THÔNG TIN TÀI LIỆU
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề 1: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Giải phương trình a x2011 x b x2 x Lời giải: a Đặt f ( x) x2011 x f '( x) 2011x 2010 f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (1) nên x = nghiệm phương trình b Điều kiện x x = không nghiệm phương trình Đặt f ( x) x x với x > 1 f '( x) x 0, x x 1 f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (2) nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình Lời giải x x 7x Điều kiện phương trình (1) 41 41 x 2 (*) (1) x x x 1 Xét g ( x) x x x g '( x) x3 0, x (*) x x 7x g(x) hàm số đồng biến Mặt khác: g(1) = Vậy: x = nghiệm phương trình Thật vậy: Khi x > g(x) > g(1) = nên phương trình vô nghiệm Khi x < g(x) < g(1) = nên phương trình vô nghiệm Giải phương trình sau Lời giải Điều kiện: x 5 x3 x x (1) (1) 5x3 x x Xét f ( x) x3 x x f '( x) 15 x 2 1 x3 3 x 12 hàm số cho đồng biến ; >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Mặt khác: f (1) nên x = nghiệm Kết luận: S 1 Giải phương trình Lời giải x x x2 x2 (1) x x 2x2 2x2 1 1 Xét f (t ) t t f '(t ) 0 3 (t 1)2 3 t Phương trình (1) viết lại (2) hàm số đồng biến R x Mặt khác: (2) f ( x 1) f (2 x ) x x x 2 x2 x Giải phương trình log3 x 3x 2x 4x Lời giải x2 x Điều kiện (đúng x ) 2 x x (1) (1) log3 ( x x 3) log3 (2 x x 5) (2 x x 5) ( x x 3) log3 ( x x 3) ( x x 3) log (2 x x 5) (2 x x 5) Xét f (t ) log3 t t f '(t ) 0, t t.ln x 1 Mặt khác: (2) f ( x x 3) f (2 x x 5) x 3x x 2 (2) Vậy: S 1; 2 Giải phương trình 3x 4x 5x Lời giải x (1) x 3 4 (1) 5 5 x x x x 4 3 4 3 Xét f ( x) f '( x) ln ln 0, x 5 5 5 5 f(x) hàm đồng biến R Mặt khác: f (2) nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình 9x 2( x 2)3x x Lời giải Đặt t 3x (1) (loai) t 1 Phương trình trở thành t 2( x 2)t x t x >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Với t x 3x x 3x x Xét f ( x) 3x x f '( x) 3x ln 0, x f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f(1) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình x x x x 16 14 Lời giải Điều kiện phương trình x Nhận xét x = không nghiệm phương trình Xét f ( x) x x x x 16 1 1 f '( x) 0, x x x x x 16 f(x) hàm số đồng biến (5; ) Mặt khác: f (9) 14 nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình: x x 3x Giải Điều kiện: x Đặt f x x x 3x Ta có: f x x 3x f (x) đồng biến , 3x Mặt khác f (1) nên phương trình f (x) có nghiệm x 1 Giải phương trình 2x x 2x1 ( x 1)2 Lời giải (1) 2 x x x 1 x x 2 x x (1) x 1 x x ( x 1) x 1 x x x x x (2) t t Xét f (t ) t f '(t ) ln 0, t f(t) hàm đồng biến Mặt khác: (2) f ( x 1) f ( x2 x) x x x x x x Kết luận: x = nghiệm phương trình Giải phương trình 25x 2(3 x)5x x (1) Lời giải (l ) t 1 Đặt t 5x Phương trình trở thành t 2(3 x)t x t x Với t x 5x x 5x x Xét f ( x) 5x x f '( x) 5x ln 0, x f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f (1) nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình log (1 x ) log7 x (1) Lời giải Điều kiện xác định phương trình x > >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Đặt