Sáng kiến kinh nghiệm SKKN dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “DẠY HỌC ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ” I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán THPT nói chung lớp 12 nói riêng, học sinh trang bị kiến thức hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhiên kỹ áp dụng phương pháp vào giải toán tìm cực trị biểu thức có nhiều biến số, chứng minh bất đẳng thức đa số học sinh nhiều hạn chế Nguyên nhân toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị dạng toán khó mà thời lượng chương trình lại Kiến thức dàn trải suốt ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho thân Thông thường , gặp toán học sinh thường hoang mang, lựa chọn phương pháp phù hợp Vì vậy, việc làm phong phú thêm phương pháp giải dạng toán việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện tư duy, kỹ thay đổi thái độ học sinh tiếp cận dạng toán trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT Xuất phát từ suy nghĩ trên, chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải toán cực trị” Đó kinh nghiệm thân đúc rút trình giảng dạy môn Toán lớp thuộc Ban Khoa học tự nhiên II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận vấn đề: 1.1 GTLN, GTNN hàm số - Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định miền D  M ≥ f ( x), ∀x ∈ D + M = mDax f ( x) ⇔ ∃x ∈ D : M = f ( x )  m ≤ f ( x), ∀x ∈ D f ( x) ⇔  + m = D ∃x0 ∈ D : m = f ( x0 ) - Định lý: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] tìm GTNN, GTLN hàm số [ a; b ] 1.2 Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN hàm số Bài toán: Tìm GTLN, GTNN ( có ) hàm số y=f(x) với x ∈ D ⊂ ¡ Phương pháp: Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không đoạn)Tiến hành theo bước + Tính đạo hàm hàm số + Lập bảng biến thiên hàm số tập D + Căn vào bảng biền thiên để kết luận GTLN,GTNN Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt: D = [ a; b ] , tiến hành theo bước: +Tính đạo hàm hàm số, + Tìm điểm tới hạn hàm số thuộc [ a; b ] ( điểm thuộc TXĐ mà đó, đạo hàm triệt tiêu không xác định) + Tính GT hàm số điểm tới hạn điểm a,b + So sánh GT tìm để kết luận 1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp: + Bất đẳng thức Cô-si: Với a1;…an số thực không âm, ta có: a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an ; đẳmg thức a1 = a2 = = an + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với hai số thực a1 , a2 , an b1 , b2 , bn , ta có ( a1b1 + a2b2 + anbn ) ≤ ( a12 + a22 + an2 ) ( b12 + b22 + bn2 ) Đẳng thức có hai số tương ứng tỷ lệ + Tập giá trị hàm số: Cho hàm số y = f ( x) với tập xác định D, tập giá trị hàm số : T = { y ∈ ¡ | ∃x ∈ D : y = f ( x)} Hay : T={ y ∈ ¡ : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm Thực trạng vấn đề: Khi giải toán tìm cực trị biểu thức phương pháp sử dụng biến thiên hàm số, thực chất xác định tập giá trị biểu thức, hàm số với điều kiện cho trước Căn vào đặc trưng biểu thức ( Tính đối xứng biến, điều kiện biến có tính đẳng cấp với biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp khó khăn hay mắc sai lầm sau: Sai lầm: - Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai giá trị đầu mút D ( D đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT hàm số) - Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa giá trị hàm số điểm tới hạn, không loại điểm tới hạn không thuộc [ a; b ] ,dẫn đến kết sai Khó khăn : - Không linh hoạt chuyển biểu thức cần tìm cực trị dạng hàm biến qua phép đặt biến phụ - Khi đặt biến phụ, thường không định miền GT biến phụ theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết Các biện pháp tiến hành để giải 3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN - Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh GTLN, GTNN hàm số đạt tập D phải GT hàm số điểm tập D Do đó, tìm GTLN, GTNN hàm sô, thiết phải giả trị đạt điểm tập hợp D - Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo bước, áp dụng TH cụ thể tập D hay không đoạn - Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ lập bảng BT hàm số, xác định TGT hàm số dựa BBT - Hình thành rèn luyện kỹ vận dụng vào toán tìm cực trị biểu thức hai biến, ba biến: + Kỹ đổi biến số: + Kỹ tìm điều kiện biến thông qua đường: Đánh giá nhờ bất đẳng thức, phương pháp miền giá trị, phương pháp dùng BBT… + Kỹ sử dụng công cụ hàm số để xác định tập giá trị hàm - Đưa ví dụ mẫu điển hình có phân tích lời giải, hệ thống tập đa dạng hình thức, phong phú nội dung, phù hợp mức độ , giúp học sinh tự rèn luyện kỹ từ dễ đến khó 3.2 Hệ thống ví dụ tập a Tìm cực trị hàm biến GV cần lưu ý cho học sinh: - Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN tập nào? ( Xác định D) - Chọn cách giải phù hợp D đoạn, D không đoạn Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x + + −3x + x + Lời giải: Điều kiện −3x + x + ≥ ⇒ x ∈ [ −1;3] ( D đoạn) −3 x + x + + − x Tính đạo hàm: y ' = −3 x + x + Tìm điểm tới hạn thuộc [ −1;3] : y ' = ⇔ −3x + x + = 3x − ⇔ x = Tính giá trị hàm điểm đầu mút, điểm tới hạn: f (−1) = 0; f (3) = 4; f (2) = So sánh, kết luận: max f = x =2; f = x =-1 x +1 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số : y = x2 + Lời giải: TXĐ: D = R Ta có : y’= ( 1− x x2 + ) ; y’= ⇔ x = BBT: thiên hàm số: x −∞ f’ +∞ + f -1 Dựa vào BBT, GTLN cña hàm số đạt x=1 Không có giá trị nhỏ hàm số /D NHẬN XÉT: Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai giá trị đầu mút D ( D đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT hàm số) Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số : y= x − 3x + / [ −10;10] Lời giải: Cách 1: +) Đánh giá y ≥ ∀x ∈ R Dấu xảy x =1 x =2 thuộc đoạn [ −10;10] Vậy GTNN hàm số x =1 x =2 +) Lập BBT hàm số y = x − x + / [ −10;10] Từ kết luận GTLN hàm số 132 x =-10 Cách 2: Lập BBT hàm số y = x − 3x + / [ −10;10] x -10 f’ f - + 132 - 10 + 72 Kết luận giá trị LN, NN cách NHẬN XÉT: Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Điểm đạo hàm không tồn x =1, x =2 Hoặc kết luận giá trị nhỏ sai b Tìm cực trị hàm biến phức tạp biểu thức có nhiều biến Giáo viên lưu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có hàm số với biến dạng đơn giản Chú ý: -Nếu biểu thức có dạng đối xứng với biến biểu diễn qua tổng hai