đơi vng góc Vậy ta chọn hệ trục gốc H, trục Ox, Oz trùng với tia HA, HS trục Oy hướng tia IC Giải: Gọi I trung điểm AB nên IH = Phan Anh Tuấn 20 a suy HC = a THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” 21 · Do góc SCH = 600 nên SH = a Vậy thể tích khối chóp V = a3 SH.dt(ABC) = 12 Dựng hệ trục tọa độ có gốc O trùng H, trục Ox, Oz trùng với tia HA, HS, trục Oy hướng tia IC Khi H(0;0;0), A( 2a ;0;0) , a a a a 21 B( − ;0;0) C( ; ;0) , S (0;0; ) uuu r uuu r uuur SA;BC  AB 42   =a uuu r uuu r Khi khoảng cách SA BC là: d(SA;BC) = SA;BC    Gốc tọa độ trùng giao đường vng góc đáy: Trong trường hợp chân đường cao khơng có đặc biệt, ta ý đến quan hệ vng góc đường đặc biệt đáy, vào để chọn gốc tọa độ giao điểm trục tọa độ trùng đường VD1: (D–2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, · · cạnh bên SA vng góc đáy, BAD = 1200 M trung điểm BC, SMA = 45 Tính theo a thể tích khối chóp khoảng cách từ D đến mp(SBC) Nhận xét: Bài tốn giải theo hướng thứ phức tạp chưa xác định đường vng góc với AD, AS đáy Trong trường hợp ta ý đến đường chéo hình thoi, vào để đặt hệ trục Phan Anh Tuấn 21 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” · a Giải: Ta chứng minh ∆ ABC ⇒ AM = SMA = 45 nên ∆ a3 a ⇒ ⇒ SAM vuông cân AS = V = SA.2dt(ABC) = Dựng hệ trục tọa độ có gốc O ( giao đường chéo đáy), trục Ox, Oy trùng với tia OA, OB, trục Oz hướng tia AS Khi O(0;0;0), a a a A( ;0;0) , B(0; ;0) , C( − ;0;0) , S 2 a a , ( ;0; ) 2 B(0; − a ;0) , Khi mặt phẳng (SBC) có phương trình: 3x − 2y − 4z + a = Vậy khoảng a 3+ a 12 + + 16 = cách từ D đến mp(SBC) d(D;(SBC)) = a VD2: (A–2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách đường thẳng AB SN theo a Nhận xét: Ta chọn A trùng gốc tọa độ khó khăn, nhận thấy BA, BC vng góc nên chọn B trùng gốc tọa độ BA, BC làm trục Ox, Oy Phan Anh Tuấn 22 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” · Giải: Do AB, SB vuông góc với BC nên SBA = 600 suy SA = 2a Do M, N trung điểm AB, AC nên thể tích khối chóp VS.BCNM = SA.(dt(ABC) − dt(AMN)) = a3 3 Dựng hệ trục tọa độ có gốc O ≡ B, trục Ox, Oy trùng với tia BA, BC, Oz hướng tia AS Khi B(0;0;0), A(2a;0;0) , C(0;2a;0) , S(2a;0;2a 3) , M(a;0;0) , N(a;a;0) Khi khoảng cách AB SN uuur uuu r uuur  BA; NS BN 39   = 2a uuur uuu r d(AB;SN) = 13  BA; NS   VD3: (A–2013) · Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Nhận xét: Ta chọn H ( trung điểm BC) trùng gốc tọa độ khó khăn HA khơng vng góc BC, nhận thấy AB, AC vng góc nên chọn A trùng gốc tọa độ AB, AC làm trục Ox, Oy Giải: Gọi H trung điểm BC, SH ⊥ (ABC) Do ∆ SBC nên SB = BC = a⇒ SH = a 3⇒ 1 a3 V = SH.dt(ABC) = SH.AB.AC = 16 Phan Anh Tuấn 23 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Dựng hệ trục tọa độ có gốc O ≡ A, trục Ox, Oy trùng với tia AB, AC, Oz hướng tia HS Khi A(0;0;0), B( S( a a ;0;0) , C(0; ;0) , 2 a a a ; ; ) 4 Khi phương trình mặt phẳng (SBA) là: −2 3y + z = Vậy khoảng cách từ C đến mp(SBA) d(C;(SBA)) = −a 13 = a 39 13 BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Hình đa diện có cạnh vng góc đỉnh Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) AC’ vng góc với mặt phẳng ⊥ (CB’D’) Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D Phan Anh Tuấn 24 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” b Gọi MNP trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N Bài 3: Cho hình hộp lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh Gọi E, F tương ứng trung điểm cạnh AB, DD1 a Chứng minh EF//(BDC1) tính độ dài đoạn EF b Gọi K trung điểm cạnh C 1D1 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (EFK) xác định góc hai đường thẳng EF BD Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a