Sử dụng định lý Kronecker-capelli giải bài toán về vị trí tương đối của hình học giải tích trong không gian

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường thẳng của hình học giải tích trong không gian ở chương trình Toán phổ thông.

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KRONECKER-CAPELLI GIẢI BÀI TỐN VỀ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Lê Hồng Mai1* Thái Minh Nguyễn2 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: lhmai@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 17/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 20/04/2021; Ngày duyệt đăng: 11/05/2021 Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải tốn vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng hình học giải tích khơng gian chương trình Tốn phổ thơng Từ khóa: Định lý Kronecker-Capelli, đường thẳng mặt phẳng khơng gian, vị trí tương đối - USING KRONECKER-CAPELLI'S THEOREM TO SOLVE THE EXERCISE ON THE RELATIVE POSITION OF ANALYTIC GEOMETRY IN SPACE Le Hoang Mai1* and Thai Minh Nguyen2 Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: lhmai@dthu.edu.vn Article history Received: 17/03/2021; Received in revised form: 20/04/2021; Accepted: 11/05/2021 Abstract In this paper, we use Kronecker-Capelli's theorem to solve the problem of relative position between two planes, between the line and the plane, and between two lines of analytic geometry in space in the Mathematics curriculum of general education Keywords: Kronecker-Capelli's theorem, lines and planes in space, relative position DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.862 Trích dẫn: Lê Hồng Mai Thái Minh Nguyễn (2021) Sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải toán vị trí tương đối hình học giải tích khơng gian Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 3-12 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Đặt vấn đề Bài tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng nằm chương trình hình học nâng cao lớp 12 (Đoàn Quỳnh, 2012) Đây nội dung quan trọng thường xuyên xuất đề thi trắc nghiệm học kỳ II lớp 12 sở giáo dục đào tạo, đặc biệt đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thơng Quốc gia mơn Tốn hàng năm Trong chương trình Trung học phổ thơng, tốn vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng giải tường minh dựa vào véctơ pháp tuyến mặt phẳng véctơ phương đường thẳng Trong viết này, chúng tơi sử dụng kiến thức tốn cao cấp để giải dạng tốn Trung học phổ thơng Cụ thể, sử dụng định lý Kronecker-Capelli Đại số tuyến tính để xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian Bài tốn vị trí tƣơng đối hình học giải tích khơng gian Trong mục giới thiệu lại phương pháp xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian trình bày Đồn Quỳnh (2012) 2.1 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) có vé A lớn bé   (a) Vì rank  A  rank A   n nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có nghiệm Vậy d cắt ( )   (b) Vì rank  A  rank A  nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc biến tự hay giao điểm d ( ) đường thẳng Vậy d nằm ( ) c Vì  rank ( A)  rank ( A)  nên hệ phương trình vơ nghiệm Vậy d song song với ( ) Nhận xét 4.2.2 Để tính hạng ma trận A ta cần tính định thức detA Ta dùng máy tính cầm tay Casio fx-580VN X loại máy tính cầm tay khác tính định thức cấp Nếu detA  rank ( A)  Suy   (a) Nếu rank  A  rank A  d cắt ( )   (b) Nếu rank  A  rank A  d nằm ( )   rank  A  rank A  Nếu detA  rank ( A)  Khi đó, ta tính định thức cấp lại ma trận A , cụ thể  A1 B1  D1   A1 C1  