Phát triển năng lực cho học sinh thông qua hệ thống bài tập về vị trí tương đối của mặt cầu với điểm, đường thẳng và mặt phẳng

ĐỀ TÀI: Phát triển lực cho học sinh thông qua hệ thống tập vị trí tương đối mặt cầu với điểm, đường thẳng mặt phẳng PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xu hướng chung phương pháp dạy học dạy học theo định hướng phát triển lực cho học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; người thầy phải làm để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo người học, phải giúp người học nhanh chóng tiếp cận vấn nảy sinh học tập thực tiễn sống Phải coi trọng, đề cao vai trò chủ thể người học trình nhận thức Hoạt động giải tập hoạt động chủ yếu toán học, để hoạt động giải tập tốt chun đề, chủ đề cần có hệ thống tập có chất lượng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Vì học sinh lớp học vừa có giống nhau, vừa có khác nhận thức, tư duy, khiếu, sở trường… Mà chương trình THPT triển khai hình thức dạy học theo chuyên đề, chủ đề kết hợp với dạy học tự chọn giải pháp để thực dạy học theo định hướng phát triển lực (một định hướng giáo dục nay) Trong thực tiễn trường phổ thông nay, dạy học phân hoá để phát triển lực cho học sinh chưa quan tâm mức Đa số dạy tiến hành đồng loạt cho đối tượng học sinh, tập đưa có chung mức độ khó – dễ Do không phát huy tối đa lực học sinh, chưa kích thích tính tích cực, chủ động sáng tạo việc chiếm lĩnh tri thức, dẫn đến chất lượng dạy chưa cao, chưa đáp ứng mục tiêu giáo dục Thực tế đó, địi hỏi giáo viên cần tổ chức hoạt động dạy học linh hoạt, phù hợp cho đối tượng học sinh Muốn giáo viên cần có kiến thức chắn, cần xây dựng cho hệ thống câu hỏi tập phong phú đa dạng Mặt cầu hình khơng gian đặc biệt hình trịn xoay nghiên cứu hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ Các toán liên quan đến mặt cầu thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc gia năm gần đây, có nhiều tập mức độ vận dụng cao Tuy nhiên khai thác toán mặt cầu cách chuyển tốn từ hình khơng gian tổng hợp sang phương pháp toạ độ khơng gian khơng nhiều Các hình khơng gian xây dựng sở khái niệm điểm, đường thẳng mặt phẳng Nhưng có mặt cầu nêu lên vị trí tương đối với điểm, mặt phẳng đường thẳng, đồng thời đề cập đến mối liên quan với hình khơng gian khác (như mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ…) Tuy nhiên, phần vấn đề trình bày sách giáo khoa chủ yếu phần lý thuyết Phần tập vận dụng chuyên đề, chủ đề chưa khai thác mức Với lượng kiến thức lý thyết rộng vấn đề liên quan đến mặt cầu, gắn kết mặt cầu hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ nên cần thiết có đề tài nghiên cứu vấn đề Qua có cách nhìn tổng quan vấn đề liên quan đến mặt cầu Vì lý sau nhiều năm giảng dạy, với kiến thức tích lũy học hỏi được, tơi mạnh dạn nêu đề tài “Phát triển lực cho học sinh thơng qua hệ thống tập vị trí tương đối mặt cầu với điểm, đường thẳng mặt phẳng’’ để giúp học sinh, giáo viên áp dụng nhằm nâng cao kết học tập giảng dạy MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nhằm giúp học sinh học tốt phần mặt cầu vấn đề liên quan chương II chương III hình học lớp 12 Học sinh thấy mạch kiến thức xuyên suốt vấn đề liên quan đến mặt cầu gắn kết hai loại hình học, từ có cách nhìn sâu sắc, tồn diện mặt cầu Nội dung đề tài khai thác, vận dụng kiến thức lý thuyết mặt cầu SGK để xây dựng hệ thống tập phù hợp nhằm củng cố kiến thức, hình thành kỹ vẽ hình, tính tốn, cách chuyển đổi phát triển tốn, xây dựng tốn tương tự, … Qua phát triển