biến tích biến -Nếu điều kiện biểu thức đẳng cấp theo vế ( Tốt chênh bậc) Thì phép đặt ẩn phụ x=ty ta tính x,y theot Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = Ta có: y = Đặt t = x3 + x + x (x + 1) = x ( x + 1) + x (x + 1) x3 + x + x (x + 1) 2 x  x  = + ÷ x +1  x +1 x x +1 Để tìm điều kiện t, sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phương pháp miền giá trị sau: Cách1: Dùng BĐT Cô-si + Với x=0 t=0 x2 + 1 1  1 + Với x ≠ , xét t = x = x + x ⇒ t = x + x = x + x ≥ ⇒ t ∈  − ;    Cách2: t GT biểu thức ⇔ Phương trình t = ⇔ tx − x + t = có nghiệm ⇔ ∆ = − 4t ≥ ⇔ x ẩn x có nghiệm x +1 1 ≤t≤ 2   Bài toán trở thành: Tìm GTLN,GTNN hàm g (t ) = t + t; t ∈  − ;   2 1 Hàm đạt cực tiểu tại: t = − 1 3 g (− ) = − ; g ( ) = ⇒ GTLN = ; GTNN = − 4 4 Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = − x4 + − x2 + + x2 + − x2 + + x2 + Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Đặt t = − x + + x Tìm điều kiện t: Cách1: Dùng BĐT Theo Bunhia ta có: ( − x + + x ) ≤ ( − x + + x ) = ⇒ t ≤ Cũng có: t = ( − x + + x ) = + − x ≥ ⇒ t ≥ Vậy t ∈  2;2  Cách2: Khảo sát hàm t = − x + + x t2 + t +1 Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = , với t ∈  2;2  t +1 Kết quả: Maxy= x=0; Miny= 2 − x=1 Ví dụ 6: Cho x,y hai số thực dương thoả mãn 4x+9y=6 Tìm GTLN P = xy + xy + Hướng dẫn Cách 1: Rút xy theo x vào P, thu hàm biến số Cách 2: Coi xy biến số, phải tìm điều kiện cho xy : - Có thể thông qua đánh giá: = x + y ≥ x.9 y = 12 xy ⇒ xy ≤ 1 ⇔ xy ≤ Vậy đk xy là: ≤ xy ≤ - Có thể sử dụng phương pháp miền giá trị: Tìm điều kiện t để hệ sau có 4 x + y = tìm ≤ xy ≤  xy = t 2nghiệm dương :  Khảo sát hàm số : P(t ) = 2t + ; t+2 Với 0≤t ≤ Ví dụ 7: Cho cos x + cos y = 1, ∀x, y ∈ ¡ ; Tìm GTNN biểu thức A = tan x + tan y Lời giải: Biến đổi biểu thức A để sử dụng điều kiện: A = tan x + tan y = (tan x + 1) + (tan y + 1) − = 1 + −2 cos x cos y   1 = 2 + − 1÷  + cos x + cos y  Điều kiện cho biến đổi thành: + cos x + + cos y = 3, ∀x, y ∈ ¡ Đặt t = + cos x ⇒ + cos y = − t , điều kiện: cos y = − cos x = − (1 + cos x) = − t ∈ [ −1;1] ⇒ < t < 1 1 = ⇔ t = (3 − t ) ⇔ t = với < t < f '(t ) = − t (3 − t ) t 3−t Xét hàm số : f (t ) = + Bảng biến thiên hàm số: t 3 f’ - + f Dùa vµo BBT, GTNN cña A b»ng đạt cos x = M= Ví dụ 8: Cho a, b dương t/m:a2+b2=1 Tìm GTLN biểu thức ab a+b+2 Cách1: Theo Cô- si ta có: Đặt t = ab Ta có: a + b ≥ ab Dấu’=’ Khi a=b Do đó: max M = t2 t2 f (t ) = = 2t + 2 t + t2 t2 f (t ) = = ;0 < t ≤ 2t + 2 t +   ⇒ f (t ) ≤ f ( ) = 0;  2   Đáp số: ( ab ab ≤ a + b + 2 ab + a + b a >0;b >0 ab ≤ =  → < ab ≤ ⇒ < t ≤ 2 2 GTLN M GTLN hàm Khảo sát hàm số M= +2 ( 2+2 ) ) với 00 ≤ 2(a + b ) =  →0 < a + b ≤ Đặt t = a + b ⇒ t ∈ ( 0;  M≤ g (t ) ; g '(t ) = Vậy Với : t2 g (t ) = t+2 t2 2t (t + 2) − t t + 4t = = 2 t+2 ( t + 2) ( t + 2) M≤ : g(t) đồng biến ( 0;  1 g ( 2) = 2(2 + 2) x + y + xy = Ví dụ 9: Cho x;y số thực thoả : Tìm GTLN, GTNN biểu thức M = x + y + xy − x y HD: Từ GT suy x + y = − xy Thế vào ta có ( M = x2 + y ) − x y + xy − x y = ( − xy ) = − x y + xy − x y − x y − x y − xy + Đặt t=xy Để tìm điều kiện M ta có hai cách sau: Cách1: Tìm t cho hệ sau có nghiệm : Cách 2: Từ điều kiện đầu ta có:  x + y + xy =   xy = t − xy = x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ ( x + y ) − xy + xy = ⇒ xy = ( x + y ) − ≥ −3 Vậy t ∈ [ −3;1] Bài toán trở thành tìm GTLN; GTNN hàm số: Khảo sát hàm số f (t ) = −t − t − 2t + 9; t ∈ [ −3;1] f (t ) = −t − t − 2t + 9; t ∈ [ −3;1] ta có kết Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy 10 Ta có: ( ) S = 16( xy ) + 12( x + y ) + 34 xy = 16( xy ) + 12 ( x + y )3 − xy ( x + y ) + 34 xy Thay x+y=1, Ta có Đặt t=xy Dễ thấy S = 16( xy ) + 12(1 − 3xy ) + 34 xy = 16( xy ) − xy + 12  1 t ∈ 0;   4 Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với  1 t ∈ 0;   4 có kết GTNN 191 25 ; GTLN 16 12 Ví dụ 11: Cho hai số thực x, y thay đổi cho : 2(x2 + y2) - xy = Tìm GTNN GTLN biểu thức : x + y4 P= 2xy +  Nhận xét : = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy ⇒ xy ≤ = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy ⇒ xy ≥ − Và :  xy +  - 2x y  ÷ 4 2 2 x +y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy +   P= = = = 2xy + 2xy + 2xy + 8xy +  Khi đó, đặt : t = xy , đk :  1 t ∈ − ;   3 Bài toán đưa tìm GTNN GTLN hàm số : f ' (t) = f(t) = -7t + 2t + 8t +  t = -1 (loai) −56t - 56t ; f ' (t) = ⇒ − 56t - 56t = ⇔  (8t + 4) t = 2 f(- ) = , f( ) = , f(0) = 15 15  Vậy :  2 x + y = Max P = Max f(t) = ⇔  ⇔  1  xy = - ;    2   x + y2 = x + y2 =     Min P = Min f(t) = ⇔  ∨  ⇔ 1 15  1 ;    3 xy = xy =     11 với  1 t ∈ − ;   3 Ví dụ 12 Cho x2 + xy + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: S = x2 − xy + y2 Giải Xét y = ⇒ x2 = ⇒ S = giá trị hàm số Xét y ≠ 0, biến đổi biểu thức dạng sau S x − xy + y ( x / y ) − ( x / y ) + t − t + u= = = = =u x + xy + y ( x / y ) + ( x / y ) + t + t + với t= x y ⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = (*) + Nếu u = 1, t = ⇒ x = 0, y = ± ⇒ u = giá trị hàm số + Nếu u ≠ 1, u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t ⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ ⇔ Vậy tập giá trị u Min S = ⇔ Min u =  , 3  3   ≤ u ≠1≤ ⇒ ⇔t=1⇒ Min u = ; Max u =  x = y ⇔ x = y = ±1   x + xy + y = Max S = ⇔ Maxu = ⇔ t = −1 ⇒  x = 3, y = −  x = − y ⇔  2   x + xy + y =  x = − 3, y = 2 Ví dụ13(ĐHA-2006) Cho x,y ∈ ¡ * thoả mãn ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm GTLN A= 1 + x3 y BG : 2 2 1 1 x + y ( x + y ) ( x − xy + y ) ( x + y ) A= 3 = = 2 = + ÷ x y x3 y3 x y x y 2 2 Đặt x=ty, từ ( x + y ) xy = x + y − xy , suy ( t + 1) ty = ( t − t + 1) y Vậy y= t2 − t +1 t2 − t +1 ; x = ty = t2 + t t +1 12 Thay vào A ta có:  t + 2t +  A= ÷  t − t +1  Ví dụ 14 x Cho x,y khác thoả mãn: x + y = x y + y x Tìm GTLN,GTNN S = + y Hướng dấn: đặt y=tx, Từ giả thiết ta có x + t x = x 2tx + t x x ⇔ x (1 + t ) = x3 (2t + t ) Suy ra: x = t2 +1 t + 2t Vậy f (t ) = 5t t +1 y = tx = t t2 +1 t + 2t = t2 +1 t+2 KSHS ,Đ/s: MaxS=9/2; minS=-1/2 Ví dụ 15: Các số dương x,y,z thoả mãn: S= x2 + y + z = − 16 xyz Tìm GTNN của: x + y + z + xyz + 4( xy + yz + zx) Lời giải: Từ BĐT: x + y + z ≥ xy + yz + zx x + y + z + xyz ta có: S ≥ + 4( x + y + z ) Thay : 4( x + y + z ) = − 16 