D1      B   A2 B2  D2  , C   A2 C2  D2  ,  A C D   A B D  3 3    B1  D   B2 B  C1 C2 C3  D1    D2   D3  (c) Nếu  rank ( A)  rank ( A)  d song song với ( ) Nếu tồn detB  detC  detD  rank ( A)  Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn có dạng detB  detC  detD  Nếu rank ( A)  Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 Ví dụ 4.2.3 Trong khơng gian Oxyz, cho x 1 y z    đường thẳng d : mặt 3 1 phẳng ( P) : 3x  y  z   Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với mặt phẳng ( P) B d vng góc với mặt phẳng ( P) C d song song với mặt phẳng ( P) D d nằm mặt phẳng ( P) Giải Đường thẳng d có phương trình 3x  y  3 Xét hệ phương trình tổng quát  x  z  3x  y  3  tuyến tính ẩn  x  z  Ma trận hệ số 3x  y  z  6  3 0   A   1  Để tính detA ta thao tác  3    máy tính cầm tay Casio fx-580VN X sau ( P) : x  y  z   Mệnh đề đúng?  P A d cắt ( P) B d C d   P  D d   P  Giải Phương trình tổng quát đường thẳng d 3x  y  7 Xét hệ phương trình tuyến  2 x  z  8 3x  y  7  tính ẩn 2 x  z  8 Ma trận hệ số 2 x  y  z  3   2    Vì detA  nên A   2   2    rank ( A)  2, d song song nằm ( P) Ta tiếp tục xác định ma trận  2     A   2    2     Lần lượt tính định thức ma trận cấp A Màn hình xuất hiện: Suy detA  10  0, d cắt ( P) Để kiểm tra tính vng góc d ( P) Ta có ud  (1, 3, 1), nP  (3, 3, 2) Vì tồn 3   nên ud nP không 3 phương hay d khơng vng góc mặt phẳng ( P) Vậy chọn đáp án A Ví dụ 4.2.4 Trong không gian Oxyz, cho  x  3  2t  đường thẳng d :  y  1  3t mặt phẳng  z   2t    7   7      B   8  , C   2 8  ,  2 3   3       2 7    D   2 8  Thao tác ta tính  2 3    detB  detC  detD  nên d nằm ( ) Vậy chọn đáp án C Chú ý Trong toán này, ta tìm ma trận A, theo Định lý 4.2.1 cần tồn ba định thức detB  detC  detD  kết luận d song song với ( P) nên để rút ngắn thời gian làm trắc nghiệm ta cần nhập ma trận B tính detB Nếu detB  ta kết luận d song song với ( P), Chuyên san Khoa học Tự nhiên detB  0, ta nhập tiếp ma trận C, tính detC tới D 4.3 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng không gian Trong phần này, ta xét đường thẳng có phương trình dạng tham số Vì thế, phương trình đường thẳng chưa dạng tham số ta chuyển dạng tham số Định lý 4.3.1 Trong không gian Oxyz, cho  x  x1  a1t  hai đường thẳng 1:  y  y1  b1t , t  z  z  c t 1   x  x2  a2t '   :  y  y2  b2t ' , t '   '  z  z2  c2t  a1  A   b1 c  Khi đó, a2 b2 c2  a1  Đặt A   b1 c  a2   b2  c2  x2  x1   y2  y1  z2  z1    (a) Nếu  rank  A  rank A  1  chéo   (b) Nếu  rank  A  rank A 1  song song u , u  rank  A  phương Vậy 1  chéo   b Vì rank  A  rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vơ nghiệm Hơn rank  A   nên hệ u1 , u2    c Vì rank  A  rank A  nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có nghiệm Vậy 1  cắt   d Vì rank  A  rank A  nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc biến tự hay giao điểm 1  đường thẳng Vậy 1  trùng Ví dụ 4.3.2 Trong khơng gian Oxyz, cho x 7 y 3 z 9   hai đường thẳng d1 : 1 x  y 1 z 1 d2 :   Chọn khẳng định 1 khẳng định sau?   C d1 d trùng (d) Nếu rank  A  rank A  1  trùng Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính ần a1t  a2t '  x2  x1  ' b1t  b2t  y2  y1  ' c1t  c2t  z2  z1   a Vì rank  A  rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vơ  phụ thuộc tuyến tính hay u1 , u2 phương Vậy 1  song song A d1 d cắt  cắt nên hệ độc lập tuyến tính hay u1 , u2 không   (c) Nếu rank  A  rank A  1 10 nghiệm Hơn nữa, B d1 d song song D d1 d chéo Giải Phương trình tham số d1 d lần x   t x   t '   lượt d1 :  y   2t d :  y   2t ' Xét z   t  z   3t '   hệ phương trình