skkn sự dung tính đơn điệu để giải bài toán về phương trình hệ phương trình

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mục Lục Trang I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính đơn điệu hàm số Định lý 3 Tính chất Các bổ đề B VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình Loại Phương trình có chứa dấu thức Loại Phương trình có mũ logarit Loại Phương trình có chứa lượng giác 13 Giải hệ phương trình 16 Loại Hệ phương trình đa thức 16 Loại Hệ phương trình có chứa thức 18 Loại Hệ phương trình có chứa mũ logarit 20 Loại Hệ phương trình có chứa lượng giác 23 Bài tập áp dụng 25 IV HỆ QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 25 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 26 VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 LỜI KẾT Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức 27 Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình hệ phương trình đươc đưa vào sớm Tuy nhiên phương trình hệ phương trình đưa lại toán tương đối Ở chương trình THCS thường phương trình bậc nhất, bậc hai, hoăc bậc bốn dạng trùng phương Còn hệ phương trình bậc nhất, bậc hai giải phương pháp cộng đại số đơn giản Ở chương trình THPT dạng có đa dạng phương pháp giải SGK thuộc dạng đơn giản Các tập mà sách giao khoa yêu cầu chưa cao, chưa đáp ứng đươc yêu cầu đề thi tuyển sinh Trong thi cử ứng dụng mức độ cao nhiều Đặc biệt đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng nhiều năm có số câu liên quan đến phương trình hệ phương trình Tuy nhiên việc giải phương trình hệ phương trình đề thi có nhiều phương pháp Trong phương pháp có phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để giúp em hiểu sâu phương pháp giải trình hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ phương trình ” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Nghiên cứu đề tài “Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ phương trình” để giúp học sinh rèn kỹ giải toán phương trình hệ phương trình qua phát triển tư logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập em, tạo hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh giỏi môn toán, góp phần kích thích đam mê, yêu thích môn toán, phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12 Trong chương trình hoc sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương trình phương trình đề cập đến vài phương pháp giải thường gặp Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tuy nhiên, có nhiều toán hay, toán thương gặp đề thi tuyển sinh phương pháp lại không giải Nên việc đưa thêm số phương pháp vào giảng dạy cho học sinh để em nắm bắt giải số toán khó hơn, hay hơn… III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính đơn điệu hàm số Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng giả sử hàm số y = f(x) xác định K Ta nói: Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (tăng) K cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 ) nhỏ f ( x2 ) , tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số y = f(x) gọi nghịc biến (giảm) K cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 ) lớn f ( x2 ) , tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến gọi đơn điệu tăng, hàm số nghịch biến gọi đơn điệu giảm Hàm số đồng biến nghịc biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Định lí: a Định