xyz sử dụng Côsi ta có: Đặt t = xyz S≥ 3 xyz + xyz x + y + z + xyz ≥ + 4( x + y + z ) 2(1 − xyz ) Dễ thấy t>0 Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t: Ta có − 16 xyz = 4( x + y + z ) ≥ 4.3 ( xyz ) Hay : − 16t ≥ 12t ⇔ 16t + 12t − ≤ Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phương pháp KSHS ta có:    16t + 12t − ≤ ⇔  t − ÷ t + ÷ ≤ ⇒ < t ≤    Bài toán trở thành: Tìm GTNN hàm số 13 f (t ) = 3t + 4t ; 2(1 − 8t )  1 t ∈  0;   4 13 Đáp số: Min S= 18 Đạt x=y=z=1/4 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Cho∆ABC : < A ≤ B ≤ C < 900 CMR: cos 3C − cos 2C + ≥2 cos C HD: Vì C ≥ 600 ⇒ cos C ∈ (0; ] Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM  π   Bài (ĐH Lâm nghiệp) : Cho x ∈  0; ÷; CMR : ⇔ (tan x + cot x)(tan x + cot x) − 2(tan x + cot x) ≥ HD: Đặt tan x + cot x ≥ tan x + cot x t = tan x + cot x; d / k :t ≥ Bài (An ninhA-2000): Cho n số tự nhiên lớn HD: Cách1: ⇔ ln n ln(n + 1) > ; n n +1 xét hàm f(x)=1/x Bài4(QGA-2000): Choa,b,c số thực t/m a+b+c=0 CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c HD : ( ) ( ) ( x ∈ ( 0; +∞ ) Xet hàm f(x)=x3-x với Bài 5: CMR HD : ) ⇔ (2a )3 − 2a + (2b )3 − 2b + (2c )3 − 2c ≥ ⇔ : ∀a ≥ ( ( Chứng minh hàm lõm ) ( ): ln a + 2a + < + ln a + ) ( ) ln a + 2a + < ln(e a + ) ⇔ a + 2a + 0;  Ta có : (đpcm) ⇔  Xét hàm số : ' ⇒ f (x) = f(x) = (4 a a  a   b  2 + a ÷ ≤ 2 + b ÷     CM : + 1) b ln(1 + x ) x ≤ (4 + 1) b a ⇔ ( ĐH khối D-2007) ln(4a + 1) ln(4b + 1) ≤ a b với x > x ln4 x - (1 + x ).ln(1 + x ) < , ∀ x ∈ (0; +∞) x (1 + x ) ⇒ f(x) hàm số nghịch biến khoảng (0; + ∞)  Khi : a ≥ b > ⇒ f(a) ≤ f(b) ⇔ ln(4a + 1) ln(4b + 1) ≤ a b Bài toán trở thành Tìm GTLN, GTNN  1 t ∈ 0;   4 f (t ) = 16t − 2t + 12, Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min M = 3(a 2b + c 2b + a 2c ) + 3(ab + bc + ca ) + a + b + c HD: 3(a 2b + c 2b + a c ) ≥ ( ab + bc + ca ) bunhia Đặt t = ab + bc + ca Có M ≥ f (t ) = t + 3t + − 2t 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = → ≤ t ≤ Với 0≤t ≤ 3 Min M=2 Bài10 : Cho a, b số thực thỏa mãn : < a < b < Chứng minh : a lnb - b lna > lna - lnb (TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009) 15 Bài11 : Cho a > b > Chứng minh : a+b a-b > lna - lnb Bài12: Cho a.b hai số không âm Chứng ming 3a + 7b3 ≥ 9ab Bài 13: Cho x,y số thực thay đổi Tìm GT nhỏ biểu thức A = ( x − 1) + y + ( x + 1) + y + y − HD: Xét M ( x − 1; − y ), N ( x + 1; y ) Từ BĐT OM + ON ≥ MN , ta có A = ( x − 1) + y + ( x + 1) + y ≥ + y Do A ≥ + y + y − = f ( y ) Khảo sát hàm số f(y) ta có kết Bai 14 Cho số x; y; z dương, thoả mãn x + y + z ≤ x y Tìm GTNN A = x + y + z + + + z Bài 15 : a,b,c,d số nguyên thay đổi thoả ≤ a < b < c < d ≤ 50 , chúng minh bất đẳng thức a c a c b + b + 50 + ≥ tìm GTNN S = + b d b d 50b Hiệu SKKN Trong trình dạy học kiến thức toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên cạnh phương pháp mà em biết lớp như: Sử dụng bất đẳng thức kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki ), phương pháp miền giá trị hàm số ( đưa toán tìm cực trị toán tìm điều kiện tham số để phương trình hệ phương trình có nghiệm), thường