lực tư lập luận, lực tính tốn, lực giải vấn đề, lực tự học, lực sử dụng ngôn ngữ… Với lượng tập nhiều nên lựa chọn để áp dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh giỏi phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ việc phát biểu tốn, dự đốn tính khả thi toán, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá tốn Học sinh trung bình, yếu khơng lấp “lỗ hổng” kiến thức mà nắm vững kiến thức bản, giải tập phù hợp với thân Với mục tiêu học sinh vận dụng tốt kiến thức, kỹ để giải vấn đề cách hiệu quả, phát huy tối đa lực toán học ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài xây dựng hệ thống tập đầy đủ, phong phú vấn đề liên quan mặt cầu với điểm, đường thẳng mặt phẳng Việc đặt vấn đề, xây dựng giải toán xuất cách logic, tự nhiên Qua phát triển khả năng, lực người học Đề tài xuất nhiều tập mới, nhiều tập cho kết đẹp có nhiều ứng dụng xem tính chất liên quan đến mặt cầu Đề tài có hệ thống tập tương ứng hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ Các tập sử dụng dạy học đề thi PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU A CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Năng lực coi huy động kiến thức, kỹ năng, niềm tin… để học sinh thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể Năng lực hình thành học sinh chuyển hố kiến thức, kỹ thành hành động Từ đặt yêu cầu cốt lõi tập trung vào học sinh cần có để dạy sau họ làm việc cụ thể, hữu ích Mơn tốn có nhiều hội để phát triển lực chung như: Năng lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo Đồng thời hình thành phát triển lực riêng, đặc thù như: Năng lực tính tốn, lực tư lập luận, lực mơ hình hố, lực ngôn ngữ, lực sử dụng công cụ phương tiện học toán… Việc giải toán hoạt động chủ đạo mơn tốn có tác dụng lớn việc rèn luyện phẩm chất, lực cho học sinh nhiều mặt Muốn giáo viên cần quan tâm đến việc lựa chọn tập cho có hiệu nhất, thích hợp với đối tượng học sinh Do việc xây dựng hệ thống tập ứng với chuyên đề, chủ đề cần thiết Để xây dựng hệ thống tập tốt cần đạt yêu cầu: - Đảm bảo chuẩn kiến thức, kỹ năng: Khi dạy học, xây dựng tập, đề kiểm tra phải bám vào chuẩn kiến thức, kỹ mà học sinh cần đạt - Đảm bảo tính xác, khoa học: Bài tập phải có kết đúng, xây dựng kiến thức Nó cầu nối lý thuyết thực tiễn, phương tiện để học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ - Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh: Có tính phân hố, vừa sức, phù hợp với khả giải toán học sinh Bảo đảm cân đối thời gian lý thuyết tập - Đảm bảo tính sư phạm: Ngơn ngữ chuẩn mực, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu Số lượng tập đủ để hình thành kỹ cần thiết Có số tập mới, hay, tổng quát, … để phát triển lực tốn học, rèn luyện trí thơng minh - Đảm bảo tính hệ thống, kế thừa: Phân dạng tập phù hợp đơn vị kiến thức, tập xây dựng tảng kiến thức bản, phát triển lên từ toán có, tổng qt hố, đặc biệt hố, tương tự hố toán… - Hệ thống tập phải giúp học sinh phát triển lực toán học (năng lực phân tích giải tốn, lực tính tốn sử dụng ký hiệu, lực suy luận, chứng minh, lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá… Cơ sở thực tiễn Phần mặt cầu phần hình khơng gian, mặt cầu có mối liên hệ với đối tượng hình học đường thẳng, đường trịn, mặt phẳng, hình chóp, hình lăng trụ… mặt cầu hình khơng gian thường gặp thực tế Trong hình khơng gian tổng hợp phần mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ khai thác nhiều, nhiên phần giao mặt cầu với đường thẳng mặt phẳng ý Trong hình