lý Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K  Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số y = f(x) đồng biến K  Nếu f’(x) < với x thuộc K hàm số y = f(x) nghịch biến K b Định lý (Định lý mở rộng) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K  Nếu f’(x) ≥ với x thuộc K f(x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f(x) đồng biến K  Nếu f’(x) ≤ với x thuộc K f(x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f(x) nghịch biến K Tính chất  Nếu y = f(x) liên tục đồng biến K f u   f  v   u  v  Nếu y = f(x) liên tục nghịch biến K f u   f  v   u  v Các bổ đề  Nếu y = f(x) liên tục đồng biến K phương trình f u   có nhiều nghiệm K Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Nếu y = f(x) liên tục nghịch biến K phương trình f u   có nhiều nghiệm K  Nếu f(x) liên tục đơn điệu tăng K, g(x) liên tục đơn điệu giảm K phương trình f  x   g  x  có nhiều nghiệm K  Nếu f(x) liên tục đơn điệu giảm K, g(x) liên tục đơn điệu tăng K phương trình f  x   g  x  có nhiều nghiệm K  Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi lõm K phương trình f(x) = hai nghiệm thuộc K B VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Loại 1: Phương trình có chứa thức 4x   4x2    Bài Giải phương trình sau: Giải Điều kiện:  4x    4x    x 1  D   ;   2  Xét hàm số f ( x)  4x   4x   Miền xác định: 4x f /  x    ,x  4x  4x2  1 1    ;    ;    nên hàm số đồng biến   Do hàm số liên tục  1 x f( ) Mà Do phương trình cho có nghiệm Nhận xét: Ở phương trình ta chứng minh vế trái hàm đồng biến miền xác định Sau nhẩm nghiệm thỏa mãn, từ suy nghiệm nghiệm phương trình Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình sau: x3  x   x   (1) Giải: Điều kiện: x  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Xét hàm số f ( x)  x  14x   x  với x 1;  f '( x)  3x2   có x 1  0, x  nên hàm số đồng biến 1;  Mà phương trình (1) có dạng f (1)  Do phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét: Ở phương trình ta chứng minh vế trái hàm đồng biến miền xác định Sau nhẩm nghiệm thỏa mãn, từ suy nghiệm nghiệm phương trình Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình: 2x  3x  3x    x  2 4x  Giải: x Điều kiện: 3 2  3xx2 16x x1 23 24xx15  8x x  8x33x 12  4 x 512  x4x125 x344x4x5 8 4x     2x  1  3 2x  1    4x   4x  1  t    ;   Xét hàm số : f t   t  3t với   5 t    ;   f '  t   3t   0, t    4 nên hàm số f(t) đồng biến với Ta có:   f (2 x  1)  f x  1    x   x    2x 1  4x      2    x  1  x    x  1 4 x  Mà phương trình (1)có x dang: 1 Đối chiếu kiện phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức x  3x  x    x   3x  Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải x3  x  x x2 3x   3x 3x   x  x  Điều 3kiện:2  x  3x  3x    x  1    3x  1  1 3x      x  1   x  1    3x   3x  1 Xét hàm số: f t   t  t với t  Ta có: f ' t   3t 1  0, t  nên hàm số f(t) đồng biến [0;+) f ( x  1)  f Mà phương trình (1) có dang: x  (n)   3x    x   3x   x  x     x  (n) Vậy phương trình cho có nghiệm: x  0; x  Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình: Giải:  x3  3x  3x   3 3x   x  3x2  3x 1  3 3x   x3  3x2  3x    x  1  3x  5  3 3x    x  1   x  1   3x    3 3x  (1) Xét hàm số: f t   t  3t với t  Ta có: f ' t   3t   0, t  nên hàm số f(t) đồng biến Mà phương trình (1) có dang: f ( x  1)  f  3x   x    x   x   x  3x  3x   x   x  x    x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm: x  2; x  Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 16 x3  24 x  16 x   3x  Bài Giải phương trình: 16 x3  24 x  16 x   3x    x3  12 x  x  1  10 x     x    3 x  Giải   x  1   x  1   x    3 x    x  1   x  1   3x   1  3x  Xét hàm số: f t   2t  5t với t  Ta có: f ' t   5t   0, t  nên hàm số f(t) đồng biến Mà phương trình (1) có dang: f (2 x  1)  f  3x     2  x   3x   x  3x     x  1 8x  x    xx 12 x 1     x  1  8 x  x    Vậy phương trình cho có nghiệm: x  1; x  1  Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình: x   x  x3  x   x  x    x  1  x   x  x Giải    x   x    x   x (4) 3 Xét hàm số: f t   t  t với t  Ta có: f ' t   3t 1  0, t  nên hàm số f(t) đồng biến Mà phương trình (4) có dang: f ( x  1)  1f  x   x   x  x3  x    x3  x  Đặt x  cost, t 0;  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức (*) Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi phương1trình (*) trở 1thành: 4cos t - 3cos t   cos 3t   3t     5 7 t  ;t  ;t  t 0;  9 Mà nên ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm:  k 2  t   x  cos   ; x  cos  k 2 5 7 ; x  cos 9 Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình:  x  2      x  x   3x  x   Giải Nếu x  1thì phương trình vô nghiêm Nếu x phương trình vô nghiêm     ;0    Vậy phương trình cho có nghiệm nghiệm thuộc     x  1   x  x    3 x   x    4x  2   x  x   3x  x     x  1    x  1 2     3 x     3x     1    x   ;0   nên x   0; 3x  Với f t   t   t 3 2 với t  t f ' t   t     0, t   Ta có: nên hàm số f(t) đồng biến  0;  Xét hàm số: Mà phương trình (1) có dang: f (2x 1)  f  3x   x   3x  x   Vậy phương trình cho có nghiệm: x Nhận xét: Ở phương trình ta biến đổi thành dạng phương trình f (u)  f  v  sau xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến miền xác đinh Từ Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH suy u = v ta giải phương trình u = v Tuy nhiên phương pháp phương pháp khác Bài Giải phương trình sau: log3    1 x2  3x       5 3x  x2 1 2 (1) Loại 2: phương trình có chữa logarit, mũ Giải x 1  x2 Điều kiện: x  3x      Đặt 2 Lúc : 3x  1x 1u1  1 u Khi phương trình (1) trở thành u 1 u  x2  3x  u0 log3 (u  2)     5    log3 (u  2)  2 (2) u 1 Xét hàm số: / f (u)  log31(u  2)  u2 1 với u  f (u)   2u.5 ln5  0, u  ( u  2)ln3 Đạo hàm : nên hàm số đồng biến [0; ) Mặc khác: f (1)  Do phương trình (2) có nghiệm u = Khi ta có: x2  3x    x2  3x    x  Vậy phương trình có nghiệm: x 3 3 ;x  2 3 thỏa mãn điều kiện x1 x x Bài 10 Giải phương trình sau:   ( x  1)  Giải x1 x x x 1 x x Ta có:   ( x  1)    x    x  x (1) t Xét hàm số f (t )   t với t  / t Đạo hàm : f (t )  ln2.2   0, t  Suy hàm số đồng biến 2 Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( x  x)  x   x  x  x  Vậy x  nghiệm phương trình Bài 11 Giải phương trình: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức  2x 1  log3    3x  x    x  1  Trang: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x    x  x   2x 1  Điều log  kiện:   x  x   log     3x2  x   x    x  1    x  1  Giải  2x 1   log     x  1   x  1   x  1  2  log  x  1   x  1  log 3  x  1   3  x  1  (1)     Xét hàm số: f t1  log3 t  t với t  f ' t     0, t  t ln Ta có: nên hàm số f(t) đồng biến  0;   f (2 x  1)  f  x  1 Mà phương trình (1) có dang:  x  (n) 2  x    x  1  3x  x      x  (n)  Vậy phương trình cho có nghiệm: Bài 12 Giải phương trình: Giải Điều kiện: x x  2; x   3x 1  