skkn dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị

Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013 MỤC LỤC Nội dung Trang I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1 II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2 1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2 2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3 3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 15 III. Kết luận……………………………………………… 15 Tài liệu tham khảo MỤC LỤC Nội dung Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Người viết SKKN ĐỖ XUÂN VƯỢNG Hiệu Trưởng LÊ THỊ NGUYỆT. Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013 I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1 II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2 1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2 2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3 3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 16 III. Kết luận……………………………………………… 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục chữ viết tắt 19 I.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên kỹ năng áp dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán tìm 2 cực trị của một biểu thức có nhiều biến số, hoặc chứng minh một bất đẳng thức của đa số học sinh còn nhiều hạn chế. Nguyên nhân là bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị là một dạng toán khó mà thời lượng trong chương trình lại còn ít. Kiến thức dàn trải suốt cả ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh trong việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho bản thân. Thông thường , khi gặp bài toán trên học sinh thường hoang mang, không biết lựa chọn phương pháp phù hợp. Vì vậy, việc làm phong phú thêm các phương pháp giải dạng toán trên là một việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện tư duy, kỹ năng và thay đổi thái độ của học sinh khi tiếp cận dạng toán trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT. Xuất phát từ những suy nghĩ trên, tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị”. Đó là những kinh nghiệm của bản thân được đúc rút trong quá trình giảng dạy môn Toán ở các lớp thuộc Ban Khoa học tự nhiên. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận của vấn đề: 1.1 GTLN, GTNN của hàm số. -Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D 3 + 0 0 ( ), max ( ) : ( ) D M f x x D M f x x D M f x ≥ ∀ ∈  = ⇔  ∃ ∈ =  + 0 0 ( ), min ( ) : ( ) D m f x x D m f x x D m f x ≤ ∀ ∈  = ⇔  ∃ ∈ =  - Định lý: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì luôn tìm được GTNN, GTLN của hàm số trên [ ] ;a b . 1.2 .Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN của hàm số Bài toán: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có ) của hàm số y=f(x) với x D∈ ⊂ ¡ Phương pháp: Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không là một đoạn)Tiến hành theo các bước + Tính đạo hàm của hàm số + Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D. + Căn cứ vào bảng biền thiên để kết luận về GTLN,GTNN Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt: [ ] ;D a b= , tiến hành theo các bước: +Tính đạo hàm của hàm số, + Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc [ ] ;a b ( là các điểm thuộc TXĐ mà tại đó, đạo hàm triệt tiêu hoặc không xác định) + Tính GT của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm a,b. + So sánh các GT tìm được để kết luận. 1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp: + Bất đẳng thức Cô-si: Với a 1 ;…a n là các số thực không âm, ta có: 1 2 1 2 n n n a a a n a a a+ + + ≥ ; đẳmg thức khi 1 2 n a a a= = = + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực 1 2 , , n a a a và 1 2 , , n b b b , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + Đẳng thức có khi hai bộ số tương ứng tỷ lệ. + Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số ( )y f x= với tập xác định D, tập giá trị của hàm số là : { } | : ( )T y x D y f x= ∈ ∃ ∈ =¡ 4 Hay : T={ y ∈¡ : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm. 2. Thực trạng của vấn đề: Khi giải quyết bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng phương pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số, thực chất là đi xác định tập giá trị của biểu thức, của hàm số với điều kiện cho trước. Căn cứ vào đặc trưng của biểu thức ( Tính đối xứng của các biến, điều kiện của các biến có tính đẳng cấp với các biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp các khó khăn và hay mắc các sai lầm sau: Sai lầm: - Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT của hàm số). - Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa các giá trị hàm số tại các điểm tới hạn, không loại đi các điểm tới hạn không thuộc [ ] ;a b ,dẫn đến kết quả sai. Khó khăn : - Không linh hoạt khi chuyển biểu thức cần tìm cực trị về dạng hàm một biến qua phép đặt biến phụ. - Khi đặt được biến phụ, thường không các định được miền GT của biến phụ theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết quả. 3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết. 3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN. - Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh là GTLN, GTNN của hàm số đạt được trên tập D phải là GT của hàm số tại ít nhất 1 điểm của tập D. Do đó, khi tìm được GTLN, GTNN của hàm sô, nhất thiết phải chỉ ra giả trị đó đạt tại điểm nào trên tập hợp D - Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo các bước, áp dụng từng TH cụ thể khi tập D là hay không là một đoạn. - Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ năng lập bảng BT của hàm số, xác định TGT của hàm số dựa trên BBT. - Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài toán tìm cực trị của biểu thức hai biến, ba biến: 5 + K nng i bin s: + K nng tỡm iu kin ca bin mi thụng qua cỏc con ng: ỏnh giỏ nh cỏc bt ng thc, phng phỏp min giỏ tr, phng phỏp dựng BBT + K nng s dng cụng c hm s xỏc nh tp giỏ tr ca hm. - a ra cỏc vớ d mu in hỡnh cú phõn tớch li gii, h thng bi tp a dng hỡnh thc, phong phỳ v ni dung, phự hp v mc , giỳp hc sinh c t rốn luyn k nng t d n khú. 3.2 H thng vớ d v bi tp a. Tìm cực trị hàm một biến GV cần lu ý cho học sinh: - Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D) - Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 3 6 9y x x x= + + + + Lời giải: Điều kiện [ ] 2 3 6 9 0 1;3x x x + + ( D là một đoạn) Tính đạo hàm: 2 2 3 6 9 3 3 ' 3 6 9 x x x y x x + + + = + + Tìm các điểm tới hạn thuộc [ ] 1;3 : 2 ' 0 3 6 9 3 3 2y x x x x= + + = = Tính giá trị của hàm tại các điểm đầu mút, tại các điểm tới hạn: ( 1) 0; (3) 4; (2) 6f f f = = = So sánh, kết luận: max 6f = khi x =2; min f = 0 khi x =-1 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = 2 1 1 x x + + Li gii: TX: D = R Ta cú : y= ( ) 3 2 1 1 x x + ; y= 0 1x = BBT: thiên hàm số: x 1 + f + 0 - f -1 2 1 Dựa vào BBT, GTLN của hm s bằng 2 đạt khi x=1. Khụng cú giỏ tr nh nht ca hm s /D. 6 NHN XẫT: Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: Tớnh sai cỏc giỏ tr ti cỏc u mỳt D ( nht l khi D khụng phi l mt on, thng khụng thụng qua gii hn xỏc nh min GT ca hm s). Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y= [ ] 2 3 2 / 10;10x x + Li gii: Cỏch 1: +) ỏnh giỏ y 0 x R . Du bng xy ra khi x =1 hoc x =2 thuc on [ ] 10;10 . Vy GTNN ca hm s bng 0 khi x =1 hoc x =2. +) Lp BBT ca hm s y = [ ] 2 3 2 / 10;10x x + . T ú kt lun GTLN ca hm s bng 132 khi x =-10. Cỏch 2: Lp BBT ca hm s y = 2 3 2x x + / [ ] 10;10 x -10 1 3 2 2 10 f - + 0 - + f 132 0 1 4 0 72 Kt lun giỏ tr LN, NN nh cỏch 1. NHN XẫT: Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: im o hm khụng tn ti x =1, x =2. Hoc kt lun giỏ tr nh nht sai. b. Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến Giáo viên lu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có đợc một hàm số với biến mới ở dạng đơn giản hơn Chú ý: -Nếu biểu thức có dạng đối xứng với từng biến thì nó luôn đợc biểu diễn đợc qua tổng hai biến và tích biến -Nếu điều kiện là một biểu thức đẳng cấp theo từng vế ( Tốt nhất là chênh nhau một bậc) Thì bằng phép đặt ẩn phụ x=ty ta luôn tính đợc x,y theot. Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 3 2 2 2 1 x x x y x + + = + 7 Ta có: ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x x x y x x x x + + + + = = = + ữ + + + + Đặt 2 1 x t x = + Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phơng pháp miền giá trị nh sau: Cách1: Dùng BĐT Cô-si + Với x=0 thì t=0. + Với 0x , xét 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ; 2 2 x x t x x t t x x x x + = = + = + = + Cách2: t là một GT của biểu thức Phơng trình 2 1 x t x = + ẩn x có nghiệm 2 0tx x t + = có nghiệm 2 1 1 1 4 0 2 2 t t = Bài toán trở thành: Tìm GTLN,GTNN của hàm 2 ( ) ;g t t t= + 1 1 ; 2 2 t Hàm đạt cực tiểu tại: 1 2 t = 1 1 1 3 3 1 ( ) ; ( ) ; 2 4 2 4 4 4 g g GTLN GTNN = = = = Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 x x x y x x + + + + = + + + Điều kiện: 1 1x Đặt 2 2 1 1t x x= + + Tìm điều kiện của t: Cách1: Dùng BĐT Theo Bunhia ta có: ( ) 2 2 2 2 2 ( 1 1 ) 2. 1 1 4 2x x x x t + + + + = Cũng có: 2 2 2 2 4 ( 1 1 ) 2 2 1 2 2t x x x t= + + = + .Vậy 2;2t Cách2: Khảo sát hàm 2 2 1 1t x x= + + Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 1 t t y t + + = + , với 2;2t Kết quả: Maxy= 7 3 tại x=0; Miny= 2 2 1 tại x=1 8 Vídụ6: Cho x,y là hai số thực dơng thoả mãn 4x+9y=6. Tìm GTLN của 1 2 2 P xy xy = + + . Hng dn Cỏch 1: Rỳt xy theo x ri th vo P, thu c hm mt bin s Cỏch 2: Coi xy l bin s, vy phi tỡm iu kin cho xy : - Cú th thụng qua ỏnh giỏ: 1 1 6 4 9 2 4 .9 12 2 4 x y x y xy xy xy= + = . Vậy đk của xy là: 1 0 4 xy - Cú th s dng phng phỏp min giỏ tr: Tỡm iu kin ca t h sau cú 2nghim dng : 4 6 6x y xy t + = = cng tỡm c 1 0 4 xy Khảo sát hàm số : 1 ( ) 2 ; 2 P t t t = + + Với 1 0 4 t Ví dụ 7: Cho cos2 cos2 1, ,x y x y+ = Ă ; Tìm GTNN của biểu thức 2 2 tan tanA x y= + Lời giải: Biến đổi biểu thức A để sử dụng đợc điều kiện: 2 2 2 2 2 2 1 1 tan tan (tan 1) (tan 1) 2 2 cos cos A x y x y x y = + = + + + = + 1 1 2 1 1 cos2 1 cos2x y = + ữ + + Điều kiện đã cho biến đổi thành: 1 cos2 1 cos2 3, ,x y x y+ + + = Ă Đặt 1 cos2 1 cos2 3t x y t= + + = , điều kiện: [ ] cos2 1 cos2 2 (1 cos2 ) 2 1;1y x x t= = + = 1 3t< < Xét hàm số : 1 1 ( ) 3 f t t t = + với 1 3t < < . 2 2 2 2 1 1 3 '( ) 0 (3 ) (3 ) 2 f t t t t t t = = = = Bảng biến thiên hàm số: t 1 3 2 3 f - + 9 f 4 3 Dựa vào BBT, GTNN của A bằng 2 3 đạt khi 1 cos2 2 x = Ví dụ 8: Cho a, b dơng t/m:a 2 +b 2 =1. Tìm GTLN của biểu thức 2 ab M a b = + + Cách1: Theo Cô- si ta có: 2a b ab+ Dấu= Khi a=b. Do đó: 2 2 2 ab ab M a b ab = + + + Đặt t ab= . Ta có: 2 2 0; 0 1 1 2 0 0 2 2 2 2 a b a b ab ab t > > + = < < . GTLN của M là GTLN của hàm 2 2 1 ( ) . 2 2 2 1 t t f t t t = = + + với 2 0 2 t< . Khảo sát hàm số 2 2 1 ( ) . 2 2 2 1 t t f t t t = = + + ; 2 0 2 t< . Là hàm luôn đồng biến và liên tục trên 2 0; 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 f t f = + Đáp số: ( ) 1 max 2 2 2 M = + Cách2: Lại theo Bunhia: ( ) 2 02 2 2( ) 2 0 2 a b a b a b a b + > + + = < + . Đặt ( 0; 2t a b t = + 1 ( ) 4 M g t ; Với : 2 ( ) 2 t g t t = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2) 4 '( ) 2 2 2 t t t t t t g t t t t + + = = = + + + : g(t) luôn đồng biến trên ( 0; 2 Vậy 1 1 ( 2) 4 2(2 2) M g = + Ví dụ 9: Cho x;y là các số thực thoả : 2 2 3.x y xy+ + = Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 10 ( ) 2 2 1 2 2 2 4 2 a b a b ab M a b a b a b + ữ + = = + + + + + + [...]