khơng gian toạ độ giao đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu xuất nhiều đề thi tài liệu tham khảo Những toán hay toạ độ có sử dụng tính chất hình học, mà có mặt cầu hình khơng gian đề cập hệ toạ độ (có phương trình cụ thể) Do “miếng đất màu mỡ để khai thác” dạng tập, đặc biệt vận dụng cao Thực tế, đề thi tuyển sinh trước đề thi THPT QG thường xuất tập liên quan đến mặt cầu (trong hình khơng gian tổng hợp hay hình toạ độ) Đặc biệt thi theo hình thức trắc nghiệm ln có tốn mặt cầu, câu hỏi xếp từ dễ đến khó phù hợp với đối tượng học sinh Trong có tốn khó làm cho nhiều học sinh thiếu tự tin giải dạng toán Phạm vi áp dụng đề tài: Phần mặt cầu chương II chương III hình học 12 B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Hình học khơng gian mơn học có tính trừu tượng cao, tính logic chặt chẽ, học sinh phải hình dung khơng gian, vẽ hình, tính tốn… nên đa số học sinh sợ mơn kể học sinh có học lực Trong số tốn liên quan đến mặt cầu tốn toạ độ học sinh trung bình làm Bài tốn hình khơng gian tổng hợp áp dụng tính chất hình học để giải tốn toạ độ học sinh thường thụ động việc tiếp cận tốn, khơng trọng đến chất tốn ấy, phần học sinh ngại tốn khó, phần giáo viên dạy chưa trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Như vậy, vào mức độ học tập học sinh, giáo viên đưa hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ khắc sâu kiến thức Từ kiến thức giáo viên nâng dần mức độ khó tốn, đòi hỏi học sinh phải sử dụng kiến thức tổng hợp, đa dạng đồng thời trang bị cho học sinh kỹ giải toán, đưa số vấn đề gợi mở nhằm phát huy tính tích cực học sinh để học sinh tự tìm tòi, khám phá, phát vấn đề mới, giúp học sinh phát huy hết khả học tập C NỘI DUNG ĐỀ TÀI Đề tài nêu việc xây dựng hệ thống tập vị trí tương đối mặt cầu với điểm, đường thẳng, mặt phẳng cách chuyển tốn từ hình khơng gian tổng hợp sang hình toạ độ khơng gian Ở phần lý luận nêu yêu cầu để có hệ thống bập tốt Áp dụng vào đề tài xây dựng hệ thống tập dựa vào định hướng sau: Định hướng 1: Hệ thống tập đảm bảo kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển kiến thức, kỹ nhằm đạt mục tiêu dạy học Những kiến thức phần mặt cầu SGK hình học 12 áp dụng đề tài là: Trong không gian cho mặt cầu S (O; R) , điểm M, đường thẳng  mặt phẳng (P) 1) Vị trí tương đối mặt cầu (S) với điểm M – Nếu OM  R điểm M nằm mặt cầu (S) – Nếu OM  R điểm M nằm mặt cầu (S) – Nếu OM  R điểm M nằm ngồi mặt cầu (S) 2) Vị trí tương đối mặt cầu (S) với đường thẳng  Gọi H hình chiếu vng góc O lên  d  OH khoảng cách từ O đến  – Nếu d  R đường thẳng  khơng cắt mặt cầu (S) – Nếu d  R đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) H đường thẳng  gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) – Nếu d  R đường thẳng  cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A B AB R d  (1) Ta có H trung điểm AB 2 3) Vị trí tương đối mặt cầu (S) với mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên (P) h  OH khoảng cách từ O đến mp(P) – Nếu h  R mặt phẳng (P) khơng có điểm chung với mặt cầu (S) – Nếu h  R mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) H mp(P) gọi tiếp diện mặt cầu – Nếu h  R mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có tâm H 2 bán kính r  R  h (2) Ngồi ra, học sinh cần có kiến thức đường trịn, hệ thức lượng tam giác học mặt phẳng, kiến thức phần toạ độ không gian toán toạ độ Các tập theo định hướng tập bản, nhóm tập Định hướng Hệ thống tập đảm bảo tính hệ thống, kế thừa Trong đề tài hệ thống tập phân chia theo nhóm