x  log3 1  2x  3x   x  log 1  x   3x  x  log 1  x   1  x  Ta có:  log 3x  3x  log 1  x   1  x  1 Xét hàm số: f t1  log3 t  t với t  f ' t     0, t  t ln Ta có: nên hàm số f(t) đồng biến  0;  x Mà phương trình (1) có dang: f (3 )  f  2x 1  3x  x   3x  x   (*) x Xét hàm số g ( x)x  x  1 g '( x)  ln  2; g ''( x)  3x ln 3  0, x   Khi đó: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 10 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đặt u  2cos v với 0v  ta được: 1  2k 8cos v3  6cosv    4cos v3  3cosv =  cos3v =  v    2 0v  nên v  u  2cos     x   cos x   cos u  2cos 9 ta được: Khi Vì Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x  cos  x    log 2 Bài 17 Giải phương trình:  ; x   cos  x2  x   2x  2x  Giải x x 2 x   log  2x   x  kiện: Điều 2x   2   x    1  log  x    1  2 x    l og 2 x      2   x    1  log  x    1  2 x   l og 2 x         1 Xét hàm số: f t  1t  log2 t với t  f ' t     0, t   0; t ln Ta có: sốxf(t)   x     2 x   x  xnên  26hàm x  32  13đồng  biến   f ( x  22  1)  f 2 x    phương x  1 x3 trình x (1) 19 xcó  13    x  1 x  x  13  Mà dang:      x  1 (n)   x  x  13    Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1 Loại 3: Phương trình lượng giác: Bài 18 Giải phương trình sau:  sin x   sin x   Giải: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 13 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đặt t  sin x , điều kiện t  Khi phương trình có dạng :  t   t   (1) Xét hàm số1 f (t)  12  t   t  f '(t )   2 t  3 t  0, t   1;1 nên f (t ) hàm nghịch biến  1;1 Mà f (1)  từ phương  trình (1) có nghiệm t  sin x   x   k2 Do đó: Bài 19 Giải phương trình:   x   0;  sin x  cosx - 1= log s inx  2 với Giải    x   0;    nên  sin x  1;0  cos x  Vì sincó: x  cos x   log sin x  log cos x  sin x  cos x   log sin x  log cos x Ta  log cos x  cos x  log sin x  sin x 1 Xét hàm số: f t1  log2 t  t với t  (0;1] f ' t   1 t ln Ta có: t  (0;1]   t    t ln  ln  ln e  Vì  1 1 1  t ln t ln Vậy f ' t     0; t  (0;1] t ln nên hàm số f(t) đồng biến (0;1] 2x  Mà phương trình (1) có dang: f (cosx)  f sin  cos x  sin x  cos x(2sin x -1)   sin x  Vậy phương trình cho có nghiệm: x Bài 20 Giải phương trình: 1981 sin x  x  6   sin 2017 x  cos 2017 x 1981 cos x Giải Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 14 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH k x kiện: Điều   sin 2017 x  cos 2017 x 1981 1981 sin x cos x 1  sin 2016 x  1981  cos 2016 x  (1) sin x cos1981 x f  t   t 2017  t với t [-1; 0)  (0;1] 1981 f '  t   2017t 2016  1982  , t [-1; 0)  (0;1] t Ta có: Xét hàm số: 1981 Nên hàm số đồng biến khoảng xác định Mặt khác f t   x [-1;0) Và f t   x  (0; 1] Mà phương trình (1)có dang: f (sinx)  f  cosx   sin x  cos x  x   k (n) Vậy phương trình cho có hai nghiệm 2016 x   k 2016sin x  2016cos x  cos2x Bài 21 Giải phương trình: Giải sin x  2016cos x  cos2x  2016sin x  sin x  2016cos x  cos2 x 1 2 Xét hàm số: f t   2016  t với t  t Ta có: f ' t   2016 ln 2016 1  0, t  f (sin x)  f  cos x  Mà phương trình (1) có dang: t  sin x  cos x  cos x   x    k Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   k Kết luận: Việc chứng minh hàm số đơn điệu đồ thị hàm số lồi (lõm) miền xác định tìm hàm đặc trưng phương trình việc đơn giản Cần phải cho học sinh làm số tương đối em định hình đươc phương pháp nhận dạng Tuy nhiên phương pháp để giải phương trình Có