Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KRONECKER-CAPELLI GIẢI BÀI TỐN VỀ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Lê Hồng Mai1* Thái Minh Nguyễn2 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: lhmai@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 17/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 20/04/2021; Ngày duyệt đăng: 11/05/2021 Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải tốn vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng hình học giải tích khơng gian chương trình Tốn phổ thơng Từ khóa: Định lý Kronecker-Capelli, đường thẳng mặt phẳng khơng gian, vị trí tương đối - USING KRONECKER-CAPELLI'S THEOREM TO SOLVE THE EXERCISE ON THE RELATIVE POSITION OF ANALYTIC GEOMETRY IN SPACE Le Hoang Mai1* and Thai Minh Nguyen2 Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: lhmai@dthu.edu.vn Article history Received: 17/03/2021; Received in revised form: 20/04/2021; Accepted: 11/05/2021 Abstract In this paper, we use Kronecker-Capelli's theorem to solve the problem of relative position between two planes, between the line and the plane, and between two lines of analytic geometry in space in the Mathematics curriculum of general education Keywords: Kronecker-Capelli's theorem, lines and planes in space, relative position DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.862 Trích dẫn: Lê Hồng Mai Thái Minh Nguyễn (2021) Sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải toán vị trí tương đối hình học giải tích khơng gian Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 3-12 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Đặt vấn đề Bài tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng nằm chương trình hình học nâng cao lớp 12 (Đoàn Quỳnh, 2012) Đây nội dung quan trọng thường xuyên xuất đề thi trắc nghiệm học kỳ II lớp 12 sở giáo dục đào tạo, đặc biệt đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thơng Quốc gia mơn Tốn hàng năm Trong chương trình Trung học phổ thơng, tốn vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng giải tường minh dựa vào véctơ pháp tuyến mặt phẳng véctơ phương đường thẳng Trong viết này, chúng tơi sử dụng kiến thức tốn cao cấp để giải dạng tốn Trung học phổ thơng Cụ thể, sử dụng định lý Kronecker-Capelli Đại số tuyến tính để xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian Bài tốn vị trí tƣơng đối hình học giải tích khơng gian Trong mục giới thiệu lại phương pháp xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian trình bày Đồn Quỳnh (2012) 2.1 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) có véctơ pháp tuyến n ( A, B, C ) A2 B2 C có phương trình tổng qt Ax By Cz D Vậy mặt phẳng hoàn toàn xác định biết tọa độ điểm véctơ pháp tuyến Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ' có phương trình : Ax By Cz D ' : A ' x B ' y C ' z D ' Khi đó, (a) cắt ' A : B : C A ' : B ' : C ' (b) song song ' A B C D A' B ' C ' D ' (c) trùng ' A B C D A' B ' C ' D ' 2.2 Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) có véctơ phương u (a, b, c) a b2 c2 có phương trình tham số x x0 at y y0 bt , t z z ct Trong trường hợp abc 0, viết dạng phương trình tắc x x0 y y0 z z0 a b c Ngồi ra, phương trình đường thẳng cịn viết dạng giao tuyến hai mặt phẳng cắt sau A1 x B1 y C1 z D1 , A2 x B2 y C2 z D2 đó, A : B : C A ' : B ' : C ', phương trình gọi phương trình tổng quát đường thẳng Khi đó, véctơ phương u n1 , n2 , với n1 ( A1 , B1 , C1 ), n2 ( A2 , B2 , C2 ) véctơ pháp tuyến Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 Ta dễ dàng chuyển từ phương trình đường thẳng dạng tham số sang dạng tổng quát ngược lại Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm A có véctơ phương u , mặt phẳng có véctơ pháp tuyến n Khi đó, (a) d cắt u.n (b) d nằm u.n A (c) d song song u.n A 2.3 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d1 qua điểm M , có véctơ phương u1 đường thẳng d qua điểm M , có véctơ phương u2 Khi đó, (a) d1 trùng d u1 , u2 u1 , M 1M (b) d1 song song d u1 , u2 u , M M 1 (c) d1 cắt d u1 , u2 u1 , u2 M 1M (d) d1 chéo d u1 , u2 u , u M M Định lý Kronecker-Capelli Trong phần giới thiệu lại số khái niệm liên quan đến ma trận, hệ phương trình tuyến tính định lý KroneckerCapelli trình bày (Đoàn Quỳnh, 2005), (Nguyễn Hữu Việt Hưng, 2004), (Nguyễn Viết Đông, 2009), (Leon, 2015) (Trần Trọng Huệ, 2004) 3.1 Hạng ma trận Giả sử A ma trận m dòng, n cột với phần tử trường số thực Cấp cao định thức khác A gọi hạng ma trận A, kí hiệu rank A Nói rõ hơn, rank A r có định thức cấp r A khác định thức cấp lớn r A 3.