dựa tương đồng dạng tập như: Bài tập liên quan đến giao đường thẳng với mặt cầu, giao mặt phẳng với mặt cầu, tìm điểm thuộc mặt cầu… Mặt khác tập có kế thừa; mở rộng tốn đường trịn biết mặt phẳng; tổng qt hố, tương tự hoá, đặc biệt hoá toán; nâng dần mức độ khó khăn cho tốn; thay đổi dự kiện, giả thiết kết luận toán; chuyển đổi tốn tương ứng từ hình khơng gian tổng hợp sang toạ độ… Định hướng Hệ thống tập cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Giúp học sinh phát triển lực toán học Số lượng tập đề tài phong phú, đa dạng áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, phù hợp cho việc dạy học phân hoá, phát huy tối đa lực học sinh Căn vào giao mặt cầu với đường thẳng mặt phẳng ta xây dựng phân loại thành nhóm tốn sau: I Nhóm tốn liên quan đến đường thẳng qua điểm nằm mặt cầu Bài tập đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt cốt lõi cần vận dụng, khai thác công thức (1) trang Sau ta xây dựng giải toán một, hai, ba đường thẳng qua điểm nằm mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước Trong mặt phẳng ta có tốn: Cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính R điểm M nằm (C) cho OM  m  R Đường thẳng qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị lớn nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Trong khơng gian liệu có tốn tương ứng? Giáo viên vẽ hình, học sinh hình dung thử phát biểu tốn Sau giáo viên nêu tốn yêu cầu học sinh giải Bài 1.1 Cho mặt cầu S(O; R) điểm M nằm mặt cầu (S) cho OM  m  R Đường thẳng d qua M cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B R a) Tính độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách từ O đến đường thẳng d b) Tính độ dài đoạn thẳng AB góc hai đường thẳng AB OM 600 c) Tìm giá trị lớn nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Giải: Gọi H hình chiếu vng góc O lên AB B R H M AB  AH  R  OH  R  R a) Ta có A m O OH  OM sin 600  b) Ta có , 3m  R  3m 2  R  AB  AH  R  OH c) Ta có AB �2 R không đổi Suy độ dài AB lớn 2R đường thẳng d qua điểm M tâm mặt cầu 2 2 2 Mặt khác AB  AH  R  OH �2 R  OM  R  m Suy độ dài AB nhỏ H trùng M Vậy AB nhỏ R  m đường thẳng d qua M vng góc với OM Nhận xét: - Bài 1.1 tập tương giao đường thẳng với mặt cầu Để 2 học sinh vận dụng thành thạo công thức AB  AH  R  OH ta thay đổi giả thiết, kết luận mục đích xác định hai ba yếu tố AB, R, OH tính yếu tố cịn lại - Bài 1.1 xây dựng từ toán quen thuộc mặt phẳng, qua học sinh thấy mối liên hệ hình phẳng hình khơng gian - Ở toán ta xét đường thẳng tuỳ ý qua điểm M nằm mặt cầu, yêu cầu đường thẳng qua điểm M nằm mặt phẳng cho trước kết nào? Đây bước nâng dần mức độ khó khăn tốn Bài 1.2 Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R mặt phẳng (P) cắt mặt cầu Điểm M nằm mặt phẳng (P) cho OM  m  R Đường thẳng d qua M nằm mặt phẳng (P) cắt mặt cầu hai điểm A B a) Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AB b) Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Giải: H hình chiếu vng góc O lên (P) Đường thẳng d nằm mp(P) mp(P) cắt A mặt cầu (S) theo đường trịn có tâm H M K a) Ta có AB �2 AH  R  OH không đổi 2 H B O Suy độ dài AB lớn R  OH đường thẳng d qua hai điểm M H b) Gọi K trung điểm AB 2 Ta có AB  AK  R  OK �2 R  OM  R  m Suy độ dài AB nhỏ OK lớn nhất, OK lớn OM 2 2 2 2 K trùng M Vậy AB nhỏ R  m đường thẳng d qua M, vng góc với OM nằm mp(P) Thay điều kiện đường thẳng qua M nằm mp(P) điều kiện tương đương như: Đường thẳng qua M song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước Ta toán