tuyến tính ẩn t  t '  4  2t  2t '  2 Ta có ma trận hệ số ma trận t  3t '   bổ sung Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 1   1 4      A   2  A   2 2  1  1       2  2 2      A   1  A   1  1 1 1      Khi đó, Khi đó,     rank A rank A 1   rank  2 1  1   rank  4 0  4   2   2   rank  1  1  rank  2 4   6 12   1 4     rank  4   0 30       Suy  rank  A  rank A  Vậy d1 d chéo Chọn đáp án D Ví dụ 4.3.3 Xét vị trí tương đối hai x  y  z 1   đường thẳng d1 : 2 1  x   2t '  d2 :  y   t ' z   t '  A d1 chéo d B d1  d2 C d1 cắt d D d1 d Giải Phương trình tham số đường  x   2t  thẳng d1  y  3  t z  1 t  Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn 2t  2t '  2  Ta có ma trận hệ số ma trận t  t '  t  t '   bổ sung 2   4  4  2  1   rank    0 10   Suy    rank  A  rank A  Vậy d1 d Chọn đáp án D Ví dụ 4.3.4 Trong khơng gian Oxyz, cho x  y 1 z 1   hai đường thẳng 1 : 1 x 1 y 1 z 2 :   Chọn khẳng định khẳng định sau? A 1  trùng B 1  chéo C 1  song song D 1  cắt Giải Phương trình tham số 1  x   t  x  1  3t '   1 :  y   3t  :  y  1  2t ' z  t ' z  1 t   Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn t  3t '  3  3t  2t '  2 Ta có ma trận hệ số ma trận t  t '   bổ sung 11 Chuyên san Khoa học Tự nhiên  3   3 3      A   2  A   2 2  1  1 1      Khi đó,   rank A 1   rank  1  1   rank  3  3 3   2 2  1  1  3 3  2 2  1 1     rank  4 4   5 5    1 1     rank  4 4  0 0       Suy ra, rank  A  rank A  Vậy 1  cắt Chọn đáp án D Kết luận Trong viết này, chúng tơi trình bày phương pháp giải tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian cách áp dụng định lý Kronecker-Capelli thơng qua việc tính hạng ma trận hệ số mở rộng Kết viết cung cấp cho giáo viên, sinh viên toán học sinh trung học phổ thơng có thêm cách giải khác cho tốn xét vị trí tương đối, từ góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn tốn trường phổ thơng khoa tốn trường đại học 12 Qua viết trên, thấy sử dụng kiến thức Đại số tuyến tính mà sinh viên học chương trình đại học vào việc giải số toán chương trình trung học phổ thơng Trong thời gian tới, tiếp tục khai thác ứng dụng định thức nói riêng đại số tuyến tính nói chung để giải số toán điều kiện thẳng hàng, điều kiện đồng phẳng, tính thể tích khối chóp, khối hộp, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau… chương trình tốn trung học phổ thơng Lời cám ơn: Nghiên cứu hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2020.02.05./ Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng Tạ Mân (2012) Hình học nâng cao 12 Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân Nguyễn Doãn Tuấn (2005) Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004) Đại số tuyến tính Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn Lê Anh Vũ (2009) Toán cao cấp tập 2, Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam Leon S J (2015) Linear algebra with applications University of Massachusetts, Dartmouth Trần Trọng Huệ (2004) Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích (Tập I) Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội  ... định lý Kronecker-Capelli Đại số tuyến tính để xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian Bài tốn vị trí tƣơng đối hình học giải tích khơng gian Trong. .. phương pháp xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian trình bày Đồn Quỳnh (2012) 2.1 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, mặt phẳng... án D Kết luận Trong viết này, chúng tơi trình bày phương pháp giải tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian cách áp dụng định lý Kronecker-Capelli