t log7 x x 7t t t 1 Phương trình (1) trở thành log (1 ) t 1 t t t t t t t 37 1 1 Xét f (t ) 0, t f '(t ) ln ln 2 2 f(t) hàm số nghịch biến R Mặt khác: f(3) = nên t x 343 nghiệm phương trình Giải phương trình log5 x log7 ( x 2) Lời giải Điều kiện xác định phương trình x Đặt t log5 x x 5t t t 5 1 Phương trình trở thành t log (5t 2) 5t 7t 5t 7t 7 7 t t t t 5 1 5 1 Xét f (t ) f '(t ) ln ln 0, t 7 7 7 7 7 f(t) hàm nghịch biến R phương trình f(t) = có không nghiệm R Mặt khác: f (1) nên x = nghiệm phương trình Vấn đề 2: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Giải bất phương trình x3 3x x 16 x Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình 2 x Bất phương trình viết lại thành x3 3x2 x 16 x (2) Nhận thấy x = - nghiệm bất phương trình Xét 3x 3x f ( x) x3 3x x 16 x f '( x) 0, x (2; 4) 4 x x 3x x 16 f(x) hàm số đồng biến (-2; 4) Mặt khác: (2) f ( x) f (1) x So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình 2 x Giải bất phương trình x x Lời giải Điều kiện xác định phương trình x 2 Nhận thấy x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1 0, x 2 Xét f ( x) x x f '( x) x9 2x f(x) hàm số đồng biến (2; ) >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Mặt khác: x x f ( x) f (0) x So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x > Giải bất phương trình x4 2 x4 13 Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình x 2 Nhận xét x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1 Xét f ( x) x 2 x f '( x) x 4.ln x4 2x f(x) hàm số đồng biến (2; ) x4 ln 0, x 2 Mặt khác: x4 2 x4 13 f ( x) f (0) x So với điều kiện ta có x nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình log x log3 x Lời giải Điều kiện xác định phương trình x 1 Xét 1 f ( x) log x log x log ( x 1) log ( x 9) 2 1 f '( x) 0, x 1 2( x 1) ln 2( x 9) ln f(x) hàm số đồng biến (1; ) Ta có: log x log3 x f ( x) f (0) x So với điều kiện ta có x > nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình x 5x x 13x (*) Giải Điều kiện x Đặt f x x 5x x 13x 7 13 Ta có: f x 0 x 5x (13 x 7) 7x f (x) đồng biến , Mà f (3) nên (*) f (x) < f (3) x < 7 Vậy nghiệm bất phương trình cho x Giải bất phương trình 3 x 2x 2x 1 (1) Lời giải Điều kiện bất phương trình Xét g ( x) 3 x x 2 (*) 3 10 x g '( x) 0, x (*) 2x 1 2x 2x 1 >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 3 g(x) hàm số nghịch biến ; 2 2 Mặt khác: g(1) = Khi đó: (1) g ( x) g ( x) g (1) x Kết luận: x nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình x2 x x2 x 11 x x Điều kiện bất phương trình: x (1) (1) ( x 1)2 x ( x 3)2 x t Xét f (t ) t t , t f '(t ) 0 t 2 t f(t) đồng biến (0; ) Mặt khác: (1) f ( x 1) f (3 x) x x x So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x Giải bất phương trình sau Lời giải x x 49 x2 x 42 181 14 x (1) Điều kiện xác định bất phương trình x (1) 7 x x 49 x2 x 42 181 14 x Đặt t x x t 14 x 49 x x 42 (t 0) Phương trình trở thành : t t 182 14 t 13 kết hợp điều kiện (t 0) 6 ta t 13 (1) x x 13 (2); điều kiện x ; 7 Xét hàm f ( x) x x 1 6 f '( x) ; x ( ; ) hàm số