tương tự sau: Bài 1.3 Cho mặt cầu S(O; R), mặt phẳng ( ) điểm M nằm mặt cầu (S) mà không thuộc mp ( ) Xác định đường thẳng d qua điểm M, song song với mp ( ) cắt mặt cầu (S) hai điểm A B cho a) Độ dài đoạn thẳng AB lớn b) Độ dài đoạn thẳng AB nhỏ 10 b) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính (Đề thi đại học khối D năm 2012) Bài 6.9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  3y  z  11  2 mặt cầu (S) : x  y  z  2x  4y  2z   Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) (Đề thi đại học khối A năm 2013) Bài 6.10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – = mặt cầu (S) : x + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) (Đề thi đại học khối B,D năm 2014) Bài 6.11 (ĐỀ THI THPT QG NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0; 0), B(0; 2; 0) C (0;0; 2) Gọi D không trùng với gốc toạ độ O cho DA, DB, DC đôi vng góc với I (a; b; c) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S  a  b  c A S  4 B S  1 C S  2 D S  3 VII Tìm điểm thuộc mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước Trong mục I ta có tốn: Cho mặt cầu S (O; R) điểm M nằm (S) Tìm vị trí điểm N thuộc (S) cho độ dài đoạn MN lớn nhất, nhỏ Khi thay điểm nằm mặt cầu điểm nằm ngồi mặt cầu có kết tương tự khơng? Giáo viên vẽ hình, cho học sinh suy nghĩ vấn đề, phát biểu giải toán Bài 7.1 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R Điểm M nằm ngồi mặt cầu (S) Tìm vị trí điểm N mặt cầu (S) cho độ dài đoạn MN lớn nhất, nhỏ Bài toán thay điểm M đường thẳng hay mặt phẳng có tốn tương tự khơng? Giáo viên vẽ hình, cho học sinh suy nghĩ vấn đề phát biểu toán Bài 7.2 Cho mặt cầu S (O; R) mặt phẳng (P) không cắt (S) a) Tìm vị trí điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, nhỏ 54 b) Tìm vị trí điểm M thuộc (S) điểm N thuộc (P) cho độ dài đoạn MN nhỏ Giải: a) Đường thẳng qua O vuông góc với mp(P) cắt mặt cầu A B, cắt mp(P) A H với điểm B nằm O H, với điểm M thuộc (S) Gọi K hình chiếu vng góc M lên AB Ta có K nằm đoạn AB nên O BH �KH �AH , d ( M ,( P))  KH �BH d ( M ,( P)) AH K Vậy d ( M ,( P)) lớn M trùng A B d ( M ,( P )) nhỏ M trùng B b) Với điểm M thuộc (S) điểm N thuộc (P) M H P Áp dụng câu a) ta có MN �d  M ,( P )  �BH Suy độ dài đoạn MN nhỏ BH M trùng B N trùng H Bài 7.3 Cho mặt cầu S (O; R) đường thẳng ∆ khơng cắt (S) a) Tìm vị trí điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến ∆ lớn nhất, nhỏ b) Tìm vị trí điểm M thuộc (S) điểm N thuộc ∆ cho độ dài đoạn MN nhỏ Hướng dẫn giải: a) Gọi mặt phẳng (P) chứa ∆ O, mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn (C) Trong mp(P) đường thẳng qua O vng góc với ∆ cắt (C) hai điểm A, B cắt ∆ H với B nằm O H Suy khoảng cách từ M đến ∆ lớn AH M trùng A Suy khoảng cách từ M đến ∆ nhỏ BH M trùng B b) Theo kết câu a) độ dài đoạn MN nhỏ M trùng B, N trùng H Chuyển sang toạ độ không gian: 2 Bài 7.4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   mặt phẳng ( P ) : x  y  z   55 a) Tìm toạ độ điểm A thuộc mặt cầu (S) để độ dài đoạn thẳng OA lớn nhất, nhỏ b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) để khoảng cách từ M đến mp(P) lớn c) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) để khoảng cách từ M đến mp(P) nhỏ � 10 10 � � 2 1� A�  ; ; � A�  ; ; � 3 3 3 � � � � a) OA lớn , OA nhỏ Kết quả: Không dừng lại ta u cầu chặt Tìm vị trí điểm M thuộc mặt cầu, điểm N thuộc mặt phẳng mà MN song song với đường thẳng cho trước liệu có giá trị lớn hay nhỏ độ dài đoạn MN Đây vấn đề khó dùng cho học sinh