05 bai toan xet vi tri tuong doi pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 05 BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ( P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Cho hai mặt phẳng  ( P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = A B C D ( P1 ) / / ( P2 ) ⇔ = = ≠ A2 B2 C2 D2 A B C D ( P1 ) ≡ ( P2 ) ⇔ = = = A2 B2 C2 D2  A1 B1 A ≠ B ( P1 ) ∩ ( P2 ) ⇔  2  A1 C1 A ≠ C  2 Đặc biệt, ( P1 ) ⊥ ( P2 ) ⇔ n1.n2 = ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = Ví dụ 1: [ĐVH] Xét vị trí tương đối mặt phẳng sau: { x − y + 3z + = a) x − y + 5z − = { x + y − 2z + = b) x + y − 8z − = 2 x − y − z + =  c)  25 5 x − y − 10 z + = Hướng dẫn giải: −4 a) Ta có ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt −2 −2 b) Ta có ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt −8 −2 c) Ta có = = = ⇒ hai mặt phẳng cho trùng 25 −5 10 Ví dụ 2: [ĐVH] Xác định m, n để mặt phẳng sau song song, cắt nhau, trùng nhau?  x − ( m − 3) y + z − = x + my − z − = x − y + mz − 11 = a) b) c)  nx + y − z + = x + ny + z − = ( m + 2) x − y + mz − 10 = { { Hướng dẫn giải: { 3x + my − z − = a) nx + y − z + = n = m −2 −7  Hai mặt phẳng song song = = ≠ ⇔ n −6  m =  −2   n ≠ −6 m≠  Hai mặt phẳng cắt nhau  ⇔   m ≠ −2  n ≠  −6 m −2 −7 Hai mặt phẳng trùng = = = ⇒ hệ vô nghiệm n −6 b) { x − y + mz − 11 = 3x + ny + z − = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  n=−  −2 m −11  Hai mặt phẳng song song = = ≠ ⇔ n −5 m =   −2  3 ≠ n m ≠ Hai mặt phẳng cắt nhau  ⇔ m ≠ n ≠ −   5 −2 m −11 Hai mặt phẳng trùng = = = ⇒ hệ vô nghiệm n −5 3 x − ( m − 3) y + z − = c)  (m + 2) x − y + mz − 10 = m =  2m + = 3m  m+2 −2 m −10  Hai mặt phẳng song song = = ≠ ⇔  −4 = m ( − m ) ⇔  m − 3m − = ⇒ vô nghiệm 3− m −5  m ≠ m ≠  m + m  ≠ m ≠ m ≠ Hai mặt phẳng cắt nhau  ⇔ ⇔  −2 ≠ m  m ≠ −1  m − 3m − ≠  − m m =  2m + = 3m  m+2 −2 m −10  Hai mặt phẳng trùng = = = ⇔  −4 = m ( − m ) ⇔  m − 3m − = ⇔ m = −5 3− m  m = m =  Ví dụ 3: [ĐVH] Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau: 3 x − y + z + = 5 x + y − z − = a)  b)  3 x − y + z − = 3 x + y − z + = 3 x − y − z − 23 =  6x − y − 6z + = c)  d)  3 x − y − z + 33 = 12 x − y − 12 z − = Ví dụ 4: [ĐVH] Xác định m, n để mặt phẳng sau song song với nhau?  x − ny + z − =  x + my + z − = a)  b)  3 x − y + mz − =  nx − y − z + = 3 x − y + mz − = c)   x + ny + z − =  x + my − z + = d)   x + y + 4nz − = Ví dụ 5: [ĐVH] Xác định m, n để mặt phẳng sau vuông góc với nhau?  x − y + mz + = a)   3x + y − z + 15 =  mx + y + mz − 12 = c)   x + my + z + = (2m − 1) x − 3my + z + = b)   mx + (m − 1) y + z − = 3 x − ( m − 3) y + z − = d)  (m + 2) x − y + mz − 10 = II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x − x0 y − y0 z − z0  = = ( d ) : Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình  a b c ( P ) : Ax + By + Cz + D =  d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương ud = ( a; b; c ) , (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( A; B; C )  nP ⊥ u d  n u ≠  Aa + Bb + Cc = ⇔ P d ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  M ∉ ( P )  M ∉ ( P ) ( d ) / / ( P ) ⇔  