nhiều phương pháp hay để giải, việc chon phương pháp phù hợp điều cần thiết Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 15 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: 1)  x  x2   x  x2  2) 3) 2x   x2    x 4)   2m x6  24 x3m   m2 x  3m  5) 1   sin4 x 2 sin x sin x cos2 x 7) 2 x  x1x3  3x12  x  12 e e   2x  x  x 1 log tan x 3 6) tan x  2.3 8) 32sin x3  3sin x  10.3sin x2   sin x  GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Loại 1: Hệ phương trình đa thức hai ẩn 3  1 x  y    3 x  y  3y2  4y  x    2 Bài Giải hệ phương trình sau:  Giải x3  y3  3y2  4y  x    x3  x   y  1   y  1 Từ phương trình (2) ta có: Xét phương trình f t   t  t với t  f ' t   3t   0, t  nên f(t) hàm đồng biến tập Mà phương trình (3) có dạng: f  x   f ( y 1)  x  y 1  y  x 1 Thay y  x 31 vào phương trình (1) ta được: 3 x3   x  1    2x3  3x2  3x   x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y    0; 1 3   x  y  1982 x  y  2016 x  y2016  Bài Giải hệ phương trình sau:  1  2 Giải Từ phương trình (2) ta có: 3 3 x  2;   y  32 Từ phương trình (1) ta có: x  y  1982 x  y  x  1982x  y  1982y 3 t    2;  Xét phương trình f t   t 1982t với  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 16 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH   2;  f '  t   3t  1982  0, t   2;   nên f(t) hàm nghịch biến tập  f  x   f ( y)  x  y Mà phương trình (3) có dạng: 2016 2016 Thay y  x vào phương trình (2) ta được: 2x   x   x  1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y   1;1 ;  x; y    1; 1 Bài Giải hệ phương trình sau:  x  x  y  y   x  y  1 2  x8   x    y   y  Từ phương trình (2) ta có:  Giải Xét hàm số f (t )  t  5t với t 1;1 f '(t )  3t   0, t 1;1 nên f(t) hàm nghịch biến 1;1 f ( x)  f ( y )  x  y Mà phương trình (1) có dạng:  1  Thay x = y vào phương trình y(2) ta được: 1  8 4 y  y   y  y 1     y  1  (vn) y    Vậy hệphương 1  5trình 1có  nghiệm: 5 4  x; y     ;  ;  x; y         Bài Giải hệ phương trình sau: Giải  x3  3x  x  22  y  y  y Ta  có:  2 x  y  x  y   Từ phương trình (2) ta có: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức 1  1    ;  2   x3  3x  x  22  y  y  y   2 x  y  x  y    x  13  12  x  1   y  13  12  y  1  2   1  1  x     y    2  2  1  x  1 2 1 3 1   x  1  y      y  2 2 Trang: 17 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  3 t   ;  Xét hàm số: f t   t 12t với  2   3  3 f  t   3t  12   t    0, x    ;  t   ;   2  nên f(t) hàm nghịch biến với  2  x  y3 Mà phương trình (1) có dạng: f  x 1  f  y 1  x 1  y 1  y   y2  y     y    Thay x  y  vào phương trình (2) ta được: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y    3 3 1 ;   ;  x; y    ;   2 2 2 2  x3  y  2016  x  y    x  xy  y    Bài Giải hệ phương trình: 1 2 Giải: 3 3 Từ phương trình (1) ta có: x  y  2016  x  y    x  2016x  y +2016 y 3 Xét phương trình f t   t  2016t với t  f ' t   3t  2016  0, t  nên f(t) hàm đồng biến tập Mà phương trình (3) có dạng: f  x   f ( y)  x  y Thay y  x vào phương trình (2) ta được: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: 3x2   x2   x 3  3  3 ; ;  ;  x; y        3    x; y    Loại 2: Hệ phương trình có chứa thức Bài Giải hệ phương trình sau:  x   y   x3   x  1  y x 1 x    y0 y  Điều kiện:  Giải: Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 18 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x    x  1   x3  x   y   x3   4 x   