Chứng minh giao điểm đường chéo A’C mp (AB’D’) trọng tâm tam giác AB’D’ b Tìm khoảng cách hai mp (AB’D’) mp (C’BD) c Tìm góc tạo hai mp (DA’C) mp (ABB’A’) Bài 5: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Điểm M thuộc AD’ điểm N thuộc BD cho AM = DN = k (0 < k < a 2) a Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn b Chứng minh MN song song với mp(A’D’BC) k biến thiên c Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung AD’ DB MN song song với A’C Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = 2a; AA’ = a a Gọi M điểm nằm AD cho AM = Tính khoảng cách từ MD điểm M đến (AB’C) b Tính thể tích tứ diện AB’D’C Phan Anh Tuấn 25 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a Chứng minh mp(SAC) ⊥ (SMB) b Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B BA = BC = a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy SA = a H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a, cạnh SA ⊥ mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM= a , mặt phẳng (BCM) cắt SD điểm N Tính thể tích khối chóp SBCNM? II Khối đa diện đều: Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy có cạnh a Gọi M, N trung điểm SA BC, O tâm đáy ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 300 a Chứng minh rằng: SO = MN b Tính góc MN (SBD) c Tính thể tích khối chóp Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, có cạnh a, đường cao SO ⊥ mp(ABCD) SO = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC, AB Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng (α ) qua AB vng góc với SC a Tìm điều kiện h theo a để (α ) cắt cạnh SC K Phan Anh Tuấn 26 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” b Tính diện tích tam giác ABK c Tính h theo a để (α ) chia khối chóp thành phần tích chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp mặt cầu ngoại tiếp trùng Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, SO vng góc với đáy SO = a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ a Chứng minh tam giác B’C’D’ b Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Bài 14 (B–2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a III Khối đa diện Bài 15: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a cạnh SA ⊥ (ABC), SA = 2a Gọi (α ) mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm diện tích thiết diện tứ diện S.ABC tạo mp (α ) HD: Chọn hệ trục Oxyz O trùng với A, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia At, AC, AS ( At nằm mp(ABC) vng góc AC) Bài 16: Cho hình vng ABCD tam giác SAD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi I trung điểm AB a Chứng minh CI ⊥ SB b Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB c Tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SA BD VI SAB d Tính tỉ số V S ABCD Phan Anh Tuấn 27 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” HD: Chứng minh trung điểm I AB chân đường vng góc hạ từ S xuống mp(ABCD) Chọn hệ trục Oxyz O trùng với I, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia IJ, IA, IS ( J trung điểm BC) Bài 17: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình · thoi cạnh a, góc BAD = 600 gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng HD: Chọn hệ trục Oxyz O trùng với I, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia IA, IB, II’ ( I’ tâm hình thoi A’B’C’D’) Bài 18: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a góc BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh A’C’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN HD: Chứng minh ABCD hình bình hành có AB = AD = a nên suy ABCD hình thoi Chọn hệ trục Oxyz O trùng với I, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia IA, IB, II’ ( I’ tâm hình thoi A’B’C’D’) Bài 19: Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vng ( ) · , SBC = 60o Gọi H, K góc với (P) A lấy điểm S cho SAB hình chiếu A SB, SC Chứng minh ∆AHK vng tính VSABC? µ = 600 , AC vng góc với BC HD: Ta tính A Cách 1: Chọn hệ trục Oxyz O trùng với A, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia At, AB, AS ( Trong At đường thẳng vng góc với AB tạo với AC góc 300 ) Cách 2: Chọn hệ trục Oxyz O trùng với C, tia Ox, Oy, Oz trùng tia CA, CB, Ct với Ct hướng tia AS Bài 20 (B–2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt Phan Anh Tuấn 28 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a HD: Chứng minh trung điểm I AB chân đường vuông góc hạ từ S xuống mp(ABCD) Chọn hệ trục Oxyz O trùng với I, tia Ox, Oy, Oz trùng với tia IA, IJ, IS J trung điểm CD PHẦN IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Trong trình giảng dạy HHKG chương trình 12 từ năm 2011 đến nay, tơi nhận thấy chưa áp dụng phương pháp học sinh khó khăn việc giải toán lớp toán nêu Từ năm 2013 đến áp dụng cho em giải lớp toán theo phương pháp em khơng “ sợ hãi” HHKG nữa, đồng thời Phan Anh Tuấn 29 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” em tạo cho cách nhìn nhận tốn theo hướng tư phân kì, từ tìm phương án tối ưu cho tốn Điển hình năm 2014, lớp 12A1 thi đại học 100% làm câu HHKG, có em thuộc tốp 100 học sinh điểm cao nước lớp 12A9 yếu có 10 em hồn thành câu HHKG Trong kì thi khảo sát chất lượng cuối năm 2014 – 2015, chọn lớp 12A4 để thực nghiệm phương pháp lớp 12A12 khơng (đây lớp thường, chất lượng học sinh tương đương nhau) Kết lớp là: Tổng Lớp số Lớp ĐC 12 A12 Lớp TN 12 A4 Loại giỏi Loại Loại TB (5- (9-10 điểm) (7-8 điểm) điểm) Loại yếu (4 điểm trở xuống) Số Tỉ lệ Số Tỷ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng % lượng % lượng % lượng % 38 34% 10 41% 15 25% 35 48 % 16 48 % 10 4% KẾT LUẬN Phương pháp tọa độ phương pháp hỗ trợ, thay phương pháp tổng hợp Phương pháp tọa độ chưa phải phương pháp tối ưu áp dụng phạm vi rộng tốn ( có chứa quan hệ vng góc), khắc phục nhược điểm học sinh tư thời gian, Nhược điểm lớn phương pháp biểu thức tính tốn cồng kềnh, đòi hỏi kỹ tính tốn tốt Tuy nhiên, biết vận dụng phương pháp cách thích hợp phương pháp hiệu giúp em có thêm phương pháp Phan Anh Tuấn 30 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ” hữu hiệu việc giải Hình học tổng hợp đề thi đại học chương trình THPT Mặc dù cố gắng chắn viết nhiều thiếu sót hạn chế Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đồng nghiệp để viết hoàn thiện trở thành tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Thành Văn, Chuyên đề ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất đại học sư phạm, 2010 [2] Tuyển tập đề thi đại học khối A, B, D từ 2006 đến 2014 [2] Tuyển tập sgk Hình học 12 Nâng cao, Cơ [3] www.k2pi.net [4] www.google.com.vn [5] www.toanhocvietnam.com.vn [6] www.Vnmath.com.vn Phan Anh Tuấn 31 THPT Phan Đăng Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ” Phan Anh Tuấn 32 THPT Phan Đăng Lưu ... Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ I Hình đa diện có cạnh vng góc đỉnh Hình lập phương hình hộp chữ nhật Phương pháp: Chọn gốc tọa độ đỉnh, trục tọa độ chứa cạnh xuất phát... Lưu SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ Hình lăng trụ Phương pháp: Tùy theo dạng lăng trụ, chọn gốc tọa độ tương tự hình chóp đều, đường cao tương ứng gốc tọa độ trùng tia...SKKN “ Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ Khi giải tốn, ngồi phương pháp học sinh học SGK phần giáo viên thường hướng dẫn cho học sinh nhìn nhận tốn theo nhiều hướng khác để học sinh