cố gẳng hướng em đến lời giải sử dụng phương pháp hàm số Việc giúp học sinh có sở lý thuyết vững vàng, có kỹ việc đổi biến, điều kiện biến mới… thông qua số ví dụ tiêu biểu hệ thống tập phù hợp giúp học sinh vận dụng kiến thức hàm số vào giải tốt số toán cực trị Giúp cho học sinh thấy tầm quan trọng tư hàm số, thấy kiến thức hàm số em học áp dụng cách hiệu vào dạng toán có liên quan, giúp học 16 sinh thêm yêu môn toán Học sinh lớp dạy khoá từ 2006-2009; 2009-2012: 2012-2013 có hứng thú tiếp cận toán cực trị III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bài toán tìm cực trị biểu thức toán khó đa số học sinh, nên việc cung cấp thêm cho em công cụ hàm số để giải toán việc làm cần thiết, giúp học sinh giải số toán cự trị cách dễ dàng, cho học sinh thấy khả năng, phạm vi áp dụng kiến thức hàm số học chương trình Trong trình giảng dạy, nhờ vận dụng kinh nghiệm trình bày, phần không nhỏ em học sinh giải toán cực trị uyển chuyển thông qua lựa chọn phương pháp phù hợp cho toán, giúp học sinh thấy đỡ “sợ” gặp dạng toán cực trị Mặc dù cố gắng, sáng kiến kinh nghiệm nhiều hạn chế nội dung, thể loại ví dụ tập chưa phong phú, mong hợp tác thầy cô em học sinh, với hy vọng mở rộng viết thành đề tài đầy đủ hơn, bao quát toàn phương pháp sử dụng hàm số vào toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số đề tuyển sinh đại học- cao đẳng từ năm 2006 Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao Giải toán đạo hàm khảo sát hàm số ( T.s Nguyến Cam- NXB ĐHQG) Phương pháp giải toán tìm GTLN,GTNN( Nguyễn Văn Nho-Lê Hoành Phò) DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TT Viết tắt Đọc BBT Bảng biến thiên HD Hướng dẫn GT Giá trị GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ THPT Trung học phổ thông 18 [...]... hơn khi tiếp cận các bài toán cực trị III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bài toán tìm cực trị của biểu thức là bài toán khó đối với đa số học sinh, nên việc cung cấp thêm cho các em công cụ hàm số để giải quyết bài toán là một việc làm cần thiết, giúp học sinh giải một số bài toán cự trị một cách dễ dàng, hơn nữa là cho học sinh thấy được khả năng, phạm vi áp dụng của kiến thức hàm số được học ở chương trình... 12, bên cạnh các phương pháp mà các em đã được biết ở các lớp dưới như: Sử dụng các bất đẳng thức kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki ), phương pháp miền giá trị hàm số ( đưa bài toán tìm cực trị về bài toán tìm điều kiện tham số để một phương trình hoặc một hệ phương trình có nghiệm) , tôi thường cố gẳng hướng các em đến lời giải sử dụng phương pháp hàm số nếu có thể Việc giúp học sinh có cơ sở lý thuyết... biến mới… thông qua một số ví dụ tiêu biểu và hệ thống bài tập phù hợp đã giúp học sinh vận dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết tốt một số bài toán cực trị Giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của tư duy hàm số, thấy được kiến thức hàm số các em học được áp dụng một cách hiệu quả vào các dạng toán có liên quan, giúp học 16 sinh thêm yêu môn toán Học sinh các lớp tôi dạy các khoá từ 2006-2009;... cô