y    x  1  y  Ta có x    x  1  1 x3  x    x3  x2  2x  2 Từ phương trình : 1;  (1) Ta thấy hàm số f ( x)  x  hàm đồng biến Xét hàm số g( x)   x  x  2x  Miền xác định: D  1;   / Đạo hàm g ( x)  3x  2x   x  D Từ suy phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thấy f (1)  g (1) nên x  nghiệm phương trình (1) Vậy hệ có nghiệm  x; y   (1;0) Bài Giải hệ phương trình sau:   x2  x   y    y2  y   x x   y0 Giải: Điều kiện:    x2  x   y   y2  y   x Ta có:  2 Trừ vế theo vế ta có:  x  x   y  y (1) Xét hàm sốt f (t ) 3  t  t Miền xác định: D   0;  / f (t )   t2  t  t  Suy hàm số đồng biến D Mà phương trình (1) có dạng f ( x)  f ( y) nên x  y 2 Lúc đó:  x  x    x  x   (2) g( x)   x2  x  với x  Xét hàm số: x g'( x)   x2  x  0, x  nên g( x) hàm đồng biến khoảng  0;  Ta thấy g1  x = nghiệm phương trình (2) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x  nghiệm Vậy hệ có nghiệm  x; y  1;1 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 19 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10   x  xy  y  y  4x   y2   Bài Giải hệ phương trình sau:  Giải Điều kiện: x 1  2 5 Ta thấy y = không phải hệ phương trình, chia hai vế phương trình  xnghiệm  x       y  y (1) cho y ta được:  y   y  (*) Xét hàm số f (t )  t  t với t  f '(t )  5t   0, t  nên f (t ) đồng x biến vớixmọi t f ( )  f ( y)   y  x  y y Mà phương trình (*) có dạng: y Thay y  x vào phương trình (2) ta được: x 5  x   =0 (3) x Xét hàm số: g  x   4x   x   với g ' x    0, x   4x  x  Mà g(1) = nên phương trình (3) có nghiệm x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y   1;1 Loại 3: Hệ phương trình có chứa mũ logarit Bài Giải hệ phương trình sau: x y  2   y  x  2   x  xy  y  12 Giải 2 x  y  y  x  (1)  2   x  xy  y  12 (2) x y x y Ta có:   y  x   x   y * t Xét hàm số: f (t )   t với t  f '(t )  2t ln   0, t  nên f(t) hàm số đồng biến với t  Mà phương trình (*) có dạng: f ( x)  f ( y)  x  y Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 20 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thay y = x vào phương trình (2) ta được: 3x  12  x  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x; y    2;2 ;  x; y    2; 2 Bài 10 Giải hệ phương trình sau:  y  x2 x   e y 1  3log  x  y    log  x  y     (1) (2) Giải: x  y  >  Điều kiện:  x  y   (*) 2 2 x2  (1)  e y  x    x  1 e x   y  1 e y ** y 1 Ta có: t Xét hàm số: f (t )  t 1 e với t  f '(t )  et  t 1 et  t  2 et  0, t  nên f(t) hàm số đồng biến với t [0; +) Mà phương trình (**) có dạng: f ( x )  f ( y )  x  y  y   x Trương hơp 1: y = x (2)  3log3 3x  6  2log2  2x  2 1 2 2  1  log3  x  2  1  log  x  1   3log3  x    2log  x  1 u  log3  x  2  x  3u  (3) Đặt 3u  2log  3u  1 u Khi (3) trở thành:    u u u u  log   1  u                3 u    u g (u )       1     Xét hàm số: với u  u u  2 1 g '(u )   ln     ln  0, u  3   Khi đó: Nên g(u) hàm số nghịc biến mà g(2) = nên phương trình (4) có nghiệm nhất: u = u   x   y  thỏa mãn điều kiện (*) Trường hợp 2: y   x (2)  3log3   x   2log2 1  3log3 6  x    log3 6  x     x   x   y  3 (thỏa mãn điều kiên (*)) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y    7;7 ;  x; y   3; 3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 21 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH   x2 1 y TRÌNH  y  x 1 2    2 x  y   x  y  (2) 2 Bài 11 Giải hệ phương trình sau:   Giải Điều kiện: x  0; y  Ta có: 8y  1  