... xyz = 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 4.3 3 ( xyz ) 2 Hay : 1 16t 3 12t 2 16t 3 + 12t 2 1 0 Sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phơng pháp KSHS ta có: 2 1 1 1 16t + 12t 1 0 t ữ t + ữ 0 0 < t Bài toán trở thành: Tìm GTNN ca 4 4 2 3 2 hàm số f (t ) = 3t + 4t 3 ; 2(1 8t ) áp số: Min S= 1 t 0; 4 13 Đạt khi x=y=z=1/4 18 BI TP T GII Bi 1 ChoABC : 0 < A B C n n +1 Bài4 (QGA-2000): Choa,b,c là các số thực 8a + 8b + 8c 2a... 8c 2a + 2b + 2c HD : ( (2a )3 2 a ) + ( (2b )3 2b ) + ( (2c ) 3 2 c ) 0 Xet hàm f(x)=x3-x với x ( 0; + ) Chứng minh hàm lõm 14 t/m a+b+c=0 CMR Bi 5: CMR : a 1 ( ) ( ) ln a 2 + 2a + 2 < 1 + ln a 2 + 1 : a 2 + 2a + 2 ln a + 2a + 2 < ln(e a + 1 ) < e KSHS có ĐPCM a2 + 1 ( HD : ) 2 ( ) 2 Bài 6: Cho x,y là các số thực thoả mãn : xy 1& 2 x 2 + 3 y 2 = 5 Tìm GTLN, GTNN của P = 2 xy + 1 + 2 x... Vy f (t ) = 5t 2 t +1 t2 +1 KSHS ,/s: MaxS=9/2; minS=-1/2 Vớ d 15: Các số dơng x,y,z thoả mãn: x 2 + y 2 + z 2 = S= x + y + z + 4 xyz 1 + 4( xy + yz + zx) 13 1 16 xyz Tìm GTNN của: 4 Lời giải: Từ BĐT: x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx ta có: S Thay S : 4( x 2 + y 2 + z 2 ) = 1 16 xyz x + y + z + 4 xyz 1 + 4( x 2 + y 2 + z 2 ) và sử dụng Côsi ta có: 3 3 xyz + 4 xyz x + y + z + 4 xyz 1 + 4( x 2 + y 2... Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y là hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x) + 25 xy Ta có: S = 16( xy )2 + 12( x3 + y 3 ) + 34 xy = 16( xy ) 2 + 12 ( ( x + y )3 3xy ( x + y ) ) + 34 xy Thay x+y=1, Ta có S = 16( xy )2 + 12(1 3xy ) + 34 xy = 16( xy ) 2 2 xy + 12 Đặt t=xy Dễ thấy t 0; 4 1 Xét hàm số f (t ) = 16t 2 2t + 12 với t 0; ... 2 x 3 y HD : ( ) ( 2 2x + 3y ) 4 2 2 xy + 2 ữ ữ 4 6 xy 12 6 xy 3 ữ Vậy: ĐK là 1 xy 3 KSHS P = 2t + 1 + 2 Với 1 t 3 t+2 Bài7 :Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x 2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN của ( ) P = 2 x 3 + y 3 3 xy ( CĐ A-2008) b Bài 8: Cho a b > 0; Ta CM : cú : (pcm) ( 4a + 1) Xột hm s : f(x) = ' f (x) = a a 1 b 1 2 + a ữ 2 + b ữ 2 2 b (4 b + 1) a (... - (1 + 4 x ).ln(1 + 4x ) < 0 , x (0; +) x 2 (1 + 4 x ) f(x) l hm s luụn nghch bin trờn khong (0; + ) Khi ú : a b > 0 f(a) f(b) ln(4a + 1) ln(4b + 1) a b Bài toán trở thành Tìm GTLN, GTNN của f (t ) = 16t 2 2t + 12, 1 t 0; 4 Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min M = 3(a 2b 2 + c 2b 2 + a 2c 2 ) + 3(ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 2 2 2 2 2 2 HD: 3(a b + c b + a c )... 3 Bi10 : Cho a, b l cỏc s thc tha món : 0 < a < b < 1 Chng minh rng : a 2 lnb - b 2 lna > lna - lnb (TSC - Khi A, B, D - Nm 2009) Bi11 : Cho a > b > 0 Chng minh rng : a+b a-b > 2 lna - lnb Bài1 2: Cho a.b là hai số không âm Chứng ming rằng 3a3 + 7b3 9ab2 Bi 13: Cho x,y l cỏc s thc thay i Tỡm GT nh nht ca biu thc A = ( x 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y 2 HD: Xột M ( x 1; y ), N ( x + 1; y ) T... sỏt hm s f(y) ta s cú kt qu Bai 14 Cho cỏc s x; y; z dng, tho món x + y + z 1 1 x Tỡm GTNN ca A = x + y + z + + 1 1 + y z Bài 15 : a,b,c,d l cỏc s nguyờn thay i tho 1 a < b < c < d 50 , chỳng minh a c a c b 2 + b + 50 bt ng thc + v tỡm GTNN ca S = + b d b d 50b 16 4.Hiu qu ca SKKN Trong quỏ trỡnh dy hc kin thc v bi toỏn cc tr cho hc sinh lp 12, bờn cnh cỏc phng phỏp m cỏc em ó c bit cỏc lp di nh: . học sinh vận dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết tốt một số bài toán cực trị. Giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của tư duy hàm số, thấy được kiến thức hàm số các em học được áp dụng. phương pháp miền giá trị hàm số ( đưa bài toán tìm cực trị về bài toán tìm điều kiện tham số để một phương trình hoặc một hệ phương trình có nghiệm), tôi thường cố gẳng hướng các em đến lời giải. NGHỊ 17 Bài toán tìm cực trị của biểu thức là bài toán khó đối với đa số học sinh, nên việc cung cấp thêm cho các em công cụ hàm số để giải quyết bài toán là một việc làm cần thiết, giúp học sinh giải