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  nP ⊥ u d  n u ≠  Aa + Bb + Cc = ⇔ P d ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D =  M ∈ ( P )  M ∈ ( P ) ( d ) ⊂ ( P ) ⇔  ( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP ud ≠0  x0 =  x − x0 y − y0 z − z0 = =   Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình  a →  y0 = b c   Ax + By + Cz + D =  z =  Kiểm tra ud nP = T Kiểm tra M ∈ ( P ) T d ⊂ ( P) F d ∩ (P) F d / / (P) Lược đồ xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: [ĐVH] Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) trường hợp sau: x +1 y −3 z a) d : = = ; ( P ) : x − y + 2z − = x − y −1 z − b) d : = = ; ( P ) : x + y − 4z + =  x = −1 + t  c) d :  y = −t ; (P): x + 2y − z − =  z = −2 + 3t  Hướng dẫn giải: a) Đường thẳng d qua điểm M(−1; 3; 0) có véc tơ phương ud = ( 2; 4;3) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( 3; −3; ) Ta có ud nP = ( 2;4;3)( 3; −3;2 ) = − 12 + = Lại có, M ( −1;3;0 ) ∈ ( P ) ⇒ d / / ( P ) b) Đường thẳng d qua điểm M(9; 1; 3) có véc tơ phương ud = ( 8;2;3) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;2; −4 ) Ta có ud nP = ( 8;2;3)(1; 2; −4 ) = + − 12 = Lại có, M ( 9;1;3) ∈ ( P ) ⇒ d ⊂ ( P ) c) Đường thẳng d qua điểm M(−1; 0; −2) có véc tơ phương ud = (1; −1;3) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; 2; −1) Ta có ud nP = (1; −1;3)(1;2; −1) = − − = −4 ≠ ⇒ d ∩ ( P ) = I   x = −1 + t x=−   x = −1 + t  y = −t   y = −t     Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình  ⇔  z = −2 + 3t ⇔ y = z = − + t     x + y − z − =  −1 + t − 2t + − 3t − = ⇒ t = −   z = − 2  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  7 ⇒ I  − ; ; −   2 2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d : x −1 y+2 z+3 mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z − = = = m 2m − a) cắt b) song song với c) vuông góc với d) (P) chứa d Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua điểm M(1; −2; −3) có véc tơ phương ud = ( m;2m − 1;2 ) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;3; −2 ) Ta có ud nP = ( m; 2m − 1; )(1;3; −2 ) = m + 6m − − = 7m − a) d (P) cắt ud nP ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ u n = 7 m − = b) d (P) song với  d P ⇔ ⇔ m =1 −4 ≠  M ∉ ( P )  m = −1 m 2m − c) d ⊥ ( P ) ⇔ ud = k nP ⇔ = = ⇔ ⇔ m = −1 −2  2m − = −3 u n = 7 m − = d) (P) chứa (d) ⇔  d P ⇔  → −4 =  M ∈ ( P ) Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 3: [ĐVH] Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng mặt phẳng sau: x − 12 y − z − = = ; ( P ) : x + y − z − = x + 11 y − z b) d : = = ; ( P) : 3x − y + z − = x − 13 y − z − = = ; ( P) : x + y − z + = c) d :  x = 3t −  d) d :  y = − 4t ; ( P ) : x − y − z − =  z = 4t −  Ví dụ 4: [ĐVH] Xác định m, n để cặp đường thẳng mặt phẳng sau song song, cắt nhau, trùng nhau? x + y − z −1 a) d : = = ; ( P) : x + y + z − = m m−2  x = + 4t  b) d :  y = − 4t ; ( P ) : (m − 1) x + y − z + n − =  z = −3 + t  a) d :  x = + 2t  c) d :  y = − 3t ; ( P ) : (m + 2) x + (n + 3) y + z − =  z = − 2t  Ví dụ 5: [ĐVH] Cho d : Tìm m để d ⊂ (P) x + y z −1 = = ; ( P ) : (3m − 4) x + (m − 1) y + (3 − 2m) z + m = −2 Đ/s: m = III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG x − x1 y − y1 z − z1  ( d1 ) : a = b = c   M ( x1 ; y1 ; z1 ) ∈ d1 ; u1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) 1 Cho hai đường thẳng d1 d2 với   → ( d ) : x − x2 = y − y2 = z − z2  M ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ d ; u2 = ( a2 ; b2 ; c2 )  a2 b2 c2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta thực sau: d / / d2 Nếu u1 = ku2  →  d1 ≡ d2 +) Nếu M ∈ d  → d1 ≡ d +) Nếu M ∉ d  → d1 / / d d ∩ d2 Nếu u1 ≠ ku2  →  d1 × d2 +) Nếu u1 ; u2  M 1M =  → d1 ∩ d +) Nếu u1 ; u2  M 1M =  → d1 × d Ví dụ 1: [ĐVH] Xét vị trí tương đối hai đường thẳng:  x = − 2t  x = −1 − t '   a) d1 :  y = + t , d :  y = 2t '  z = −t  z = + 2t '   x −1 y − z − x −6 y +1 z + b) d1 : = = , = = d2 : −2 Hướng dẫn giải: u1 = (−2;1; −1), M (1;3;0) ∈ d1 a) Ta có  ⇒ M 1M = (−2; −3;2) u2 = (−1;2; 2), M (−1;0;2) ∈ d Ta nhận thấy u1 ≠ ku2 Mặt khác u1 , u2  = (4;5; −3) ⇒ u1 , u2  M 1M = −29 ≠  → hai đường thẳng chéo u = (2;1; 4), M (1;7;3) ∈ d1 b) Ta có  ⇒ M 1M = (5; −8; −5) u2 = (3; −2;1), M (6; −1; −2) ∈ d Ta nhận thấy u1 ≠ ku2 Mặt khác u1 , u2  = (9;10; −7) ⇒ u1 , u2  M 1M = (9;10; −7).(5; −8; −5) =  → hai đường thẳng cắt Ví dụ 2: [ĐVH] Trong không gian cho bốn đường thẳng x −1 y − z x−2 y−2 z x y z −1 x − y z −1 = = , (d2 ) : = = ; (d3 ) : = = , ( d4 ) : = = ( d1 ) : −2 −4 1 2 −1 a) Chứng tỏ d1 d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình tổng quát mặt phẳng b) Chứng tỏ tồn đường thẳng d cắt bốn đường thẳng cho Hướng dẫn giải: u1 = (1;2; −2), M (1;2;0) ∈ d1 a) Ta có  ⇒ M 1M = (1;0;0) u2 = (2;4; −4), M (2; 2;0) ∈ d  d1 / / d Ta nhận thấy u1 ≠ u2  →  d1 ≡ d 1− 2 − = =  → vô lí −4 Vậy M1 ∉ d2 ⇒ hai đường thẳng d1 d2 song song với Lại có, M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 d2 Do d1 // d2 nên n = u1 , M 1M  = (0; −2; −2) = −2(0;1;1) Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng (P) : y + z – = b) Ta có nP u3 = ≠ ⇒ ( P ) ∩ d3 Gọi giao điểm (P) d3 A Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y + z − =  x = 2t   3 Tọa độ A nghiệm hệ   → t = ⇒ A  1; ;   2 y = t  z = + t Chứng minh tương tự d4 cắt mp (P) điểm B(4; 2; 0)  3 Ta có AB =  3; ; −  = (2;1; −1); AB.u1 = ≠ ⇒ u1 không phương với AB nên AB cắt d1 d2 (do d1 song  2 song d2) Vậy AB đường thẳng cắt bốn đường thẳng cho Ví dụ 3: [ĐVH] Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: x −1 y + z − a) d1 : = = ; −2  x = + 2t  b) d1 :  y = − t ;  z =5−t   x = −1 + t  d :  y = −t  z = −2 + 3t   x = + 2t '  d :  y = −3 − t '  z =1− t '  x −1 y − z − x −7 y −6 z −5 = = ; d2 : = = 6 x = + t x =     d) d1 :  y = −1 + t ; d :  y = + t ′ z = z = − t′   c) d1 : x −1 y + z − x − y +1 z + = = ; d2 : = = x − y z +1 x−7 y−2 z ; f) d1 : = = d2 : = = 12 −6 −8 −6 Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau? Khi tìm tọa độ giao điểm chúng? e) d1 :  x = + mt  a) d1 :  y = t ;  z = −1 + 2t  x = − t '  d :  y = + 2t '  z = 3−t'  x = − t  b) d1 :  y = + 2t ; z = m + t  x = + t '  d2 :  y = + t '  z = − 3t '  Đ/s: m = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!