2x 1  2     y  x  2.2 x  x  2.2 y   y (*) 2 t Xét hàm số: f  t  t 22.2  3t với t  f '  t   4t.2 ln   0, t  t Khi đó: Mà phương trình (*) có dạng: f  x   f  y  3 x  y 225 y  Khi x = 4y phương trình (2) trở thành 5y   225 y  y   (3) 2 5y  2 với y  Xét hàm số: 15 g '( y )  50 y.2 25 y ln   0, y  5y g ( y )  225 y  nên hàm số liên tục đồng biến 0; ) 1 g  0 y Mà   Nên phương trình (3) có nghiệm 4 1  x; y    ;  5 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: Bài 12 Giải hệ phương trình sau:  x  x  ln  x  1  y (1)   y  y  ln  y  1  x   Giải 1 x ;y 2 Điều kiện: Lấy phương trình (1) trừ vế với vế phương trình (2) ta được: x2  4x  ln  2x  1  y  y  ln  y  1 (3) t Xét hàm số f (t )  t  4t  ln  2t 1 với f '(t )  2t   2  2t     0, t    2t  1 ln  2t  1 ln ( ; ) Do hàm số đồng biến khoảng Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 22 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mà phương trình (3) có dạng f2( x)  f ( y)  x  y x = y ta có phương trình: x  3x  ln  2x 11  x  x  2x  ln  2x  1  (4) x xét hàm số: g ( x)  x  2x  ln  2x 1 với g '( x)  x   2  2x 1   0, x    x  1 ln  x  1 ln ( ; ) Do hàm số đồng biến khoảng Mà g (0)  nên x = nghiệm phương trình (4) Vậy hệ phương trình có nghiêm:  x; y    0;0 Loại 4: Hệ phương trình có lượng giác tan x  tan y  y  x  y 1 1 x  y  Bài 12 Giải hệ phương trình sau:  (1) (2)  Giải  y  1 Điều kiện:  x  y      xy,   k  Ta có: (1)  tan x  tan y  y  x  tan x  x  tan y  y  3  t  1; t   k Xét hàm số f (t )  tan t  t với f '(t )  tan t   0, t nên f(t) hàm đồng biến t  1; t    k  y f 0( x)  f ( y)  x  y  y  y phương   trình y  (3) y  có 8 Mà dạng Thay x = y vào phương trình (2) ta   y   y   y  y  2  y   y  được:   y   y  y     12  y  y   4y  4 y   3y  16y  128  9y2  48y  64  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 23  y  ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU SỬ DỤNG  y      y  (n) 9y2  64y  64      y   (l )  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: x = y = sin2x  2y  sin2y  2x (1)  (2) 2x  3y    x, y  Bài 13: Giải hệ phương trình sau:  Giải sin2x  2y  sin2y  2x  sin2x  2x  sin2y  2y 3 Từ phương trình (1) ta có: Xét hàm số: f  t   sin2t  2t với t > f '  t   2cos2t   ,t > f t 0;  nên   hàm đồng biến khoảng  f x  f  y  x  y Mà phương trình (3) có dạng:    5x    x  (thỏa mãn) Thay x  y vào phương trình (2) ta được:    x; y   ;   5 Vậy hệ phương trình cho co nghiệm:  tan x  tan y  2016 x  y  1  2015 x  y2017   2   Bài 14: Giải hệ phương trình sau: Giải Điều kiện: x   k ; y    l tan x  tan y  2016 x  y   tan x  2016x  tan y  2016y Từ phương trình (1) ta có:  t   m f  t   tant  2016t Xét hàm số: với  f  t   tan2 t  2017  0, t   m  t   m f t  nên hàm đồng biến khoảng với nọi f x  f  y  x  y Mà phương trình (3) có dạng:   x2017  x2015   *  Thay x  y vào phương trình (2) ta được: g x  x2017  x2015  Xét hàm số   với x  2016 2014 g'  x  2017x  2015x  0, x  nên g(x) hàm đồng biến tập Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 24 3 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g1  nên phương trình (*) có nghiệm x = (thỏa mãn) x; y  1;1 Vậy hệ phương trình cho co nghiệm:  Mà Lời kết: Việc giải hệ phương trình có nhiều phương pháp, nhiên phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp hữu dụng Những toán mà sử dụng phương pháp thường khó Còn lại việc sử dụng tính đơn điệu để giải