cùng các em học sinh, với hy vọng sẽ mở rộng bài viết thành một đề tài đầy đủ hơn, bao quát được toàn bộ phương pháp sử dụng hàm số vào các bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Một số đề tuyển sinh đại học- cao đẳng từ năm 2006 2 Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao 3 Giải toán đạo hàm và khảo sát hàm số ( T.s Nguyến Cam- NXB ĐHQG) 4 Phương pháp giải toán tìm GTLN,GTNN(... trình Trong quá trình giảng dạy, nhờ vận dụng những kinh nghiệm đã trình bày, một phần không nhỏ các em học sinh đã giải quyết bài toán cực trị uyển chuyển hơn thông qua lựa chọn phương pháp phù hợp cho bài toán, cũng giúp học sinh thấy đỡ “sợ” hơn khi gặp các dạng toán cực trị Mặc dù đã cố gắng, nhưng sáng kiến kinh nghiệm còn nhiều hạn chế về nội dung, thể loại ví dụ và bài tập chưa được phong phú,... 16t 3 ≥ 12t 2 ⇔ 16t 3 + 12t 2 − 1 ≤ 0 Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phương pháp KSHS ta có: 2 1  1  1  16t 3 + 12t 2 − 1 ≤ 0 ⇔  t − ÷ t + ÷ ≤ 0 ⇒ 0 < t ≤ 4  4  2  Bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số 13 f (t ) = 3t + 4t 3 ; 2(1 − 8t )  1 t ∈  0;   4 13 áp số: Min S= 18 Đạt khi x=y=z=1/4 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Cho∆ABC : 0 < A ≤ B ≤ C < 900 CMR:... sát hàm số f(y) ta sẽ có kết quả Bai 14 Cho các số x; y; z dương, thoả mãn x + y + z ≤ 1 1 x 1 y Tìm GTNN của A = x + y + z + + + 1 z Bài 15 : a,b,c,d là các số nguyên thay đổi thoả 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 , chúng minh bất đẳng thức a c a c b 2 + b + 50 + ≥ và tìm GTNN của S = + b d b d 50b 4 Hiệu quả của SKKN Trong quá trình dạy học kiến thức về bài toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên cạnh các phương. .. với t= x y ⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + 1 ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = 0 (*) + Nếu u = 1, thì t = 0 ⇒ x = 0, y = ± 3 ⇒ u = 1 là 1 giá trị của hàm số + Nếu u ≠ 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t ⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ 0 ⇔ Vậy tập giá trị của u là Min S = 1 ⇔ Min u = 1 3  1 , 3  3   1 ≤ u ≠1≤ 3 3 ⇒ ⇔t=1⇒ Min u = 1 ; 3 Max u = 3  x = y ⇔ x = y = ±1  2  x + xy... x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM  π   Bài 2 (ĐH Lâm nghiệp) : Cho x ∈  0; 2 ÷; CMR : ⇔ (tan 3 x + cot 3 x)(tan 4 x + cot 4 x) − 2(tan x + cot x) ≥ 0 HD: Đặt tan 7 x + cot 7 x ≥ tan x + cot x t = tan x + cot x; d / k :t ≥ 2 Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 HD: Cách1: ⇔ ln n ln(n + 1) > ; n n +1 xét hàm f(x)=1/x Bài4 (QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0... + b + c ) = 1 → 0 ≤ t ≤ Với 2 0≤t ≤ 1 3 1 3 Min M=2 Bài1 0 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1 Chứng minh rằng : a 2 lnb - b 2 lna > lna - lnb (TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009) 15 Bài1 1 : Cho a > b > 0 Chứng minh rằng : a+b a-b > 2 lna - lnb Bài1 2: Cho a.b là hai số không âm Chứng ming rằng 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 Bài 13: Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm GT nhỏ nhất của biểu thức A = (