Sử dụng tính nguyên tố để giải bài toán cực trị trên tập đối số nguyên

Bài viết để cập đến một số bài toán cực trị (Tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp các đối số nguyên). Các bài toán minh họa mang màu sắc số học bởi nó xuất phát từ các vấn đề của số học như tính chia hết, tính chẵn lẻ, tính nguyên tố,…

TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 153 SỬ DỤNG TÍNH NGUN TỐ ĐỂ GIẢI B I TỐN CỰC TRỊ TRÊN TẬP ĐỐI SỐ NGUYÊN Hoàng Ngọc Tuyến1 Trường Đại học Thủ Hà Nội Tóm tắt tắt: Bài viết để cập đến số toán cực trị (Tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ hàm số tập hợp đối số nguyên) Các toán minh họa mang màu sắc số học xuất phát từ vấn đề số học tính chia hết, tính chẵn lẻ, tính nguyên tố,… Lớp tốn cực trị này, lý mang nét đặc thù riêng với cách giải cách vận dụng kiến thức số học, sở tuân thủ nguyên lý Lý thuyết cực trị Từ khóa: khóa Nguyên lý phân rã,, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ MỞ ĐẦU Thơng thường, để giải tốn cực trị ta thường sử dụng cơng cụ giải tích Tốn học đạo hàm, tích phân Tuy nhiên đối tượng đề cập nhận giá trị rời rạc, nói chung phương pháp giải truyền thống khơng áp dụng Vì lẽ đó, đứng góc độ toán cực trị dĩ nhiên giải việc tuân thủ nguyên lý Lý thuyết cực trị, ta sử dụng công cụ phương pháp đặc trưng số học như: lý thuyết đồng dư, tính nguyên tố,… áp dụng định lý quan trọng Lý tuyết số như: định lý Euler, định lý Fecma,… MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Tính chia hết tập hợp số nguyên 2.1.1 Định nghĩa Với hai số nguyên a b, ta nói a chia hết cho b (hay a bội b, hay b ước a), tồn số nguyên c cho a = b.c Nhận ngày 10.3.2017; chỉnh sửa, gửi phản biện duyệt đăng ngày 20.3.2017 Liên hệ tác giả: Hoàng Ngọc Tuyến; Email: hntuyen@daihocthudo.edu.vn TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H 154 NỘI Khi đó, ta ký hiệu a b Ngược lại, ta nói a khơng chia hết cho b 2.1.2 Một số tính chất tính chia hết (i) Nếu a,b nguyên dương mà a b a ≥ b (ii) Nếu a i b, ∀i = 1, n (a1 + a + + a n ) b (iii) Với hai số nguyên không âm a b, b ≠ , ln tồn cặp số nguyên q r cho: a = bq + r Trong ≤ r < b (Hay r nhận giá trị 0; 1; 2;…; b-1) 2.2 Số nguyên tố 2.2.1 Định lý số nguyên tố Định lý: Cho n số ngun dương lớn Khi n ln biểu diễn cách (hiểu theo nghĩa không tính đến việc xếp nhân tử): α α n = p1 p 2 p k αk Trong αi (i = 1, k) số tự nhiên pi số nguyên tố thỏa mãn: 1< p1 < < pk (Dạng khai triển tắc số nguyên dương n) 2.2.2 Định lý nhỏ Fecma Định lý: Nếu p nguyên tố a số nguyên tùy ý, (a p - a) p Nói riêng: (a, p) = (a p-1 - 1) p 2.2.3 Định lý (Mối liên hệ tính chia hết số nguyên tố) Định lý: Giả sử a b số nguyên dương, p số nguyên tố Nếu ab p a p b p 2.3 Đồng dư 2.3.1 Một số tính chất đồng dư (i) Nếu a ≡ b(mod n) c ≡ d(mod n) a + c ≡ b + d(mod n) ac ≡ bd(mod n) (ii) Nếu p nguyên tố ab ≡ 0(mod p) a ≡ 0(mod p) hay b ≡ 0(mod p) TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 155 2.3.2 Định lý Euler Định lý: Nếu m số nguyên dương (a, m) = a φ (m) ≡ 1(mod m) Trong φ (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m ( φ (m) gọi Phi-hàm ơ-le) 2.4 Hàm phần nguyên 2.4.1 Định nghĩa Với số thực x, ta gọi phần nguyên x, ký hiệu [ x ] số nguyên lớn không vượt x 2.4.2 Các tính chất quan trọng (i) [ x ] = a ⇔ x = a + d a nguyên ≤ d < (ii) [ x + y ] = x x nguyên ≤ y < (iii) ∀n ∈ » ⇒ [ n + x ] = n + [ x ] (iv) [ x + y ] ≥ [ x ] + [ y ] * (v) ∀n ∈ » ⇒ n [ x ] ≤ [ nx ] n  (vi) ∀n, q ∈ N, q ≠ ⇒ q   ≤ n q  1  (vii)  x +  = [ 2x ] - [ x ] 2  2.5 Giá trị lớn nhỏ hàm số 2.5.