lại nhanhvà bất ngờ Những để áp dụng thành thạo lại cần thời gian Bài tập vận dụng   4x3 Giải x  ( yhệ  3)  2ytrình  sau: Bàitập phương   4x2  y2   4x  1)   x y  yx  2 3)  x 2 4y  25 x  2x  6.log3   y  x    y  2y  6.log3   z  y   z  2z  6.log3   x   z 5)  4   x 1  x 1  y   y  x  x  y  1  y  y   7)  IV   x2  x    y     y2  y    x  2)   x3 4y2   x2  x    2  x y  4y   x  x   4)        1 x2 2 x  y  xy     x2 y  2x  2x2 y   x   6)    x y  y  28  x y  xy  y  18 8)  HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua trình giảng dạy thấy việc đưa phương pháp giải phương trình hệ phương trình học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn luyện kỹ giải toán, củng cố kỹ giải toán giải phương trình hệ phương trình, số học sinh đam mê yêu thích môn toán ngày tăng, lực tư kỹ giải toán học sinh nâng cao, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải toán tương tự, sở học sinh giải toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết sau : Trong năm học 2013 - 2014, chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi khảo sát kết cụ thể sau : Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 25 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lớp 12A5 12A6 Giỏi Tỷ lệ 6,7% 3,3% Khá Tỷ lệ 20% 23,3% Trung bình Tỷ lệ 20% 26,7% Yếu 16 14 Tỷ lệ 53,3% 46,7% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2014 - 2015, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp 12A2 12A8 Giỏi Tỷ lệ 20% 26,7% Khá 12 10 Tỷ lệ 40 % 33,3% Trung bình Tỷ lệ 20 % 16,6% Yếu Tỷ lệ 20% 23,3% Kết thử nghiệm cuối tháng 12 năm học 2015 - 2016, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi 12A1 10 12A10 10 Tỷ lệ 33,3% 33,3% Khá 12 13 Tỷ lệ 40 % 43,3% Trung bình 6 Tỷ lệ 20 % 20% Yếu Tỷ lệ 6,7% 3,4% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Sáng kiến kinh nghiệm tác giả thực số lớp đạt kết tương đối Trên sơ sở xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình ” áp dụng đơn vị thời gian tới Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 26 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách tập giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB giáo dục Việt Nam Các đề thi đại học thống toàn quốc năm 2009 -2014 Các đề thi tốt nghiệp thống toàn quốc năm 2009 -2014 Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm Một số đề thi thử THQG số trương từ năm 2014 – 2016 LỜI KẾT Chuyên đề đề cập phương pháp giải phương trình hệ phương trình, nhiều phương pháp hay hơn, khó hữu dụng mà chưa thể đề cập tới Mặc dù cố gắng nhiều, song chuyên đề chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong toàn thể quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề tốt hữu ích Qua xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giúp hoàn thành chuyên đề Định Quán, ngày 10 tháng năm 2017 Người thực Nguyễn văn Đức Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang: 27 ... DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình hệ phương trình đươc đưa vào sớm Tuy nhiên phương trình hệ phương. .. đến phương trình hệ phương trình Tuy nhiên việc giải phương trình hệ phương trình đề thi có nhiều phương pháp Trong phương pháp có phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để giúp em hiểu sâu phương. .. hiểu sâu phương pháp giải trình hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ phương trình ” II CƠ SỞ LÝ