giỏi, giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hiểu Bài 7.5 Cho mặt cầu S (O; R) , mặt phẳng (P) không cắt (S) đường thẳng d Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) điểm N thuộc (P) cho MN song song với d A độ dài đoạn MN lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi φ góc OH đường thẳng d Với M mặt cầu (S) điểm N thuộc (P), O d Gọi H, K hình chiếu vng góc � O M lên mp(P) Ta có NMK   M B MK MN  cos Do cos không đổi suy H nên độ dài đoạn MN lớn nhất, nhỏ độ dài đoạn MK lớn nhất, nhỏ Đường thẳng OH cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B với B nằm O H OH �R BH � �MK AH OH R OH  R cos MN P K N OH  R cos OH  R Vậy độ dài đoạn MN lớn cos M trùng A N giao điểm mp(P) với đường thẳng qua A song song với d OH  R Độ dài đoạn MN nhỏ cos M trùng B N giao điểm mp(P) với đường thẳng qua B song song với d Chuyển sang toạ độ không gian ta có tập dạng vận dụng cao 56 2 Bài 7.6 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   mặt phẳng ( P) : x  y  z   Giả sử điểm M thuộc (S) điểm N thuộc mặt phẳng Oxy cho MN vng góc với mp(P) độ dài đoạn MN nhỏ Tính MN Kết quả: MN  1,5 Bài 7.7 (Đề thi thử nghiệm lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ 2 cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   uuuu r M � ( P ) N � ( S ) MN Giả sử điểm cho vectơ phương với véctơ r u   1;0;1 độ dài đoạn MN lớn Tính MN A B D C Tiếp tục Bài 7.5 ta thay mp(P) điểm đường thẳng d mặt phẳng có kết khơng? Giáo viên vẽ hình, cho học sinh suy nghĩ vấn đề phát biểu toán Bài 7.8 Cho mặt cầu S (O; R) , mặt phẳng (P) không cắt (S) điểm A nằm (S) Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) cho AM song song với mp(P) độ dài đoạn AM lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi mặt phẳng (Q) qua A song song với mp(P) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn (C) Gọi H hình chiếu O lên (Q), H tâm (C) Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) hai điểm P E A phân biệt E F, với A nằm H E H O Do M thuộc (S) AM song song với (P) F nên M thuộc đường tròn (C) Suy ra: AM lớn M trùng F AM lớn M trùng F A O d H Bài 7.9 Cho mặt cầu S (O; R) , đường thẳng  không cắt (S) đường thẳng d thoả mãn mặt phẳng (P) chứa  song song với d cắt (S) theo đường trịn.BTìm vị trí M D K 57 ∆ N điểm M mặt cầu (S) điểm N đường thẳng  cho MN song song với d độ dài đoạn MN lớn nhất, nhỏ HD Giải: Mặt phẳng (P) chứa  song song với d cắt (S) theo đường trịn (C) có tâm H Với M thuộc (C), kẻ đường thẳng qua M song song với d cắt  N Gọi K hình chiếu M lên  , suy � góc MNK   khơng đổi góc d  Ta có MN  MK cos Bài tốn đưa về: Tìm vị trí điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến  lớn nhất, nhỏ Bài 7.10 Cho mặt cầu S (O; R) , hai mặt phẳng (P) (Q) không cắt mặt cầu (S) Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) điểm N thuộc mp(P) cho đoạn MN song song với mp(Q) độ dài đoạn MN nhỏ Giải: Với M mặt cầu (S) điểm N thuộc (P), A gọi K hình chiếu M lên mp(P) Mặt phẳng (R) qua M song song với (Q) O Đường thẳng d giao tuyến (R) (P) Suy đường thẳng d có phương khơng đổi Gọi E hình chiếu vng góc M lên d B Suy đường thẳng ME có phương khơng đổi H P � Tam giác MEK vuông K EMK   không đổi MN �ME  Q M K E d R N MK cos Ta có Đường thẳng OH cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B với B nằm O H 58 MK BH OH  R MN � �  cos cos cos OH  R Vậy độ dài đoạn MN nhỏ cos M trùng B N hình chiếu B lên đường thẳng giao tuyến mp(P) với mặt phẳng qua B song song với mp(Q) Thay điều