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định miền D (x ∈ D) Ta nói M giá trị lớn hàm số f(x) miền D, ký hiệu:  f(x) ≤ M; ∀x ∈ D M = max f(x)  x∈D ∃x ∈ D;f(x ) = M Ta nói m giá trị nhỏ hàm số f(x) miền D, ký hiệu:  f(x) ≥ m; ∀x ∈ D m = f(x)  x∈D ∃x ∈ D;f(x ) = m TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 156 NỘI 2.5.2 Nguyên lý phân rã Giả sử hàm số f(x) xác định miền D D = D1 ∪ D Giả thiết tồn tại: max f(x), max f(x),min f(x),min f(x) x ∈ D1 x ∈ D1 x ∈ D2 x ∈ D2 Khi đó, ta có: max f(x) = max{max f(x), max f(x)} x∈D x ∈ D2 x ∈ D1 f(x) = min{min f(x), f(x)} x∈D x ∈ D2 x ∈ D1 MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Như trình bày, viết đề cập đến lớp toán cực trị hàm số tập đối số ngun có tính chất số học Cũng xin nhắc lại, tốn này, nhìn chung khơng thể sử dụng phương pháp truyền thống giải tích hai lý sau: − Một tốn xét tập rời rạc biến số (vì lẽ đó, khơng sử dụng tính chất đẹp đẽ tính liên tục, tính khả vi hàm số để giải toán) − Hai trừ số trường hợp, hàm mục tiêu (tức hàm cần lấy giá trị lớn hay nhỏ nhất) khơng cho dạng tường minh thơng thường, diễn đạt dựa vào tính chất số học Cho nên, cơng cụ để giải toán cực trị dựa vào kết quen thuộc số học lý thuyết đồng dư, lý thuyết số nguyên tố sử dụng định lý kinh điển số học định lý Fecma, định lý Euler,… Bài toán 1: Cho n số nguyên dương, ký hiệu π(n) số số ngun tố khơng vượt n q n Tìm giá trị lớn hàm số ϕ(n) = π(n) - Phân tích cách giải: Từ định nghĩa hàm ϕ(n) , cách tính trực tiếp, ta có: n ϕ(n) − 10 2 2 − −1 ⇒ max ϕ(n) = 1≤n ≤13 11 − 12 13 −1 − (1) TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 157 n  Xét với n ≥ 15 : Trong dãy số {1, 2,… n-1, n} số chẵn {2, 4,….,   } hợp số 2 n  số số   -1 (Ký hiệu [ x ] phần nguyên số x) 2 Ngoài ra, dãy số trên, ba số lẻ {1, 9, 15} không nguyên tố Như vậy, n ≥ 15 theo định nghĩa π(n) lập luận ta có: n π(n) ≤ n - (   -1+ 3) 2 Từ suy ra: n  π(n) ≤ n -   - 2 (2) n  n Vì   > -1 nên ta có 2 n n n  n -   - < n - +1- = -1 2 2 (3) Từ (2) (3) suy ra: ∀n ≥ 15 : ϕ(n) = π(n) - n < -1 (4) Mặt khác: ϕ(14) = π(14) - = -1 ⇒ maxϕ(n) = -1 (5) n ≥14 Theo nguyên lý phân rã từ (1),(4) (5), ta có: 1 maxϕ(n) = max{maxϕ(n), maxϕ(n)} = max{ ,-1} = 2 1≤n ≤13 n ≥14 Bài toán 2: Cho số nguyên tố khác a, b, c, cho a + b + c, a + b – c, a – b + c, b + c – a số nguyên tố Biết rằng, hai ba số a, b, c có tổng 800 Gọi d khoảng cách số lớn số nhỏ số cho Tìm giá trị lớn d Phân tích cách giải: Khơng tính tổng qt giả sử: a + b = 800 a < b (do vai trò bình đẳng a, b, c) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H 158 NỘI Nếu c ≥ 800 a + b - c ≤ Điều mâu thuẫn a + b – c số nguyên tố Vậy a + b - c ≥ c < 800 Hiển nhiên số lớn số a + b + c Số nguyên tố lớn nhỏ 800 797 Với giả sử trên: a + b + c = 800 + c ≤ 800 + 797 (Do c < 800 c nguyên tố) Vậy nên a + b + c ≤ 1579 Ngoài ra, a, b, c số lẻ Thật vậy, số số chẵn số Theo đầu số a, b, c có tổng 800 nên có nhiều số chẵn (Điều khơng thể số ngun tố chẵn 2) Vậy a, b, c lẻ a + b + c, a + b – c, a – b + c, b + c – a lẻ Do số bé lớn Và d ≤ 1597 - = 1594 Mặt khác, a, b, c, a + b + c, a + b – c, a – b + c, b + c – a nhận giá trị dãy: 13, 787, 797, 1597, 3, 23, 1571 d = 1597 – = 1594 Vậy d max = 1594 Bài tốn 3: Tìm giá trị nhỏ số nguyên dương n cho n2 + n + phân tích thành tích số nguyên tố Phân tích cách giải: Giả sử n + n +1 = p1.p p3 p ; pi nguyên tố p1 ≤ p ≤ p3 ≤ p Do n + n +1 = n(n +1) +1 ta suy n + n +1 số lẻ (do n(n+1) chẵn) số p1 , p , p3 , p lẻ Vậy pi ≥ n(n+1) tận 0, 