đồng biến x ; 7x 7x 7 Mặt khác f (6) 13 nên f ( x) 13 x nghiệm bất phương trình x hay 6 x 7 Giải bất phương trình log7 x log3 (2 x ) (1) Lời giải: Điều kiện bất phương trình x > Đặt t log x Phương trình (1) trở thành t log3 t t t 1 1 t t >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! t t t t 1 1 Xét f (t ) 0 f '(t ) ln ln 3 3 f(t) hàm số nghịch biến t t 1 Mặt khác: f(2) = nên f (t ) f (2) t log x x 49 Giải bất phương trình 8x3 x ( x 2) x Lời giải: Điều kiện x 1 (*) (2 x)3 x ( x 1) x (2 x)3 x ( x 1)3 x f (2 x) f ( x 1), f (t ) t t 2x x 1 x x x x 4 x x 0 x 17 Vậy bất phương trình có nghiệm 1 x 17 Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình x x ( y 2) y Giải hệ phương trình 2 x y Lời giải: (1) x3 x ( y 2) y x3 x ( y 1)3 y f ( x) f ( y 1), f (t ) t t x y 1 y x 1 Thay x y vào (2) ta có: y y y 1 x Vậy hệ có nghiệm (1; 0) (0; -1) x3 y y 3x Giải hệ phương trình 2 2x y (1) Lời giải (1) x3 3x y3 y >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét f (t ) t 3t f '(t ) 3t f(t) hàm số đồng biến R Mặt khác: x3 3x y3 y f ( x) f ( y) x y x y x y Ta hệ phương trình sau: 2 x y x 2 Hệ phương trình cho có nghiệm (2; 2) (-2; -2) x 10 y Giải hệ phương trình y 10 x Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình 3 x, y 10 Nhận thấy x = -3, y = 10 không nghiệm hệ phương trình Trừ hai vế hệ cho ta phương trình x 10 x y 10 y 1 Xét hàm số f (t ) t 10 t f '(t ) 0, t (3;10) t 10 t f(t) hàm số đồng biến (-3; 10) x 10 x y 10 y f ( x) f ( y) x y Ta hệ phương trình sau x y x y x y x x 10 x x 10 y x y 1 Kết luận: x = y = nghiệm hệ phương trình x x y y Giải hệ phương trình 2 y x3 Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình x 0, y 1 Xét hàm số f (t ) t f '(t ) 0, t t t f(t) hàm số đồng biến R \ 0 Mặt khác: x 1 y f ( x) f ( y ) x y x y x y x y x y Ta hệ phương trình sau 1 2 y x x x x 1, x 1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x y 1, x y Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tìm m để phương trình m( x x 1) x(2 x) có nghiệm x 0;1 Lời giải: m( x2 x 1) x(2 x) m( x x 1) ( x x) x 1 Đặt t x x t ' x 1 x2 x Vẽ bảng biến thiên suy x 0;1 t 1; 2 t2 (*) m t 1 t t m t 1 m t 1 2 t 2 t 2t Xét f (t ) ,1 t f '(t ) 0,1 t 2 t 1 t 1 (*) f(t) hàm số đồng biến Bất phương trình thỏa m f ( x) f (1) 1 x Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x 1) 4( x 1) x m x 1 Lời giải: Điều kiện phương trình x x Với điều kiện (*) x( x 1) x( x 1) m (*) (**) Đặt t x( x 1) , t Phương trình (**) trở thành t 4t m có nghiệm t Điều kiện thỏa m 4 Tìm m để phương trình ( x 2)(4 x) x x m có nghiệm Lời giải Điều kiện xác định phương trình 2 x Đặt t ( x 2)(4 x) (0 t 3) x x t Phương trình trở thành 2t t m g (t ) t 2t m Phương trình có nghiệm g (t ) m m ax g (t ) 0;3 0;3 Ta có: g '(t ) 2t g '(t ) t Vẽ bảng biến thiên ta có g (t ) m m ax g (t ) g (1) m g (3) 9 m 5 0;3 0;3 >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Ngày đăng: 26/09/2017, 21:17
Xem thêm: ung dung tinh don dieu de giai phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh vo ty