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng Cho ma trận A, phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A (a) Nhân phần tử dịng với số thực k khác không; (b) Đổi chỗ dòng cho nhau; (c) Cộng k lần phần tử dòng vào phần tử dòng 3.3 Ma trận bậc thang dịng Ma trận có tính chất sau gọi ma trận bậc thang dịng - Các dịng khác khơng ln dịng khơng - Trên hai dịng khác khơng phần tử khác khơng dịng bên phải cột chứa phần tử khác không dòng Chuyên san Khoa học Tự nhiên Những kết sau đƣợc chứng minh (a) Mọi ma trận luôn đưa dạng ma trận bậc thang dòng phép biến đổi sơ cấp dòng (b) Các phép biến đổi sơ cấp dịng khơng làm thay đổi hạng ma trận (c) Hạng ma trận bậc thang dòng với số dịng khác khơng (c) Nếu rank A rank A k n hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc n k biến tự Kết Trong phần này, chúng tơi sử dụng định lý Kronecker-Capelli xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian cho ví dụ vận dụng 3.4 Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát 4.1 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng khơng gian Hệ phương trình tuyến tính tổng qt gồm m phương trình, n ẩn có dạng Định lý 4.1.1 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 22 2n n am1 x1 am x2 amn xn bm a11 a Ta kí hiệu A 21 am1 X x1 a12 a22 am ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0, 1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0, 2 2 2 với A1 B1 C1 0, A2 B2 C2 a1n a2 n ; amn A1 Đặt A A2 x2 xn ; B b1 b2 bm T T A A A2 gọi ma trận hệ số A A | B trùng Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt gồm m phương trình, n ẩn có dạng 1 Khi đó, (a) Nếu rank A rank A hệ phương trình vơ nghiệm (b) Nếu rank A rank A n hệ phương trình có nghiệm D1 Khi đó, D2 cắt 3.5 Định lý Kronecker-Capelli B1 C1 B2 C2 (a) Nếu rank A rank A ( ) Khi đó, hệ 1 viết dạng AX B gọi dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 1 Ta kí hiệu A A | B Ma trận A gọi ma trận bổ sung hệ phương trình 1 B1 C1 B2 C2 (b) Nếu rank A rank A ( ) (c) Nếu rank ( A) rank ( A) ( ) song song Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn có dạng A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 Dễ dàng thấy hạng ma trận hệ số A ma trận bổ sung A lớn bé Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 (a) Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc biến tự hay giao điểm ( ) đường thẳng (b) Vì Vậy ( ) cắt rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc hai biến tự hay giao điểm ( ) mặt phẳng Vậy ( ) trùng 3n 27 18 36 rank 3n 3n 2n mn 27 18 36 3n rank 3n 27 2n 18 mn 36 Biện luận - Hai mặt phẳng cắt rank A 3n 27 n n 18 rank A - Hai mặt phẳng song song (c) Vì rank ( A) rank ( A) nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vơ nghiệm Vậy ( ) song song 3n 27 n rank A 2n 18 m4 rank A mn 36 Ví dụ 4.1.2 Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng - Hai mặt phẳng trùng ( P) : nx y z 12 (Q) : 3x y z m Hãy biện luận vị trí tương đối P Q theo hai tham số m n Giải Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn nx y z 12 Ta có ma trận hệ số dạng 3x y z m ma trận bổ sung hệ n 6 n 6 12 A A 3 2 3 2 m Khi đó, n 3 2 m rank A rank 2 6 12 hay rank ( A) rank ( A) 2, suy hai mặt phẳng cắt Nếu n rank A n 6 12 rank 3 2 m 3n 27 n rank A 2n 18 m rank A mn 36 Ví dụ 4.1.3 Trong khơng gian Oxyz, hai mặt phẳng ( P) : x ay 3z b (Q) : x y cz (a, b, c tham Giá trị biểu thức T a b c hai phẳng (P) (Q) trùng A T B T 10 C T 12 D T 14 cho số) mặt Giải Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn x ay 3z b dạng Ta có ma trận hệ số 2 x y cz 8 ma trận bổ sung hệ a 3 A , 4 c Khi đó, a 3 b A 4 c 8 rank A a 3 b rank 4 c 8 Chuyên san Khoa học Tự nhiên a 3 b 1 rank 4 2a c 8 2b Hai mặt phẳng (P) (Q) trùng rank A rank A 4 2a a c c 8 2b b Suy T a b c 12 Chọn đáp án C 4.2 Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng không gian Định lý 4.2.1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng A x B1 y C1 z D1 d: A2 x B2 y C2 z D2 với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 mặt phẳng ( ) : A3 x B3 y C3 z D3 2 với A3 B3 C3 A1 Đặt A A2 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 A1 A A2 A C1 C2 C3 D1 D2 Khi đó, D3 B1 B2 B3 A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 A x B y C z D 3 Dễ dàng thấy hạng ma trận hệ số A ma trận bổ sung A lớn bé (a) Vì rank A rank A n nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có nghiệm Vậy d cắt ( ) (b) Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc biến tự hay giao điểm d ( ) đường thẳng Vậy d nằm ( ) c Vì rank ( A) rank ( A) nên hệ phương trình vơ nghiệm Vậy d song song với ( ) Nhận xét 4.2.2 Để tính hạng ma trận A ta cần tính định thức detA Ta dùng máy tính cầm tay Casio fx-580VN X loại máy tính cầm tay khác tính định thức cấp Nếu detA rank ( A) Suy (a) Nếu rank A rank A d cắt ( ) (b) Nếu rank A rank A d nằm ( ) rank A rank A Nếu detA rank ( A) Khi đó, ta tính định thức cấp cịn lại ma trận A , cụ thể A1 B1 D1 A1 C1 D1 B A2 B2 D2 , C A2 C2 D2 , A C D A B D 3 3 B1 D B2 B C1 C2 C3 D1 D2 D3 (c) Nếu rank ( A) rank ( A) d song song với ( ) Nếu tồn detB detC detD rank ( A) Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn có dạng detB detC detD Nếu rank ( A) Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 Ví dụ 4.2.3 Trong khơng gian Oxyz, cho x 1 y z đường thẳng d : mặt 3 1 phẳng ( P) : 3x y z Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với mặt phẳng ( P) B d vng góc với mặt phẳng ( P) C d song song với mặt phẳng ( P) D d nằm mặt phẳng ( P) Giải Đường thẳng d có phương trình 3x y 3 Xét hệ phương trình tổng quát x z 3x y 3 tuyến tính ẩn x z Ma trận hệ số 3x y z 6 3 0 A 1 Để tính detA ta thao tác 3 máy tính cầm tay Casio fx-580VN X sau ( P) : x y z Mệnh đề đúng? P A d cắt ( P) B d C d P D d P Giải Phương trình tổng quát đường thẳng d 3x y 7 Xét hệ phương trình tuyến 2 x z 8 3x y 7 tính ẩn 2 x z 8 Ma trận hệ số 2 x y z 3 2 Vì detA nên A 2 2 rank ( A) 2, d song song nằm ( P) Ta tiếp tục xác định ma trận 2 A 2 2 Lần lượt tính định thức ma trận cấp A Màn hình xuất hiện: Suy detA 10 0, d cắt ( P) Để kiểm tra tính vng góc d ( P) Ta có ud (1, 3, 1), nP (3, 3, 2) Vì tồn 3 nên ud nP không 3 phương hay d khơng vng góc mặt phẳng ( P) Vậy chọn đáp án A Ví dụ 4.2.4 Trong không gian Oxyz, cho x 3 2t đường thẳng d : y 1 3t mặt phẳng z 2t 7 7 B 8 , C 2 8 , 2 3 3 2 7 D 2 8 Thao tác ta tính 2 3 detB detC detD nên d nằm ( ) Vậy chọn đáp án C Chú ý Trong tốn này, ta tìm ma trận A, theo Định lý 4.2.1 cần tồn ba định thức detB detC detD kết luận d song song với ( P) nên để rút ngắn thời gian làm trắc nghiệm ta cần nhập ma trận B tính detB Nếu detB ta kết luận d song song với ( P), Chuyên san Khoa học Tự nhiên detB 0, ta nhập tiếp ma trận C, tính detC tới D 4.3 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng không gian Trong phần này, ta xét đường thẳng có phương trình dạng tham số Vì thế, phương trình đường thẳng chưa dạng tham số ta chuyển dạng tham số Định lý 4.3.1 Trong không gian Oxyz, cho x x1 a1t hai đường thẳng 1: y y1 b1t , t z z c t 1 x x2 a2t ' : y y2 b2t ' , t ' ' z z2 c2t a1 A b1 c Khi đó, a2 b2 c2 a1 Đặt A b1 c a2 b2 c2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 (a) Nếu rank A rank A 1 chéo (b) Nếu rank A rank A 1 song song u , u rank A phương Vậy 1 chéo b Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vơ nghiệm Hơn rank A nên hệ u1 , u2 c Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có nghiệm Vậy 1 cắt d Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm phụ thuộc biến tự hay giao điểm 1 đường thẳng