2, nên n + n +1 tận 1,3,7 Như n + n +1 không chia hết cho suy pi không chia hết cho + Nếu p1 = ⇒ n + n +1 = 3p p3p ⇒ (n + n +1) ⇒ n = 3k +1(k ∈ » ) Thật vậy, n = 3k ⇒ n + n +1 = 9k + 3k +1 không chia hết cho Nếu n = 3k + ⇒ n + n +1 = 9k +15k + không chia hết cho Vậy n = 3k + n + n +1 = (3k +1) + (3k +1) +1 ⇒ (3k +1) + (3k +1) +1 = 3p p3p ⇒ 3k + 3k +1 = p p3p ⇒ p p3p không chia hết cho ⇒ p không chia hết cho TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 159 Mặt khác, p không chia hết cho ⇒ p > + Nếu p = thì: 3k + 3k +1 = 7p3p ⇒ (3k + 3k +1)  k = 7t +1 ⇒  k = 7t + Do ta tìm n bé nên chọn k=7t+1 Khi ta có 21t + 9t +1 = p3p Chọn p3 = ta có 21t + 9t +1 = 7p ⇒ (21t + 9t +1) ⇒ t = 7m + 3, m ∈ » Từ đó, ta n = 3k+1 = 3(7t+1) + 1=3[7(7m+3)]+4 = 147m + 67 Để n nhỏ nhất, ta chọn m = Khi n = 67 n + n +1 = 67 + 67 +1 = 3.7.7.31 Vậy n = 67 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đầu Bài tốn 4: Tìm giá trị nhỏ số nguyên dương n thỏa mãn: n ∑p 2000 i 120 , với p1 , p , , p n nguyên tố lớn 10 i =1 Phân tích cách giải: Do nguyên tố nên theo Định lý Fecma ta có: ∀i = 1, n mà (pi - pi ) ≡ 0(mod 3) pi (pi -1) Vì pi nguyên tố lớn 10 nên (pi ,3) = ⇒ (pi -1) ⇒ pi ≡ 1(mod 3); ∀i = 1, n (1) Do nguyên tố lập luận tương tự, ta có: pi ≡ 1(mod 5); ∀i = 1, n (2) Vì pi nguyên tố lớn 10 nên pi lẻ Do pi ≡ ±1(mod 8) pi ≡ ±3(mod 8) ⇒ pi ≡ 1(mod 8); ∀i = 1, n Từ (1),(2),(3) suy ra: pi 2000 ≡ 1(mod 3);pi 2000 ≡ 1(mod 5);pi 2000 ≡ 1(mod 8), ∀i = 1, n (3) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 160 NỘI Mặt khác, số 3, 5, đôi nguyên tố nên: n pi 2000 ≡ 1(mod 3.5.8), ∀i = 1, n ⇒ ∑ pi2000 ≡ n(mod 120) (4) i=1 Theo giả thiết: n ∑p 2000 i (5) 120 i=1 Từ (4) (5) ta kết luận n 120 Lại n > nên n ≥ 120 Vậy giá trị nhỏ cần tìm 120 KẾT LUẬN Bài viết khai thác tính nguyên tố số nguyên dương để áp dụng vào giải số toán cực trị mang đặc trưng số học (khi đối số số nguyên tố, số ngun có số tính chất liên quan chặt chẽ với số nguyên tố) TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Tụy (2004), Quy hoạch tốn học, giáo trình cao học (Tài liệu nội Viện Toán học), Hà Nội Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2004), Số học thuật toán, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội Hà Huy Khoái (2004), Số học, Nxb Giáo dục FINDING THE EXTREMA OF A FUNCTION ON INTEGERS BY USING PRIME PROPERTIES Abstract: Abstract In this paper, we try to find the maxima and minima of functions with integer arguments Our illustrative examples derived from arithmetic problems involving divisibility rules, parity and properties of primes Therefore, this class of extremum problems has its own characteristic Besides the traditional approaches in calculus, these problems can be solved by applying fundamental principles, methods and concepts of calculus and arithmetic knowledge Keywords: Keywords Decomposition principle, extrema, maxima, minima ... Vậy giá trị nhỏ cần tìm 120 KẾT LUẬN Bài viết khai thác tính nguyên tố số nguyên dương để áp dụng vào giải số toán cực trị mang đặc trưng số học (khi đối số số nguyên tố, số ngun có số tính chất... thuyết số nguyên tố sử dụng định lý kinh điển số học định lý Fecma, định lý Euler,… Bài toán 1: Cho n số nguyên dương, ký hiệu π(n) số số nguyên tố không vượt n n Tìm giá trị lớn hàm số ϕ(n)... D2 x ∈ D1 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Như trình bày, viết đề cập đến lớp toán cực trị hàm số tập đối số ngun có tính chất số học Cũng xin nhắc lại, tốn này, nhìn chung khơng thể sử dụng phương pháp