kiện song song với mặt phẳng điều kiện vng góc với đường thẳng Tiếp tục thay đổi đường mặt ta có tốn Bài 7.11 Cho mặt cầu S (O; R) , mặt phẳng (P) không cắt (S) đường thẳng d Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) điểm N thuộc (P) cho đoạn MN vng góc với đường thẳng d độ dài đoạn MN nhỏ Bài 7.12 Cho mặt cầu S (O; R) , mặt phẳng (P) đường thẳng d khơng cắt (S) Tìm M �( S ), N �d cho MN song song với mp(P) độ dài đoạn MN nhỏ Bài 7.13 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) điểm N thuộc đường thẳng d cho đoạn MN song song với mp(P) độ dài đoạn MN nhỏ Bài 7.14 Cho mặt cầu S (O; R) , mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) điểm N thuộc đường thẳng d cho đoạn MN song song với mp(P) độ dài đoạn MN nhỏ nhất, lớn Do khuân khổ đề tài nên 7.11 đến 7.14 khơng trình bày 59 D KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy tuỳ lớp, đối tượng học sinh phân nhiều dạng tập mức độ phù hợp + Đối với học sinh trung bình cần làm dạng tập mà áp dụng cơng thức tính chất có kết quả, thường xét giao đường hay mặt với mặt cầu + Đối với học sinh ngồi việc giải dành cho học sinh trung bình để nắm kiến thức bản, giải tập mức vận dụng Chẳng hạn: Bài toán giao đường hay mặt với mặt cầu u cầu điều kiện khó giá trị lớn hay nhỏ nhất, toán giao hai đường hay hai mặt với mặt cầu điều kiện đơn giản… + Đối với học sinh giỏi ngồi việc giải dành cho học sinh trung bình khá, cịn giải tập mức vận dụng cao Chẳng hạn: Bài toán giao hai đường hay hai mặt với mặt cầu thêm điều kiện khó giá trị lớn hay nhỏ nhất, toán giao ba đường hay ba mặt với mặt cầu, tổng quát hoá toán… Trong trình dạy học lớp, tập tơi nhiều câu hỏi (thường từ đến câu) Học sinh trung bình làm 2, câu đầu, học sinh làm thêm hai câu tiếp theo, học sinh giỏi làm tất các câu Với cách làm tất học sinh có nhiệm vụ để làm, khơng có em bị bỏ rơi tiết học Thời gian tiết học không bị lẵng phí, học sinh câu trước suy nghĩ câu Học sinh trung bình nắm kiến thức bản, học sinh giỏi phát huy khả suy luận, tìm tịi, khám phá Ngồi tiết dạy khố lớp tơi cịn dạy chun đề vào hai buổi chiều giao nhiệm vụ nhà gồm: giải tập thầy ra, nghiên cứu PP giải sau tổng qt hố, tương tự hố, đặc biệt hoá toán, xây dựng toán mới… Qua tơi thấy hệ thống tập có hiệu to lớn trình dạy học Đề tài bắt đầu áp dụng từ năm học 2018-2019 lớp dạy Trong năm học 2020 -2021 này, đề tài không áp dụng cho lớp 12 dạy mà 60 đồng nghiệp mở rộng thêm đến đối tượng học lớp 12 khác trường bước đầu đánh giá có hiệu cao Trong q trình áp dụng thân đồng nghiệp, nhận thấy học sinh có chuyển biến tích cực, thể qua số nét sau đây: + Học sinh hứng thú học toán: Điều giải thích học sinh chủ động tham gia vào trình tìm kiếm tri thức thay tiếp nhận kiến thức cách thụ động Học sinh ngày tin tưởng vào lực thân cảm thấy vui tự giải hình học khơng gian Các em lại thích thú tìm cách giải cho tốn Có em say sưa liên hệ với tốn phẳng… + Học sinh học tập nghiên cứu nhà thuận lợi hơn: Là tri thức, phương pháp thường xuyên rèn luyện xếp cách hệ thống Các tập xếp theo trình tự hợp lý giúp học sinh thực tiếp việc học tập, nghiên cứu nhà Qua tự khám phá tri thức Các em hịa vào trình dạy học chung; em thấy tự tin làm tập hình học khơng gian - Năm học 2018-2019 đề tài phân nửa so với áp dụng với lớp dạy lớp 12A1, 12A5, 12A8 12A10 12A1 lớp có học lực tốt, 12A5 có học lực lớp cịn lại mức trung bình Để khảo sát, lớp 02 kiểm tra 45 phút trắc nghiệm tự luận, thu kết sau: Bảng 1: Kết thực nghiệm Lớp Sĩ số Điểm Từ đến < Từ đến