Vậy 1 trùng Ví dụ 4.3.2 Trong không gian Oxyz, cho x 7 y 3 z 9 hai đường thẳng d1 : 1 x y 1 z 1 d2 : Chọn khẳng định 1 khẳng định sau? C d1 d trùng (d) Nếu rank A rank A 1 trùng Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính ần a1t a2t ' x2 x1 ' b1t b2t y2 y1 ' c1t c2t z2 z1 a Vì rank A rank A nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vơ phụ thuộc tuyến tính hay u1 , u2 phương Vậy 1 song song A d1 d cắt cắt nên hệ độc lập tuyến tính hay u1 , u2 khơng (c) Nếu rank A rank A 1 10 nghiệm Hơn nữa, B d1 d song song D d1 d chéo Giải Phương trình tham số d1 d lần x t x t ' lượt d1 : y 2t d : y 2t ' Xét z t z 3t ' hệ phương trình tuyến tính ẩn t t ' 4 2t 2t ' 2 Ta có ma trận hệ số ma trận t 3t ' bổ sung Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 1 1 4 A 2 A 2 2 1 1 2 2 2 A 1 A 1 1 1 1 Khi đó, Khi đó, rank A rank A 1 rank 2 1 1 rank 4 0 4 2 2 rank 1 1 rank 2 4 6 12 1 4 rank 4 0 30 Suy rank A rank A Vậy d1 d chéo Chọn đáp án D Ví dụ 4.3.3 Xét vị trí tương đối hai x y z 1 đường thẳng d1 : 2 1 x 2t ' d2 : y t ' z t ' A d1 chéo d B d1 d2 C d1 cắt d D d1 d Giải Phương trình tham số đường x 2t thẳng d1 y 3 t z 1 t Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn 2t 2t ' 2 Ta có ma trận hệ số ma trận t t ' t t ' bổ sung 2 4 4 2 1 rank 0 10 Suy rank A rank A Vậy d1 d Chọn đáp án D Ví dụ 4.3.4 Trong khơng gian Oxyz, cho x y 1 z 1 hai đường thẳng 1 : 1 x 1 y 1 z 2 : Chọn khẳng định khẳng định sau? A 1 trùng B 1 chéo C 1 song song D 1 cắt Giải Phương trình tham số 1 x t x 1 3t ' 1 : y 3t : y 1 2t ' z t ' z 1 t Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn t 3t ' 3 3t 2t ' 2 Ta có ma trận hệ số ma trận t t ' bổ sung 11 Chuyên san Khoa học Tự nhiên 3 3 3 A 2 A 2 2 1 1 1 Khi đó, rank A 1 rank 1 1 rank 3 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 rank 4 4 5 5 1 1 rank 4 4 0 0 Suy ra, rank A rank A Vậy 1 cắt Chọn đáp án D Kết luận Trong viết này, chúng tơi trình bày phương pháp giải tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian cách áp dụng định lý Kronecker-Capelli thơng qua việc tính hạng ma trận hệ số mở rộng Kết viết cung cấp cho giáo viên, sinh viên toán học sinh trung học phổ thơng có thêm cách giải khác cho tốn xét vị trí tương đối, từ góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn tốn trường phổ thơng khoa tốn trường đại học 12 Qua viết trên, thấy sử dụng kiến thức Đại số tuyến tính mà sinh viên học chương trình đại học vào việc giải số tốn chương trình trung học phổ thơng Trong thời gian tới, tiếp tục khai thác ứng dụng định thức nói riêng đại số tuyến tính nói chung để giải số tốn điều kiện thẳng hàng, điều kiện đồng phẳng, tính thể tích khối chóp, khối hộp, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau… chương trình tốn trung học phổ thông Lời cám ơn: Nghiên cứu hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2020.02.05./ Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng Tạ Mân (2012) Hình học nâng cao 12 Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân Nguyễn Doãn Tuấn (2005) Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004) Đại số tuyến tính Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn Lê Anh Vũ (2009) Toán cao cấp tập 2, Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam Leon S J (2015) Linear algebra with applications University of Massachusetts, Dartmouth Trần Trọng Huệ (2004) Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích (Tập I) Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... định lý Kronecker- Capelli Đại số tuyến tính để xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian Bài tốn vị trí tƣơng đối hình học giải tích khơng gian Trong. .. k biến tự Kết Trong phần này, chúng tơi sử dụng định lý Kronecker- Capelli xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng khơng gian cho ví dụ vận dụng 3.4 Hệ phƣơng... án D Kết luận Trong viết này, trình bày phương pháp giải tốn xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng hai đường thẳng không gian cách áp dụng định lý Kronecker- Capelli thông